Đề tài:
Kích thích sự sáng tạo của học sinh trong việc vận dụng bài toán
dạng phân tích đa thức thành nhân tử vào việc giải các dạng bài
toán khác trong chương trình lớp 8 bậc THCS.

ĐẶT VẤN ĐỀ.

Trong bối cảnh toàn Ngành Giáo dục và Đào tạo đang nỗ lực đổi mới
phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh
trong hoạt động học tập, để đáp ứng những đòi hỏi đổi mới được đặt ra cho sự
bùng nổ kiến thức và sáng tạo kiến thức mới, cần phải phát triển năng lực tư duy,
năng lực giải quyết vấn đề và tính sáng tạo.
Rèn luyện kỹ năng tư duy sáng tạo, kích thích phát triển tư duy sáng tạo là
một yêu cầu không thể thiếu trong việc dạy học giải bài tập ở tất cả các môn học
nói chung, trong đó có bộ môn Toán học. Vấn đề này lại càng được đặc biệt chú ý
đối với đối tượng học sinh khá giỏi; với công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.
Trong những năm gần đây, bản thân được phân công dạy chương trình nâng
cao và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi nhận thấy hầu hết học sinh thường khai thác dữ
kiện bài toán một cách phiến diện chưa triệt để, sáng tạo mà còn phụ thuộc vào
sách giáo khoa, sự hướng dẫn của giáo viên một cách rập khuôn, máy móc. Vì vậy,
khi gặp các bài toán cùng dạng nhưng thay đổi dữ kiên, cách hỏi,…thì các em
thường bí mà chưa biết sáng tạo, phát hiện tìm ra những cái mới từ những cái đã
biết.
Làm thế nào để xoá được cách nhìn xơ cứng của học sinh trước một bài
toán? Đó là một câu hỏi luôn thường trực đặt ra trong đầu tôi.Thực hiện được điều
đó là việc làm hết sức khó khăn, không phải chỉ trong ngày một ngày hai mà đòi
hỏi người thầy giáo phải có kiến thức vững vàng, có khả năng thâu tóm vấn đề tốt,
phải luôn luôn chịu khó tích luỹ, có lòng ham mê khoa học và truyền được lòng
ham mê đó tới học sinh. Phát hiện được cái mới từ những cái đã biết là đã tạo
được cho các em sự nhạy bén trong tư duy, hứng thú trong học tập điều này rất
quan trọng đối với những em học sinh khá giỏi. Dưới sự hướng dẫn, gợi mở của

Bài toán 1: Phân tích đa thức: x
3

+y
3

+z
3

-3xyz thành nhân tử.
+ Tìm hiểu bài toán: Đề bài đòi hỏi ta phải phân tích đa thức đã cho thành
nhân tử tức là biến đổi tổng đã cho thành một tích gồm hai hay nhiều thừa số.
+ Hướng dẫn cách tìm lời giải: ta đã biết 3 phương pháp phân tích một đa
thức thành nhân tử: đặt nhân tử chung; dùng hằng đẳng thức; nhóm nhiều hạng tử.
Thông thường phải phối hợp cả 3 phương pháp một cách linh hoạt để phân tích. Ở
bài toán này cả 3 phương pháp đó đều chưa sử dụng được. Bởi vậy ta phải sử dụng
phương pháp khác đó là thêm bớt cùng một hạng tử . Vậy hạng tử cần thêm bớt ở
đây là bao nhiêu để làm xuất hiện hằng đẳng thức lập phương của một tổng rồi sau
đó ta lại áp dụng tiếp hằng đẳng thức tổng 2 lập phương vào để phân tích? Bằng
câu hỏi gợi mở, giáo viên để cho học sinh thảo luận rồi đưa ra lời giải.
Có thể giáo viên hướng dẫn cho học sinh theo sơ sau:
x
3
+y
3
+z
3
– 3xyz
⇓
x

– 3xz(x+y+z)
hoặc: (y+z)
3
+x
3
– 3yz(x+y+z)
⇓
(x+y+z) [(x+y)
2
– (x+y)z +z
2
] - 3xy(x+y+z)
hoặc: (x+y+z) [(x+z)
2
– (x+z)y + y
2
] - 3xz(x+y+z)
hoặc: (x+y+z) [ (y+z)
2
– (y+z)x + x
2
] - 3yz(x+y+x)
⇓
(x+y+z)(x
2
+y
2
+z
2
–xy –yz –xz).


2
1
(x+y+z)(2x
2
+2y
2
+2z
2
–2xy –2xz –2yz) =0

2
1
(x+y+z)[(x-y)
2
+(x-z)
2
+(y-z)
2
] = 0
 x+y+z = 0 hoặc (x-y)
2
+(x-z)
2
+(y-z)
2
= 0
 x+y+z = 0 hoặc x=y=z
Vận dụng hai bài toán cơ bản trên, các em dễ dàng giải quyết một số bài toán được
diễn đạt dưới những hình thức khác; một số bài có yêu cầu ở mức độ cao kể cả

+z
3
– 3xyz chia hết cho
x+y+z.

Bài toán 4. Chứng minh rằng x
3
+y
3
+z
3
<
<<
<3xyz khi và chỉ khi x+y+z <
<<
< 0
Hướng dẫn giải:
Từ x
3
+y
3
+z
3
<
<<
<3xyz, chuyển vế ta có: x
3
+y
3
+z

> 3xyz khi và chỉ khi x+y+z >
>>
>0
(Giải tương tự như bài tập 4)

Bài toán 6. Cho a
3
+b
3
+c
3
= 3abc, tính.

a. M=(1 +
)
b
a
(1 +
c
b
) (1+
a
c
)

b. N=
))()(( accbba
abc
+++


b
a
(1 +
c
b
) (1+
a
c
) =
b
ba
+
.
c
cb
+
.
a
ca
+
=
abc
bac )).().((
−
−
−
=-1

+ Nếu a=b=c thì M = (1+
b

+y
3
+z
3
= 3xyz .
Khai triển biểu thức P để làm xuất hiện điều bài toán đã cho sau đó thay vào
ta sẽ tính được giá trị của P.
Ta có thể giải bài toán như sau:

Giải.
Từ giả thiết x+y+z = 0 ⇒x
3
+y
3
+z
3
= 3 xyz(bài toán 2)
⇒ P =
yz
x
2
+
yz
y
2
+
xy
z
2
=

x
−−
+
222
2
xzy
y
−−
+
222
2
xyz
z
−−

Tương tự câu a, ta giải được câu b:
Từ x+y+z = 0 ⇒ x = -(y+z);
y = -(z+x);
z = -(x+y);
⇒ x
2
– y
2
–z
2
= 2yz; y
2
–z
2
– x

xyz
z
−−

=
yz
x
2
3
+
zx
y
2
3
+
xy
z
2
3

=
3
33
2xyz
zyx ++

=
xyz
xyz
2

a
c
b
−
), biết rằng: a+b+c = 0
Giải.
Gọi B =
c
ba
−
+
a
cb
−
+
b
ac
−

Ta có: B.
b
a
c
−
= 1 +
b
a
c
−
(

−
= 1 +
ab
c
2
2
= 1 +
abc
c
3
2

Tương tự: B.
c
b
a
−
= 1 +
abc
a
3
2

B.
a
c
b
−
= 1 +
abc

Từ dữ kiện của bài toán đã cho: a + b + c + d = 0, ta nhóm hai trong bốn
hạng tử để làm xuất hiện tổng của ba hạng tử bằng không (a + b + (c+d) = 0 ), để
từ đó áp dụng kết quả bài toán 2 ta có: a
3
+ b
3
+(c+d)
3
= 3ab(c+d), khai triển tiếp vế
trái của đẳng thức ta được: a
3
+b
3
+c
3
+d
3
+3cd(c+d) = 3ab(c+d). Nên ta có thể giải
bài toán như sau:
Giải.
Thật vậy,từ giả thiết đã cho:
a + b + c +d = 0 ⇒a + b + (c+d) = 0
⇒ a
3
+ b
3
+(c+d)
3
= 3ab(c+d)(bài toán 2)
⇒ a

3
+ (3x – 5)
3
- 3(x – 1)(2x – 3)(3x – 5) = 0 (2)
Phân tích:
a.Khi ta đặt: a= 2x – 5
b = 4- 3x
c = x + 1
ta có: a + b + c = 2x- 5 + 4 – 3x + x + 1 =0
Phương trình (1) trở thành: a
3
+b
3
+ c
3
= 0
Từ bài toán 2: a +b +c = 0 ⇔ a
3
+b
3
+c
3
= 3abc,
Ta có: (1) ⇔ 3(2x – 5)(3x – 4)(x + 1) = 0
Giải phương trình tích này ta có tập nghiệm của phương trình(1) là:S =
{-1;
3
4
;
2

+(b-c)
2
+(c-a)
2
]
Ta được: (2) ⇔
2
1
(x-1+2x-3+3x-5) )[(x-2)
2
+(2x- 4)
2
+(x- 2)
2
] = 0
⇔
2
1
(6x – 9).6(x – 2)
2
= 0
⇔ 9(x – 2)
2
(2x – 3) = 0

Giải phương trình tích này ta có tập nghiệm của phương trình(2) là:S =
{2;
2
3
}

b = y-z-x
c = z-x-y
⇒x+y+z = -a-b-c
Áp dụng bài toán 10 ta có:
(x+y+z)
3
+ (x-y-z)
3
+ (y-z-x)
3
+ (z-x-y)
3
= (-a-b-c)
3
+a
3
+b
3
+ c
3

= 3(b+c)[(-a-b-c)a – bc ]
= 3(b+c)(-a
2
– ab – ac – bc)
= -3(b+c)(a+b)(a+c)
= 12 xyz.
Vậy (x+y+z)
3
+ (x-y-z)

+ c
c
= 3
abc

⇒
⇒⇒
⇒ (
a
)
3
+ (
b
)
3
+ (
c
)
3
- 3
a
.
b
.
c
= 0.
Đặt A =
a
; B =
b

trước một số em trông chờ kết quả của bạn của cô) và chính bằng nỗ lực bản thân
nhiều em đã tìm được hướng đi đúng, giải quyết vấn đề một cách trọn vẹn.
-Đặc biệt, tự các em đã hình thành được mối liên hệ chủ yếu của các kiến
thức, các bài học không những trong đại số mà giữa Đại số-Hình học-Số học.
-Học sinh nắm và vận dụng kiến thức một cách sâu sắc hơn, linh hoạt hơn.
Thể hiện hiểu bài, làm bài và vận dụng kiến thức thành thạo có kỹ năng , kỹ xảo.
Qua đó giáo dục và hình thành ở các em khả năng linh hoạt để giải quyết các vấn
đề không những trong toán học, trong các môn khoa học mà khả năng lựa chon,
giải quyết các vấn đề thực tiễn một cách khoa học, tối ưu nhất.
-Tỷ lệ học sinh giá và giỏi toán nâng lên rõ rệt . Học kỳ I chỉ có 15 % khá
giỏi , sang học kỳ II số lượng học sinh khá giỏi được nâng lên 23% .

IV.BÀI HỌC KINH NGHIỆM.

Qua thực tế hướng dẫn học sinh giải các bài toán như trên tôi rút ra một số
kinh nghiệm sau:
 Khi hướng dẫn học sinh khai thác các bài toán dạng cơ bản giáo viên cần:
+ Giúp các em khai thác một cách triệt để, toàn diện. Mặt khác giáo viên cần
nhấn mạnh để học sinh nắm được bản chất của nó, đó chính là chỗ dựa vững chắc
để các em có thể làm được các bài toán với yêu cầu ở mức độ cao hơn.
+ Giáo viên cần gợi mở để các em tìm tòi, phát hiện ra các cách giải khác
nhau cho một bài toán để thuận tiện trong việc định hướng giải các bài toán biến
dạng hoặc có yêu cầu cao hơn.
+ Khi phát hiện ra nhiều cách giải khác nhau chắc chắn các em sẽ biết được
cách giải nào là ngắn gọn và dễ hiểu nhất . Các em như khám phá được những điều
bí ẩn để rồi kích thích tính ham hiểu biết, thích chinh phục thế giới xung quanh, từ
đó gây hứng thú trong việc học tập.
 Khi giải các bài toán với mức độ phức tạp cao hơn, giáo viên có thể gợi mở
định hướng giúp học sinh biết phân tích tìm ra điểm nút , đó là chìa khoá dẫn đến
thành công trong việc giải toán.