Lê Thanh Bình - Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1
định lý lagrange và ứng dụng
A.Định lý Lagrange
1.Định lý Weierstrass
Nếu hàm số f(x) liên tục trên
[ ]
ba;
thì nó đạt đợc giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn
nhất và mọi giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên
[ ]
ba;
.
(SGK ĐS&GT 11)
2.Định lý Fermat
Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại
0
x
và đạt cực trị tại điểm đó thì
( )
0'
0
=
xf
.
(SGK Giải tích 12)
3.Định lý Rolle
Giả sử f(x) liên tục trên
[ ]
ba;
và có đạo hàm trên
);( ba

);( bac

ta có
0)('
=
cf
.
+ Nếu m<M thì
maf

)(
hoặc
Maf

)(
.
Giả sử
mbfaf
=
)()(
. Vì f(x) liên tục trên
[ ]
ba;
nên theo định lý Weierstrass tồn
tại ít nhất một điểm
];[ bac

sao cho
mcf
=

thì tồn tại ít
nhất một điểm
);( bac

sao cho
( )
abcfafbf
=
).(')()(
.
Chứng minh
Xét hàm số
)(
)()(
)()()( ax
ab
afbf
afxfxg



=
với
];[ bax

.
Ta có g(x) liên tục trên
[ ]
ba;
và có đạo hàm trên

)()(
)(')('
ab
afbf
cfcg
( )
abcfafbf
=
).(')()(
(Đpcm)
5.ý nghĩa hình học của định lý Lagrange
Do f(x) liên tục trên
[ ]
ba;
nên đồ
thị của f(x) trên
[ ]
ba;
là một cung liền AB
với A(a;f(a)), B(b;f(b)).
Giới thiệu Định lý Lagrange và một số ứng dụng của nó !
1
Lê Thanh Bình - Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1
Cát tuyến AB có hệ số góc
ab
afbf


)()(
.

0
bax

.
);( bax

ta có
+ Nếu
0
xx
=
thì
)()(
0
xfxf
=
.
+ Nếu
0
xx

thì theo định lý Lagrange
c

nằm giữa
0
x
và
x
sao cho

thì f(x) đồng biến trên
);( ba
.
b. Nếu
);(0)(' baxxf
<
thì f(x) nghịch biến trên
);( ba
.
Chứng minh
2121
);;(, xxbaxx
<
ta có f(x) liên tục và có đạo hàm trên
[ ]
21
; xx
.
Theo định lý Lagrange
);(
21
xxc

sao cho
))((')()(
1212
xxcfxfxf
=
.
a. Nếu

.
3.Điều kiện đủ để đồ thị hàm số lồi, lõm
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên
);( ba
. Đồ thị hàm số f(x) trên
);( ba
là
cung (C).Với
);(
0
bax

, tiếp tuyến của (C) tại
( )
)(;
00
xfxM
có phơng trình là
))((')(
000
xxxfxfy
+=
Định nghĩa: Cung (C) đợc gọi là lồi nếu mọi điểm của cung này đều nằm dới
tiếp tuyến bất kỳ của cung ( trừ tiếp điểm ).
Tức là : Nếu
);(
0
bax

ta luôn có

b. Nếu
);(0)(" baxxf
<
thì đờng cong y=f(x) lồi trên
);( ba
.
Chứng minh
a. Giả sử
);(0)(" baxxf
>
.
);(
0
bax

Tiếp tuyến của đờng cong y=f(x) tại
( )
)(;
00
xfxM
có phơng
trình là
))((')(
000
xxxfxfy
+=
.
áp dụng định lý Lagrange cho f(x) trên
);( ba
, ta có:

+ Nếu
0
xx
>
thì
xcx
<<
0
suy ra
)(')('
0
cfxf
<
.
Khi đó (*)
yxfyxf
>>
)(0)(
+ Nếu
0
xx
<
thì
0
xcx
<<
suy ra
)(')('
0
xfcf


xxx
b)
Rxxx

sin
Bài 2: CMR
Ryx

,
Ta có
a)
yxyx

sinsin
b)
yxyx

coscos
Bài 3: CMR







2
;0,



<<

b)
a
ab
gbga
b
ab
22
sin
cotcot
sin

<<

Bài 5: Cho 0<a<b CMR
a
ab
a
b
b
ab

<<

ln
Bài 6: Cho x>y>0 CMR

( ) ( )

trên
[
)
+
;0
.
Bài 9: Cho a<b<c. CMR
a)
cabcabcba
++>++
222
b)
<++++<
cabcabcbacbaa
222
3

ccabcabcbacba 3
222
<+++++<
Bài 10: Cho 0<a<b<c<d
CMR
64
3
cdbdbcadacabbcdacdabdabc
+++++
<
+++
Bài 11: Cho


k
. CMR
a)
ba
k
kbka


sinsin
Giới thiệu Định lý Lagrange và một số ứng dụng của nó !
4
Lê Thanh Bình - Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1
a)
ba
k
kbka


coscos
Bài 14: CMR
baabeeeabe
baba
<<<
)()(
Bài 15: CMR
0,
1
.
><



+
+
+
x
xx
xx
Bài 17: CMR
0
1
1
1
1
1
>






+<<






+
+

12
1sin
)(

x
x
tgxx
xf
Bài 20: Cho
2
0

+<
yxx
. CMR
xyxyx cossin)sin(
+<+
Bài 21: Cho
Rbaf

);(:
có đạo hàm cấp 2 trên
);( ba
.
CMR a) Nếu
);(0)(" baxxf
>
thì
);(,
2







+
Bài 22: Cho
Rbaf

);(:
có đạo hàm cấp 2 trên
);( ba
.
CMR a) Nếu
);(0)(" baxxf
>
thì
( )
1,0,);(,)()(
=+>++

bayxyfxfyxf
b) Nếu
);(0)(" baxxf
<
thì

( )
1,0,);(,)()(






>
2
;0

xxtgx
c)
01
>+>
xxe
x
d)
0
2
2
)1ln(

+
+
x
x
x
x
Bài 25: CMR
21cos
1

xgx
Rg
)(
)(
);0(:
=
+

tăng trên
( )
+
;0
.
Bài 27: (Định lý Cauchy)
Giới thiệu Định lý Lagrange và một số ứng dụng của nó !
5