CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC
THÀNH NHÂN TỬ
I/ ĐẶT VẤN ĐỀ:
1/Thực trạng và tầm quan trọng của vấn đề:
Cho đến bây giờ có thể nói rằng đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề
không còn mới mẽ nữa những vẫn còn đang được ngành GD-ĐT nói chung chú
ý quan tâm và tiếp tục phát triển. Đổi mới phương pháp dạy học hiện nay chủ
yếu theo tinh thần “lấy học sinh làm trung tâm”. Phải làm sao cho học sinh (HS)
hoạt động trí tuệ cao, tích cực lĩnh hội tri thức một cách chủ động, nhanh chóng
mà vẫn đảm bảo hiểu sâu sắc, vững chắc vấn đề. Đổi mới phương pháp dạy học
hiện nay cũng nhằm mục đích dạy cho học sinh phương pháp học tập, làm việc
đáp ứng mục tiêu giáo dục là đào tạo học sinh thành những con người biết làm
chủ tương lai của đất nước. Chính vì thế mà mỗi môn học nói riêng đòi hỏi các
thầy giáo, cô giáo phải thường xuyên tìm hiểu, nghiên cứu để làm sao truyền đạt
đầy đủ nhất, nhanh nhất nội dung, kiến thức của từng bộ môn mình đảm nhận.
Định hướng đổi mới PPDH môn toán trong giai đoạn hiện nay đã được
xác định là: “Phương pháp dạy học toán trong nhà trường các cấp phải phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành và phát triển
năng lực tự học, trao dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư
duy”. (Chương trình giáo dục phổ thông môn toán của Bộ Giáo dục và Đào tạo
ban hành theo quyết định số 16/2006/QĐ-BGD&ĐT ngày 5 tháng 5 năm 2006).
– Trích: “Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học toán Trung học cơ
sở”.
Toán học nói riêng là môn học công cụ đắc lực không thể thiếu để hổ trợ
cho các môn khoa học khác cũng như giải quyết các vấn đề thực tế. Việc giúp
HS nắm vững kiến thức cơ bản và vận dụng toán học vào thực tế không phải của
riêng thầy giáo, cô giáo nào.
Chương trình toán THCS đã giúp HS giải quyết nhiều vấn đề cơ bản trong
thực tế. Trong chương trình toán lớp 8 có một dạng toán mang tính áp dụng cao,
nó là cơ sở để ứng dụng giải quyết các bài toán liên quan như: giải phương trình
tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu, các bài toán về phân thức,chia hết… đó là

trường THCS Quang Trung trong các năm học 2010-2011, 2011-2012, 2012-
2013 và đặt biệt là áp dụng cho HSG lớp 8 và lớp 9.
Đề tài này là tài liệu học tập tốt cho HSG lớp 8, lớp 9 và là tài liệu tham
khảo cho các thầy, cô giáo và phụ huynh HS nói chung.
II/ CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Dạy học toán thực chất là dạy hoạt động toán học. HS-chủ thể của hoạt
động học cần phải được cuốn hút vào những hoạt động học tập do giáo viên tổ
chức và chỉ đạo, thông qua đó học sinh tự lực khám phá những điều mình chưa
biết chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã sắp đặt sẵn. Theo tinh
thần này trong tiết lên lớp, giáo viên là người tổ chức và chỉ đạo học sinh tiến
hành các hoạt động học tập, củng cố kiến thức cũ tìm tòi phát hiện kiến thức
mới. Giáo viên không cung cấp, không áp đặt những kiến thức có sẵn đến với
học sinh mà hướng cho học sinh thông qua các hoạt động để phát hiện và chiếm
lĩnh tri thức .
2
Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên giúp học
sinh chuyển từ thói quen học tập thụ động sang tự mình tìm tòi và phát hiện kiến
thức giúp rèn luyên khả năng tư duy, nhớ kỹ các kiến thức đã học.
Về mặt lí luận mà nói thì theo khung phân phối chương trình và sách giáo
khoa (SGK) hiện hành thì toàn bộ kiến thức về “phân tích đa thức thành nhân tử”
chỉ gói gọn trong 4 bài (kèm theo các tiết luyện tập) với 4 phương pháp phân tích
cơ bản nhất và việc trình bày các phương pháp ở đây chủ yếu là thông qua các ví
dụ chứ chưa đi sâu, phân tích hay khai thác gì thêm để HS dễ nhớ và nắm vững
các phương pháp đó. Các phương pháp: “thêm, bớt hạng tử”, “tách hạng tử”
được giới thiệu thông qua chỉ một bài tập với hướng dẫn gợi ý. Chính vì thế mà
HS còn rất thiếu kỉ năng cũng như phương pháp phân tích khi gặp các bài toán
khó!
III/ CƠ SỞ THỰC TIỄN:
Nhìn chung trong nhiều năm qua ở trường THCS Quang Trung nói riêng
chất lượng mũi nhọn bộ môn toán có thể nói còn quá khiêm tốn. Việc nghiên cứu

tiếp theo.
2/ Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
a) Khái niệm:
Theo SGK toán lớp 8 thì: “Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số)
là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức”.
Ta cần chú ý rằng mỗi đơn thức cũng được gọi là đa thức do đó nhiều khi
một đa thức được biến đổi thành tích của những đơn thức và đa thức cũng được
coi là đã phân tích thành nhân tử.
b) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
PP1: Phương pháp đặt nhân tử chung:
PP: Khi tất cả các hạng tử của đa thức có nhân tử chung thì ta đặt nhân tử
đó ra ngoài làm nhân tử chung.
Tóm tắc: A.B + A.C +… +A.D = A(B + C + …. +D)
* Lưu ý:
+ Nhân tử chung có thể là đơn thức hay đa thức. Nếu nhân tử chung là
đơn thức thì nhân tử chung được xác định gồm 2 phần: Phần hệ số (là
ƯCLN của các hệ số) và phần biến (là những biến chung của các hạng tử
lấy với số mũ nhỏ nhất).
+ Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta phải đổi dấu các hạng tử.
PP đổi dấu: -(-A) = A.
AB = (-A).(-B). (Đổi dấu số chẳn các nhân tử của hạng
tử).
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
14x
2
y – 21xy
2
+ 28x
2
y

)1y(y
5
2
)1y(x
5
2
−−=−−−
4
Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 10x(x-y) -8y(y-x).
Nhận xét: x-y và y-x khác dấu nên ta đổi dấu để xuất hiện nhân tử chung.
Giải: 10x(x-y) -8y(y-x) = 10x(x-y) +8y(x-y)
= 2(x-y)(5x+4y).
PP 2: Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Vì phương pháp này dùng hằng đẳng thức nên HS cần thuộc lòng các hằng
đẳng thức sau:
1. (A+B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
2. (A-B)
2
= A
2
- 2AB + B
2
3. A
2
- B

3
-3AB(A-B)
6. (A+B)(A
2
- AB+B
2
) = A
3
+B
3
7. (A-B)(A
2
+ AB+B
2
) = A
3
-B
3
8.(A+B+C)
2
= A
2
+B
2
+C
2
+2AB+2AC+2BC
9. A
n
- B

-
3
2
1






=
( )














++




1
xx4
2
1
x2
2
Ví dụ 3: - x
3
+9x
2
-27x+27 = - (x
3
– 9x
2
+ 27x – 27)
= -(x – 3)
3
.
PP3: Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:
Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm hạng tử một cách thích hợp.
* Khi nhóm hạng tử ta phải nhóm sao cho các hạng tử trong một nhóm làm
thành một vế của hằng đẳng thức hoặc các hang tử trong cùng một nhóm có
nhân tử chung.
Ví dụ 1: 3x
2
– 3xy – 5x + 5y = (3x
2
– 3xy) - (5x – 5y)
= 3x(x – y) - 5(x – y)
= (x – y)(3x - 5).

) = 5x(x+y)
2
.
PP4: Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử:
Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta có thể tách hạng tử thành nhiều
hạng tử rồi nhóm thích hợp.
Khi tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác thường nhằm mục đích:
- Làm xuất hiện hệ số tỉ lệ nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung.
- Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương.
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x
2
- 8x + 4
Giải: Cách 1: 3x
2
- 8x + 4 = 3x
2
- 6x -2x + 4 = 3x(x - 2) - 2(x - 2)
= (x - 2)(3x - 2).
(Ta tách: – 8x= - 6x – 2x)
Cách 2: 3x
2
- 8x + 4 = 4x
2
- 8x + 4 - x
2
= (2x - 2)
2
- x
2


2
+10x+8.
Ta có: ac=3.8 = 24=2.12
=3.8
=4.6
Ta nhận thấy: 4 +6 = 10. Vậy đa thức được tách và phân tích như sau:
Giải: 3x
2
+10x+8 = 3x
2
+ 6x + 4x + 8 = (3x
2
+6x)+(4x+8)
= 3x(x+2) + 4(x+2)
= (x+2)(3x+4).
Việc thực hiện các bước trên trong thực tế HS có thể nhẩm được!
* Chú ý: Tam thức bậc hai dạng: ax
2
+ bx + c
6
- Nếu b
2
- 4ac là bình phương của một số hữu tỉ thì sẽ phân tích được
thành nhân tử.
- Nếu b
2
- 4ac không là bình phương của một số hữu tỉ nào thì sẽ không
phân tích được thành nhân tử.
PP5: Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử:
Nhiều khi để phân tích đa thức thành nhân tử ta cần phải thêm và bớt cùng

5
- x
4
+ x
3
+ x
4
- x
3
+ x
2
- x
2
+ x -1
= x
3
(x
2
- x +1) + x
2
(x
2
- x +1) - (x
2
- x +1)
= (x
2
- x +1)(x
3
+ x

2
- x +1)(x
3
+x
2
– 1).
PP6: Phương pháp đổi biến (đặt ẩn phụ):
- Khi trong đa thức đã cho có biểu thức xuất hiện nhiều lần thì ta có thể đặt
ẩn phụ cho biểu thức ấy để đa thức đơn giản hơn.
Ví dụ: A = (x
2
+ 3x + 1)(x
2
+ 3x - 3) - 5
Đặt x
2
+ 3x + 1 = y ta được:
A = y(y - 4) - 5 = y
2
- 4y - 5 = y
2
+ y - 5y - 5 = y(y + 1) -5(y + 1)
= (y + 1)(y - 5).
Thay x
2
+ 3x + 1 = y ta được:
A = (x
2
+ 3x + 2)(x
2

2
+ bx + c) = x
3
+ (a+b)x
2
+ (ab+c)x +ac
Nên: x
3
+ 11x + 30 = x
3
+ (a+b)x
2
+ (ab+c)x +ac
Khi đó ta có: a+b = 0 (Vì ở vế trái hệ số của lũy thừa bậc hai bằng 0)
ab+c = 11
ac = 30
Có thể chọn ra: a = 2; c = 15 ; b = -2 là một bộ số thoả mãn.
Vậy: x
3
+ 11x + 30 = (x +2)(x
2
- 2x + 15)
PP8: Phương pháp xét giá trị riêng:
Nếu đẳng thức đúng với mọi giá trị của tham số k thì ta có thể gán cho k
một giá trị tùy ý thích hợp.
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử:
P = x
2
(y - z) + y
2

Thì phân phối chương trình đã qui định và có thời gian dạy cho HS như
SGK.
Còn với hai phương pháp:
- Thêm bớt cùng hạng tử.
- Tách hạng tử.
Thì giáo viên có thể tranh thủ dạy kĩ hơn cho HS trong các tiết luyện tập
kể cả hướng dẫn cách phân tích tam thức bậc hai ax
2
+ bx +c cho HS.
8
Với các phương pháp còn lại, vì đây là những phương pháp khó, nâng cao
nên theo tôi chỉ nên dạy cho HSG khi tham gia bồi dưỡng HSG. Cũng tùy theo
trình độ HS mà thời gian dạy các phương pháp nâng cao còn lại GV cần phân
phối thích hợp.
Một vấn đề cần lưu ý là dù dạy cho đối tượng HS nào cũng nên nhớ rằng
khi phân tích đa thức thành nhân tử ta nên áp dụng các phương pháp theo như
thứ tự đã được học!
V/ KẾT QUẢ:
Qua việc áp dụng dạy các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
như trên trong 2 năm gần đây bản thân tôi nhận thấy đã đem lại kết quả khá tốt.
Đa số HS nắm được các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
HS nắm được thứ tự áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử.
HS biết vận dụng thành thạo các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử vào các bài tập cụ thể.
Đối với HSG: HS có thể thực hiện các bài phân tích đa thức thành nhân tử
ở mức độ khó thậm chí rất khó.
Kết quả cụ thể:
Với HS đại trà ở lớp 8, cùng một đề kiểm tra (về phân tích đa thức thành
nhân tử hay có ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử) tôi thu được kết quả

Vấn đề khó khăn trong đề tài là thời gian để dạy các phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử cho HS. Với HSG có thể nói thời gian là rất thuận lợi
khi bồi dưỡng riêng. Cái khó là khi dạy đại trà thì không có thời gian để chuyển
tải hết được. Vì thế GV cần tranh thủ trong các tiết luyện tập mà chuyển tải cho
HS một cách hợp lý. Cần phải có hệ thống bài tập để cho HS rèn luyện thêm sau
khi dạy mỗi phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử như đã nêu trên.
VII/ ĐỀ NGHỊ:
Trong quá trình viết và vận dụng đề tài, vì chủ yếu là để bồi dưỡng HSG
nhằm rèn luyện kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử nên tôi chưa đi sâu phân
tích về mặt lý thuyết từng phương pháp cũng như chưa nêu ra các ứng dụng của
phân tích đa thức thành nhân tử. Chính vì vậy mà đôi khi có bài toán không nêu
trực tiếp yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử (ví dụ chứng minh chia hết) thì
HS vẫn còn bỡ ngỡ.
Trong khi viết tài liệu này tôi cũng không đi sâu vào việc phân phối thời
gian cũng như lựa chọn số lượng bài tập cũng cố và cũng không đề cập đến việc
dặn dò, hướng dẫn về nhà mà chỉ đề cập đến việc hướng dẫn HS các phương
pháp phân tích đa thức thánh nhân tử. Vì vậy tuỳ theo từng tình hình thực tế của
địa phương, trình độ HS trong lớp mà GV có thể điều chỉnh hợp lý. Rất mong
bạn đọc tìm hiểu nghiên cứu, phân tích cụ thể, nêu ra các ứng dụng của phân tích
đa thức thành nhân tử, cũng như sắp xếp các bài tập theo loại để giúp HS có có
nhìn tổng quát và sâu sắc hơn về vấn đề này.
Với thời gian ngắn ngủi và kinh nghiệm chưa nhiều chắc rằng tài liệu này
còn có nhiều thiếu sót, hạn chế rất mong các thầy cô giáo, học sinh cùng bạn đọc
góp ý kiến phê bình.
Chân thành cảm ơn !
Đại Lộc, ngày 01/03/2013
Người viết: Nguyễn Mính
(TT tổ Toán-Lí-Tin trường THCS Quang Trung).
10
VIII/ PHỤ LỤC

x
n
+ a
1
x
n-1
+ + a
n-1
x + + a
n
. với các hệ số là a
0
, a
1
, a
2
, a
n
nguyên có nghiệm x = a (a thuộc Z) thì a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
+ + a
n-1
x + + a
n

Phân tích các đa thức thành nhân tử:
Bài 1: a/ x
2
+ 7x + 10. b/ x
2
- 6x +5. c/ 3x
2
-7x - 6
d/ 10x
2
- 29x + 10 e/ x
3
+ 4x
2
- 3x - 18
f/ x
3
+ 4x
2
- 29x + 24 g/ x
3
+ 6x
2
+11x + 6.
Bài 2: a/ x
4
+ 4 b/ x
4
+ x
2

2
) + c(a - b)(a
2
- b
2
).
Bài 6: a/ x
4
+x
3
- 5x - 3 b/ 3x
4
- 5x
3
- 18x
2
- 3x +5.
Bài 7: a/ 2a
2
b
2
+ 2a
2
c
2
+ 2b
2
c
2
- a

3
- 3xyz
c/ (a -b)
3
+ (b - c)
3
+ (c - a)
3
d/ (a
2
+ b
2
)
3
+ (c
2
- a
2
)
3
- (b
2
+ c
2
)
3
.
Bài 9: [4abcd + (a
2
+ b

(y - x) + y
2
z
2
(z - y) - z
2
x
2
(z - x).
Bài 12: a/ a(b +c)
2
(b -c) + b(c +a)
2
(c -a) + c(a+b)
2
(a -b).
b/ a(b -c)
3
+ b(c -a)
3
+ c(a -b)
3

c/ a
2
b
2
(a -b)+ b
2
c

4
(a -b)
Bài 13: a/ (a + b + c)
3
- (a + b - c)
3
- (b +c - a)
3
- (c + a - b)
3

b/ abc - (ab + bc + ca) + ( a +b +c) - 1
Bài 14: a/ (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a
4

b/ (x
2
+ y
2
+ z
2
)(x + y + z)
2
+ (xy + yz + zx)
2
.
c/ 2(x
4
+ y
4

(HD: đặt a +b = m; a - b = n).
Bài 16: a/ 4x
4
- 32x
2
+1 b/ x
6
+ 27
c/ 3(x
4
+ x
2
+ 1) - (x
2
+ x + 1)
2
d/ (2x
2
- 4) + 9
Bài 17: a/ 4x
4
+ 1 b/ 4x
4
+ y
4
c/ x
4
+ 324
Bài 18: a/ x
5

+ 3xy + y
3
- 1
Bài 20: a/ 4x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 2x +1 b/ x
4
- 7x
3
+ 14x
2
- 7x + 1
c/ x
4
- 8x +63 d/ (x + 1)
4
+ (x
2
+ x +1)
2

Bài 21: a/ x
8
+ 14x
4
+ 1 b/ x

MỤC LỤC
THỨ TỰ MỤC TRANG
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Đặt vấn đề
Cơ sở lý luận
Cơ sở thực tiển
Nội dung nghiên cứu
Kết quả nghiên cứu
Kết luận
Đề nghị
Phụ lục
Tài liệu tham khảo
1
2
3
3
9
9
10
11
13
14