SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN
TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN
TỬ VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ phần I
phần Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Trong trường THCS việc nâng cao chất lượng dạy và học là vấn đề
thường xuyên, liên tục và cực kỳ quan trọng. Để chất lượng học sinh ngày càng
được nâng cao yêu cầu người giáo viên phải có một phương pháp giảng dạy phù
hợp và hệ thống bài tập đa dạng, phong phú đối với mọi đối tượng học sinh.
Qua thời gian dạy lớp 8, tôi thấy khi biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu
tỷ, chứng minh quan hệ, giải một phương trình bậc cao, tìm nghiệm nguyên của
một phương trình, chứng minh một bất đẳng thức, giải một bất phương trình…
đối với học sinh lớp 8 đều cần phải biến đổi đa thức thành nhân tử. Chính vì vậy
người giáo viên khi dạy học sinh học toán phải cung cấp cho các em một cách
hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vì nó là công cụ giải
toán rất hữu hiệu, giải quyết hầu hết các dạng toán trong chương trình lớp 8.
Các vấn đề trong đề tài đều được lựa chọn để mọi đối tượng học sinh đều

Ví dụ: x
3
+ y
3
= (x + y)(x
2
+ xy + y
2
)
Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp.
Phương pháp 1: Phương pháp đặt nhân tử chung (thừa số)
1. Các ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. 12x
2
y - 18y
3
b. 3x
2
(y - 2z) - 15x(y - 2z)
2

Giải
a. Các dạng tử có nhân tử chung là 6y, do đó:
12x
2
y - 18y
3
= 6y.2x
2
- 6y.3y

2
- x
3
b. 1 - 27x
3
y
6

Giải
a. 4x
2
- 12x + 9 = (2x)
2
- 2.2x.3 + 3
2
= (2x - 3)
2
b. 27 - 27x + 9x
2
- x
3
= 3
3
- 3.3
2
x

+ 3.3x
2
- x

4
)
2. Chú ý: Đôi khi phải đổi dấu mới áp dụng được hằng đẳng thức, chẳng hạn:
- x
4
y
2
- 8x
2
y - 16 = -(x
4
y
2
+ 8x
2
y + 16) = - (x
2
y + 4)
2
Phương pháp 3: Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
1. Các ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10) = y(x - 5) + 2(x - 5) = (x - 5)(y + 2)
b. 2xy + z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz)
= 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z)
c. x
2
+ 2x + 1 - y

y
4
- 10x
3
y
3
z - 5x
3
y
2
z
2
+ 5x
3
y
2

= 5x
3
y
2
(x
2
- 2x - y
2
- 2yz - z
2
+ 1)
= 5x
3

- 6x + 8
Giải
Đa thức trên không có thừa số chung, cũng không có dạng của một hằng
đẳng thức đáng nhớ nào và cũng không thể nhóm các hạng tử. Ta biến đổi đa
thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn bằng cách tách một hạng tử thành 2
hay nhiều hạng tử.
Cách 1: x
2
- 6x + 8 = x
2
- 2x - 4x + 8
= x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
Cách 2: x
2
- 6x + 8 = x
2
- 6x + 9 - 1
= (x - 3)
2
- 1 = (x - 2)(x - 4)
Cách 3: x
2
- 6x + 8 = x
2
- 4x + 4 - 2x + 4
= (x - 2)
2
- 2(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
Cách 4: x
2

2
+ bx + c thành nhân
tử và tách hạng tử bx thành b
1
x + b
2
x sao cho:
a
b1
=
2
b
c
, tức là b
1
.b
2
= a.c
Trong thực hành ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tích a.c
Bước 2: Phân tích a.c thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bước 3: Chẳng hạn thừa số mà có tổng bằng b.
Trong ví dụ trên x
2
- 6x + 8 có a = 1; b = - 6 và c = 8.
Tích a.c = 8, ta phân tích 8 thành tích của 2 thừa số, hai thừa số này cùng
dấu nhau (vì tích của chúng bằng 8) và cùng âm (để tổng của chúng bằng - 6); ví
dụ: (- 4, - 2).
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 9x
2

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x
2
- 7xy + 3y
2

Giải
Cách 1: 4x
2
- 7xy + 3y
2
= 4x
2
- 4xy - 3xy + 3y
2
= 4x(x - y) - 3y(x - y)
= (x - y)(4x - 3y)
Cách 2: 4x
2
- 7xy + 3y
2
= 4x
2
- 8xy + 4y
2
+ xy - y
2

= 4(x
2
- 2xy + y

2
+ 4x +
6 không phân tích được thành tích.
2. Đa thức bậc 3 trở lên
Để tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ ta thường
dùng cách tìm nghiệm của đa thức.

2.1. Nhắc lại một số kiến thức về nghiệm của đa thức
a. Định nghĩa nghiệm của đa thức
Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0, như vậy nếu đa
thức f(x) có nghiệm x = a thì nó chứa thừa số x - a.
Khi xét nghiệm của đa thức ta cần nhớ các định lý sau:
b. Định lý 1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm
của đa thức.
c. Định lý 2: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn
bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẽ thì - 1 là nghiệm của đa thức.
d. Định lý 3: Nếu đa thức f(x) với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên thì
nghiệm nguyên đó sẽ là ước của hệ số tự do.
Chú ý: Để nhanh chóng loại trừ các ước của hệ số tự do, không là nghiệm
của đa thức có thể dùng nhận xét sau:
Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1), f(-1) khác 0 thì
1
)1(
-
a
f
và
1
)1(
+

)118(
18
-±
-
không nguyên nên - 3; ± 6; ± 9; ± 18 không là nghiệm của f(x);
)12(
44
+
-
không nguyên nên 2 không phải là nghiệm của f(x).
Chỉ còn - 2 và 3, kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của f(x).
e. Định lý 4: Đa thức f(x) với các hệ số nguyên nếu có nghiệm hữu tỷ x =
q
p
thì p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất.
2.2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x
3
- 5x
2
+ 8x - 4
Ta thấy đa thức đã cho có tổng các hệ số là 1 - 5 + 8 - 4 = 0, nên 1 là nghiệm
của đa thức. Đa thức đã cho chứa thừa số là x - 1; ta tách các hạng tử như sau:
x
3
- 5x
2
+ 8x - 4 = x
3
- x

2
(x + 1) - 6x(x + 1) + 9(x + 1)
= (x + 1)(x
2
- 6x + 9) = (x + 1)(x - 3)
2

Ví dụ 3: f(x) = x
3
- x
2
- 4
Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, ± 4
Ta thấy f(2) = 2
3
- 2
2
- 4 = 8 - 4 - 4 = 0; đa thức có nghiệm là x = 2, do đó
chứa thừa số x - 2.
Ta có: x
3
- x
2
- 4 = x
3
- 2x
2
+ x
2
- 2x + 2x - 4

+ 5x + 3 = 2x
3
+ x
2
- 2x
2
+ 6x - x + 3
= x
2
(2x + 1) - x(2x + 1) + 3(2x + 1) = (2x + 1)(x
2
- x + 3)
Phương pháp 5: Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
1. Thêm và bớt cùng một số hạng để xuất hiện hằng đẳng thức
Ví dụ: 4x
4
+ 81 Ta nhận thấy đa thức đã cho là tổng của 2 bình phương (2x
2
)
2
+ 9
2
tương
ứng với 2 số hạng A
2
+ B
2

2
+6x + 9).
Chú ý: Số hạng thêm bớt phải có dạng bình phương thì mới làm tiếp bài
toán được.

2. Thêm và bớt cùng một số hạng để làm xuất hiện thừa số chung
Ví dụ: x
2
+ x
2
+ 1 = x
2
- x + x
2
+ x + 1
= x(x
3
+ 1)(x
3
- 1) + (x
2
+ x + 1)
= x(x
3
+ 1)(x - 1)(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1)
= (x

2
+ 4y - 12 = y
2
+ 6y - 2y - 12
= y(y + 6) - 2(y + 6) = (y + 6)(y - 2)
Tương đương với: (x
2
+ x +6)(x
2
+ x - 2)
= (x
2
+ x +6)[x(x + 2) - (x + 2)]
= (x
2
+ x +6)(x + 2)(x - 1)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24
Biến đổi đa thức đã cho
(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = [(x + 2)(x + 3)][(x + 4)(x + 5)] - 24
= (x
3
+ 7x + 10)(x
3
+ 7x - 12) - 24 (*)
Đặt x
3
+ 7x + 11 = y thì (*) = (y - 1)(y + 1) - 24
= y
2

+ cx + d)
Phép nhân này cho kết quả:
x
4
+ (b + c)x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad + bc)x + bd
Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta được
a + b = 6
ac + b + d = 12
ad + bc = - 14
bd = 3
Xét bd = 3 với b, d Î z; b Î {± 1; ± 3}; với b = 3 thì d = 1.
Hệ trên thành:
a + b = - 6
ac = 8
a + bc = -14
ð 2c = -14 -(-6) = 8 do đó c = - 4; a = - 2
Vậy đa thức đã cho phân tích thành: (x
2
- 2x + 3)(x
2
- 4x + 1)
Chú ý: Khi biết kết quả ta có thể trình bày lời giải trên bằng cách hạng tử:
x
4
- 6x
3

Phương pháp 8: Phương pháp xét giá trị tuyệt đối
Trong phương pháp này trước hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến
của đa thức rồi gán cho các biến giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
2
(y - z) + y
2
(z - x) + z
2
(x - y)
Nên thay x bằng y thì P = y
2
(y - z) + y
2
(z - y).
Như vậy P chứa thừa số x - y. Do vai trò của x, y, z như nhau trong P nên
P chứa x - y thì cũng chứa y - z và z - x.
Vậy dạng của P là k(x - y)(y - z)(z - x)
Ta thấy k phải là hằng số vì có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn
tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc 3 đối với các biến x, y, z
Ta có: x
2
(y - z) + y
2
(z - x) + z
2
(x - y)
= k(x - y)(y - z)(z - x) đúng với " x, y, z.
Nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng x = 1, y = 0, z = -1

II. Các ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán
1. Chứng minh quan hệ chia hết
Gọi A
(n)
là một biểu thức phụ thuộc vào n (n " N hoặc n " Z). Để chứng
minh A
(n)
chia hết cho một số m ta thường phân tích biểu thức A
(n)
thành thừa số
trong đó có một thừa số m. Nếu m là tập hợp số ta phân tích nó thành một tích
các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau rồi chứng minh A
(n)
chia hết cho tất cả
các thừa số đó. Lưu ý trong k số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một số là
bội của k.
Ví dụ: Chứng minh rằng
A = n
4
+ 6n
3
+ 11n
2
+ 6n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n
Ta có 24 = 8.3
A = n(n
3
+ 6n
2
+ 11n + 6)

- 1)(x
2
+ 4x + 3) = 192
ó (x - 1)(x + 1)
2
(x + 3) = 192
ó (x + 1)
2
[(x - 1)(x + 3)] = 192
ó (x
2
+ 2x + 1)(x
2
+ 2x + 3) = 192
Đặt x
2
+ 2x - 1 = y ta có:
(y + 2)(y - 2) = 192 ó y
2
- 4 = 192 ó y
2
= 196 ó y = ± 14 * Với y = 14 ta có x
2
+ 2x - 1 = 14
ó x
2
+ 2x - 15 = 0 ó (x - 3)(x + 5) = 0 ó x = 3 và x = - 5

2
- 7 = 0
ó (y
2
- 1)(y
2
+ 7) = 0
(y
2
+ 7) > 0 với mọi y nên (y
2
- 1) = 0; y = ± 1 tức là x = 6, hoặc x = 8
Vậy x = 6 và x = 8 là nghiệm của phương trình.
3. Tìm tập xác định và rút gọn một phân thức
Muốn tìm tập xác định và rút gọn một phân thức đại số bao giờ ta cũng
phải phân tích mẫu thức và tử thức thành nhân tử.
Ví dụ 1: Tìm tập xác định và rút gọn phân thức sau
A =
x
3
- 5x
2
- 2x + 24
x
3
- x
2
- 10x - 8
Phân tích tử thức: x
3

2
- 3x - 4) ó (x + 2)(x + 1)(x - 4)
Tập xác định của phân thức là x ¹ -1; x ¹ -2; x ¹ 4
Phân thức được rút gọn là
A =
(x + 2)(x - 3)(x + 4)

=

x - 3
(x + 2)(x + 1)(x - 4)

x + 1
4. Giải bất phương trình
Ví dụ 1: Gải bất phương trình sau: x
2
- 2x - 8 < 0
ó x
2
- 4x + 2x - 8 < 0
ó x(x - 4) + 2(x - 4) < 0
ó (x - 4)(x + 2) < 0
Lập bảng xét dấu:
x - 2 4
x +2 - 0 + +
x - 4 - - 0 +
(x - 4)(x + 2)

+ 0 - 0 +
Nghiệm của bất phương trình - 2 < x < 4

x
x

+ 0 - 0 +
Nghiệm của bất phương trình là x £ 1và x ³ 3
III. Kết luận
Với những kinh nghiệm như đã trình bày, sau nhiều năm bồi dưỡng học
sinh giỏi toán lớp 8, bản thân tôi thấy trình độ học sinh được nâng lên rõ rệt.
Hầu hết học sinh đã phân tích thành thạo các tam thức bậc 2 thành nhân tử. Học
sinh khá giỏi đã sử dụng linh hoạt các phương pháp như đặt ẩn phụ, thêm bớt, hệ
số bất định vào các đa thức phức tạp thành nhân tử. Học sinh tỏ ra sáng tạo hơn
trong quá trình giải bài tập, một bài tập các em có thể giải theo nhiều cách, sau
đó các em lựa chọn cách giải dễ hiểu nhất để trình bày.
IV. Bài học kinh nghiệm
Phần “phân tích đa thức thành nhân tử” ở lớp 8 là một nội dung quan
trọng, bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ, là tiền đề để học sinh học tốt các
kiến thức về sau. Do vậy trước tiên giáo viên nên cho học sinh nắm thật vững
phương pháp phân tích đã nêu trong SGK, tiếp đến là phương pháp tách hạng tử,
đặc biệt là tách tam thức bậc 2 bởi phương pháp này rất hay sử dụng. Với học
sinh khá giỏi cần hướng dẫn thêm cho các em phương pháp thêm bớt, đặt ẩn
phụ, phương pháp hệ số bất định. Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập,
giáo viên cần chọn lọc hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó, tạo
sự tìm tòi cho các em.
Trong khuôn khổ đề tài này, tôi hy vọng giúp các em học sinh tự tin hơn
khi làm các bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử. Tuy nhiên, trong khi
trình bày đề tài của mình không tránh khỏi những khiếm khuyết, mong bạn đọc
và đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ sung để đề tài hoàn chỉnh và đạt hiệu quả