CHUYÊN ĐỀ: TỤ ĐIỆN-NĂNG LƯỢNG ĐIỆN TRƯỜNG
Tổ Vật Lí - Trường THPT Chuyên Hưng Yên
A. Lý thuyết
I. Tụ điện
1. Hệ vật dẫn tích điện cân bằng
Xét một vật dẫn cô lập, khi tích điện cho vật đến điện tích Q thì điện thế của vật là V.
Nếu ta tăng điện tích Q lên thì thấy điện thế V cũng tăng theo, và chúng có quan hệ tuyến
tính với nhau. Do đó:
.Q C V=
Trong đó: C là hằng số phụ thuộc vào vật dẫn đó.
Xét hệ hai vật dẫn cô lập về điện, nhưng có tương tác hưởng ứng với nhau. Khi đó
điện tích trên tụ có sự phân bố phụ thuộc vào cả vật dẫn còn lại ( nhiễm điện do hưởng
ứng). Do vậy điện tích trên quả cầu phụ thuộc vào vào cả điện thế trên vật còn lại. Sự
phụ thuộc này ta có thể biểu diễn như sau:

1 11 1 12 2
. .Q C V C V= +
Tương tự với điện tích trên vật thứ hai:
2 21 1 22 2
. .Q C V C V= +
Trong đó:
11 22
;C C
là các hằng số chỉ phụ thuộc vào chính vật dẫn đó, gọi là điện
dung của vật dẫn.
12 21
;C C
là các hằng số của vật này phụ thuộc vào vật kia, được gọi là hệ số hưởng
ứng tĩnh điện.
Mở rộng trong trường hợp có n vật dẫn thì:
1 11 1 12 2 1

;
A B
q q
với điện thế tương ứng
mỗi bản là
;
A B
V V
. Hai bản tạo thành hệ vật dẫn tích điện nên:
11 12
21 22
A A B
A A B
q C V C V
q C V C V
= +


= +

Do điều kiện hai bản hưởng ứng toàn phần của hai tụ nên:
0
A B
q q+ =
Mặt khác: hai bản có vai trò như nhau
12 21
C C⇒ =
(1)
Giả sử ta nối bản B với đất thì:
0

⇒
 
+ = = −
 
12 21 11 22
C C C C⇒ = = − = −
Đặt:
11 22
0C C C= = >

12 21
0C C C⇒ = = − <

( )
A B A B
q q C V V⇔ = − = −
Đặt
A B
q q q= =
: gọi là điện tích của tụ
A
A B A B
q q q
C
V V V V U
⇒ = = =
− −
Trong đó C: đặc trưng cho khả năng tích điện của tụ và được gọi là điện dung của
tụ điện.
3. Xác định điện dung của một số loại tụ điện

0
2
E E
δ
εε
+ −
= =
với
Q
S
δ
=

0 0
2 2
q
E E
S
δ
εε εε
+ −
⇒ = = =

0
M
E
δ
εε
⇒ =
Nếu chon trục Ox có phương hướng từ bản dương sang bản âm, gốc O trùng với

⇒ = =
: Công thức tính điện dung của tụ phẳng
M
E
+
r
E
−
r
b. Tụ cầu
Xét một tụ cầu gồm 2 mặt cầu kim loại đặt đồng tâm, bán kính trong R
1
, bán kính
ngoài R
2
. Tích điện cho tụ điện đến điện tích Q ( giả sử mặt cầu trong tích điện dương).
Trong khoảng không gian giữa hai mặt cầu chứa đầy một chất điện môi có hằng số điện
môi
ε
.
Áp dụng định lý O-G cho một điểm bất kì nằm trong khoảng giữa hai mặt cầu,
cách tâm cầu một đoạn r (
1 2
R r R≤ ≤
), ta có điện trường tại M là:
2
0
4
M
Q

⇒ = − = = =
∫ ∫ ∫
0 1 2
1 1
( )
4
Q
R R
πεε
= −
0 1 2
12 2 1
4Q R R
C
U R R
πεε
⇒ = =
−
: Công thức tính điện dung tụ cầu
II. Năng lượng điện trường
1. Năng lượng của tụ điện
a. Năng lượng của một hệ vật dẫn tích điện cân bằng
Xét một hệ n vật dẫn tích điện cân bằng, điện tích của các vật dẫn lần lượt là:
1 2 3
; ; ; ;
n
q q q q
.
Điện thế tương ứng của các bản lần lượt là:
1 2 3

1 2
;V V
( giả
sử
1 2
)V V>
. Hệ điện tích trên có một năng lượng được xác định bởi:
1 1 2 2
1
W ( )
2
qV q V= +
Theo tính chất của tụ hưởng ứng toàn phần:
1 2
0q q q= − = >
Gọi:
1 2
U V V= −
là hiệu điện thế giữa hai bản, thì
1 2
( )q C V V= −
2
2
1 2
1 1 1 1
W= ( )
2 2 2 2
q
q V V qU CU
C

E
S
V E Sd E V
d
εε
εε εε
= = = ∆
Trong đó:
.V S d∆ =
là thể tích khoảng không gian giữa hai tụ, và cũng chính là
khoảng không gian chứa từ trường đều E.
Như vậy có thể coi:
2
0
1
2
E
E
ω εε
=
là năng lượng của điện trường có chứa trong
một đơn vị thể tích, gọi là mật độ năng lượng điện trường.
Trong trường hợp điện trường không là điện trường đều thì năng lượng điện
trường có thể xác định như sau:
W
E E
V
dV
ω
=

≤≤
n
.
Khi đó điện tích ở các tụ đều thay đổi, hệ tương đương với bộ gồm 3 tụ có điện
dung:
321
,, CCC
mắc nối tiếp nhau (hình vẽ 2).
Trong đó:
CC =
2
;
C
n
C
=
1
1
và
)1(
201
3
C
n
C
−
=
+ Gọi
321
,, qqq

* Nút
)4(2:
00021
qqqqqA
n
−=−−=+−
+ Thay (1), (3) vào (2) và (4) ta thu được:








−=
=
⇔



−=+−
=+
⇔





−=+−

441
19
21
19
00
UC
qqqq
⋅
=⋅=−=
∆
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:
WQW +=
0






+








+−=−=⇒
2

1
A
2
A
3
A
20
-
A
21
ο ο
U
Hình 1
+ -
•
• • • •
•
A
0
q
1
C
1
C
2
C
3
q
2
q

a)Trường hợp 1: Cực (+) của nguồn mắc với bản (+) của tụ. Điện tích ban đầu của tụ:

CEECq 44
1
=⋅=
Năng lượng ban đầu của tụ:
CE
C
EC
C
q
W
2
22
2
1
1
8
2
161
2
1
=
⋅
=⋅=
Điện tích lúc sau của tụ:
CEq
=
2
.

nguon
2
12
3)(
−=−=⋅=
∆
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:
QWA
nguon
+=
∆
Suy ra:
CECECEWAQ
nguon
222
2
9
2
15
3
=+−=−=
∆
Do đó:
2
9
2
E
Q
C
=

25
2
E
Q
C
=
.
Bài 3. Hai bản tụ điện phẳng được mắc vào một nguồn có s.đ.đ E và điện trở trong r.
Các bản tụ đặt thẳng đứng và đưa một bình lớn chứa chất lỏng có khối lượng riêng
1
ρ
và
hằng số điện môi
1
ε
tới sát mép dưới của các bản tụ. Khi đó chất lỏng sẽ bắt đầu được
hút vào trong tụ. Trong thời gian thiết lập cân bằng trong hệ có toả ra nhiệt lượng là Q.
Hỏi lượng nhiệt toả ra trong hệ này là bao nhiêu nếu thay chất lỏng trên bằng một chất
lỏng khác có khối lượng riêng
2
ρ
và hằng số điện môi
2
ε
. Bỏ qua sức căng mặt ngoài.
Giải:
Khi tụ điện tích điện được chạm vào khối điện môi lỏng, nó tác động hút điện môi vào
trong khoảng giữa hai bản (do điện môi bị phân cực bởi tác dụng của điện trường giữa hai
bản tụ điện) và như vậy năng lượng của hệ giảm đi. Công của lực điện trường kéo điện
môi lên trong khoảng giữa hai bản tụ điện biến thành thế năng của cột điện môi trong

+=+
−
=
1
0
1
00
2
εεεεε
trong đó
H,
ε
là điện môi và chiều cao của cột chất lỏng trong bản tụ;
hl,
là bề rộng và
chiều cao của bản tụ; d là khoảng cách hai bản tụ.
( )
2
1
2
0
E
d
lH
A ⋅
⋅−
=⇒
εε
Thế năng cột điện môi:
2

C
0
2
22
0
2
1
ε
ρ
εε
+
⋅−
=⇒
Nhiệt lượng toả ra trên điện trở trong của nguồn là:
Q
( )
( )
2
4
2
2
0
2
12
2
1
2
1
gd
lE

ρ
εε
Với chất điện môi
2
ε
khối lượng riêng của
2
ρ
ta có:
( )
2
2
4
2
2
2
0
2
2
1
gd
lE
Q
ρ
εε
⋅−
=
Vậy:
2
1

công thực hiện trong quá trình ấy. Xác định nhiệt lượng tỏa ra trên mỗi điện trở nếu biết
rằng
2 1
2R R=
.
Giải:
Khi tăng nhanh khoảng cách 2 bản tụ dưới lên 2 lần, điện tích trên các tụ chưa kịp biến
thiên (không có dòng trong mạch), công thực hiện chỉ để làm tăng năng lượng tụ dưới:
C
q
C
q
WA
22
2
0
2
0
−
′
==
∆

C
q
CC
q
2
1
2/

21
2qq
=⇒
Áp dụng định luật bảo toàn điện tích, ta có:
021
2qqq
=+
suy ra:
3/2;3/4
0201
qqqq
==
Năng lượng của bộ tụ bây giờ là:
C
q
C
q
C
q
W
2
0
2
2
2
1
2
3
4
2/22

6
1
=
Ký hiệu
21
,QQ
tương ứng là nhiệt lượng toả ra trên các điện trở
21
, RR
, ta có:
2/1
2
1
2
2
1
2
2
1
==
⋅⋅
⋅
=
R
R
tRi
tRi
Q
Q
∆

=
.
Bài 5. Cho mạch điện như hình vẽ: các tụ điện giống nhau đều có điện dung
FC
µ
100
=
,
điện trở
Ω=
kR 100
, nguồn điện có s.đ.đ
VE 10
=
và điện trở trong
Ω=
1r
. Đóng khoá K.
Xác định cường độ dòng điện qua điện trở tại thời điểm sau khi đóng khoá K
s1,0
và
cường độ dòng điện qua nguồn tại thời điểm đó. Tính nhiệt lượng toả ra trên điện trở sau
một khoảng thời gian dài.
Giải:
Sau khi đóng mạch các tụ điện nạp điện rất nhanh còn dòng điện
qua điện trở rất nhỏ. Thực vậy dòng điện tích lúc đầu được xác
định bởi điện trở trong rất nhỏ của nguồn: “thời gian đặc trưng
của điện tích” có giá trị cỡ bằng tích của điện dung toàn phần
(ở đây có thể lấy bằng C) và điện trở trong r với
ssrC 1,010

.5
3
5 C
qV
u +=

C
qV
v
55
2
+=
Rõ ràng khi
0
=
q
sau 0,1s điện tích thực tế không đi qua điện trở - điện thế đầu
dưới của điện trở bằng
22,0
=
V
(vôn) đầu trên của điện trở có điện thế
10
=
V
(vôn).
Bởi vậy dòng điện qua điện trở trong thời gian chúng ta quan tâm bằng:
.08,0
8,0
mA

q vì tụ điện trên có phóng điện, một phần điện tích của nó đi theo nguồn theo chiều
ngược lại, do đó dòng qua nguồn bằng:
mAII
Rng
064,08,0
==
Để tính nhiệt lượng tỏa ra trên điện trở ta viết hiệu điện thế trên nó như là 1 hàm số
của điện lượng đi qua nó:
C
q
V
6,0
8,0
−=∆
ϕ
Rõ ràng đây là sự phụ thuộc tuyến tính. Điện tích toàn phần đi qua sau một khoảng
thời gian lớn là Q sẽ làm cho hiệu điện thế bằng không, từ đó ta có:
.
3
4CV
Q
=
Do đó nhiệt lượng tỏa ra trên R bằng :
.5
15
8
3
.4
.8,0
2

2
00
E
R
Er
R
E
r
==⇒=
ε
ε
Vì điện lượng chạy qua
2
R
là q nên tụ điện được nạp điện tích q.
R
0
N
R
2
C
M
R
1
E
Khi ở trạng thái ổn định hiệu điện thế trên tụ là ε và không có dòng
qua
2
R
.Gọi Q là nhiệt lượng toả ra trên r và

3
2
2
=
. Công của nguồn là:
ε
qA
n
=
. Áp dụng định luật bảo toàn năng
lượng ta có:
Q
C
q
q +=
2
2
ε
và
Q
C
q
C
q
C
q
+=⇒=
2
22
ε

=
.
Tài liệu tham khảo:
1. Giáo trình: Điện Học-Nhà xuất bản ĐH SP- GS.TS Vũ Thanh Khiết
2. Báo Vật lý tuổi trẻ
3. Bài tập vật lý đại cương-Nhà xuất bản GD- PGS.TS Phan Hồng Liên
M
C
R
2
r,
ε
N