115
CHƯƠNG 3:
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ
TUYỆT ĐỐI.
A. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1.Đònh nghóa và tính chất:
a. Đònh nghóa :
a nếu a 0
a
a nếu a 0
≥
⎧
=
⎨
−≤
⎩

b. Tính chất :
* a0≥ *aaa−≤≤ *a b a b+≤+ dấu “ =” khi ab 0≥
*a b a b−≤ +
dấu “ =” xảy ra khi
ab 0
≤

2. Phương pháp giải toán:
a. Dạng cơ bản:
AB ABA B=⇔=∨=− cách1
22
AB⇔= cách 2

Giải
Xét dấu x + 2 và x – 1

.
7
x2:(1) 2(x2)2(x1)5x
4
≤
−⇔−+−−=⇔=−
(loại)
. 2x1:(1) 2(x2)2(x1)5 0x65:
−
<< ⇔ + − − =⇔ += vô nghiệm
.
3
x1:(1) 2(x2)2(x1)5 x
4
≥⇔++−=⇔=
(loại)
Vậy phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2:

Giải hệ phương trình:
3x 5y 9 0 (1)
2x y 7 0 (2)
⎧
++=
⎪
⎨
−−=

⎛⎞
==−
⎜⎟
⎝⎠117
Ví dụ 3:
Đònh m để phương trình:
22
2x 10x 8 x 5x m−+−=−+
có 4 nghiệm phân biệt.
Giải
Phương trình cho
22
2x 10x 8 x 5x m⇔− + − − + =
Đặt f(x) =
22
2x 10x 8 x 5x−+−−+
Ta có:
2
2
x 5x 8 với x 1 x 4
f(x)
3x 15x 8 với 1 x 4
⎧
−+ ≤∨≥
⎪
=
⎨

+
+=≠

Giải
Điều kiện: x
≠ 0
(1)
22
x 2m x m m (2)⇔+ +=
Đặt
22 2
txm xtm x t 2mtm=+ ⇒=− ⇒ = − +

118
22 2
(2) t 2mt m 2m t m⇔− + + =
2
2
t0
t0
t0
t4mt
⎡
≥
⎧
⎪
⎢
⎨
=
⎪

.
t0 x m
=
⇒=−

. t 4m x 3m(m 0)
=
⇒= <
Tóm lại:
m < 0: Phương trình có 2 nghiệm: x
1
= 3m ; x
2
= - m
m > 0: một nghiệm x
2
= - m
m = 0: VN (loại vì x = 0)
Ví dụ 5:

Đònh m để phương trình có nghiệm duy nhất:
2
x2mx1x1 (1)+ +=+

Giải
Ta có:
222
x1
(1)
(x 2mx 1) (x 1)

mm1
12m 1
2
−=
⎡
⇔
=∨ >
⎢
−<−
⎣

Thử lại: + với
2
1
m:(3)x2x20
2
=⇔++= VN
+ Vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 0
+ Với m > 1: (3) cho af(-1 ) = - 2m + 2 < 0
⇒ (3) có nghiệm x > -1 ⇒ không có nghiệm duy nhất (loại)
Vậy
1
m
2
=
.

119
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ.
1.1. Giải phương trình:

Hướng dẫn và giải tóm tắt

1.1. Bảng xét dấu :

Xét các trường hợp :
*
2
x:
3
≤
− phương trình cho
23
x
3x 23
5x
9
2x 4 9
x2
⎧
=−
−
⎪
⇔=⇔ ⇔=−
⎨
−−
⎪
≠−
⎩

thỏa

2
x0
3
−<≤
.
*
3
0x :
2
<
≤ phương trình cho
33x 3
5x
4x 23
−
⇔=⇔= thỏa điều kiện
3
0x
2
<
≤ .
*
3
x:
2
> phương trình cho
3
x
3x
19

2(x k) (x 1)
(x 1) 2x k(1)
2(x k) (x 1)
⎡
−=−
−= − ⇔
⎢
⎢
−=−−
⎣

2
2
x4x2k10 (2)
x2k1 (3)
⎡
−++=
⇔
⎢
⎢
=−
⎣

Để phương trình có nghiệm phân biệt ⇔ Điều kiện là phương trình (2),
(3), mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt và chúng không có
nghiệm chung.
Nhận xét nếu (2) và (3) có nghiệm chung thì nghiệm chung phải là
nghiệm của hệ phương trình :
2
2
1.3.
22
2x 3x 2 5a 8x 2x−−=−−
22
2x 8x 2x 3x 2 5a⇔++−−=

Đặt
2
22
1
4x 5x 2 nếu x x 2
2
f(x) 2x 8x 2x 3x 2
1
11x + 2 nếu - x 2
2
⎧
+− ≤−∨≥
⎪
⎪
=++ −−=
⎨
⎪
<<
⎪
⎩

1

x2xmx3xm1
−
+=+−−
(*)
(*)
2
222 2
x3xm10
(x 2x m) (x 3x m 1)
⎧
+−−≥
⎪
⇔
⎨
−+ = +−−
⎪
⎩

2
2
x3xm10
5x 2m 1 2x x 1 0
⎧
+−−≥
⎪
⇔
⎨
=
+∨ + −=
⎪

5
4
f( 1) 0 m 3 m R
3
1
m
f0
4
2
⎡
+
⎛⎞
⎡
≥
≤− ∨ ≥
⎢
⎜⎟
⎢
⎝⎠
⎢
⎢
⎢
⇔−≥ ⇔ ≤− ⇔∈
⎢
⎢
⎢
⎛⎞
⎢
⎢
≤

3x 3mx 4 0 (2)
⎡
−+ + =
⇔
⎢
⎢
−+=
⎣


Để phương trình cho có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (1) có 2 nghiệm phân
biệt, (2) có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm phân biệt của (1) và (2)
khác nhau.
(1) có :
2
112
(m 2) 0 m 2 :x m,x 2∆= − > ⇔ ≠ = =
(2) có :
2
2
43 43
9m 48 0
mm
33
g(m) 0
8
g(2) 0
m
3
⎧