Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ CÁC ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN
MƠN TỐN 8
MỤC LỤC
Stt Nội dung
Từ trang
đến trang
PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ
1 Lý do chọn đề tài - mục đích
nghiên cứu
2 đến 3
PHẦN THỨ HAI: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1 Các hệ thống cư bản 3 đến 4
2 Những vấn đề cần giải quyết
Phần I: Các bài tốn phân tích đa
thức thành nhân tử và khai thác
các kết quả của chúng.
Phần II: Một số lợi ích của việc
phân tích đa thức thành nhân tử.
4 đến 19
19 đến 28
3 Kết quả 28 đến 29
4 Bài học kinh nghiệm 29
5 Phạm vi áp dụng - Hướng đề xuất 29 đến 31
PHẦN THỨ BA: KẾT KUẬN
1 Kết luận 32
2 Bài tập đề nghị 32 đến 33
3 Danh mục tài liệu tham khảo 33
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang

+ Đặt nhân tử chung.
+ Dùng hằng đẳng thức.
+ Nhóm các hạng tử.
+ Phối hợp nhiều phương pháp.
Trong thực tế có những bài tốn ở dạng này rất phức tạp khơng thể
áp dụng các phương pháp trên để giải được. Gặp các bài như vậy thì các em
lại lung túng khơng biết làm thế nào và sử dụng phương pháp nào để giải.
Qua thực tế giảng dạy tơi thấy việc hệ thống các phương pháp giải
đối với từng loại là rất cần thiết nó giúp các em thấy được sự đa dạng và
phong phú về nội dung của từng loại tốn. Đồng thời giúp cho các em có
một cách nhìn nhận dưới nhiều góc độ khác nhau của một dạng tốn, từ đó
kích thích các em có sự tìm tòi sang tạo, khám phá những điều mới lạ say
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 2
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
mê trong học tập, có nhiều hứng thú khi học bộ mơn tốn. Với hy vọng nhỏ
là làm sao cho các em học sinh có thể thực hiện được các bài tốn phân tích
một đa thức thành nhân tử một cách say mê và hứng thú đã giúp tơi chọn
chun đề: “Phân tích một đa thức thành nhân tử”
PHẦN THỨ HAI: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I/ Các hệ thống kiến thức cơ bản:
Trước hết cần nhắc lại một số kiến thức cơ bản phục vụ cho vioệc
giải bài tốn “Phân tích đa thức thành nhân tử”
1/ Định nghĩa: Phân thích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó
thành một tích của những đơn thức khác.
2/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thơng thường.
a. Đặt nhân tử chung.
b. Dùng hằng đẳng thức.

=A
3
-3A
2
B+3AB
2
-B
3
A
3
+B
3
=(A+B)(A
2
-AB+B
2
)
A
3
+B
3
=(A-B)(A
2
+AB+B
2
)
c. Nhóm các hạng tử.
d. Phối hợp các phương pháp trên.
3/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phưưong pháp khác.
a. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.

Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 3
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
thức, với thời lượng chỉ có 6 tiết bao gồm 6 tiết lý thuyết và 1 tiết luyện tập
thì các em học sinh chỉ hồn thành phần bài tập chứ chưa nói đến việc khai
thác và xem xét các ứng dụng của các phương pháp phân tích đó.
Để rèn luyện kỹ năng cho học sinh trong q trình giải các bài tốn
phân tích đa thức thành nhân tử tơi đã phân dạng các bài tốn thành hai
loại:
- Bài tập thơng thường và các bài tập được khai thác từ đó.
- Các bài tốn ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử.
Phần I: Các bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử và khai thác các
kết quả của chúng.
I. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương paháp thơng
thường (Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng
tử…)
Đây là các phương pháp được dùng cho các bài tốn phân tích ở mức
độ đơn giản. Tuy nhiên có những đa thức cần phải biến đổi một số bước.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. x
2
– 3x b. 12x
3
– 6x
2
+ 3x
c.
2 3 2
2

(
2
5
5
x y+ +
)
d. 14x
2
y – 21xy
2
+28x
2
y
2
= 7xy(2x – 3y +4xy).
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. 5x
2
(x – 2y) – 15xy(x – 2y)
b. x(x + y) +4x +4y
Giải
a. 5x
2
(x – 2y) – 15xy(x – 2y)
= (x – 2y)( 5x
2
- 15xy)
=(x – 2y)5x(x – 3y)
b. x(x + y) +4x +4y
c. = x(x + y) +(4x +4y)

Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. (a – b)x + (b – a)y – b + a
b. (a + b – c)x
2
– (c – a – b)x
Giải
a. (a – b)x + (b – a)y – b + a
= (a – b)x - (a – b)y + (a – b)
= (a – b)(x – y + 1)
b. (a + b – c)x
2
– (c – a – b)x
= (a + b – c)x
2
+ (a + b – c)x
= (a + b – c)x(x + 1)
Nhận xét: Trong hai ví dụ vừa nêu trong ví dụ 1 học sinh có thể biết đổi
dấu ở hạng tử thứ hai từ b – a thành a – b để xuất hiện nhân tử chung nhưng
đối với hạng tử thứ ba thì các em dễ bị nhầm lẫn và cho rằng khơng có
nhân tử chung nhưng chỉ cần hướng dẫn các em đổi vị trí của a và b thì sẽ
có nhân tử chung, cũng bằng nhận xét tương tự như vậy ta có cách làm
tương tự đối với ví dụ thứ hai.
Vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử đây
là cách làm thơng dụng nhất được áp dụng nhiều nhất. Để áp dụng phương
pháp này u cầu học sinh phải nắm chắt bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.
Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. x
2
– 6x + 9
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh

c. 1 – 27x
3
= (1 – 3x)(1 + 3x + 9x
2
)
d.
3
3
1
x
x
+
=
2
2
1 1
( )( 1 )x x
x x
+ + +
e. –x
3
+ 9x
2
– 27x +27 = - (x
3
- 9x
2
+ 27x -27) = -(x – 3)
3
Ở ví dụ trên là các hằng đằng thức đã được triển khai. Việc phân tích

2
=
[ ]
2
2
(4 ) 7( )a b c− −
= (4a – 7b + 7c)(4a + 7b - 7c)
c. 49(y – 4)
2
- 9(y – 2)
2
[ ] [ ]
[ ] [ ]
2 2
7( 4) 3( 2)
7( 4) 3( 2) 7( 4) 3( 2)
7( 4) 3( 2)(7( 4) 3( 2)
7 28 3 6)(7 28 3 6)
(4 22)(10 34)
y y
y y y y
y y y y
y y y y
y y
= − − −
= − − − − + −
= − − − − + −
= − − + − + −
= − −
Ta có thể thấy trong 3 ví dụ trên khơng khó nhưng vấn đề ở chỗ là

2
– y
= (x
2
– y
2
) – (x + y)
= (x + y)(x – y) – (x + y)
= (x + y)(x – y – 1)
b. x
2
– 2xy + y
2
– z
2
= (x
2
– 2xy + y
2
) – z
2
= (x – y)
2
– z
2
= (x – y – z)(x – y + z)
c. x
2
– 3x +xy – 3y
= (x

Phương pháp chung để làm loại tốn này là khai triển hai trong số ba
hạng tử còn giữ ngun hạng tử thứ ba để từ đó làm xuất hiện nhân tử
chung chưa trong số hạng thứ ba, trong câu a ta khai triển hai hạng tử đầu
còn giữ ngun hạng tử thứ ba để làm xuất hiện nhân tử chung là a+b
Giải
a/ bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
= b
2
c+bc
2
+c
2
a-ca
2
-ab(a+b)
= (b
2
c-ca
2
)+(bc
2
+ c
2
a)- ab(a+b)
= c(b
2
-a
2
)+c
2

-a
2
)+c
3
(a
2
-b
2
)
= a
3
b
2
-a
3
c
2
+b
3
c
2
-b
3
a
2
+c
3
(a
2
-b

3
(a
2
-b
2
)
= a
2
b
2
(a-b)-c
2
(a-b)(a
2
+ab+b
2
)+c
3
(a-b)(a+b)
= (a-b)(a
2
b
2
-c
2
a
2
+c
2
ab-c

2
(a-c)(a+c)+c
2
b(c-a)+c
2
a(c-a)]
= (a-b)(a-c)(b
2
a+b
2
c-c
2
b-c
2
a)
= (a-b)(a-c)[(b
2
a-c
2
a)+(b
2
c-c
2
b)
= (a-b)(a-c)[a(b-c)(b+c)+bc(b-c)]
=(a-b)(a-c)(b-c)(ab+ac+bc)
Chú ý: Ta có thể khai triển hai hạng tử cuối rồi nhóm hạng tử để làm xuất
hiện nhân tử chung b+c, hoặc khai triển hai hạng tử đầu và cuối để có nhân
tử chung c-a …
Câu a có thể hướng dẫn học sinh theo cách sau đây:

Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 8
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
vậy có thể giới thiệu thêm cho các em phương pháp bổ sung khác để giúp
cho học sinh khá giỏi tòm hiểu.
II. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp tách một
hạng tử thành nhiều hạng tử, them bớt chạng tử.
a. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp tách một
hạng tử thành nhiều hạng tử
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành hạng tử
a. x
2
-7x+12
b. 4x
2
-3x-1
Giải
a. x
2
-7x+12
Cách 1: Tách số hạng -7x thành -4x-3x
Ta có: x
2
-7x+12
= x
2
-4x-3x+12
= (x

Cách 4: Tách số hạng -7x thành -6x-x và 12=9+3
Ta có: x
2
-7x+12
= x
2
-6x+9-x+3
= (x
2
-6x+9)-(x-3)
= (x-3)
2
-(x-3)
= (x-3)(x-3-1)
= (x-3)(x-4)
Cách 4: Tách số hạng -7x thành -8x+x và 12=16-4
Ta có: x
2
-7x+12
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 9
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
= x
2
-8x+16+x-4
= (x
2
-8x+16) +(x-4)

= (x-1)(4x+1)
Cách 2: Tách số hạng -3x thành -4x+x
Ta có: 4x
2
-3x-1
= 4x
2
-4x+x-1
= 4x(x-1)+(x-1)
= (x-1)(4x+1)
Cách 3: Tách số hạng -1 thành -4+3
Ta có: 4x
2
-3x-1
= 4x
2
-3x-4+3
= 4(x-1)(x+1)-3(x-1)
= (x-1)(4x+4-3)
= (x-1)(4x+1)
Với bài tốn này khi phân tích đa thức trên thành nhân tử có ba lời
giải tương ứng với 3 cách tách, học sinh có thể chọn một trong ba cách.
Cần tổng kết cho học sinh thấy được có nhiều cách tách hạng tử
nhưng trong đó có hai cách tách thong dụng nhất đó là:
- Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử dựa vào hằng đẳng thức:
(mx +n)(px +q) = mpx
2
+ (mq + np)x + nq như vậy trong tam giác ax
2
+ bx

– 2x – 4 = x
3
– 2x – 8 + 4
= (x
3
– 8 ) – ( 2x – 4)
=(x–2)(x
2
+ 2x + 4) - 2(x – 2)
b.x
3
+ 8x
2
+ 7x + 10 = x
3
+ x
2
+ 7x
2
+ 10x + 7x + 10
= x
2
(x + 1) + 7x(x + 1) + 10(x + 1)
= (x + 1)(x
2
+ 7x + 10)
= (x + 1)(x
2
+ 2x + 5x + 10)
= (x + 1)[x(x + 2) + 5(x + 2)]

Mà x
2
+ 2x + 4 = x
2
+ 2x +1 + 3 = (x+ 1)
2
+3
Vì (x+ 1)
2

≥
0
∀
x
∈
R nên (x + 1)
2
+ 3
≥
3
⇒
x
2
+ 2x + 4 khơng thể phân
tích được với các hệ số ngun.
b. x
3
– 11x
2
+ 30x = x(x

2
+ 2x + 4 khơng phân tích được thành nhân tử với các hệ
số ngun bởi vì: Nếu phân tích được thì đa thức này phải có nghiệm
nghun là ước của 4. Ta thấy: Ư
(4)
= {
±
1;
±
2;
±
4} thử các giá trị đó đều
khơng phải là nghiệm của của đa thức x
2
+ 2x + 4 nên đa thức này khơng
phân tích được yhành nhân tử với các hệ số ngun. Nhưng thực tế đa thức
đã cho vẫn có thể phân tích được thành nhân tử với các kết quả hệ số là vơ
tỉ.
x
2
+ 2x + 4 = (x + 1)
2
– 5 = (x + 1 -
5
)(x + 1 +
5
)
b. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm, bớt hạng tử:
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang

2
b + 3ab
2
+ b
3
) + c
3
– (3a
2
b + 3ab
2
+ 3abc)
= (a + b)
3
– c
3
– 3ab(a + b + c)
=(a + b + c)[(a + b)
2
– (a + b)c + c
2
– 3ab]
= (a + b + c)(a
2
+ 2ab + b
2
– ac – bc + c
2
– 3ab)
= (a + b + c)(a

4
+ 1
Ta sẽ them bớt các hạng tử x
3
, x
2
, x vào đa thức ta được:
b) x
5
+ x
4
+ x
3
- x
3
+x
2
-x
2
+x – x +1
= (x
5
+ x
4
+ x
3
) – ( x
3
+x
2

Có: x
5
+ x + 1 = x
5
+ x
4
– x
4
+x
3
– x
3
+x
2
– x
2
+x +1
= (x
5
+ x
4
+x
3
) – (x
4
+x
3
+ x
2
) + x

+ x
2
– x
2
+ x +1
= (x
5
– x
2
) + (x
2
+ x +1)
= x
2
(x
3
– 1) + (x
2
+ x +1)
= x
2
(x – 1)(x
2
+ x +1) + (x
2
+ x +1)
= (x
2
+ x +1)( x
3

= x
2
(x
6
- 1) + x(x
3
- 1) + (x
2
+ x + 1)
= x
2
(x
3

- 1)(x
3
+ 1) + x(x
3
- 1) + (x
2
+ x + 1)
= x
2
(x - 1)(x
2
+ x + 1)(x
3
+ 1) + x(x - 1)(x
2
+ x + 1) + (x

2
+ x + 1)(x
2
- x + 1) (x
4
- x
2
+ 1)
Phương pháp trên có thể sử dụng đối với các đa thức có dạng:
x
5
+ x
4
+ 1; x
8
+ x
4
+ 1; x
10
+ x
8
+ 1 . . .
Các đa thức này đều có dạng: x
m
+ x
n
+ 1 trong đó m = 3k + 1; n = 3h
+ 2. Khi tìm cách giảm dần số mũ của luỹ thưa ta cần chú ý đến biểu thức
có dạng x
6

= (x
4
+ x
2
+ 1)(x
4
- x
2
+ 1) = [(x
4
+ 2x
2
+ 1) - x
2
] (x
4
- x
2
+ 1)
= [(x
2
+ 1)
2
- x
2
] (x
4
- x
2
+ 1) = (x

⇒
x
2
+ x + 2 = y + 1
Ta có y(y+1) - 12 = y
2
+ y - 12
= y
2
- 9 + y - 3
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 13
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
= (y - 3)(y + 3) + (y - 3)
= (y - 3)(y + 3 + 1)
= (y - 3)(y + 4)
Thay y = x
2
+ x + 1 ta được
(y - 3)(y + 4) = (x
2
+ x + 1 - 3)(x
2
+ x + 1 + 4)
= (x
2
+ x - 2) (x
2

z
2
= 4(x
2
+ xy + xz) (x
2
+ xy + xz + yz) + y
2
z
2
Đặt: x
2
+ xy + xz = m
Ta có: 4m(m + xz) + y
2
z
2
= 4m
2
+ 4mxz + y
2
z
2
= (2m + yz)
2
Thay m = x
2
+ xy + xz ta đựợc
(2m + yz)
2

2
- 2y - 15 = y
2
- 5y + 3y - 15
= y(y - 5) + 3(y - 5)
= (y - 5)(y + 3)
Thay y = x
2

+ x ta có:
(y - 5)(y + 3) = (x
2
+ x - 5)(x
2
+ x + 3)
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 14
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Hai đa thức x
2
+ x - 5 và x
2
+ x + 3 khơng phân tích được nữa.
b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24
= (x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) - 24
= (x
2
+ 7x + 10)(x

= (x
2
+ x + 6x + 6) (x
2
+ 7x + 16)
= [x(x + 1) + 6(x + 1)] (x
2
+ 7x + 16)
= (x + 1)(x + 6) (x
2
+ 7x + 16)
c) (x
2
+ 8x + 7)(x
2
+ 8x + 15) + 15
Đặt x
2
+ 8x + 7 = y x
2
+ 8x + 15 = y + 8
Ta có: y(y + 8) + 15 = y
2
+ 8y + 15
= y
2
+ 5y + 3y + 15
= y(y + 5) + 3(y + 5)
= (y + 5)(y + 3)
Thay y = x

Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
3x
6
- 4x
5
+ 2x
4
- 8x
3

- 4x + 3 + 2x
2
nếu như cách làm như các ví dụ trước thì các ví dụ này ta khơng thể
phân tích được. Dễ thấy đa thức khơng thể có nghiệm x = 0.
Vậy ta có thể biến đổi đa thức sau :
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 15
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
x
3
(3x
2
- 4x
2

+ 2x - 8 -
x
xx

)
2
= x
2
+ 2 +
2
1
x
x
2
+
2
1
x
= t
2
- 2
t
3
= (x +
x
1
)
3

= x
3
+ 3x +
x
3

1
x
= t
2
- 2; x
3
+
3
1
x
= t
3
- 3t
Ta có
x
3
[3(t
3
- 3t) - 4(t
2
- 2) + 2t - 8] = x
3
(3t
3
- 9t - 4t
2
+ 8 + 2t - 8)
= x
3
(3t

x
1
) (3x +
x
3
- 7)(x +
x
1
+ 1) = x(x
2
+ 1)(3x
2
+ 3 - 7x)(x +
x
1
+ 1)
= (x
2
+ 1)(3x
2
- 7x + 3) (x
2
+ x + 1)
Nói chung đây là một bài tốn tương đối phức tạp đòi hỏi phải biến
đổi đa thức mới được đặt ẩn phụ. Bài này cho ta một cách đặt ẩn phụ khác
hẳn với cách đặt ẩn phụ các ví dụ trước.
d- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hệ số bất
định :
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành tích của 2 đa thức một đa thức bậc
nhất, một đa thức bậc 2.

2
- 2x - 15 còn phân tích được nữ nhưng do đề bài u cầu
là đa thức x
3
- 19x - 20 viết dưới dạng một tích của 2 đa thức:một đa thức
bậc nhất và một đa thức bậc 2. Vậy tích (x + 2)( x
2
- 2x - 15) đã thoả mãn
u cầu bài tốn
Cách 2: Kết quả phải có dạng:
x
3
- 19x - 20 = (x + a)( x
2
+ bx + c)
= x
3
+ bx
2
+ cx + ax
2
+ abx + ac
= x
3
+ (b + a)x
2
+ (c + ab)x + ac
Ta phải tìm hệ số a, b, c thoả mãn:
a + b = 0
c + ab = -19

4
+ 6x
3
+ 7x
2
+ 6x + 1
Giải
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 17
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Nhận xét: Đa thức trên nếu có nghiệm ngun thì nghiệm đó là
±
1.
Dễ dàng kiểm tra được
±
1 khơng phải là nghiệm của đa thức trên nên đa
thức khơng có nghiệm ngun mà chỉ có nghiệm hữu tỉ hoặc vơ tỉ. Như
vậy, nếu đa thức trên phân tích được thành thừa số thì phải có dạng:
x
4
+ 6x
3
+ 7x
2

+ 6x + 1
= (x
2

5 21 5 21 5 21
1 1
2 4 2 2 2 2
5 21 5 21
1
2 2
x x x x
x x x x
x x x x x x x
x x x x
+ + + + = + + + +
 
 
= + + + + − +
 ÷
 
 
 
 
  
 
= + + + − = + + + − + +
 
 ÷ ÷
 ÷
 ÷ ÷
 
 
  
 

Vậy: x
3
+ 4x
2
+ 5x + 2 = (x + 1)(x
3
+ 3x + 2)
= (x+ 1)[(x
2

+ x) + (2x + 2)]
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 18
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
=(x+ 1) (x+ 1)(x+ 2)
= (x+ 1)
2
(x + 2)
Cách 2: Dùng phương pháp nhẩm nghiệm ta thấy trong các ước của hệ số
tự do 2 có 1 là nghiệm
x
3
+ 4x
2
+ 5x + 2 = (x+ 1)(x
2
+ ax + b)
x

3
+ x
2
+ 3x
2
+ 3x + 2x + 2
= x
2
(x + 1) + 3x(x + 1) + 2(x + 1)
= (x +1)(x
2
+ 3x + 2)
= (x + 1)(x + 1)(x + 2)
= (x + 1)
2
(x + 2)
Trên đây là 7 phương pháp phân tích thường gặp dung để phân tích
đa thức thành nhân tử. Thực tế còn có những phương pháp khác như:
phương pháp xét giá trị riêng
Ta có thể xét một ví dụ về phương pháp này như sau:
Phân tích thành nhân tử: P = ab(a - b) + bc(b -c) + ca(c - a)
Giải
Ta có: P = ab(a - b) + bc(b -c) + ca(c - a)
Nếu thay a bởi b thì P = 0 + bc(b -c) + ca(c - a). Do vai trò của a, b, c như
nhau trong đa thức nên P chia hết cho (a - b)(b - c)(c - a). Trong phép chia
đó, đa thức P có bậc 3 đối với tập hợp các biến, đa thức chia (a-b)(b-c)(c-a)
cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến nên thương bằng hằng số k. Trong
hằng đẳng thức đó.
ab(a - b) + bc(b -c) + ca(c - a) = k(a - b)(b - c)(c - a), ta cho các biến giá trị
riêng a = 2, b = 1, c = 0 ta được : 2.1.1 + 0 + 0 = k.1.1(-2), do đó 2 = -2k,

= (73 - 27)(73 + 27) = 46 . 100 = 4600
2002
2
- 4 = 2002
2
- 2
2
= (2002 + 2)(2002 - 2) = 2004 . 2000 = 4008000.
Ví dụ 2 : (Bài 49, trang 22 SGK)
Tính nhanh:
37,5.6,5 -7,5.3,4 - 6,6.7,5 + 3,5.37,5 = (37,5.6,5 + 3,5.37,5) - (7,5.3,4 +
6,6.7,5)
= 37,5(6,5 + 3,5) - 7,5(3,4 + 6,6)
= 37,5.10 - 7,5.10 = 375 - 75 = 300.
45
2
+ 40
2
- 15
2
+ 80.45 = 45
2
+ 2.40.45 + 40
2
- 15
2

= (45 + 40)
2
- 15

49,75 0,25 49,75 0,25 50 2500
x x khi x
x x x x x x
khi x x
+ + =
   
+ + = + + = + = +
 ÷  ÷
   
= ⇒ + = + = =
Trong các ví dụ trên ta thấy để thực hiện được việc tính nhanh
thì phương pháp chung là: Phân tích các biểu thức cấn tính nhanh
ra thừa số rồi tính
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức:
Ví dụ 1 : (Bài 40, trang 19 SGK)
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a. 15.91,5 + 150.0,85
b. 5x
5
(x - 2z) + 5x
5
(2z - x) víi x = 1999 ; y = 2000 ; z = -1
Giải
a. 15.91,5 + 150.0,85 = 15.91,5 + 15.8,5
= 15(91,5 + 8,5) = 15.100 = 1500
b. 5x
5
(x - 2z) + 5x
5
(2z - x) = 5x

9.54 9
− +
−
=
− − +
= =
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 21
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
b,
( )
( )
2 2
3 3
97 83 97 97.83 83
97 83
97.83 97.83
180 180
180.8247
97.83 8247 97.83 8247 8051 196
180
+ − +
+
− = −
= − = − = − =
Trong 2 ví dụ trên đặc biệt là ví dụ 2 nhận thấy nếu như học sinh
khơng sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử thì việc tính
tốn gặp rất nhiều khó khăn nên cần hướng dẫn cho các em:

Trang 22
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Nên (x - 3)(5x - 1) = 0
⇔

1
5
x =
Ví dụ 2 : Tìm x biết
a. 8x
3
- 50x = 0
b. (x - 2)(x
2
+ 2x + 7) + 2(x
2
- 4) - 5(x - 2) = 0
Giải
a. 8x
3
- 50x = 2x(4x
2
- 25)
x = 0
= 2x(2x - 5)(2x + 5) = 0
⇔

5
2

5x(x - 1) = x - 1
⇔
5x(x - 1) - (x - 1) = 0
x =1
⇔
(x - 1)(5x - 1) = 0
⇔

1
5
x =
Trong dạng tốn này có thể nhận thấy đây là một cách biến đổi để
đưa về phương trình tích với các phép biến đổi chính là phân tích một đa
thức thành nhân tử, có thể hướng dẫn các en theo trìng tự sau:
- Chuyển tất cảc các số hạng về vế trái và vế phải bằng 0
A = 0
- Phân tích vế trái thành nhân tử để được A.B = 0
⇔
B = 0
- Lần lượt tìm x từ các đẳng thức A = 0, B = 0 ta được kết quả
Người thực hiện: Nguyễn Thò Thuỳ Linh
Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 23
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Dạng 4: Áp dụng vào số học
Đây là một dạng tốn khơng khó nhưng việc vận dụng phân tích đa
thức thành nhân tử để giải thì lại khó cho các em học sinh, có thể hướng
dẫn cho các em giải định hướng sau đây:
- Số ngun a chia hết cho số ngun b khác 0 nếu có số ngun k sao cho

3
- 13n chia hết cho 6
b. n
5
- 5n
3
+ 4n chia hết cho 120;
c. n
3
- 3n
2
- n + 3 chia hết cho 48 với n lẻ
Giải
a. n
3
- 13n = (n
3
- n) - 12n = n(n - 1)(n + 1) - 12n
Vì n, n + 1, n - 1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất một số chia hết
cho 2 và một số chia hết cho 3 nên tích n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 2.3 = 6
(2 và 3 ngun tố cùng nhau), 12n chia hết cho 6 vậy:
n
3
- 13n = n(n - 1)(n + 1) - 12n chia hết cho 6
b. n
5
- 5n
3
+ 4n = n
5

Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang
Trang 24
Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
thay n = 2k + 1 (vì n lẻ) vào ta được:
(n - 3)(n - 1)(n + 1) = (2k - 2)2k(2k + 2) = 8(k - 1)k(k + 1)
Vì (k - 1)k(k + 1) là tích của 3 số ngun liên tiếp nên chia hết cho 2.3 = 6
do đó tích trên chia hết cho 48.
Qua 3 ví dụ vừa nêu ta nhận thấy nếu như các biểu thức đã cho được
phân tích thành nhân tử thì việc chứng minh sẽ trở nên đơn giản hơn vì vậy
giúp các em phân tích được biểu thức thành nhân tử thì ta đã giúp các em
hồn thành được bài tốn.
Trên đây học sinh đã được nhận biết lợi ích của việc phân tích đa
thức thành nhân tử áp dụng trong một số bài tốn được nêu trong SGK, tuy
nhiên đối với các em học sinh khá, giỏi có thể giới thiệu cho các em thêm
một vài lợi ích khác nhằm giúp các em thích thú tìm hiểu trong học tốn
như các dạng sau:
Dạng 5: Tìm các cặp số ngun (x,y) thoả mãn đẳng thức cho trước
Ví dụ 1: Tìm các cặp số ngn (x,y) thoả mãn một trong các đẳng thức sau:
a. x + y = xy.
b. xy - x + 2(y - 1) = 13
Giải
a. Ta có x + y = xy được viết thành xy - x - y = 0 nên x(y - 1) - (y - 1) = 1
hay (y - 1)(x - 1) = 1 do x, y
∈
Z mà 1 = 1.1 = (-1).(-1) nên ta có:
y - 1 = 1 y - 1 = -1 x = 2 x = 0
hoặc hoặc hoặc
x - 1 = 1 x - 1 = -1 y = 2 y = 0
Vậy hai cặp số ngun đó là (0, 0) và (2, 2)