Ứng Dụng Định Lý Larange Chứng Minh Một Dang BĐT Hàm
I. Định lý Larange: Cho hàm số
)(xfy
=
liên tục trên
[ ]
ba;
và có đạo hàm trên
( )
ba;
khi đó
( )
bac ;
∈∃

sao cho:
ab
afbf
cf
−
−
=
)()(
)('
II. Bài toán: Cho hàm số
)(xfy
=
xác định và có đạo hàm cấp hai trên
( )
ba;
CMR:

bax ;
∈∀
( chỉ bằng 0 tại các điểm rời rạc trên
( )
ba;
) thì:
)
2
(
2
)()(
2121
xx
f
xfxf
+
≤
+
• Chứng minh :
Không mất tính tổng quát giả sử
21
xx
<
Xét hàm số
)(xf
liên tục trên
( )
ba;
chứa
( )

f
tf
x
xx
xf
xx
f
=
−
−
+
⇔=
−
+
−
+
(1)

( )
21
; xxk
∈∃
sao cho:
2
)('
)
2
()(
)('
2

Trừ (1) cho (2) suy ra:
2
)(')(')()(
12
21
tfkf
xx
xfxf
−
=
−
+
(3)
+) Nếu
0)("
≥
xf

( )
bax ;
∈∀

⇒

)(' xf
đồng biến trên
( )
ba;

)(')(' tfkf

)(')(' tfkf
<⇒
kết hợp với (3) suy ra:
)
2
(
2
)()(
2121
xx
f
xfxf
+
≤
+
III. Mở rộng
+) Dùng phương pháp qui nạp ta có thể chứng minh BĐT trên với n số:
a.
)(
)(
11
n
x
f
n
xf
n
i
i
n





2
;0
π
Ta có:
0sin)("
<−=
xxf







∈∀
2
;0
π
x
Vậy:
)
2
sin(
2
sinsin
2121

;0
π
x
Vậy:
)
2
cos(
2
coscos
2121
xxxx
+
≤
+
3.
xxf tan)(
=
trên






2
;0
π
Ta có:
0
sin2

xxf cot)(
=
trên






2
;0
π
Ta có:
0
sin
cos2
)("
2
>=
x
x
xf







∈∀

x
xf
x
xf

0
>∀
x
Vậy:
)
2
ln(
2
lnln
2121
xxxx
+
≤
+
Tổng quát:
)ln(
lnlnln
2121
n
xxx
n
xxx
nn
+++
≤

21
21
(BĐT Cauchy)
6.
α
xxf
=
)(

0
>∀
x
Ta có:
2
)1()("
−
−=
α
αα
xxf
+) Nếu
0<
α
hoặc
1
>
α

0)("
>⇒


+) Nếu
10
≤≤
α

0)("
≤⇒
xf

0
>∀
x
Vậy
α
αα
)
2
(
2
2121
xxxx
+
≤
+
Tổng quát:
α
ααα
)(
2121