Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giảI toán
Môn Toán 8
Mục lục
1
Stt Nội dung
Từ trang
đến trang
Phần thứ nhất: đặt vấn đề
1 Lý do chọn đề tài - mục đích nghiên
cứu
2 đến 3
Phần thứ hai: giải quyết vấn đề
1 Các hệ thống kiến thức cơ bản 3 đến 4
2
Những vấn đề cần giải quyết
Phần I - các bài toán phân tích đa thức
thành nhân tử và khai thác các kết quả
của chúng.
Phần II - Một số lợi ích của việc phân
tích đa thức thành nhân tử.
4 đến 22
22 đến 31
3 Kết quả 31 đến 32
4 Bài học kinh nghiệm 32 đến 33
5 Phạm vi áp dụng - Hớng đề xuất 33 đến 34
Phần thứ ba: kết luận
1 Kết luận 35
2 Bài tập đề nghị 36
3 Danh mục tài liệu tham khảo 37
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán

Trong thực tế có những bài toán ở dạng này rất phức tạp không thể áp dụng các
phơng pháp trên mà giải đợc. Gặp các bài nh vậy thì các em lại lúng túng không
biết làm thế nào và sử dụng phơng pháp nào để giải.
Qua thực tế giảng dạy tôi thấy việc hệ thống các phơng pháp giải đối với
từng loại là rất cần thiết nó giúp các em thấy đợc sự đa dạng và phong phú về nội
dung của từng loại toán. Đồng thời giúp cho các em có một cách nhìn nhận dới
nhiều góc độ khác nhau của một dạng toán, từ đó kích thích các em có một sự
tìm tòi sáng tạo, khám phá những điều mới lạ say mê trong học tập, có nhiều
hứng thú khi học bộ môn toán. Với hi vọng nhỏ là làm sao cho các em học sinh
có thể thực hiện đợc các bài toán phân tích một đa thức thành nhân tử một cách
say mê và hứng thú đã giúp tôi chọn chuyên đề:
Phõn tớch mt a thc thnh nhõn t v cỏc ng dng trong gii toỏn
B/GiảI quyết vấn đề
I-Các hệ thống kiển thức cơ bản
Trớc hết cần nhắc lại một số kiến thức cơ bản phục vụ cho việc giải bài toán
Phân tích đa thức thành nhân tử .
1- Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành
một tích của những đơn thức và đa thức khác.
2- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phơng pháp thông thờng
a. Đặt nhân tử chung
b. Dùng hằng đẳng thức
Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
(A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
(A - B)
2

3
+ B
3
= (A + B)(A
2
- AB + B
2
)
3
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
A
3
- B
3
= (A - B)(A
2
+ AB + B
2
)
c. Nhóm các hạng tử
d. Phối hợp các phơng pháp trên
3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phơng pháp khác
a. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
b. Thêm, bớt cùng một hạng tử
c. Đặt ẩn phụ
d. Dùng phơng pháp hệ số bất định
e. Nhẩm nghiệm
f. Đổi dấu một hạng tử A=-(-A)
g. Cho đa thức f(x), đa thức này có nghiệm x=a khi và chỉ khi f(a)=0
h. Cho đa thức f(x) = a

giản. Tuy nhiên có những đa thức cần phải biến đổi một số bớc
4
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. x
2
- 3x b. 12x
3
- 6x
2
+ 3x
c.
5
2
x
2
+ 5x
3
+ x
2
y d. 14x
2
y - 21xy
2
+ 28x
2
y
2
Giải
a. x

y
2
= 7xy(2x - 3y + 4xy)
Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 5x
2
(x - 2y) - 15xy(x - 2y)
b. x(x + y) + 4x + 4y
Giải
a. 5x
2
(x - 2y) - 15xy(x - 2y)
= (x - 2y)(5x
2
- 15xy)
= (x - 2y)5x(x - 3y)
b. x(x + y) + 4x + 4y
= x(x + y) + (4x + 4y)
= x(x + y) + 4(x + y)
= (x+ y)(x + 4)
Nhận xét: ở hai ví dụ trên việc phân tích thức đa thc thành nhân tử ở mức độ
đơn giản. Học sinh nhận thấy ngay đợc nhân tử chung. Nhiều khi để xuất hiện
nhân tử chung phải đổi dấu các hạng tử có trong đa thức nh ví dụ sau:
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 10x(x - y) - 8y(y - x)
b. 5x(x - 2000) - x + 2000
Giải
a.10x(x - y) - 8y(y - x)
5
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán

ở hạng tử thứ hai từ b - a thành a - b để xuất hiện nhân tử chung nhng đối với
hạng tử thứ ba thì các em dễ bị nhầm lẫn và cho rằng không có nhân tử chung
nhng chỉ cần hớng dẫn các em đổi vị trí của a và b thì sẽ có nhân tử chung, cũng
bằng nhận xét tơng tự nh vậy ta có cách làm tơng tự đối với ví dụ thứ hai.
Vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử đây là
cách làm thông dụng nhất đợc áp dụng nhiều nhất. Để áp dụng phơng pháp này
yêu cầu học sinh phải nắm chắc bẩy hằng đẳng thức đáng nhớ
Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. x
2
- 6x +9
6
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
b. x
2
- 6
c. 1- 27x
3
d. x
3
+
3
1
x
e. -x
3
+ 9x
2
- 27x + 27
Giải

x
)
e. -x
3
+ 9x
2
- 27x + 27 = -(x
3
- 9x
2
+ 27x - 27) = -(x - 3)
3
ở ví dụ trên là các hằng đẳng thức đã đợc khai triển. Việc phân tích chỉ là
cách viết theo chiều ngợc lại của các hằng đẳng thức các em học sinh dễ dàng
thực hiện đợc nếu nh các em thuộc và biết cách vận dụng các hằng đẳng thức,
thế nhng trong các ví dụ sau đây thì muốn áp dụng đợc hằng đẳng thức thì các
em phải có một sự biến đổi thì mới có hằng đẳng thức.
Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. (x + y)
2
- 6(x + y) + 9
b. 16a
2
- 49(b - c)
2
c. 49(y - 4)
2
- 9(y - 2)
2



7
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
49 4 9 2 7 4 3 2
7 4 3 2 7 4 3 2
7 28 3 6 7 28 3 6
4 22 10 34
y y y y
y y y y
y y y y
y y

=


= +

= + +
=
Ta có thể thấy trong ba ví dụ trên không khó nhng vấn đề ở chỗ là học sinh
không nhận dạng đợc hằng đẳng thức ngay cho nên việc phân tích sẽ gặp khó
khăn vì thế trong những ví dụ dạng nh thế nên hớng dẫn các em nhận dạng sau
đó thì phân tích.
Phơng pháp thứ ba để phân tích một đa thức thành nhân tử đó là phơng pháp

2
) - (x + y) = (x
2
- 2xy + y
2
) - z
2
= (x + y) (x - y) - (x +y) = (x-y)
2
- z
2
=(x + y) (x - y - 1) = (x - y - z)(x - y + z)
c, x
2
- 3x + xy - 3y d, 2xy + 3z + 6y + xz
=(x
2
+ xy) - (3x + 3y) =(2xy + 6y) + (3z + xz)
=x(x + y) - 3(x + y) =2y(x + 3) + z(3 + x)
=(x + y)(x - 3) =(x + 3)(2y + z)
ở ví dụ này khi phân tích đa thức thành nhân tử ta đã phối hợp các phơng
pháp nh : Nhóm các hạng tử đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức.
Ví dụ 8: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a. bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b)
b. a
3
(b
2
- c
2

) + (bc
2
+ c
2
a) - ab(a + b)
= c(b
2
- a
2
) + c
2
(b + a) - ab(a + b)
= c(b - a)(b + a) + c
2
(b + a) - ab(a + b)
= (b + a)(cb - ca + c
2
) - ab(a + b)
= (a + b)(cb - ca + c
2
- ab)
= (a + b)[(cb + c
2
) - (ca + ba)
= (a + b)[c(b + c) - a(c + b)]
= (a + b)(b + c)(c - a)
b. a
3
(b
2

3
a
2
+ c
3
(a
2
- b
2
)
= (a
3
b
2
- b
3
a
2
) - (a
3
c
2
- b
3
c
2
) + c
3
(a
2

) + c
3
(a - b)(a + b)
= (a - b)(a
2
b
2
- c
2
a
2
- c
2
ab - c
2
b
2
+ c
3
a + c
3
b)
= (a - b)[( a
2
b
2
- c
2
b
2

2
a) + (b
2
c - c
2
b )]
= (a - b)(a - c)[ a(b - c)(b + c) + bc(b - c)]
= (a - b)(a - c) (b - c)(ab + ac + bc)
Chú ý:Ta có thể khai triến hai hạng tử cuối rồi nhóm hạng tử để làm xuất hiện
nhân tử chung b + c, hoặc khai triển hai hạng tử đầu và cuối để có nhân tử chung
c - a
Câu a có thể hớng dẫn học sinh theo cách sau đây:
Vì (c - a) + (a + b) = (b + c). Do vậy ta có:
bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b)
= bc[(c - a) + (a + b)] + ca(c - a) - ab(a + b)
9
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
= bc(c - a) + bc(a + b) + ca(c - a) - ab(a + b)
= [bc(c - a) + ca(c - a)] + [bc(a + b) - ab(a + b)]
= (c - a)(bc + ca) + (a + b)(bc - ab)
= c(c - a)(a + b) + b(a + b)(c - a)
= (a + b)(b + c)(c - a)
Bài tập tơng tự: Phân tích đa thức thành nhân tử
A = x
2
y
2
(y - x) + y
2
z

Giải
a. x
2
- 7x + 12
Cách 1: Tách số hạng -7x thành - 4x - 3x
Ta có x
2
- 7x + 12 = x
2
- 4x - 3x + 12
=(x
2
- 4x) - (3x - 12)
10
Ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tö vµ c¸c øng dông trong gi¶i to¸n
= x(x - 4) -3(x - 4)
=(x - 4)(x - 3)
C¸ch 2: T¸ch sè h¹ng 12 thµnh 21 - 9
Ta cã x
2
- 7x + 12 = x
2
- 7x + 21 - 9
= (x
2
- 9) - (7x - 21)
= (x - 3) (x + 3) - 7(x - 3)
= (x - 3) (x + 3 - 7)
= (x - 3) (x - 4)
C¸ch 3: T¸ch sè h¹ng 12 thµnh -16 + 28

- 8x + 16 + x - 4
= (x
2
- 8x + 16) + (x - 4)
= (x - 4)
2
+ (x - 4)
= (x - 4)(x - 4 + 1)
= (x - 4)(x - 3)

b. 4x
2
- 3x - 1
C¸ch 1: T¸ch sè h¹ng 4x
2
thµnh x
2
+ 3x
2
Ta cã 4x
2
- 3x - 1 = x
2
+ 3x
2
- 3x - 1
= (x
2
- 1) + (3x
2

+ (mq + np)x + nq nh vậy trong tam thức ax
2
+ bx + c,
hệ số b đợc tách thành hai hạng tử b = b
1
+ b
2
sao cho b
1
.b
2
= ac.
- Tách hạng tử tự do thành hai hạng tử nh trong ví dụ 1 phần a ta tách 12 = -16 +
28
- Hoặc đôi khi có thể tách một hạng tử thành 3 hạng tử để phân tích thành nhân
tử
Ví dụ 2: Phân tích đa thức trên thành nhân tử
a. x
3
- 2x - 4
b. x
3
+ 8x
2
+ 17x + 10
Giải
a. x
3
- 2x - 4 =.x
3

= (x + 1)(x + 2)(x + 5)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức trên thành nhân tử
a. x
3
+ 3x
2
+ 6x + 4
b. x
3
- 11x
2
+ 30x
Giải
a. x
3
+ 3x
2
+ 6x + 4 = x
3
+ x
2
+ 2x
2
+ 2x + 4x + 4
= x
2
(x + 1) + 2x(x + 1) + 4(x + 1)
= x(x + 1)(x
2
+ 2x + 4)

2
- 11x + 30)
= x(x
2
- 5x - 6x +30)
= x [x(x - 5) - 6(x - 5)]
= x(x - 5)(x - 6)
Trong phần a ta thấy vẫn còn đa thức bậc hai mà không thể phân tích đợc
nữa. Vậy làm thế nào để biết đợc một đa thức có phân tích đợc hay không ta dựa
vào định lí sau:
Một đa thức: a
n
x
n
+ a
n - 1
x
x - 1
+ + a
1
x + a
0
. Đa thức này nu có nghiệm là
số nguyên thì nghiệm đó phải là ớc của hệ số tự do a
0
.
Ví dụ: Đa thức: x
2
+ 2x + 4 không phân tích đợc thnh nhõn t vi cỏc h s
nguyờn bởi vì: Nếu phân tích đợc thì đa thức này phải có nghiệm nguyên là ớc

+ c
3
- 3abc = a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
+ c
3
- 3a
2
b - 3ab
2
- 3abc
= (a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
) + c
3
- (3a
2
b + 3ab

b, 3ab
2
để có thể
nhóm vận dụng đợc các phơng pháp phân tích đã biết.
Ví dụ 2 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x
5
+ x
4
+ 1
b) x
5
+ x + 1
c) x
8
+ x
7
+ 1
Giải:
a) x
5
+ x
4
+ 1
Ta sẽ thêm bớt các hạng tử x
3
, x
2
, x vào đa thức đợc:
x

2
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)( x
3
- x + 1)
b) x
5
+ x + 1
Cách 1: Ta sẽ thêm bớt x
4
, x
3
, x
2
vào đa thức giống cách làm nh phần a để xuất
hiện nhân tử chung x
2
+ x + 1
Có: x
5
+ x + 1 = x
5
+ x
4
- x
4

2
+ x + 1) - x
2

(x
2

+ x + 1) + (x
2

+ x + 1)
= (x
2

+ x + 1) (x
3

- x
2
+ 1)
Cách 2: Ta thêm bớt x
2
để làm xuất hiện nhân tử chung x
2

+ x + 1
Ta có:
14
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
x

+ x + 1) + (x
2

+ x + 1)
= (x
2

+ x + 1)(x
3
- x
2

+ 1)
c) x
8
+ x
4
+ 1 = x
8
+ x
4
+ x
2
- x
2
+ x - x - 1
= (x
8
- x
2

+ x + 1)(x
3
+ 1) + x(x - 1)(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)(x
6
- x
5

+ x
3
- x + 1)
= (x
2
+ x + 1)[(x
6
- x
5
+ x
4
) - (x
4
- x
3
+ x

+ 1 trong đó m = 3k + 1; n = 3h + 2. Khi
tìm cách giảm dần số mũ của luỹ thừa ta cần chú ýđến các biểu thức có dạng x
6
-
1; x
3
- 1 là những biểu thức chia hết cho x
2
+ x + 1.Những đa thức này khi phân
tích thành nhân tử đều có chứa thừa số x
2
+ x + 1.
Tuy nhiên bài toán này có thể giải đợc bằng cách sử dụng hằng đẳng thức đơn
giản hơn nh sau:
x
8
+ x
4
+ 1= (x
8
+ 2x
4
+ 1) - x
4

= (x
4
+ 1)
2
- (x

4
- x
2
+ 1) = (x
2
+ x + 1) (x
4
- x
2
+
1)
c- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp đặt ẩn phụ.
Phơng pháp này thờng áp dụng với những đa thức có dạng
A(x). B(x) + C Trong đó A(x) và B(x) có thể biểu diễn đợc qua nhau. Ví dụ
A(x) có thể viết dới dạng của B(x) hoặc ngợc lại. Ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x
2
+ x + 1)(x
2
+ x + 2) - 12
15
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
b) 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y
2
z
2
Giải:
a) (x
2

2
+ x + 5)
= (x
2
- 1 + x - 1)(x
2
+ x + 5)
= [(x - 1)(x + 1) + x - 1](x
2
+ x + 5)
= (x - 1)(x + 1 + 1)(x
2
+ x + 5)
= (x - 1)(x + 2)(x
2
+ x + 5)
ở trong ví dụ này ta đã đổi biến x thành biến y sau đó đi phân tích đa thức chứa
biến y thành nhân tử rồi quay trở lại đa thức với biến ban đầu là x. Cuối cùng ta
lại phân tích đa thức chứa biến x thành nhân tử.
b) 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y
2
z
2
Nếu để nguyên đa thức trên thì rất khó đặt ẩn phụ nên ta phải biến đổi thêm:
4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y
2
z
2
= 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y
2

= (2x
2
+ 2xy + 2xz + yz)
2
Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x
2
+ x)
2
- 2(x
2
+ x) - 15
16
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24
c) (x
2
+ 8x + 7)(x
2
+ 8x + 15) + 15
Giải:
a) (x
2
+ x)
2
- 2(x
2
+ x) - 15
Đặt: x
2

2
+ 7x + 10 = y ta đợc x
2
+ 7x + 12 = y + 2
y(y + 2) - 24 = y
2
+ 2y - 24
= y
2

- 16 + 2y - 8
= (y - 4)(y + 4) + 2(y - 4)
= (y - 4)(y + 4 + 2)
= (y - 4)(y + 6)
Thay y = x
2
+ 7x + 10 ta đợc:
(y - 4)(y + 6) = (x
2
+ 7x + 10 - 4)(x
2
+ 7x + 10 + 6)
= (x
2
+ 7x + 6) (x
2
+ 7x + 16)
= (x
2
+ x + 6x + 6) (x

+ 8x + 7 ta đợc:
(y + 5)(y + 3) = (x
2
+ 8x + 7 + 5)( x
2
+ 8x + 7 + 3)
= (x
2
+ 8x + 12)( x
2
+ 8x + 10)
= (x
2
+ 2x + 6x +12)( x
2
+ 8x + 10)
= [x(x + 2) + 6(x + 2)] (x
2
+ 8x + 10)
= (x + 2)(x + 6)( x
2
+ 8x + 10)
= (x + 2)(x + 6)(x + 4 -
6
)(x + 4 +
6
)
ở hai ví dụ trên ta thấy cách làm giống nhau khi phân tích các đa thức đó thành
nhân tử. Ta còn có cách đặt ẩn phụ khác trong ví dụ dới đây.
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

3
+
3
1
x
) - 4(x
2
+
2
1
x
) + 2(x +
3
1
x
) -
8]
Đặt x +
x
1
= t t
2
= (x +
x
1
)
2
= x
2
+ 2 +

3
+
3
1
x
+ 3(x +
x
1
)
x
3
+
3
1
x
= t
3
- 3t
Thay x +
x
1
= t; x
2
+
2
1
x
= t
2
- 2; x

- 7t)
= x
3
t (3t
2
- 4t - 7)
= x
3
t[(3t
2
- 3) - (4t + 4)]
= x
3
t[3(t - 1)(t + 1) - 4(t + 1)]
= x
3
t(t + 1)(3t - 3 - 4)
= x
3
t(t + 1)(3t - 7)
Thay t = x +
x
1
ta đợc
x
3
(x +
x
1
) (3x +

Giải:
Cách 1: Với các phơng pháp phân tích đã biết ta có thể phân tích đợc đa thức
trên thành 2 đa thức theo đúng yêu cầu của đề bài.
Ta có: x
3
- 19x - 30
= x
3
+ 8 - 19x - 38
= (x
3
+ 8) - 19(x + 2)
= (x+ 2)(x
2
- 2x + 4) - 19(x + 2)
= (x + 2)( x
2
- 2x + 4 - 19)
= (x + 2)(x
2
- 2x - 15)
Ta thấy x
2
- 2x - 15 còn phân tích đợc nữa nhng do đề bài yêu cầu là đa
thức
19
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
x
3
- 19x - 20 viết dới dạng một tích của 2 đa thức: một đa thức bậc nhất và một


1;

2;

3;

5;

6;

10;

15;

30}
Với a = 2; c = -15 khi đó b = -2 thoả mãn hệ thức trên đo là bộ số phải tìm
tức là: x
3
- 19x - 30 = (x + 2)(x
2
- 2x - 15).
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
+ 6x + 1

a + c = 6
ac + b + d = 7
ad + bc = 6
bd = 1
20
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Từ hệ này ta tìm đợc: a = b = d = 1; c = 5
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
4 3 2 2 2
2 2
2
2 2
2
Vay x 6x 7x 6x 1 1 5 1
5 25 25
1 2. 1
2 4 4
5 21 5 21 5 21
1 1
2 4 2 2 2 2
5 21 5 21
1
2 2
x x x x
x x x x
x x x x x x x
x x x x

+ 4x
2
+ 5x + 2
Giải:
Cách 1: Đặt x
3
+ 4x
2
+ 5x + 2 = (x + a)(x
2
+ bx + c)
= x
3
+ (a + b)x
2
+ (ab + c)x + ac
Ta phải có: a + b = 4
ab + c = 5
ac = 2
Từ hệ này ta tìm đợc: a = 1; b = 2; c = 2
Vậy: x
3
+ 4x
2
+ 5x + 2 = (x + 1)(x
3
+ 3x + 2)
= (x+ 1)[(x
2


3
+ 4x
2
+ 5x + 2 = (x + 1)( x
2
+ 3x + 2)
= (x+ 1)
2
(x + 2)
21
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Cách 3: Dùng phơng pháp phân tích đã biết là tích hạng tử
Ta có: x
2
+ 4x
2
+ 5x + 2 = x
3
+ x
2
+ 3x
2
+ 3x + 2x + 2
= x
2
(x + 1) + 3x(x + 1) + 2(x + 1)
= (x +1)(x
2
+ 3x + 2)
= (x + 1)(x + 1)(x + 2)

Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Chúng ta đều biết: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành
một tích của những đơn thức và đa thức khác. Do vậy đối với một số dạng toán
nếu ta áp dụng kết quả phân tích thành nhân tử thì sẽ giải đợc dễ dàng nh một số
các dạng toán sau:
Dạng 1 : Tính nhanh
Ví dụ 1: (Bài 46, trang 21 SGK)
Tính nhanh:
73
2
- 27
2
= (73 - 27)(73 + 27) = 46 . 100 = 4600
2002
2
- 4 = 2002
2
- 2
2
= (2002 + 2)(2002 - 2) = 2004 . 2000 = 4008000.
Ví dụ 2 : (Bài 49, trang 22 SGK)
Tính nhanh:
37,5.6,5 -7,5.3,4 - 6,6.7,5 + 3,5.37,5 = (37,5.6,5 + 3,5.37,5) - (7,5.3,4 + 6,6.7,5)
= 37,5(6,5 + 3,5) - 7,5(3,4 + 6,6)
= 37,5.10 - 7,5.10 = 375 - 75 = 300.
45
2
+ 40
2
- 15

1 1
49,75
2 16
1 1 1 1 1
2. 0,25
2 16 4 4 4
49,75 0,25 49,75 0,25 50 2500
x x khi x
x x x x x x
khi x x
+ + =

+ + = + + = + = +
ữ ữ

= + = + = =
Trong các ví dụ trên ta thấy để thực hiện đợc việc tính nhanh thì phơng
pháp chung là : Phân tích các biểu thức cần tính nhanh ra thừa số rồi
tính
Dạng 2 : Tính giá trị biểu thức:
Ví dụ 1 : (Bài 40, trang 19 SGK)
23
Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Tính giá trị các biểu thức sau:
a. 15.91,5 + 150.0,85
b. 5x
5
(x - 2z) + 5x
5
(2z - x) với x = 1999 ; y = 2000 ; z = -1

( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
43 11 43 11
43 11
36,5 27,5 36,5 27,5 36,5 27,5
32.54 32
9.54 9
+

=
+
= =
b,
( )
( )
2 2
3 3
97 83 97 97.83 83
97 83
97.83 97.83
180 180
180.8247
97.83 8247 97.83 8247 8051 196
180
+ +
+
=
= = = =

b. 5x(x - 3) - x + 3 = 0
Ta có 5x(x - 3) - x + 3 = 5x(x - 3) - (x - 3) = (x - 3)(5x - 1)
x = 3
Nên (x - 3)(5x - 1) = 0


1
5
x =
Ví dụ 2 : Tìm x biết:
a. 8x
3
- 50x = 0
b. (x - 2)(x
2
+ 2x + 7) + 2(x
2
- 4) - 5(x - 2) = 0
Giải:
a. 8x
3
- 50x = 2x(4x
2
- 25)
x = 0
= 2x(2x - 5)(2x + 5) = 0


5
2