ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THỊ ÁNH HỒNG
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP
GIẢI BÀI TOÁN SONG ĐIỀU HÒA
VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN
HỖN HỢP MẠNH
LUẬN VĂN THẠC SỸ
Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60 46 36
Người hướng dẫn khoa học:
TS. VŨ VINH QUANG
THÁI NGUYÊN, 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mục lục
Mở đầu 2
1 Các kiến thức cơ bản 4
1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm . . . . . . . . 4
1.1.1 Không gian C
k
(
¯
Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Không gian L
p
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Không gian W
1,p
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Khái niệm vết của hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Lý thuyết về phương trình elliptic . . . . . . . . . . . . . . 10

Quang. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo,
người hướng dẫn khoa học của mình, TS. Vũ Vinh Quang, người đã đưa ra
đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả.
Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán
- Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều
kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành
bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH trường
THPT Chu Văn An - Thái Nguyên và các bạn trong lớp Cao học K4A, đã
động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn.
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mở đầu
Khi nghiên cứu bài toán cơ học và vật lý trong kỹ thuật, thông qua việc
mô hình hóa, các bài toán thường dẫn đến các dạng phương trình elliptic
cấp 2 hoặc các dạng phương trình song điều hòa với các hệ số điều kiện
biên khác nhau. Trong trường hợp khi điều kiện biên của bài toán đang
xét không tồn tại các điểm kì dị thì đã có nhiều phương pháp của các tác
giả trên thế giới tìm nghiệm gần đúng của các bài toán tương ứng như
phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn Tuy nhiên, trong
trường hợp khi trên biên tồn tại các điểm kì dị là các điểm phân cách giữa
các loại điều kiện biên hàm và đạo hàm, điều này thường xảy ra đối với
mô hình các bài toán cơ học và vật liệu đàn hồi thì chúng ta sẽ gặp các
bài toán elliptic hoặc các bài toán song điều hòa với điều kiện biên kì dị.
Khi đó các phương pháp thông thường sẽ gặp nhiều khó khăn. Đối với các
bài toán này, để tìm nghiệm xấp xỉ, người ta thường sử dụng một phương
pháp đó là phương pháp tích phân biên hàm kì dị tìm nghiệm dưới dạng
khai triển thông qua các hệ hàm cơ sở. Một hướng nghiên cứu thứ hai đó
là xây dựng các sơ đồ lặp dựa trên tư tưởng chia miền.
Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu bài toán vết nứt hay còn gọi
là bài toán crack được các tác giả trên thế giới đưa ra. Mô hình toán học

Chương 1
Các kiến thức cơ bản
Trong chương này, luận văn trình bày những kết quả lý thuyết quan
trọng về các không gian Sobolev, phương trình elliptic với khái niệm nghiệm
yếu và định lý tồn tại duy nhất nghiệm, các bất đẳng thức Poincare, lý
thuyết về phương pháp lặp giải phương trình toán tử.
1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian
hàm
1.1.1 Không gian C
k
(
¯
Ω)
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều R
n
và
¯
Ω
là bao đóng của Ω. Ta kí hiệu C
k
(
¯
Ω)(k = 0, 1, 2, ) là tập các hàm có đạo
hàm đến cấp k kể cả k trong Ω, liên tục trong
¯
Ω. Ta đưa vào C
k
(
¯
Ω) chuẩn

D
α
u =
∂
α
1
+ +α
n
u
∂x
α
1
1
∂x
α
n
n
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Các kiến thức cơ bản
Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong
¯
Ω của các hàm và tất
cả đạo hàm của chúng đến cấp k kể cả k. Rõ ràng tập C
k
(
¯
Ω) với chuẩn
(1.1) là không gian Banach.
1.1.2 Không gian L

p
)
nên rõ ràng L
p
(Ω) là một không gian véc tơ.
Ta đưa vào L
p
(Ω) phiếm hàm || · ||
p
được xác định bởi
||u||
p
=




Ω
|u(x)|
p
dx



1/p
. (1.3)
1.1.3 Không gian W
1,p
(Ω)
Định nghĩa 1.1.1. Cho Ω là một miền trong R

vϕdx,
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Các kiến thức cơ bản
đối với mọi ϕ(x) ∈ C
k
0
(Ω), k = k
1
+ + k
n
, k
i
≤ 0(i = 1, 2, , n). Khi đó,
v(x) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u(x).
Kí hiệu
v(x) =
∂
k
u
∂x
k
1
1
∂x
k
n
n
.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử p là một số thực, 1 < p < ∞, Ω là một miền

∈ L
2
(Ω), i = 1, 2, , n}.
Bổ đề 1.1.4. i) Không gian W
1,p
(Ω) là không gian Banach với chuẩn
||u||
W
1,p
(Ω)
= ||u||
L
p
(Ω)
+
n

i=1
||
∂u
∂x
i
||
L
p
(Ω)
.
ii) Không gian H
1
(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng

(Ω) được định nghĩa như các
bao đóng của không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω
tương ứng với chuẩn của W
1,p
(Ω).
Không gian H
1
0
(Ω) được định nghĩa bởi
H
1
0
(Ω) = W
1,2
0
(Ω).
Định lý 1.1.6. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó:
i) Nếu 1 ≤ p < n thì W
1,p
0
(Ω) ⊂ L
q
(Ω) là:
- Nhúng compact đối với q ∈ [1, p
∗
), trong đó
1
p
∗
=

γ : H
1
(Ω) → L
2
(∂Ω)
sao cho với bất kì u ∈ H
1
(Ω) ∩ C
0
(
¯
Ω) ta có γ(u) = u|
∂Ω
. Hàm γ(u) được
gọi là vết của u trên ∂Ω.
Định nghĩa 1.1.8. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian
H
1/2
(∂Ω) được gọi là miền giá trị của ánh xạ vết γ, tức là
H
1/2
(∂Ω) = γ(H
1
(Ω)).
Định lý 1.1.9. i) Kí hiệu H
1/2
(∂Ω) là không gian Hilbert với chuẩn
||u||
2
H

≤ C
γ
(Ω)||u||
H
1
(Ω)
, ∀u ∈ H
1
(Ω).
Khi đó, C
γ
(Ω) được gọi là hằng số vết.
Bổ đề 1.1.10. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian H
1/2
(∂Ω)
có các tính chất sau:
i) Tập {u|
∂Ω
, u ∈ C
∞
(R
n
)} trù mật trong H
1/2
(∂Ω).
ii) Nhúng H
1/2
(∂Ω) ⊂ L
2
(∂Ω) là compact.

(Ω) = {u|u ∈ H
1
(Ω), γ(u) = 0}.
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Các kiến thức cơ bản
Định lý 1.1.12 (Bất đẳng thức Poincare). Tồn tại hằng số C
Ω
sao cho:
||u||
L
2
(Ω)
≤ C
Ω
||∇u||
L
2
(Ω)
, ∀u ∈ H
1
0
(Ω).
Chứng minh. Giả sử I là một khoảng trong R
n
chứa
¯
Ω, u ∈ H
1
0

0
(Ω) ta có
u(x) = u(x

, x
n
) =

x
n
0
∂u
∂x
n
(x

, t)dt.
ta lại có
|u(x)|
2
=





x
n
0
∂u

2
dt
≤ x
n

a
0




∂u
∂x
n
(x

, t)




2
dt.
Lấy tính phân hai vế bất đẳng thức trên Ω ta được:

Ω
u
2
dx ≤ a
2

, ∇u ∈ C
∞
0
(Ω).
Do đó đẳng thức trên đúng với ∀u ∈ H
1
0
(Ω).
Nếu Ω là một tập mở giới nội bất kì, luôn tồn tại khoảng I với các cạnh
phụ thuộc vào đường kính của Ω thỏa mãn Ω ⊂ I.
Theo trên, định lý đúng với khoảng I, kết hợp với (1.4) ta suy ra định
lý đúng với Ω.
Nhận xét 1.1.13. Bất đẳng thức Poincare có nghĩa rằng: ||u|| = ||∇u||
L
2
(Ω)
là một chuẩn trên H
1
0
(Ω), tương đương với chuẩn của H
1
(Ω) được xác định
bởi
||u||
2
H
1
(Ω)
= ||u||
2

L
2
(Ω)
∀u ∈ H
1
(Ω), γ(u) = 0 trên Γ
1
.
1.1.4.1 Không gian Sobolev với chỉ số âm H
−1
(Ω) và H
−1/2
(∂Ω)
Định nghĩa 1.1.15. Kí hiệu H
−1/2
(∂Ω) là không gian Banach được định
nghĩa bởi
H
−1
(∂Ω) = (H
1
0
(Ω))

,
tức là không gian đối ngẫu của H
1
0
(Ω). Chuẩn của phần tử F ∈ H
−1

1
0
(Ω)
=

Ω
F udx.
Bổ đề 1.1.16. Cho F ∈ H
−1
(Ω). Khi đó tồn tại n + 1 hàm f
0
, f
1
, , f
n
trong L
2
(Ω) sao cho
F = f
0
+
n

i=1
∂f
i
∂x
i
. (1.5)
Hơn nữa

−1/2
(∂Ω)
là không gian Banach được định nghĩa bởi
H
−1/2
(∂Ω) = (H
1/2
(∂Ω))

.
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Các kiến thức cơ bản
tức là không gian đối ngẫu của không gian H
1/2
(∂Ω). Chuẩn của phần tử
F ∈ H
−1/2
(∂Ω) được xác định như sau
||F ||
H
−1/2
(Ω)
= sup
H
1/2
(∂Ω)\{0}
| < F, u >
H
−1/2

(Ω) nhân với hai vế của (1.6) rồi
lấy tích phân ta được
−

Ω
∆uϕdx =

Ω
fϕdx. (1.7)
Áp dụng công thức Green vào (1.7) và kết hợp với điều kiện ϕ|
∂Ω
= 0
ta có

Ω
n

i=1
∂ϕ
∂x
i
∂u
∂x
i
dx =

Ω
fϕdx, (1.8)
hay


2
(Ω) ta suy ra

Ω
(∆u + f)ϕdx = 0, ∀u ∈ D(Ω).
Vì D(Ω) trù mật trong L
2
(Ω), ∆u + f trực giao với mọi ϕ ∈ D(Ω) nên
∆u + f = 0 trong L
2
(Ω). Nhưng vì ∆u liên tục nên ∆u + f ≡ 0 trong
C(Ω). Vậy u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.6).
Xét phương trình song điều hoà
∆
2
u =
∂
4
u
∂x
4
+ 2
∂
4
u
∂x
2
∂y
2
+

(x)D
j
).
Nếu u thoả mãn hệ thức

|i|,|j|≤k
a
ij
D
j
ϕD
j
udx =< f, ϕ >, ∀ϕ ∈ D(Ω) (1.12)
được gọi là ngiệm yếu của phươg trình.
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Các kiến thức cơ bản
1.2.2 Phát biểu các bài toán biên
Bài toán Dirichlet
Xét bài toán



−∆u = f, x ∈ Ω
u = ϕ, x ∈ ∂Ω
(1.13)
trong đó f ∈ L
2
(Ω).
Hàm u ∈ H

nghiệm theo nghĩa cổ điển.
Bài toán Neumann
Xét bài toán



−∆u = f, x ∈ Ω
∂u
∂ν
= h, x ∈ ∂Ω.
(1.16)
trong đó h ∈ C(∂Ω), f ∈ C(
¯
Ω), u ∈ C
2
(
¯
Ω) là nghiệm cổ điển.
Nhân hai vế của phương trình −∆u = f với v ∈ H
1
(Ω) rồi lấy tích
phân ta được
−

Ω
v∆udx =

Ω
vfdx. (1.17)
Áp dụng công thức Green vào (1.17) ta có

(∂Ω), f ∈ L
2
(Ω) thì nghiệm yếu của bài
toán Neumann (1.16) là hàm u ∈ H
1
(Ω) thỏa mãn (1.18).
1.3 Phương pháp lặp và các sơ đồ lặp cơ bản
Xét bài toán
Au = f, (1.19)
trong đó A : H → H là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert thực
N chiều H với tích vô hướng (, ) và chuẩn ||y|| =

(y, y).
Giả sử A là toán tử đối xứng, xác định dương, f ∈ H là véc tơ tùy
ý. Trong mỗi phương pháp lặp, xuất phát từ y
0
bất kì thuộc H, người
ta đưa ra cách xác định nghiệm xấp xỉ y
1
, y
2
, , y
k
, của phương trình
(1.19). Các xấp xỉ như vậy được biết như là các giá trị lặp với chỉ số lặp
k = 1, 2, bản chất của những phương pháp này là giá trị y
k+1
có thể
được tính thông qua các giá trị lặp trước: y
k

− y
k
θ
k+1
+ Ay
k
= f, k = 0, 1, 2, (1.21)
Trong trường hợp θ
k
= θ là hằng số thì lược đồ lặp (1.21) còn gọi là
lược đồ lặp đơn giản.
+) Nếu B
k
= E thì lược đồ lặp (1.20) được gọi là lược đồ ẩn.
Lược đồ dừng, định lý cơ bản về sự hội tụ của phép lặp
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Các kiến thức cơ bản
Lược đồ lặp (1.20) với toán tử B
k
= B, tham số θ
k+1
= θ không đổi
(k = 0, 1, 2, ) còn được gọi là lược đồ lặp dừng.
B
y
k+1
− y
k
θ

2

1/2
, δ = min
k
λ
k
(A), δ
∗
= min
k
λ
k
(B
0
−
1
2
θA),
B
0
=
B + B
∗
2
là phần tử đối xứng của toán tử B.
Nhận xét 1.3.2. Với B
k
= B cố định, định lý đã đưa ra quy tắc lựa chọn
giá trị θ để lược đồ lặp hội tụ. Trong trường hợp B = E, điều kiện hội tụ

2.1 Phương pháp chia miền giải bài toán
biên elliptic cấp 2 với điều kiện biên hỗn
hợp mạnh
2.1.1 Cơ sở của phương pháp
Cho Ω ⊂ R
2
là miền với biên Lipschitz ∂Ω, xét bài toán



−∆u(x) = f (x), ∀x ∈ Ω,
lu(x) = g(x), x ∈ ∂Ω.
Giả sử f(x) ∈ L
2
(Ω), g(x) ∈ H
1
2
(∂Ω). Ta xét trường hợp tổng quát khi
điều kiện biên lu(x) = g(x) là điều kiện biên dạng hỗn hợp mạnh tức là
trên một phân biên trơn gồm cả hai điều kiện biên Dirichlet (l là toán tử
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị
hàm) và Neumann (l là toán tử đạo hàm hướng). Đây là bài toán đã được
nhiều tác giả trên thế giới quan tâm.
Trong phần này luận văn trình bày phương pháp chia miền để giải bài
toán biên hỗn hợp mạnh. Sự hội tụ của phương pháp này đối với trường
hợp chỉ có một điểm phân cách điều kiện biên đã được nghiên cứu về lý
thuyết.
Giả sử Ω cho bởi Hình 2.1 xét bài toán

2
= ∅. Kí hiệu Γ
1
= ∂Ω
1
\{Γ
d
∪ Γ}, Γ
2
= ∂Ω
2
\{Γ
n
∪ Γ}, u
i
là nghiệm
trong miền Ω
i
(i = 1, 2). Tư tưởng của phương pháp là tìm ra các xấp xỉ
của g =
∂u
1
∂ν
1
|
Γ
để chuyển bài toán đang xét về hai bài toán trong hai miền.
Ở đây ν
i
là véc tơ pháp tuyến ngoài của miền Ω

= f, x ∈ Ω
1
,
u
(k)
1
= ϕ, x ∈ Γ
1
∪ Γ
d
,
∂u
(k)
1
∂ν
1
= g
(k)
, x ∈ Γ.
(2.1)











2
= ψ, x ∈ Γ
n
(2.2)
Bước 3. Hiệu chỉnh giá trị g
(k+1)
g
(k+1)
= (1 − τ)g
(k)
− τ
∂u
(k)
2
∂ν
2
, x ∈ Γ, (2.3)
trong đó τ là tham số lặp cần lựa chọn.
2.1.2 Sự hội tụ của phương pháp
Sơ đồ lặp (2.1) được viết lại dưới dạng
g
(k+1)
− g
(k)
τ
+ g
(k)
+
∂u
(k)










−∆e
(k)
1
= 0, x ∈ Ω
1
,
e
(k)
1
= 0, x ∈ Γ
1
∪ Γ
d
,
∂e
(k)
1
∂ν
1
= ξ
(k)

= 0, x ∈ Γ
2
,
e
(k)
2
= e
(k)
1
, x ∈ Γ,
∂e
(k)
2
∂ν
2
= 0, x ∈ Γ
n
ξ
(k+1)
− ξ
(k)
τ
+ ξ
(k)
+
∂e
(k)
2
∂ν
2

v
1
= 0, x ∈ Γ
1
∪ Γ
d
,
v
1
= ξ, x ∈ Γ,
S
2
ξ =
∂v
2
∂ν
2
, x ∈ Γ, trong đó v
2
là nghiệm của bài toán











−1
1
ξ = ω
1
|
Γ
trong đó ω
1
là nghiệm của bài toán











−∆ω
1
= 0, x ∈ Ω
1
,
ω
1
= 0, x ∈ Γ
1
,

|
Γ
.
Sử dụng các toán tử S
1
, S
2
đã định nghĩa, (2.4) được viết lại dưới dạng
ξ
(k+1)
− ξ
(k)
τ
+ (I + S
2
S
−1
1
)ξ
(k)
= 0, x ∈ Γ, (k = 0, 1, 2, ).
Tác động S
−1
1
lên cả hai vế của phương trình trên, ta thu được sơ đồ lặp
hai lớp
e
(k+1)
1
|

Để thiết lập sự hội tụ của lược đồ này chúng ta sẽ nghiên cứu các tính chất
của toán tử B. Vì mục đích này ta đưa vào không gian Λ = H
−
1
2
00
(Γ) =
{v|
Γ
: v ∈ H
1
0
(Ω)} và không gian đối ngẫu Λ

= H
−
1
2
00
(Γ). Có thể kiểm tra
rằng trong dạng phát biểu yếu toán tử S
1
được định nghĩa bởi
S
1
ξ, η
Λ

,Λ
= (∇H

,Λ
≤ C
31
||ξ||
H
1
2
(Γ)
.
Do đó S
1
ξ, η
1
2
Λ

,Λ
xác định một tích vô hướng của ξ, η ∈ Λ và chuẩn được
sinh bởi tích vô hướng này tương đương với chuẩn thông thường của H
1
2
(Γ).
Kí hiệu tích vô hướng này và dạng chuẩn cảm sinh bởi (·, ·)
S
1
và || · ||
S
1
(ξ, η)
S

H
2η
là thác triển điều hòa của η lên Ω
2
tức là ω là nghiệm của bài toán















−∆ω = 0, x ∈ Ω
2
,
ω = 0, x ∈ Γ
2
,
ω = η, x ∈ Γ,
∂ω
∂ν
2

S
2
ξηds +

Ω
2
∇

H
2
ξ.∇

H
2η
dx.
Từ đó

Γ
S
2
ξηds =

Γ
2
∇

H
2
ξ.∇


≥ C
2
22
||v||
2
H
1
(Ω
2
)
≥ C
2
32
||ξ||
2
H
1
2
(Γ)
.
Mặt khác, theo đánh giá nghiệm của bài toán xác định v ta có
||v||
H
1
(Ω
2
)
≤ C||v||
H
1

||∇v||
2
L
2
(Ω
2
)
≤ ||v||
2
H
1
(Ω
2
).
(2.6)
Từ (2.5), và (2.6) suy ra rằng
S
2
ξ, ξ
Λ

,Λ
= ||∇v||
2
L
2
(Ω
2
)
≤ C

Λ

,Λ
= S
1
ξ, η
Λ

,Λ
+ S
2
ξ, η
Λ

,Λ
.
Do S
1
, S
2
là các toán tử đối xứng nên toán tử B cũng là toán tử đối xứng.
Giả sử rằng đối với phép chia miền Ω thành các miền con Ω
1
, Ω
2
tồn
tại các hằng số 0 < m ≤ M sao cho
m ≤
S
2

0 < τ <
2
1 + M
(2.8)
thì ||I − τB|| < 1 và giá trị tối ưu của τ là
τ
opt
=
2
2 + m + M
. (2.9)
Với giá trị này của τ ta thu được ước lượng
||e
(k)
1
|
Γ
||
S
1
≤ ρ
k
||e
(0)
1
|
Γ
||
S
1

||e
(k)
i
||
H
1
(Ω
i
)
≤ Cρ
k
||e
(0)
1
|
Γ
||
H
1
2
(Γ)
. (2.10)
Ở đây các hằng số dương C
21
, C
31
, C
22
, C
1

∂ν
= g
1
, x ∈ ∂Ω,
∂∆u
∂ν
= g
2
, x ∈ S
D
∪ S
B
∪ S
E
(2.11)
2.2.2 Phương pháp lặp
Để nghiên cứu bài toán trên, đặt v = ∆u với ∀x ∈ Ω , v = ϕ với
∀x ∈ S
A
. Khi đó bài toán (2.11) sẽ tương đương với hai bài toán cấp hai
sau.








