trần quang thanh-k15-ch-lý-đh-vinh-8-2008
1

PHầN I
CáCH CHứNG MINH CÔNG THúC TíNH VậN TốC Và SứC CĂNG DÂY
CủA CON LắC ĐƠN
PHƯƠNG PHáP:
1. Công thức tính vận tốc tại vị trí bất kỳ:
Do con lắc chuyển động trong trờng trọng lực nên cơ năng bảo toàn
Chọn mốc thế năng h=o tại vị trí cân bằng O. áp dụng định luật
Bảo toàn cơ năng cho 2 vị trí A và B ta có

. W
A
=W
B
hay :
2
.
2
B
A B
m v
mgh mgh= +
(1)
Chú ý : con lắc đơn đợc thả không vận tốc ban đầu từ vị trí A
Nên v
A
=O
Trong đó
. . ( )

v g l co s co s

=
(2)

Từ đó ta có các trờng hợp sau xảy ra :
a. Tại vị trí cân bằng góc
0
o

=

cos(o
o
)=1
suy ra

[
]
.
2. . 1 . ( )
ma x o
v g l co s

=
(3) ( Tại VTCB vận tốc đạt giá trị cực đại ) I
O

c
0 0
10 , 10
o ta sử dụng công thức gần đúng :
2
2
. ( ) 1 2.sin 1
2 2
co s


=

Và
2
2
0 0
0
. ( ) 1 2.sin 1
2 2
co s

2 2
0
.
B
v g l=

(
(
4
4
)
)


n
nt
t
ố
ố
c
cc
c
ự
ự
c
cđ
đ
ạ
ạ
i
il
l

y
yv
v
à
à
o
o(
(
3
3
)
):
:2 2
0 0
.
2. . 1 (1 2.sin ) 2. . 2.sin
2 2
ma x

0

=
nên
.minB
v o
= 2
2
.
.
C
C
ô
ô
n
n
g
gt
t
h
h

g
gd
d
â
â
y
yT
Tt
t
ạ
ạ
i
iv
v
ị
ị
é
é
t
tt
t
ạ
ạ
i
iv
v
ị
ịt
t
r
r
í
íb
b
l
l
ự
ự
c
ct
t
á
á
c
cd
d
ụ
ụ
n
n
g
gl
l
c
c
ă
ă
n
n
g
gs
s
ợ
ợ
i
id
d
â
â
y
yT
T

.
.T
T
h
h
e
e
o
ođ
đ
ị
ị
n
n
h
hl
l
u
u
ậ
ậ

c
c
ó
ó:
:


ế
ế
u
u(
(
6
6
)
)l
l
ê
ê
n
np
p
h
h


ơ
ơ

g
gv
v
à
à
o
ođ
đ
i
i
ể
ể
m
mt
t
r
r
e
e
o
o

n
n
h
h

h
h
ì
ì
n
n
h
hv
v
ẽ
ẽ:
:2
. ( ) .

a
a
y
y(
(
2
2
)
)v
v
à
à
o
o(
(
7
7
)
)

V
V
T
T
C
C
B
B0
o

=

cos(o
o
)=1 nên :

[
]
. 0
3 2. . ( )
ma x
T mg co s


íh
h
a
a
i
ib
b
i
i
ê
ê
n
n0

=
nên :

[
]
min 0
. ( ) . . ( )


0 0
10 , 10
o ta sử dụng công thức gần đúng :
2
2
. ( ) 1 2.sin 1
2 2
co s


=

Và
2
2
0 0
0
. ( ) 1 2.sin 1
2 2
co s


=

Suy ra :


V
V
T
T
C
C
B
B0
o

=

cos(o
o
)=1 nên : (11)
P
X

P


O
B
A


O
H
H
a
a
y
y:
:

)

T
T
ạ
ạ
i
iv
v
ị
ịt
t
r
r
í
íh
h
a


= = =


P
P
H
H
ầ
ầ
N
N2
2


i
i
ê
ê
n
nc
c
h
h
u
uk
k
ỳ
ỳc
c
ủ
ủ
a
a
o
on
n
h
h
i
i
ệ
ệ
t
tđ
đ
ộ
ộ
,
,đ
đ
ộ
ộ
r
r
ê
ê
n
nt
t
r
r
á
á
i
iđ
đ
ấ
ấ
t
t

a
av
v
à
à
o
oc
c
ô
ô
n
n
g
gt
t
h
h
ứ
ứ
c
c

đ
ó
ó:
:o
l

:
:l
l
à
àc
c
h
h
i

oc
c
o
o
n
nl
l
ắ
ắ
c
cở
ở0
0
0
t c
=
à
I
Id
d
â
â
y
yt
t
r
r
e
e
o
oc
c
o
o
n
n


ệ
ệs
s
ố
ốn
n
ở
ởd
d
à
à
I
Iở
ở0
0

:
:X
X
á
á
c
cđ
đ
ị
ị
n
n
h
ht
t
h
h
ờ
ờ
i
i

h
h
ạ
ạ
y
ys
s
a
a
i
it
t
r
r
o
o
n
n
g
gm
m

:
:K
K
h
h
i
iở
ởđ
đ
ộ
ộc
c
a
a
o
ođ
đ
ô
ôc
c
a
a
o
o)
)c
c
ó
óg
g
=
=

đ
đ
ộ
ộk
k
h
h
á
á
c
cn
n
h
h
a
a
u
u(
(
1 2
t t

yđ
đ
ú
ú
n
n
g
gở
ởn
n
h
h
i
i
ệ
ệ
t
tđ

h
u
uk
k
ỳ
ỳT
T
1
1

trần quang thanh-k15-ch-lý-đh-vinh-8-2008
5

0 1
1
(1 . )
2.
l t
T
g


20 2
2
(1 . )
2.
l t
T
g


+
=S
S
u
u
y
yr
r
a
a
4
)
)H
H
a
a
y
y:
:á
á
p
pd
d
ụ
ụ
n
n
g


đ
đ
ú
ú
n
n
g
g:
:v
v
ớ
ớ
i
i0 1

<
t
t
h
h

)
)

t
t
h
h
a
a
y
y(
(
1
1
5
5
)
)v
v
à
à


1 1 2
2
( )
1
2
T t t
T


+H
H
a
a
y
y
1
1
6
6
)
)N
N
H
H
ậ
ậ
N
NX
X
é
é
T
T
:
:


y
yr
r
a
aT
T
1
1
>
>
T
T
2
2

c
c
h
h
u
u

ồ
ồc
c
h
h
ạ
ạ
y
yn
n
h
h
a
a
n
n
h
h
.
.+
+

r
r
a
aT
T
1
1
<
<
T
T
2
2

c
c
h
h
u
uk
k

c
c
h
h
ạ
ạ
y
yc
c
h
h
ậ
ậ
m
m.
.
ê
ê
n
nt
t


ơ
ơ
n
n
g
gđ
đ
ố
ố
i
it
t
r
r

l
l
à
à
:
: T
T
ừ
ừ(
(
1
1

1 2 1 2
2 2
( )
2
T T t t
T
T T



= =
(
(
1
1
7
7
)

in
n
g
g
à
à
y
yđ
đ
ê
ê
m
mđ
đ
ồ
ồ
n
n
g
g


tk
k
h
h
o
o
ả
ả
n
n
g
g

(
(
1
1
8
8
)
)

trần quang thanh-k15-ch-lý-đh-vinh-8-2008
6

T
T
H
H
2
2
:
:

k
k
h

ig
g
#
#c
c
o
o
n
n
s
s
t
t,
,n
n
h
h
i


d
d
à
à
i
i=
=c
c
o
o
n
n
s
s
t
t
)
)
đ
ồ
ồ
n
n
g
gh
h
ồ
ồc
c
h
h
ạ
ạ
y
yđ
đ
ú
ú
n

)
)
T
T
r
r
o
o
n
n
g
gđ
đ
ó
óg
g
0
0
t
t
ự
ựd
d
o
oở
ởg
g
ầ
ầ
n
nm
m
ặ
ặ
k
k
h
h
ố
ố
i
il
l


ợ
ợ
n
n
g
gv
v
à
à
ấ
ấ
t
t.
.l
ll
l
à
àc
c
h
h
i
i
ề
ề
u
u

o
o
n
nl
l
ắ
ắ
c
c
.
.a
a
)
)ở
ởđ
đ
ộ
ộ

ủ
ủ
a
ac
c
o
o
n
nl
l
ắ
ắ
c
c2
.( )
2 . 2 .
.
h
h
l l R h
T

c
ct
t
r
r
ọ
ọ
n
n
g
gt
t
r
r


ờ
ờ
n
n
g
g
=(
(
2
2
1
1
)
)G
G
i
i
a
at
t
ố
ố
c
ct

đ
ộ
ộc
c
a
a
o
oh
h:
:2
.
( )
h
G M
g
R h
=
+

a
ac
c
o
o
i
it
t
r
r
á
á
i
iđ
đ
ấ
ấ
t
t
í
í
n
n
h
hR
R
,
,k
k
h
h
ố
ố
i
il
l


ợ
ợ
c
c
á
á
c
c
h
h

m
m
ặ
ặ
t
tđ
đ
ấ
ấ
t
t
n
n
h
ht
t
ừ
ừm
m
ặ
ặ
t
tđ
đ
ấ
ấ
t
t
.
.
(
(
2
2
1
1
)
)
,
,(
(
2
2
2
2
)
)

S
S
u
u
y
y

u
u
y
yr
r
a
aT
T
0
0
<
<
T
T
h
h t
t
ă
ă
n
n
g
gđ
đ
ồ
ồ
n
n
g
gh
h
ồ
ồc
c

i
i
ế
ế
n
nt
t
h
h
i
i
ê
ê
n
nt
t


ơ
ơ
n
n
g
g

c
c
h
h
u
uk
k
ỳ
ỳ:
:

0
1
h
h h
T T
T h
T T R h


= = <

đ
ê
ê
m
mđ
đ
ồ
ồ
n
n
g
gh
h
ồ
ồc
c
h
h
ạ
ạ
y

n
g
g:
:

O
R
h
trần quang thanh-k15-ch-lý-đh-vinh-8-2008
7

86400. 86400.
h
T h
T R h


= =
+

(
(
2
2
3
3
)
)


(
(
s
s
o
ov
v
ớ
ớ
i
im
m
ặ
ặ
t
tđ
đ
ấ
ấ
t

u
ả
ảl
l
ắ
ắ
c
c:
:

2
'
'
.( ')
2 . 2 .
. '
h
h
l l R h
T
g G M

óg
g
h
h

l
l
à
àg
g
i
i
a
at
t
ố
ố



đ
đ
ộ
ộs
s
â
â
u
uh
h
2
. '
'
( ')
h
G M
g


k
k
h
h
ố
ố
i
il
l


ợ
ợ
n
n
g
gc
c
ủ
ủ
a
a


g
i
i
ớ
ớ
i
ih
h
ạ
ạ
n
nb
b
ở
ở
i
im
m
ặ
ặ
t

n
h
h(
(
R
R
-
-
h
h


)
)

G
G
i
i
a
at

gở
ởm
m
ặ
ặ
t
tđ
đ
ấ
ấ
t
t:
:0
2
.

à
à(
(
2
2
6
6
)
)

s
s
u
u
y
yr
r
a
a (
(
ở
ởđ
đ
â
â
y
yv
v
ì
ìt
t
r
r
á


n
n
ê
ê
n
nk
k
h
h
ố
ố
i
il
l


ợ
ợ
n
n
g
g


t
r
r
ê
ê
n
n
)
)H
H
a
a
y
y'
0
'
h
g
R h
g R

=
(
(
1
1
9
9
)
)c
c
h
h
i
i
a
ac
c
h
h
0
0(
(

v
v
à
àđ
đ
ể
ểý
ýđ
đ
ế
ế
n
n(
(
2
2
7
7

h
h
T g
G M R R h h h
T g G M R h R R R

= = = = <
trần quang thanh-k15-ch-lý-đh-vinh-8-2008
8
(
(D
D
o
oá
á
p
p



g
g
ầ
ầ
n
nđ
đ
ú
ú
n
n
g
g:
:( )
1
2
1 1 1
2



T
2
2C
C
h
h
u
uk
k
ỳ
ỳt
t
ă
ă
n
n
g
gđ

ậ
m
m.
.Đ
Đ
ộ
ộb
b
i
i
ế
ế
n
nt
t
h
h
i

r
o
o
n
n
g
gm
m
ỗ
ỗ
i
ic
c
h
h
u
uk
k
ỳ
ỳ


0 '
' '
'
2
h
h h
T T
T h
T T R


= =

ê
m
mđ
đ
ồ
ồ
n
n
g
gh
h
ồ
ồc
c
h
h
ạ
ạ
y
y



:
:
'
'
86400. 86400.
2
h
T h
T R


= =
C
C
h
h
ú
úý
ý


cg
g
ầ
ầ
n
nđ
đ
ú
ú
n
n
g
gs
s
ử
ửd
d
ụ

v
v
ớ
ớ
i
i0 1

<
t
t
h
h
ì
ì1 1 2
2
1
1
1 2 2


+

h
h
o
o
ặ
ặ
c
c
:
:(
)
1 1
n
n



h
h
o
o
ặ
ặ
c
1 '
1
2 2
1 '


+
+
h
h
o
o
ặ
ặ
c
c:
:'
1 . 1 ' 1
2 2