PHẦN I. MỞ ĐẦU
I/ LÝ DO CHỌN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
Đối với trình độ học sinh THCS, việc trang bị kiến thức có đào sâu suy
nghĩ, rèn luyện năng lực tư duy toán học. Phát huy trí lực học sinh là một điều
vô cùng quan trọng, nó là cơ sở vững chắc để các em học tập toán học được tốt.
Trong chương trình toán học phổ thông phân tích đa thức thành nhân tử là
một vấn đề dặc biệt quan tâm. Vì nó được sử dụng rất nhiều khi giải toán trên
các đa thức, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức các phân thức, biến đổi đồng
nhất các biểu thức hữu tỉ, chứng minh đẳng thức, giải phương trình và xuyên
suốt quá trình học tập sau này của học sinh.
Để phân tích một đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp. Việc tìm
ra phương pháp thích hợp cho lời giải một bài toán được ngắn gọn, chính xác,
khoa học hay tìm ra nhiều cách giải khác nhau trong một bài toán tất cả đều
phụ thuộc vào việc tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh. Khi lựa chọn
các phương pháp để phân tích giúp cho học sinh phát triển tư duy toán học, óc
tìm tòi sáng tạo, kỹ năng vận dụng kiến thức đã học khi giải một bài toán cụ thể.
Không những thế khi phân tích đa thức thành nhân tử học sinh được ôn lại hay
sử dụng các kiến thức liên quan như : Hằng đẳng thức, kỹ năng thêm bớt tách
các hạng tử, tính nhẩm nghiệm của đa thức Nói chung, các thủ thuật toán học
để giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi học sinh phải tư duy
nhiều nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đó.
Để giúp đỡ các em học sinh tiếp cận và khai thác lời giải các bài toán phân
tích đa thức thành nhân tử và các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân
tử trong quá trình giải, cũng như nhằm nâng cao kiến thức cần thiết giúp các em
học tốt môn toán và đồng thời phát huy được trí tuệ của học sinh. Qua quá trình
giảng dạy bộ môn Toán 8 tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến và giải pháp thực hiện
về việc “Phát huy trí lực của học sinh qua việc học sinh giải quyết các bài
toán phân tích đa thức thành nhân tử” nhằm giúp em nắm vững một số
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, một số bài tập nâng cao, một số
bài tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, thấy được đó
là công cụ đắc lực trong giải một số loại toán. Và qua đó cũng nhằm phát huy

Phương
pháp dùng
hằng đẳng
thức
Phối hợp
nhiều
phương
pháp
Phối hợp
nhiều
phương
pháp
Phương
pháp nhóm
nhiều hạng
tử
Phương
pháp nhóm
nhiều hạng
tử
Các phương
pháp đặc
biệt hoá
Các phương
pháp đặc
biệt hoá
Phương
pháp đặt
nhân tử
chung

PHÁP ĐẶC BIỆT
CHƯƠNG III:
PHÁT HUY TRÁ
LỰC HỌC SINH
QUA VIỆC PHÁN
TÁCH ĐA THỨC
THÁNH NHÁN TỬ
CHƯƠNG III:
PHÁT HUY TRÁ
LỰC HỌC SINH
QUA VIỆC PHÁN
TÁCH ĐA THỨC
THÁNH NHÁN TỬ
CHƯƠNG I:
CÁC PHƯƠNG
PHÁP CƠ BẢN
CHƯƠNG I:
CÁC PHƯƠNG
PHÁP CƠ BẢN
PHẦN II:
NỘI DUNG
CỤ THỂ
PHẦN II:
NỘI DUNG
CỤ THỂ
4
Khi phân tích bằng phương pháp này ta dựa vào tính chất phân phối của phép
nhân đối với phép cộng các đa thức: A.B + A.C =A.(B +C)

II. PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC

2
+ B
3
5.
Lập phương của một hiệu: ( A - B )
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
6.
Tổng hai lập phương : A
3
+ B
3
=( A +B ).(A
2
- AB + B
2
)
7.
Hiệu hai lập phương : A
3
- B
3
=( A - B ).(A

4
+ 2xy
2
+ 1)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
Giải
25x
4
+ 10x
2
y + y
2
= (5x
2
)
2
+ 2.5x
2
.y + y
2
= ( 5x
2
+ y)
2
III. PHƯƠNG PHÁP NHÓM NHIỀU HẠNG TỬ
Khi sử dụng phương pháp này ta cần nhận xét đặc điểm của các hạng tử rồi
kết hợp các hạng tử thích hợp nhằm làm xuất hiện dạng hằng dẳng thức hoặc
xuất hiện nhân tử chung của các nhóm rồi dùng các phương phap đã biết để
phân tích đa thức thành nhân tử.
Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x

=(x+z)
2
- y
2
=(x+y+z)(x-y+z)
IV. PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
Thường được tiến hành theo các trình tự sau :
+ Đặt nhân tử chung (nếu có) để biểu thức còn lại đơn giản hơn dễ nhận xét hơn
+ Nhóm hạng tử
+ Dùng hằng đẳng thức
Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

x
2
+ 2xy + y
2
- xz – yz
Giải
x
2
+ 2xy + y
2
- xz – yz = (x
2
+ 2xy + y
2
) – (xz + yz) = (x+y).(x+y-z)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
3x
3

2
-2x+1)-(y
2
+2ay+a
2
)]
= 3xy[(x-1)
2
-( y+a)
2
]
= 3xy(x-1-y-a)(x-1+y+a)
Chương II : Các phương pháp đặc biệt
I . PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ
Trong một số trường hợp bằng các phương pháp đã học không thể giải được
mà ta phải nghĩ tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để có thể áp dụng được
các phương pháp đã biết.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

x
2
- 6x + 8
6
Giải
Cách 1 : x
2
- 6x + 8 = x
2
- 2x- 4x+8 =x(x-2)-4(x-2) =(x-2)(x-4)
Cách 2 : x

2
+6x-8
Giải
9x
2
+6x-8 =9x
2
-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4)
Hoặc: =9x
2
-6x+1 – 9 =(3x+1)
2
-3
2
=(3x+1-3)(3x+1+3) =(3x -2)(3x+4)
*Chú ý : Khi tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử ta có thể dựa vào hằng
đẳng thức đáng nhớ: mpx
2
+ (mq +np)x +nq = (mx +n)(px +q)
Như vậy trong tam thức bậc hai :a x
2
+bx+c hệ số b = b
1
+ b
2
sao cho b
1
. b
2
= a.c.

x
2
-x -6 = x
2
+ 2x -3x -6 = x(x+2) -3(x+2) = (x+2)(x-3)
*Chú ý : Trong trường hợp tam thức bậc hai : ax
2
+ bx + c có b là số lẻ, hoặc
không là bình phương của một số nguyên thì nên giải theo cách một gọn hơn so
với cách hai.
II . PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ
Khi đa thức đã cho mà các hạng tử trong đa thức đó không chứa thừa số
chung, không có dạng của một hằng đẳng thức nào. cũng như không thể nhóm
các số hạng thì ta phải biến đổi hạng tử để có thể vận dụng được các phương
pháp phân tích đã biết.
Ví dụ 5 : Phân tích đa thức x
4
+ 4 thành nhân tử
Ta thấy x
4
=(x
2
)
2
; 4 = 2
2
Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng
hạng tử 4x
2


; b
4
= (b
2
)
2
Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho
cùng hạng tử 16a
2
b
2
64a
2
+ b
4
= 64a
2
+ b
4
+ 16a
2
b
2
- 16a
2
b
2
8
= (8a
2

2
+x)
2
+ 4(x
2
+ x) - 12
Nhận thấy nếu đặt x
2
+ x = y thì có đa thức đơn giản hơn y
2
+ 4y -12 là tam
thức bậc hai của biến y
Ta có : y
2
+ 4y -12 = y
2
+6y - 2y -12 = (y+6)(y-2) = (x
2
+ x+6)( x
2
+ x -2)
=(x
2
+ x+6)( x
2
+2x-x -2)
=(x
2
+ x+6)[x ( x +2)- ( x +2) ]
=(x

2
+ 3x + 4)( x
2
+ 3x -1)
IV . PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
( PHƯƠNG PHÁP HẠ BẬC ĐA THỨC )
Tổng quát : cho đa thức f(x); a là nghiệm của f(x) nếu f(a) = 0 như vậy nếu f(x)
chứa nhân tử x - a thì a phải là nghiệm của đa thức
- Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phải là ước của
hạng tử không đổi
- Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử x-1
Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc
lẻ thì đa thức chứa nhân tử x + 1
9
Ví dụ 9 : Phân tích đa thức x
3
+ 3x
2
-4 thành nhân
Nếu đa thức có nghiệm là a thì nhân tử còn lại có dạng x
2
+ bx +c.
Suy ra: a.c = -4, tức là a phải là ước của -4 (
±
1;
±
2;
±
4). Kiểm tra thấy 1 là
nghiện của đa thức. Như vậy đa thức chứa nhân tử x – 1. Do đó ta tách các hạng

2
+ x +1 +3x+3) =(x-1)(x
2
+4x+4) = (x-1)(x+2)
2
Ở ví dụ trên ta càng nhận thấy tổng các hệ số của đa thức là 1+3-4 = 0 nên đa
thức chứa nhân tử x-1. Do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện
nhân tử chung x-1
Ví dụ 10 : Phân tích đa thức 2x
3
- 5x
2
+ 8x-3 thành nhân tử
Các ước của -3 là :
±
1 ;
±
3 mà
±
1;
±
3 không là nghiệm của đa thức. Như
vậy đa thức không có nghiệm nguyên. Nhưng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ.
*Chú ý : Trong đa thức với số nguyên, nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng
q
p
với p là ước của hạng tử không đổi, q là ước dương của hạng tử cao
nhất.
Như vậy trong đa thức trên nghiệm hữu tỉ nếu có chỉ có thể là :
-1 ; -

10
V . PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
Ví dụ 11: Phân tích đa thức 2x
3
-5x
2
+8x-3 thành nhân tử
Giải : Nếu đa thức tiện phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng
(ax+b)(cx
2
+dx+m)=acx
3
+(ad+bc)x
2
+(am+bd)x+bm
Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho 2x
3
-5x
2
+8x-3 , ta được:
2x
3
-5x
2
+8x-3 = acx
3
+(ad+bc)x
2
+(am+bd)x+bm
Suy ra : a.c = 2 ; ad+bc =-5 ; am+bd = 8 ; b.m = -3

2 = -2k => k=-1
11
Vậy P = (a-b)(b-c)(c-a)
Ví dụ 13 : Phân tích đa thức Q = (a+b+c)
3
-a
3
-b
3
-c
3
thành nhân tử
Giải
Sử dụng phương pháp xét giá trị riêng ta có. Nếu ta thay a bởi -b thì
Q= (0+c)
3
+b
3
-b
3
-c
3
=0. Vậy Q chia hết cho (a+b). vai trò của a,b,c như nhau
trong đa thức nên Q chia hết cho (a+b)(b+c)(c+a)
Trong phép chia đó, đa thức bị chia Q có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa
thức chia (a+b)(b+c)(c+a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên
thương là hằng số k
(a+b+c)
3
-a

3
- x chia hết cho3 với mọi số nguyên x.
Giải : Ta có P = x
3
- x =x(x
2
-1) = x(x+1)(x-1)
Vì x nguyên nên x+1,x-1 là số nguyên . Do đó:
P = (x+1). x .(x-1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp sẽ chia hết cho 3
Vậy P

3
∀
x
∈
Z.
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng : x
5
- 5x
3
+ 4x chia hết cho 120 với mọi số nguyên
x.
Giải : Ta có M = x
5
-5x
3
+ 4x
= x(x
4
-5x

8 ( 8 là BCNN của 2và 4)
Vậy M

8.3.5 =120 ( vì 3;8;5nguyên tố cùng nhau từng đôi một )
Ví dụ 3 : Chứng minh đa thức x
3
- x
2
+x -1 chia hết cho đa thức x-1
Giải : Ta có P = x
3
- x
2
+x -1= x
2
(x-1)+(x-1) = (x-1)(x
2
+1)
Đa thức P chứa nhân tử x-1 nên P

(x-1)
Để giải các bài toán trên tôi đã đi phân tích các đa thức bị chia thành nhân
tử (sử dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử) để biến đa thức chia thành
tích sau đó tiếp tục sử dụng các kiến thức về tính chia hết suy ra điều phải
chứng minh.
Khi chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức khác ta có nhiều
cách chứng minh. ở ví dụ 3 ta có thể chứng minh bằng cách thực hiện phép
chia, số dư bằng 0 có thể dùng lược đồ Hoocme tìm số dư ( dư 0 ). Hoặc chứng
minh nghiệm của đa thức chia là nghiệm của đa thức bị chia. Nhưng cách làm
đó dài, hoặc đơn điệu hoặc phức tạp hơn so với cách làm trên (áp dụng phân

≥
0 với
∀
x . Hay biểu thức P không âm với
∀
x.
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng biểu thức M =
223
1
234
34
++++
+−−
xxxx
xxx
không âm với mọi x
Giải
Ta có : M =
223
1
234
34
++++
+−−
xxxx
xxx
=
223
)1()1(
234

x
x
Vì x
2
+x +1 = x
2
+x +
4
1
+
4
3
=(x+
2
1
)
2
+
4
3
>0
∀
x
Mặt khác (x-1)
2

≥
∀
x và x
2

14
Giải P =
78
55
2
++
+
xx
x
=
)77()(
)1(5
+++
−
xxx
x
=
)1(7)1(
)1(5
+++
−
xxx
x
=
7
5
+x
( với x
≠
-1; x

+x
Giải Biến đổi VT ta có : VT =
78
55
2
++
+
xx
x
=
)7)(1(
)1(5
++
+
xx
x
=
7
5
+x
=VP
Vậy đẳng thức được chứng minh .
Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức sau
1
2
−
−−
x
x
=

−
+
1
2
Biến đổi VT ta có : VT =
1
2
−
−−
x
x
=
1
)2(
−
+−
x
x
=
x
x
−
+
1
2
VT =VP Vậy đẳng thức được chứng minh.
Với học sinh các em rất thích thú với dạng bài tập này vì các em cho rằng đây là
dạng toán đã cho sẵn kết quả.
V. BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN SỐ ĐỂ BIỂU THỨC CÓ GIÁ
TRỊ NGUYÊN.

⇔
x+7 là ước của 5 (
±
1;
±
5)
Do đó x+7 =-1
⇒
x=-8
x+7 = 1
⇒
x=-6
x+7 =-5
⇒
x=-12
x+7 = 5
⇒
x=-2
Vậy khi biến số nhận một trong các giá trị { -12;-8;-6;-2} thì P đạt giá trị
nguyên.
16
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. KẾT LUẬN
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hình
thành kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh
2. Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung chuyên
đề thực hiện.
3. Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải quyết
các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.

tham khảo môn Toán để học sinh được tìm tòi, học tập khi giải toán để các em có
thể tránh được những sai lầm trong khi làm bài tập và nâng cao hứng thú, kết quả
học tập môn toán nói riêng, nâng cao kết quả học tập của học sinh nói chung.
3. Với PHHS
- Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con cái. Thường xuyên
kiểm tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của các con
Tóm lại, phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung chủ yếu trong chương
trình toán 8, muốn phát huy được trí lực của học sinh ta cần sử dụng nhiều
phương pháp khác nhau. Trong quá trình giảng dạy, tôi đã vận dụng các phương
pháp trên để phát huy trí tuệ của học sinh thông qua việc phân tích đa thức
thành nhân tử, tôi thấy kết quả học sinh có tiến bộ rõ rệt, nhiều em đã say mê
học toán. Trên đây là một vài sáng kiến mà tôi đã áp dụng trong năm học này,
rất mong sự đóng góp của các đồng nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn.

18