S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O KỲ THI TUY N SINH L P 10 THPTỞ Ụ Ạ Ể Ớ
QU NG NAMẢ NĂM H C 2009-2010Ọ
Môn thi TOÁN ( chung cho t t c các thí sinh)ấ ả
Th i gian 120 phút (không k th i gian giao đ )ờ ể ờ ề
Bài 1 (2.0 đi m )ể
1. Tìm x đ m i bi u th c sau có nghĩa ể ỗ ể ứ
a)
x
b)
1
1x −
2. Tr c căn th c m uụ ứ ở ẫ
a)
3
2
b)
1
3 1−
3. Gi i h ph ng trình : ả ệ ươ
1 0
3
x
x y
− =


+ =

Bài 2 (3.0 đi m )ể
Cho hàm s y = xố
2

c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tính chu vi c a hình tròn (O).ủ
d) Cho góc BCD b ng α . Trên m t ph ng b BC không ch a đi m A , v tamằ ặ ẳ ờ ứ ể ẽ
giác MBC cân t i M .Tính góc MBC theo α đ M thu c đ ng tròn (O).ạ ể ộ ườ
======H t======ế
1
Đ CHÍNH TH CỀ Ứ
H và tên : ọ S báo danhố
H ng d n: ướ ẫ
Bài 1 (2.0 đi m )ể
1. Tìm x đ m i bi u th c sau có nghĩa ể ỗ ể ứ
a)
0x 
b)
1 0 1x x −�
2. Tr c căn th c m uụ ứ ở ẫ
a)
3 3. 2 3 2
2
2 2. 2
= =
b)
( )
( ) ( )
1. 3 1
1 3 1 3 1
3 1 2
3 1
3 1 3 1
+
+ +

) , B( x
2
; y
2
) c a hàm s y = xủ ố
2
có đ th (P)ồ ị
và y = x + 2 có đ th (d)ồ ị
Vi t ph ng trình hoành đ đi m chung c a (P) và (d)ế ươ ộ ể ủ
x
2
= x + 2  x
2
– x – 2 = 0
( a = 1 , b = – 1 , c = – 2 ) có a – b + c = 1 – ( – 1 ) – 2 = 0
1
1x = −�
;
2
2
2
1
c
x
a
−
= − = − =
thay x
1
= -1

B
K
C
H
Cách 1 : S
OAB
= S
CBH
- S
OAC
=
1
2
(OC.BH - OC.AK)= =
1
2
(8 - 2)= 3đvdt
Cách 2 : Ct đ ng th ng OA và đ ng th ng AB vuông góc ỏ ườ ẳ ườ ẳ
OA
2 2 2 2
1 1 2AK OK= + = + =
; BC =
2 2 2 2
4 4 4 2BH CH+ = + =
;
AB = BC – AC = BC – OA =
3 2

(ΔOAC cân do AK là đ ng cao đ ng th i trung tuy n ườ ồ ờ ế


đ t giá tr nh nh t.ạ ị ỏ ấ
Cho ph ng trình xươ
2
– 2mx + m
2
– m + 3
( a = 1 ; b = - 2m => b’ = - m ; c = m
2
- m + 3 )
Δ’ = = m
2
- 1. ( m
2
- m + 3 ) = m
2
- m
2
+ m - 3 = m – 3 ,do pt có hai nghi m xệ
1
; x
2
(v iớ
m là tham s ) Δ’ ≥ 0 ố

m ≥ 3 theo viét ta có:
x
1
+ x
2
= = 2m

2
- m + 3 )=2(m
2
+ m - 3 )
=2(m
2
+ 2m
1
2
+
1
4
-
1
4
-
12
4
) =2[(m +
1
2
)
2
-
13
4
]=2(m +
1
2
)

2
≥
49
2


2(m +
1
2
)
2
-
13
2
≥
49
2
-
13
2
= 18
V y GTNN c a xậ ủ
1
2

+ x
2
2
là 18 khi m = 3
Bài 4 (4.0 đi m )ể

ﾷ
A chung
; AC
⊥
BD t i K ,AC c t cung BD t i A suy ra A là đi m chính gi aạ ắ ạ ể ữ
cung BAD , hay cung AB b ng cung ADằ

ﾷ
ﾷ
ADB AED=
(ch n hai cung b ngắ ằ
nhau) .V y ΔADH = ΔAED (g-g) ậ


2
.
AD AE
AD AH AE
AH AD
= =�
c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tính chu vi c a hình tròn (O).ủ
BK=KD=BD:2 = 24:2 = 12 (cm) ( cm câu a ) ; BC =20cm
* ΔBKC vuông t i A có : KC = ạ
2 2 2 2
20 12 400 144 256BC BK− = − = − =
=16
*
ﾷ
0
ABC 90=

α
=
T giác MBDC n i ti p thìứ ộ ế
ﾷ
ﾷ ﾷ
ﾷ
0 0 0 0
0 0 0
( )
2 2 2
BDC BMC 180 BMC 180 BDC 180 90 180 90 90+ = − = − − = − + = +�
α α α
=
* Trong tr ng h p M’ thu c cung l n BC ườ ợ ộ ớ
ΔMBC cân t i M có MM’ là đ ng trung tr c nên MM’ là phân giác góc BMCạ ườ ự


ﾷ
ﾷ
0 0
) :2 45
2 4
BMM' BMC (90= + = +
α α
=


sđ
ﾷ
0

2 90 2 90 180 0 60+ <���
α α
α < α − < α < α<
suy ra
t n t i hai đi m là M thu c cung nh BC (đã tính trên )và M’ thu c cung l n BCồ ạ ể ộ ỏ ở ộ ớ
.
T giác BDM’C n i ti p thì ứ ộ ế
ﾷ
ﾷ
0
2
BDC BM'C 90= = −
α
(cùng ch n cung BC nh )ắ ỏ
+ Xét
ﾷ
ﾷ
BD BM'=

0 0 0 0
3
2 2
2 90 2 90 180 60+ =� ��
α α
α = α− α = α =
thì M’≡ D
không th a mãn đi u ki n đ bài nên không có M’ ( ch có đi m M tmđk đ bài)ỏ ề ệ ề ỉ ể ề
+ Xét
ﾷ
ﾷ

Gi i các ph ng trình sauả ươ
1) 2(x + 1) = 4 – x

2x + 2 = 4 - x

2x + x = 4 - 2

3x = 2

x =
2) x
2
– 3x + 2 = 0. (a = 1 ; b = - 3 ; c = 2)
Ta có a + b + c = 1 - 3 + 2 = 0 .Suy ra x
1
= 1 và x
2
= = 2
Bài 2: (2,0 đi m)ể
1.Ta có a, b là nghi m c a h ph ng trình ệ ủ ệ ươ
5 = -2a + b
-4 = a + b





-3a = 9
-4 = a + b


V n t c ơ tơ là x + 20 (km/h)ậ ố
Th i gian xe máy đi đ n Phù Cátờ ế : (h)
Th i gian ơ tơ đi đ n Phù Cátờ ế : (h)
Vì xe máy đi tr c ơ tơ 75 phút = (h) nên ta có ph ng trìnhướ ươ :
- =
Gi i ph ng trình trên ta đ c xả ươ ượ
1
= - 60 (lo i)ạ ; x
2
= 40 (nhận).
V y v n t c xe máy là 40(km/h), v n t c c a ơ tơ là 40 + 20 = 60(km/h)ậ ậ ố ậ ố ủ
6
Bài 4 : a) Ch ng minh ứ
∆
ABD cân
Xét
∆
ABD có BC
⊥
DA (Do
ﾷ
ACB
= 90
0
: Góc n i ti p ch n n a đ ng tròn (O)ộ ế ắ ử ườ

)

M t khác : CA = CD (gt) . BC v a là đ ng cao v a là trung tuy n nên ặ ừ ườ ừ ế
∆

k
Ta có: S
m+n
= (
2
+ 1)
m + n
+ (
2
- 1)
m + n
S
m- n
= (
2
+ 1)
m - n
+ (
2
- 1)
m - n
Suy ra S
m+n
+ S
m- n
= (
2
+ 1)
m + n
+ (

2
- 1)
m+n
+ (
2
+ 1)
m
. (
2
- 1)
n
+ (
2
- 1)
m
. (
2
+ 1)
n
(2)
Mà (
2
+ 1)
m - n
+ (
2
- 1)
m - n
=
m

m
.S
n
v i m i m, n là s ngun d ng và m > n.ớ ọ ố ươ
7
2
1
3
4
E
O
B
D
F
A
C

H NG D N GI I Đ THI TUY N SINH L P 10 THPT ƯỚ Ẩ Ả Ề Ể Ớ
T NH QU NG TRỈ Ả Ị
MÔN: TOÁN
Ngày thi: 07/07/2009
Câu 1 (2,0 đi m)ể
1. Rút g n các bi u th c sau:ọ ể ứ
a)
33343332342712 =+−=+−
.
b)
( )
.1255152515251
2

y
x
xy
x
V y to đ giao đi m c a đ ng th ng (d) v i tr c Oy làậ ạ ộ ể ủ ườ ẳ ớ ụ
A(0 ; 4).
- To đ giao đi m c a đ ng th ng (d) v i tr c Ox là nghi m c a hạ ộ ể ủ ườ ẳ ớ ụ ệ ủ ệ :
.
2
0
42
0



=
=
⇔



+−=
=
x
y
xy
y
V y to đ giao đi m c a đ ng th ng (d) v i tr c Ox làậ ạ ộ ể ủ ườ ẳ ớ ụ
B(2 ; 0).
b) Tìm trên (d) đi m có hoành đ b ng tung đ .ể ộ ằ ộ

’ =
( )
[ ]
)32(1
2
−−−− mm
= m
2
-2m+1-2m+3
= m
2
-4m+4 = (m-2)
2

≥
0 v iớ m i m.ọ
 Ph ng trình (1) luôn luôn có nghiươ mệ v iớ m i giá tr c a m.ọ ị ủ
b) Ph ng trình (1) có hai nghi m trái d u khi và ch khiươ ệ ấ ỉ a.c < 0
<=> 2m-3 < 0
<=> m <
2
3
.
8
V yậ : v i m < ớ
2
3
thì ph ng trình (1) có hai nghiươ mệ trái d uấ .
Câu 4 (1,5 đi m)ể
M t m nh v n hình ch nh t có di n tích là 720mộ ả ườ ử ậ ệ

a
V y chi u r ng c a m nh v n là 24m.ậ ề ộ ủ ả ườ
chi u dài c a m nh v n là 30m.ề ủ ả ườ
Câu 5 (3,5 đi m)ể
Cho đi m A n m ngoài đ ng tròn tâm O bán kính R. T A k đ ng th ng (d) khôngể ằ ườ ừ ẻ ườ ẳ
đi qua tâm O, c t (O) t i B và C ( B n m gi a A và C). Các ti p tuy n v i đ ng tròn (O)ắ ạ ằ ữ ế ế ớ ườ
t i B và C c t nhau t i D. T D k DH vuông góc v i AO (H n m trên AO), DH c t cungạ ắ ạ ừ ẻ ớ ằ ắ
nh BC t i M. G i I là giao đi m c a DO và BC.ỏ ạ ọ ể ủ
1. Ch ng minh OHDC là t giác n i ti p.ứ ứ ộ ế
2. Ch ng minh OH.OA = OI.OD.ứ
3. Ch ng minh AM là ti p tuy n c a đ ng tròn (O).ứ ế ế ủ ườ
4. Cho OA = 2R. Tính theo R di n tích c a ph n tam giác OAM n m ngoàiệ ủ ầ ằ
đ ng tròn (O).ườ

9
K
I
M
H
D
C
B
O
A
Ch ng minh:ứ
a) C/m: OHDC n i ti p.ộ ế
Ta có: DH vuông goc v i AO (gt). => ớ
∠
OHD = 90
0

ODOIOAOH
OA
OD
OI
OH
== >=
(1) (đpcm).
c) Xét
∆
OCD vuông t i C có CI là đ ng caoạ ườ
áp d ng h th c l ng trong tam giác vuông, ụ ệ ứ ượ
ta có: OC
2
= OI.OD mà OC = OM (=R) (2).
T (1) và (2)ừ : OM
2
= OH.OA

OM
OA
OH
OM
=⇒
.
Xét 2 tam giác :
∆
OHM và
∆
OMA có :


∆
OAM vuông t i M có OM = Rạ ; OA = 2.OK = 2R
=>
∆
OMK là tam giác đ u.ề
=> MH = R.
2
3
và
∠
AOM = 60
0
.
=> S
∆
AOM
=
.
2
3
.
2
3
2.
2
1
.
2
1
2

2
Π−
=
Π
− R
R
R
(đvdt).
11
S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O KỲ THI TUY N SINH VÀO L P 10 THPTỞ Ụ Ạ Ể Ớ
THANH HÓA NĂM H C 2009-2010Ọ
Môn thi : Toán
Ngày thi: 30 tháng 6 năm 2009
Th i gian làm bài: 120 phútờ
Bài 1 (1,5 đi m)ể
Cho ph ng trình: xươ
2
– 4x + n = 0 (1) v i n là tham s .ớ ố
1.Gi i ph ng trình (1) khi n = 3.ả ươ
2. Tìm n đ ph ng trình (1) có nghi m.ể ươ ệ
Bài 2 (1,5 đi m)ể
Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
2 5
2 7
x y
x y
+ =


+ =

=
Tính đ dài các đo n th ng AC và BD theo R và ộ ạ ẳ α. Ch ng t r ngứ ỏ ằ
tích AC.BD ch ph thu c R, không ph thu c ỉ ụ ộ ụ ộ α.
Bài 5 (1,0 đi m)ể
Cho s th c m, n, p th a mãn : ố ự ỏ
2
2 2
3
1
2
m
n np p+ + = −
.
Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a bi u th c : B = m + n + p.ị ớ ấ ỏ ấ ủ ể ứ
……………………………. H t …………………………….ế
H tên thí sinh: ………………………………… S báo danh: ……………ọ ố
Ch ký c a giám th s 1: Ch ký c a giám th s 2:ữ ủ ị ố ữ ủ ị ố
12
Đ chính th cề ứ
Đ Bề
ĐÁP ÁN
Bài 1 (1,5 đi m)ể
Cho ph ng trình: xươ
2
– 4x + n = 0 (1) v i n là tham s .ớ ố
1.Gi i ph ng trình (1) khi n = 3.ả ươ
x
2
– 4x + 3 = 0 Pt có nghi m xệ
1

1. Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) đi qua đi m B(0;1) và có h s k.ế ươ ườ ẳ ể ệ ố
y = kx + 1
2. Ch ng minh r ng đ ng th ng (d) luôn c t Parabol (P) t i hai đi m phân bi t Eứ ằ ườ ẳ ắ ạ ể ệ
và F v i m i k.ớ ọ
Ph ng trình hoành đ : xươ ộ
2
– kx – 1 = 0
∆ = k
2
+ 4 > 0 v i ớ ∀ k ⇒ PT có hai nghi m phân bi t ệ ệ ⇒ đ ng th ng (d)ườ ẳ
luôn c t Parabol (P) t i hai đi m phân bi t E và F v i m i k.ắ ạ ể ệ ớ ọ
3. G i hoành đ c a E và F l n l t là xọ ộ ủ ầ ượ
1
và x
2
. Ch ng minh r ng xứ ằ
1
.
x
2
= -1, t đóừ
suy ra tam giác EOF là tam giác vuông.
T a đ đi m E(xọ ộ ể
1
; x
1
2
); F((x
2
; x

.
Bài 5 (1,0 đi m)ể
2
2 2
3
1
2
m
n np p+ + = −
(1)
⇔ … ⇔ ( m + n + p )
2
+ (m – p)
2
+ (n – p)
2
= 2
⇔ (m – p)
2
+ (n – p)
2
= 2 - ( m + n + p )
2
⇔ (m – p)
2
+ (n – p)
2
= 2 – B
2
v trái không âm ế ⇒ 2 – B

(Đ có 01 trang)ề
Câu 1 (3,0 đi m).ể
a) Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
1 1 9
2
1 5
2
x y
x y
xy
xy

+ + + =




+ =


b) Gi i và bi n lu n ph ng trình: ả ệ ậ ươ
| 3| | 2| 5x p x+ + − =
(p là tham s có giá tr th c).ố ị ự
Câu 2 (1,5 đi m).ể
Cho ba s th c ố ự
, ,a b c
đôi m t phân bi t. Ch ng minh ộ ệ ứ
2 2 2
2 2 2
2

C
+
=
là m t s nguyên.ộ ố
Câu 4 (3,0 đi m).ể Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB<CD). G i K, M l n l t làọ ầ ượ
trung đi m c a BD, AC. Đ ng th ng qua K và vuông góc v i AD c t đ ng th ngể ủ ườ ẳ ớ ắ ườ ẳ
qua M và vuông góc v i BC t i Q. Ch ng minh:ớ ạ ứ
a) KM // AB.
b) QD = QC.
Câu 5 (1,0 đi m).ể Trong m t ph ng cho 2009 đi m, sao cho 3 đi m b t kỳ trong chúngặ ẳ ể ể ấ
là 3 đ nh c a m t tam giác có di n tích không l n h n 1. Ch ng minh r ng t t cỉ ủ ộ ệ ớ ơ ứ ằ ấ ả
nh ng đi m đã cho n m trong m t tam giác có di n tích không l n h n 4.ữ ể ằ ộ ệ ớ ơ
—H t—ế
Cán b coi thi không gi i thích gì thêmộ ả
H tên thí sinh SBD ọ
15
Đ CHÍNH TH CỀ Ứ
S GD&ĐT VĨNHỞ
PHÚC
——————
KỲ THI TUY N SINH L P 10 THPT CHUYÊN NĂM H CỂ Ớ Ọ
2009-2010
H NG D N CH M MÔN: TOÁNƯỚ Ẫ Ấ
Dành cho l p chuyên Toán.ớ
—————————
Câu 1 (3,0 đi m).ể
a) 1,75 đi m:ể
N i dung trình bàyộ Đi mể
Đi u ki n ề ệ
0xy 

3
2
2
1
x
y
x y
xy
x
y
=�



=
+ =






=
=




=




� �






=
=







=


0,25
V y h đã cho có 4 nghi m là: ậ ệ ệ
( ; ) (1; 2), (2; 1), (1; 1/ 2), (1/ 2; 1)x y =
0,25
b) 1,25 đi m:ể
N i dung trình bàyộ Đi mể
Xét 3 tr ng h p:ườ ợ
TH1. N u ế
2 x

N u ế
1p = −
thì (1) cho ta vô s nghi m tho mãn ố ệ ả
2 x
; (2) vô nghi m; (3) vô nghi m.ệ ệ 0,25
N u ế
1p =
thì (2) cho ta vô s nghi m tho mãn ố ệ ả
3 2x−  <
; (1) có nghi m x=2; (3)VNệ 0,25
K t lu n:ế ậ
+ N u -1 < p < 1 thì ph ng trình có 2 nghi m: x = 2 và ế ươ ệ
2( 4)
1
p
x
p
−
=
+
0,25
16
+ N u p = -1 thì ph ng trình có vô s nghi m ế ươ ố ệ
2 x  ﾷ
+ N u p = 1 thì ph ng trính có vô s nghi m ế ươ ố ệ
3 2x
−  
+ N u ế
1
1

� �
� �

0,5
Câu 3 (1,5 đi m):ể
N i dung trình bàyộ Đi mể
Đi u ki n xác đ nh: xề ệ ị

1 (do x nguyên). 0,25
D th y ễ ấ
1 2( 1)
;
| 2 1| | 1|
x
A B
x x
−
= =
+ −
, suy ra:
2 1 1
3 | 2 1| | 1|
x
C
x x
� �
−
= +
� �
+ −

x− < <
. Khi đó:
0x =
(vì x nguyên) và
0C =
. V y ậ
0x =
là m t giá tr c n tìm.ộ ị ầ 0,25
N u ế
1
2
x < −
. Khi đó
1x  −
(do x nguyên). Ta có:
2 1 4( 1)
1 0
3 2 1 3(2 1)
x
C
x x
+
� �
= − − = − 
� �
+ +
� �
và
4( 1) 2 1
1 1 0

ABD BDC=
0,25
KB = KD (K là trung đi m BD)ể 0,25
ﾷ
ﾷ
IKB EKD=
0,25
Suy ra
KIB KED IK KE
∆ = ∆ =�
. 0,25
Ch ng minh t ng t có: ứ ươ ự
MIA MRC∆ = ∆
0,25
Suy ra: MI = MR 0,25
Trong tam giác IER có IK = KE và MI = 0,25
17
A
I
B
K
M
D
E
H
R
C
Q
MR nên KM là đ ng trung bình ườ


0,25
H ạ
QH CD⊥
suy ra QH là trung tr c th ba c a ự ứ ủ
IER∆
hay Q n m trên trung tr c c aằ ự ủ
đo n CD ạ

Q cách đ u C và D hay QD=QC (đpcm).ề
0,25
Câu 5 (1,0 đi m):ể
N i dung trình bàyộ Đi mể
A'
B'
C'
A
B
C
P
P'
Trong s các tam giác t o thành, xét tam giác ố ạ ABC có di n tích l n nh t (di n tích ệ ớ ấ ệ S). Khi
đó
1S

.
0.25
Qua m i đ nh c a tam giác, k các đ ng th ng song song v i c nh đ i di n, cácỗ ỉ ủ ẻ ườ ẳ ớ ạ ố ệ
đ ng th ng này gi i h n t o thành m t tam giác ườ ẳ ớ ạ ạ ộ
' ' 'A B C
(hình v ). Khi đóẽ

M t s l u ý:ộ ố ư
-Trên đây ch trình tóm t t m t cách gi i v i nh ng ý b t bu c ph i có. Trong quáỉ ắ ộ ả ớ ữ ắ ộ ả
trình ch m, n u h c sinh gi i theo cách khác và đ ý thì v n cho đi m t i đa.ấ ế ọ ả ủ ẫ ể ố
-Trong quá trình gi i bài c a h c sinh n u b c trên sai, các b c sau có s d ngả ủ ọ ế ướ ướ ử ụ
k t qu ph n sai đó n u có đúng thì v n không cho đi m.ế ả ầ ế ẫ ể
18
-Bài hình h c, n u h c sinh không v hình ph n nào thì không cho đi m t ng ngọ ế ọ ẽ ầ ể ươ ứ
v i ph n đó.ớ ầ
-Nh ng ph n đi m t 0,5 tr lên, t ch m có th th ng nh t chia t i 0,25 đi m.ữ ầ ể ừ ở ổ ấ ể ố ấ ớ ể
-Đi m toàn bài tính đ n 0,25 đi m.ể ế ể
—H t—ế
19
Đ THI CHUYÊN TOÁN QU C H C HU NĂM 2009-2010Ề Ố Ọ Ế
Th i gian: 150 phútờ
(Không k th i gian giao đ )ể ờ ề

Bài 1: Cho ph ng trình: ươ
a) Tìm m đ pt trên có 2 nghi m phân bi tể ệ ệ
b) Tìm min c aủ
Bài 2:
a) Cho pt có 2 nghi m d ng phân bi t. CMR ph ng trìnhệ ươ ệ ươ
cũng có 2 nghi m d ng phân bi t.ệ ươ ệ
b) Gi i pt:ả
c) CMR có duy nh t b s th c (x;y;z) thoã mãn:ấ ộ ố ự
Bài 3: Cho góc xOy có s đo là 60 đ . (K) n m trong góc xOy ti p xúc v i tia Ox t i M vàố ộ ằ ế ớ ạ
ti p xúc v i Oy t i N. Trên tia Ox l y P sao cho OP=3. OM.ế ớ ạ ấ
Ti p tuy n c a (K) qua P c t Oy t i Q khác O. Đ ng th ng PK c t MN t i E. QK c tế ế ủ ắ ạ ườ ẳ ắ ạ ắ
MN F.ở
a) CMR: Tam giác MPE đ ng d ng tam giác KPQồ ạ
b) CMR: PQEF n i ti pộ ế

2,Cho các s th c x, y thõa mãn x ≥ 8y > 0,Hãy tìm giá tr nh nh t c a bi u th c :ố ự ị ỏ ấ ủ ể ứ
( )
1
P x
y x 8y
= +
−
Câu 3 :
Cho 2 đ ng tròn (Oườ
1
; R
1
) và (O
2
; R
2
) c t nhau t i hai đi m I, P.Cho bi t Rắ ạ ể ế
1
< R
2
và O
1
,
O
2
khác phía đ i v i đ ng th ng IP. K 2 đ ng kính IE,IF t ng ng c a (Oố ớ ườ ẳ ẻ ườ ươ ứ ủ
1
; R
1
) và

a) Tìm m đ ph ng trình xể ươ
2
+ (4m + 1)x + 2(m – 4) = 0 có hai nghi m xệ
1
, x
2
tho |xả
1
– x
2
|
= 17.
b) Tìm m đ h b t ph ng trình ể ệ ấ ươ
2x m 1
mx 1
 −




có m t nghi m duy nh t.ộ ệ ấ
Câu 2(4 đi m):ể Thu g n các bi u th c sau:ọ ể ứ
a) S =
a b c
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
+ +
− − − − − −
(a, b, c khác nhau đôi m t)ộ
b) P =
x 2 x 1 x 2 x 1

3
+ y
3
cũng
là các s nguyên.ố
Câu 5 (3 đi m):ể Cho đ ng tròn (O) đ ng kính AB. T m t đi m C thu c đ ng trònườ ườ ừ ộ ể ộ ườ
(O) k CH vuông góc v i AB (C khác A và B; H thu c AB). Đ ng tròn tâm C bán kínhẻ ớ ộ ườ
CH c t đ ng tròn (O) t i D và E. Ch ng minh DE đi qua trung đi m c a CH.ắ ườ ạ ứ ể ủ
Câu 6 (3 đi m):ể Cho tam giac ABC đ u có c nh b ng 1. Trên c nh AC l y các đi m D, É ề ạ ằ ạ ấ ể
sao cho ∠ ABD = ∠ CBE = 20
0
. G i M là trung đi m c a BE và N là đi m trên c nh BCọ ể ủ ể ạ
sao BN = BM. Tính t ng diên tich hai tam giac BCE và tam giac BEN. ổ ̣ ́ ́ ́
22
Câu 7 (2 đi m):ể Cho a, b là hai s th c sao cho aố ự
3
+ b
3
= 2. Ch ng minh 0 < a + b ≤ 2.ứ
oOo
G i ý gi i đ thi môn toán chuyênợ ả ề
Câu 1:
a) ∆ = (4m + 1)
2
– 8(m – 4) = 16m
2
+ 33 > 0 v i m i m nên ph ng trình luôn có haiớ ọ ươ
nghi m phân bi t xệ ệ
1
, x

 −




.
Ta có: (a) ⇔ x ≥
m 1
2
−
.
Xét (b): * m > 0: (b) ⇔ x ≥
1
m
.
* m = 0: (b) ⇔ 0x ≥ 1 (VN)
* m < 0: (b) ⇔ x ≤
1
m
.
V y h có nghi m duy nh t ậ ệ ệ ấ ⇔
m 0
1 m 1
m 2
<



−
=

− − −
= 0.
b) P =
x 2 x 1 x 2 x 1
x 2x 1 x 2x 1
+ − + − −
+ − − − −
(x ≥ 2)
=
2 2
2 ( x 1 1) ( x 1 1)
2x 2 2x 1 2x 2 2x 1
� �
− + + − −
� �
� �
+ − − − −
=
2 2
2 x 1 1 x 1 1
( 2x 1 1) ( 2x 1 1)
� �
− + + − −
� �
− + − − −
23
=
2 x 1 1 x 1 1
2x 1 1 2x 1 1
� �

= (b – k)
2
+ b
2
+ c
2
+ (c + k)
2

= 2b
2
+ 2c
2
+ 2k
2
– 2bk + 2ck
= b
2
+ 2bc + c
2
+ b
2
+ c
2
+ k
2
– 2bc – 2bk + 2ck + k
2
= (b + c)
2

nên
5(–x
1
– x
2
) + x
1
x
2
= 22
⇔ x
1
(x
2
– 5) – 5(x
2
– 5) = 47
⇔ (x
1
– 5)(x
2
– 5) = 47 (*)
Ta có: –4 ≤ x
1
– 5 ≤ x
2
– 5 nên
(*) ⇔
1
2

3
+ xy(x + y) (1)
x
2
+ y
2
= (x + y)
2
– 2xy (2)
x
4
+ y
4
= (x
2
+ y
2
)
2
– 2x
2
y
2
(3)
Vì x + y, x
2
+ y
2
là s nguyên nên t (2) ố ừ ⇒ 2xy là số
nguyên.

O
C
C'
H
D
E
J
K
Câu 5: Ta có: OC ⊥ DE (tính ch t đ ng n i tâmấ ườ ố
⇒ ∆ CKJ và ∆ COH đ ng d ng (g–g) ồ ạ
⇒ CK.CH = CJ.CO (1)
⇒ 2CK.CH = CJ.2CO = CJ.CC'
mà ∆ CEC' vuông t i E có EJ là đ ng caoạ ườ
⇒ CJ.CC' = CE
2
= CH
2
⇒ 2CK.CH = CH
2
⇒ 2CK = CH
⇒ K là trung đi m c a CH.ể ủ
Câu 6: K BI ẻ ⊥ AC ⇒ I là trung đi m AC. ể
Ta có: ∠ ABD = ∠ CBE = 20
0
⇒ ∠ DBE = 20
0
(1)
∆ ADB = ∆ CEB (g–c–g)
⇒ BD = BE ⇒ ∆ BDE cân t i B ạ ⇒ I là trung đi mể
DE.

V y Sậ
BCE
+ S
BNE
= S
BCE
+ S
BIE
= S
BIC
=
1 3
2 8
ABC
S =
.
Câu 7: Cho a, b là hai s th c sao cho aố ự
3
+ b
3
= 2. Ch ng minh 0 < a + b ≤ 2.ứ
Ta có: a
3
+ b
3
> 0 ⇒ a
3
> –b
3
⇒ a > – b ⇒ a + b > 0 (1)

oOo
25
A
B
C
D
E
M
N
I