ĐỊNH LÍ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên đề:
ĐỊNH LÍ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG

A. GIỚI THIỆU
Định lí Lagrange được phát biểu như sau: Cho hàm số F(x) liên tục trên [a,b] và có đạo
hàm trong khoảng (a,b) thì luôn tồn tại sao cho:
Chúng ta sẽ đi tìm hiểu 3 bài toán sử dụng định lí Lagrange trong chương trình THPT như
sau:
I. Sử dụng định lí Lagrange chứng minh bất đẳng thức.
II. Sử dụng định lí Lagrange chứng minh phương trình có nghiệm.
III. Sử dụng định lí Lagrange giải phương trình.
B. NỘI DUNG
I. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.
* Phương pháp
Từ định lí Lagrange , nếu thì:

Vậy
Từ định lí Lagrange để áp dụng được kết quả trên, điều quan trọng nhất là xác định
được hàm số F(x).
*Ví dụ minh họa
VD1: CMR nếu th×:
Giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
Xét hàm số: liên tục trên , và có đạo hàm trong khoảng
. Theo định lí Lagrange luôn tồn tại sao cho:

Ta có:
(đpcm).
NX: Điều quan trọng hơn cả trong bài toán này là chúng ta nhận ra được hàm số F(x) qua
việc biến đổi tương đương BPT đã cho. Ta xét VD 2 …

b. F(b)-F(a)=0.
Bước 2: Khi đó tồn tại sao cho:
phương trình f(x)= 0 có nghiệm
.
*Ví dụ minh hoạ:
VD1: CMR phương trình:
có nghiệm với mọi a,b,c.
Giải
Xét hàm số:
Dễ dàng nhận thấy:Khi đó tồn tại sao cho:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng .

VD 2: Giả sử: . CMR phương trình:
có nghiệm thuộc khoảng (0, 1)
Giải
Xét hàm số: liên tục trên [0,1] và có đạo hàm trong khoảng
(0,1). Ta có:Khi đó tồn tại sao cho:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm thụôc khoảng (0,1).
Từ VD2 ta có thể giải được bài toán sau:
VD3: Giả sử: . CMR phương trình:
có nghiệm thuộc khoảng (0,1).
Giải