ứng dụng định lý Lagrăng
1. Cho m > 0 và
0
m
c
1m
b
2m
a
=+
+
+
+
Chứng minh rằng ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm
thuộc (0 ; 1)
HD: Xét hàm số
m
xc
1m
xb
2m
xa
xf
m1m2m
...
)(
+
+
+

= 0.
4. Cho a - b + c = 0. Chứng minh rằng: a.Sinx + 9b.Sin3x +25c.Sin5x = 0 có ít nhất 4
nghiệm thuộc [0; ].
HD: áp dụng Cho F(x) có đạo hàm f(x) trên (a;b) . Chứng minh nếu F(x) = 0 có hai
nghiệm thì f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).
CM: Gọi , là hai nghiệm của PT F(x) = 0. Ta có F() =F() = 0.
Theo ĐL Lagrăng x
0
(; ) sao cho f(x
0
) = F(x
0
) =
0
FF
=


)()(
Giải: Xét hàm số:
x5Sincx3SinbSinxaxF ...)(
=
C/M: F(x) = 0 có ít nhất 6 nghiệm thuộc [0; ].Ta c/m F(x) = 0 có ít nhất 5 nghiệm
thuộc [0; ]. Ta c/m F(x) = 0 có ít nhất 4 nghiệm thuộc [0; ].
5. Cho a,b,c 0 thoả mãn
0
3
c
5
b

xP
xP
xP
xP
xP
n
n
2
2
1
1
=+++
)(
)(''
......
)(
)(''
)(
)(''

b,
0
xP
1
xP
1
xP
1
n21
=+++

a
ba

<<

ln
17. Cho f(x) xác định trên R và f(x) 0 x R Chứng minh rằng a,b R(a <
b) thì
f(a) f(b) a b
f( )
+ +

2 2
18. Chứng minh rằng: ln(1 + x) < x; x > 0
19. CMR:
a b a b
tga tgb
cos b cos a

< <
2 2
0 < b < a <

2
.
20. Cho a < b < c . CMR:
a a b c a b c ab bc ca a b c a b c ab bc ca c< + + + + < + + + + + <
2 2 2 2 2 2
3 3
HD: f(x) = (x- a)(x- b)(x - c) => x

( ) ( )
x x
+
+ > +
+
1
1 1
1 1
1
f)
(x )Cos xCos ; x
x x

+ >
+
1 1 2
1
23. Cho f(x) liên tục trên [a ; b] và f(x) = 0 x (a; b) . CMR: f(x) 0.
24. Cho f(x) khả vi trên [a ; b] và f(x) = 0 có đúng 1 nghiệm x
0
[a; b]. CMR: f(x)=
0 không thể có quá hai nghiệm phân biệt.
25. Cho x> 1 và a> 1. CMR: x
a
- 1> a(x - 1)
26. Cho 0 < a< b; n> 1.CMR: n.a
n-1
(b - a) < b
n
- a

15 16

28.C
29.C
30.C
31.C
32.C
33.C
Sö dông ®¹o hµm chøng minh bÊt ®¼ng thøc
1. CMR:
x x x
x sinx x ; x
! ! !
− < < − + ∀ >
3 3 5
0
3 3 5
HD: ChuyÓn vÕ ®Æt f(x) tÝnh f’(x); f’’(x)
2. CMR:
x
Sinx ; x ( ; )
π
> ∀ ∈
π
2
0
2
HD: §Æt f(x) =
Sinx
x

e x; x> + ∀ >1 0
7. CMR:
n
x
x x
e x ... ; x ;n Z
! n!
+
> + + + + ∀ > ∈
2
1 0
2
8. CMR:
[ ]
2
1 1 0 1
2
x
x
x e x ; x ;
−
− ≤ ≤ − + ∀ ∈
9. CMR:
[ ]
2
4
1 1 0 1
1 2 1
x
e x

1 1 0 1
p q p q
x (p q)(x x ); x ;p q ,p q
+
− > + − ∀ ≥ ≥ > − ≤
15. CMR:
1
1 2 1
x (x )
log (x ) log (x ); x
+
+ > + ∀ >
16. Cho a, b > 0. CMR:
1 1
0ln(a b ) ln(a b ); ;
α α β β
+ > + ∀β > α >
α β
17. CMR:
1
4 0 1 0 1
1 1
y x
ln ln ; x ; y ;x y
y x y x
 
− > ∀ < < < < ≠
 
− − −
 

2
x
.Sinx tgx
; x ( ; )
+
π
+ > ∀ ∈
22. CMR:
2SinA SinB SinC tgA tgB tgC ; ABC+ + + + + > π ∀V
23. CMR:
2 1
3 3
(SinA SinB SinC) (tgA tgB tgC) ; ABC+ + + + + > π ∀V
nhän
24. CMR:
0
55 1 4tg ,>
25. CMR:
0 0 0 0
4 5 9 3 6 10.tg .tg .tg .tg<
26. CMR:
0
1 7
20
3 20
Sin< <
27. CMR:
1 1
2 0
2

−
< < < >
−
29. CMR:
3
0
2
Sinx
Cosx; x ( ; )
x
π
 
> ∀ ∈
 ÷
 
30. CMR:
0
e x e x
(e x) (e x) ; e x
− +
+ > − ∀ > >
31. CMR:
0
b x b
a x a
; a,b,x ;a b
b x b
+
+
   

1 3
n n
n (n ) ; n Z
+
≥ + ∀ ≤ ∈
37. CMR: x.Sin x + Cos x > 1; ∀x∈(0; π/2)
38. CMR: a.Sin a - b.Sin b > 2(Cos b - Cos a); ∀0 < a < b < π/2
39. CMR:
1 1 1
2 2 2
3 3
A B C
Cos Cos Cos
. ; ABC
A B C
+ + +
+ + > ∀V
40. CMR: NÕu x ≥ 0 vµ α > 0 th×
1x .x
α
+ α − ≥ α
. Tõ ®ã c/m
3 3 3
3 3 3
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + +
41.C
42.C
43.C