Phương pháp
nhóm Abel trong chứng minh BĐT
Trong bất đẳng thức nhiều khi ta gặp những bài toán với giả hết sức “khó chịu”.Ta
dường như gặp phải bế tắc khi không có hướng giải.Chẳng hạn như bài T6/374.Đó
là một bài điển hình cho phương pháp nhóm Abel để chứng minh BĐT.Ta đi vào
nội dung phương pháp:
I. Khai triển Abel
Cho 2n số thực
1 2
, , ,
n
a a a
và
1 2
, , ,
n
b b b
.
Đặt
1
k
k i
i
S a



.Khi đó:
 
1
1


Chứng minh rằng:
6a b c  
.
Lời giải:
Từ giải thiết suy ra:
3
1
c

;
3 2 6
2 2
c b ab
  
và
3
3 2 1 6
3
c b c abc
  
Do đó ta có 6 =3+2+1=
3 2 1
c b a
c b a
 
   
3 3 2 3 2 1
c b b a a
c c b c b a

Chứng minh rằng:
6a b c  
.
Lời giải:
Từ giả thiết suy ra:
1
3
a

;
2 2
3 2 6
a b ab
  
và
3
3 3
3 2 1 6
a b c abc
   
Do đó ta có
.3 .2 .1
3 2 1
a b c
a b c    
     
3 2 2 1 .1 3 2 2. 2 1 3 6
3 3 2 3 2 1
a a b a b c
   



và
1 2
, , ,
n
x x x R


thỏa mãn:
1
1
n
i
i
x



;
1
0
n
i
i
x



.Chứng

k k k k n
S x x x x x x
 
       
1 2 1 2 1 2
2 1
k k k k n n
S x x x x x x x x x
 
             
hay
1
2
k
S 
.
Do đó
1 2
1
1

1 2
n
n
k
k
x
x x
x
n k

 
   
   
   
 

   
 

.Ta có đpcm.
Nhận xét:
-Ta thấy rằng phép nhóm Abel còn được ứng dụng tổng quát cho n số như bài toán trên.
-Để củng cố các bạn nên thử giải các bài toán sau:
Bài tập1 :Cho a,b,c thỏa mãn:
0 3
2 2
3 2 3
a b c
b c
a b c
   


 


  

Tìm GTLN P =
2 2 2