–
ĐỊNH LÝ BÉZOUT & ÁP DỤNG
A- HAI ĐỊNH LÝ CƠ BẢN
1- CÁC KHÁI NIỆM
_ Giả sử f(x) là đa thức bậc n với biến x
_ Ta đặt f(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ … + a
1
x + a
0
(x∈R, a
i
là hệ số các hạng tử)
→ Khi đó f(x) = 0 ,∀x ⇔ a
i
= 0 ∀i = 0,…,n
f(x) khác 0 ⇔ có ít nhất a
i
= 0
_ Giả sử g(x) = b
n
x
n
+ b

n
+ a
n-1
x
n-1
+ … + a
1
x + a
0
q(x) = b
n
x
n-1
+ b
n-1
x
n-2
+ … + b
2
x + b
1
ĐVT -1-
ỊNH LÝ BÉZOUT
Đ
■ Phép chia đa thức f(x) cho đa thức g(x) (khác 0) ta được thương và
dư lần lượt là những đa thức q(x), r(x).
Ta viết : f(x) = g(x).q(x) + r(x) với bậc r(x) < bậc g(x)
■ Trường hợp nếu đa thức r(x) bằng 0, ta được : f(x) = g(x).q(x)
Và khi đó ta nói : f(x) chia hết cho g(x)
Các hệ số b

2
+ a
1
■ Ví dụ : Phân tích f(x) = 3x
4
– 4x
3
+ 1 thành nhân tử
_ Nhận xét x = 1 là nghiệm đa thức f(x)
_ Dùng sơ đồ Horner, tìm thương phép chia f(x) cho x – 1
3 -4 0 0 1
1 3 -1 -1 -1 0
_ Vậy f(x) = (x – 1)(3x
3
– x
2
– x – 1)
_ Tiếp tục, ta có x = 1 là nghiệm của đa thức 3x
3
– x
2
– x – 1
3 -1 -1 -1
1 3 2 1 0
_ Kết quả : f(x) = (x – 1)
2
(3x
2
+ 2x + 1)
a) Ký hiệu :

1
x + a
0
(a
i
∈Z , a
n
≠ 0)
Nếu
q
p
(tối giản) là nghiệm của f(x) thì p là ước của a
0
và q là ước của a
n
.
d) Ví dụ : Tìm nghiệm hữu tỉ của đa thức f(x) = x
4
+ 2x
3
– 4x
2
– 5x – 6
_ Nghiệm hữu tỉ của đa thức trên (nếu có) phải là số nguyên và ước của -6
_ Thử lần lượt các ước của -6, ta có f(2) = 0 và f(-3) = 0  2; -3 là nghiệm của f(x)
_ Chia f(x) cho x – 2; x – 3 theo sơ đồ Horner
1 2 -4 -5 -6
2 1 4 4 3 0
-3 1 1 1 0
_ Khi đó f(x) = (x – 2)(x + 3)(x

2
x
2
+ ax + 1
ax
3
+ x
2
+ b
–
ax
3
- ax
x
2
+ ax + b
–
x
2
- 1
ax + b + 1
Như vậy, để x
4
+ ax
3
+ b chia hết cho x
2
– 1 thì ax + b + 1 = 0 ,∀x
 a = 0 và b + 1 = 0 hay a = 0 ; b = -1
Cách 2 (Đồng nhất hệ số)

3
+ b chia hết cho x
2
– 1
Cách 3 (Thay 1 giá trò đặc biệt của biến - giá trò riêng)
Gọi Q là đa thức thương trong phép chia x
4
+ ax
3
+ b cho x
2
– 1
 x
4
+ ax
3
+ b = (x
2
– 1).Q = (x – 1)(x + 1).Q (*)
Vì (*) đúng với mọi x nên khi cho x = 1 , x = -1 ta có :
1 + a + b = 0
1 – a + b = 0
 a = 0 ; b = -1
(các bạn nghó thử xem, tại sao chọn x = 1; -1)
2- Tương tự :
Tìm hệ số a, b sao cho x
4
+ ax
2
+ b chia hết cho x

3
+ 3ab(a + b) + b
3
 a
3
+ b
3
= (a + b)
3
– 3ab(a + b)
_ Thay a
3
+ b
3
vào A, ta có :
A = (a + b)
3
– 3ab(a + b) + c
3
– 3abc = (a + b)
3
+ c
3
– 3ab(a + b) – 3abc
= (a + b + c)[(a + b)
2
– (a + b)c + c
2
] – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[ (a + b)

3
-b-c 1 -b-c b
2
+ c
2
– bc 0
_ Đa thức thương là : q(a) = a
2
– (b + c)a + b
2
+ c
2
– bc
 f(a) = (a + b + c)[a
2
– (b + c)a + b
2
+ c
2
– bc] = (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
– ab – ac – bc)
3- Tương tự :
1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x
3

2
+ 15x + 25
b) x
3
– 4x
2
– 11x + 30
c) 2x
4
+ x
3
– 22x
2
+ 15x – 36
d) 3x
3
+ 5x
2
– 14x + 4
e) 2x
3
– x
2
– 3x – 1 .
1- Cho biết đa thức 4x
3
+ ax + b chia hết cho đa thức x – 2 và x + 1. Tính 2a – 3b ?
2- Xác đònh các hằng số a, b sao cho :
a) x
4

– 1 thì dư x + 5.
6- Chứng minh rằng nếu x
4
– 4x
3
+ 5ax
2
– 4bx + c chia hết cho x
3
+ 3x
2
– 9x – 3 thì
tổng a + b + c = 0.
7- Tìm đa thức dư trong phép chia x
54
+ x
45
+ x
36
+ … + x
9
+ 1 cho x
2
– 1.
ĐVT -5-
8- Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để giá trò của n
6
– n
4
– 2n

+ 6x + 16 có chia hết cho :
a) x + 1
b) x – 3
11- Tìm dư khi chia x + x
3
+ x
9
+ x
27
cho :
a) x – 1
b) x
2
– 1
12- Tìm dư khi chia x
99
+ x
55
+ x
11
+ x + 7 cho :
a) x + 1
b) x
2
+ 1
13- Chứng minh rằng :
a) x
50
+ x
10

– x
2n
– 2x – 1 chia hết cho x(x + 1)(2x + 1)
b) x
4n + 2
+ 2x
2n + 1
+ 1 chia hết cho (x + 1)
2
c) (x + 1)
4n + 2
+ (x – 1)
4n
+ 2 chia hết cho x
2
+ 1
d) (x
n
– 1)(x
n + 1
– 1) chia hết cho (x + 1)(x – 1)
2
15- Tìm số dư khi chia f(x) = x
50
+ x
49
+ … + x
2
+ x + 1 cho x
2