Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 1

I> Chứng minh 3 định luật Kepler (trong thông tin vệ tinh):
1.1 Phát biểu 3 định luật Kepler
a) Định luật 1
Các vệ tinh chuyển động quanh Trái Đất quỹ đạo elip với Trái Đất là một
tiêu điểm.
b) Định luật 2
Đường nối vệ tinh với Trái Đất quét những diện tích bằng nhau trong những
khoảng thời gian bằng nhau.
c) Định luật 3
Bình phương chu kỳ quỹ đạo của một vệ tinh tỷ lệ với lập phương bán kính
trục lớn của quỹ đạo elip của vệ tinh đó.

Hình 1. Minh họa 3 định luật Kepler.
Đối với quỹ đạo hai vệ tinh theo các quỹ đạo là hình elip, với tiêu điểm ƒ
1
và ƒ
2

cho vệ tinh thứ nhất VT1 và ƒ
1
và ƒ
3
cho vệ tinh thứ hai VT2. Trái Đất nằm tại tiêu điểm

rất xa không đáng kể).
+ Mặt phẳng quỹ đạo của vệ tinh là không thay đổi.
 Momen lực của Trái Đất tác dụng lên vệ tinh bằng 0. (
.M F r
)
 Momen động lượng của vệ tinh được bảo toàn. L = const.
+ Xét trong hệ quy chiếu mà Trái Đất là đứng yên và vệ tinh
dịch chuyển xung quanh với vận tốc là
v
với khoảng cách là r.

- Xét trong hệ tọa độ cực với Trái Đất là gốc tọa độ như hình vẽ : Hình 2: Gắn hệ tọa độ và minh họa vị trí tương đối của vệ tinh và TĐ

- Xét vệ tinh trong hệ tọa độ đó ta có:
+ Theo định luật vạn vật hấp dẫn của Newton lực hấp dẫn giữa Trái Đất
và vệ tinh là
.F
: - đặt lên vệ tinh và hướng vào tâm Trái Đất
Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 3

- có độ lớn
2
GMm
F
r



2
GMm mv
r

   


Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 4 và
.
. . .
2 2 2
22
( ) 2 ( ) 2 ( )
EE
r GMu r r GMu r
mm

      

+ Momen động lượng của vệ tinh được tính theo công thức:

2
d
L mr
dt




   
  
và
22
.
2
2
2
E L u
r GMu
mm
  


2 2 2
2
2 2 2
1
2 2 2
2
L
du du
E L u Em GMm u
m GMu u
m m L L

   
   


2
11
EL
Ep
mm
GMm G M




   

Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 5


22
1 1 1
1
arccos arccos
1
u
p r p
du
u
pp
pp



   

1
của elip trùng với gốc tọa
độ
- Trục lớn của elip thỏa mãn
0


, bán kính trục lớn: a, trục
nhỏ: b.
- Gọi
2 2 2 2 2
c a b b a c    
và
c
a


là độ lệch
tâm của elip và
2
b
p
a

là bán kính trục chuẩn của elip

Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 6 Hình 4: Minh họa các thông số của hình elip

1 os
r r c c r a
r c c r a r
r c c r a r
r cr c c r ar a
r c c a a c
r c c a b
b
r
c
ac
a







   
    
    
     
   
  
 





mm
GMm G M




   1.2.2 Chứng minh định luật kepler 2
- Giả thuyết :
+ Vệ tinh chuyển động theo quỹ đạo là elip phẳng như chứng minh ở
định luật 1.
+ Vùng quét của đường nối tâm Trái Đất với vệ tinh trong khoảng thời
gian Δt như hình vẽ (vùng màu xanh da trời).
Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 8
Hình 5: Mô tả định luật Kepler 2

- Chứng minh bằng định luật bảo toàn momen động lượng:
Xét trong khoảng thời gian dt rất nhỏ thì:
Quãng đường của vệ tinh đi được Δs rất bé so với khoảng
cách từ nó đên tâm Trái Đất r => ds có thể coi là thẳng và
khoảng cách r coi như không đổi.
Giả sử góc mà đường nối tâm quét được là Δθ rất nhỏ =>
vùng quét sẽ là một tam giác đều cạnh r và góc xen giữa là dθ.
 Diện tích vùng quét trong khoảng thời gian dt là :
2

dt m

hay trong các khoảng thời gian như nhau thì diện
tích S là như nhau.

- Chứng minh bằng phương pháp hình học của Newton

Hình 6 : Hai vùng “quét” được của vệ tinh sau 2 khoảng Δt liên tiếp nhau

Xét trong sau các khoảng Δt như nhau và rất bé.
Ban đầu vệ tinh có vị trí M, vận tốc
v
như hình vẽ. xét trong khoảng thời
gian Δt, nên coi như lúc này lực hấp dẫn chưa tác động lên hướng chuyển
động của vệ tinh. Nó đi đến M
1
và khoảng cách MM
1
= Δs.
Khi đến vị trí mới M
1
lực hấp dẫn tại đây thay đổi => nó sẽ chuyến động
theo phương vận tốc cũ đến M
21
cũng được 1 đoạn M
1
M
21
= Δs, và theo
hướng của lực hấp dẫn là Δs’đến M

21
và cùng chiều cao từ
O xuống đường thẳng MM
21
).
 S2 = S
ΔOM2M1
= S
ΔOM1M21
(vì chung đáy OM
1
và 2 khoảng cách từ M
21
đến
đáy bằng khoảng cách từ M
2
đến đáy do: M
1
M
21
// OM
1
)
 S1 =S2.
Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 10

Vậy
co
dS
nst

2
2
22
2
2
32
22
3
2
2
4 ( )
4
4
ons
m ab
T
L
m ab
T
L
m a pa
T
L
L
m
T
GMm
aL
T
ct

R h R h R h
  
  

Mặt khác :
2 ( )Rh
T
v





2 3 2 2
2
3
4 ( ) 4
. ons .
()
R h T
T c t
GM R h GM


   
Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 12



Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 14

Hình 8:
Để tiện cho việc tính toán ta đưa bài toán về các hình 8 a, b và đăt tên các
góc như hình vẽ.
Ở hình a ta thấy: các cạnh tỷ lệ với số đo của cung mà nó chắn.(cùng là
đường tròn bán kính a
E
= 6378km).
 a = 90
o
, c = 90
o
-
e

, B =
ss e



giải tam giác cầu ở hình a tiếp ta có : (quy tắc Napier)

arccos[cos( ). os( )]
e
b B c




d





.
(vì góc ngẩng nằm trong mp tam giác và vuông góc với R tại
anten).
2.2 Xác định góc ngẩng của anten
Tính góc ngẩng của anten (
e

):
- Góc ngẩng là góc tạo thành tiếp tuyến tại điểm thu ở mặt đất và đường
nối điểm đến với vệ tinh.
- Góc ngẩng tại xích đạo lớn nhất bằng 90
o
và càng về phía hai cực thì nó
càng giảm.
Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 16

- Khi biết vị trí đặt anten ta có thể suy ra được góc ngẩng của anten theo
công thức:

 
22
os( ). os( ) 0.151263
arctan
1 os . os ( )


Mục Lục

Nội dung Trang

I. Chứng minh 3 định luật Kepler (trong thông tin vệ tinh) 1
1.1. Phát biểu 3 định luật Kepler 1
1.2. Chứng minh các định luật Kepler 2
1.2.1. Chứng minh định luật 1 về quỹ đạo chuyển động
các vệ tinh: 2
1.2.2. Chứng minh định luật kepler 2 7
1.2.3. Chứng minh định luật Kepler 3 về mối liên hệ giữa
chu kỳ chuyển động của vệ tinh và bán kính quỹ đạo của nó 10
II. Tính toán góc ngẩng của anten và góc quan sát vệ tinh: 12
2.1. Góc quan sát vệ tinh (với vệ tinh địa tĩnh) 12
2.2. Xác định góc ngẩng của anten 15