MC LC
1. Đt vn đ …………………………………………………………… Trang 3
2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm……………………………… Trang 4
2.1. Cơ s l lun ……………………………………………………… Trang 4
2.2. Thc trng của vấn đề……………………………………………… Trang 4
2.3. Các biện pháp tiến hành……………………… ………………… Trang 6
2.3.1. Giải pháp mới của SKKN………………………… Trang 6
2.3.2. Biện pháp tiến hành ………………………………… Trang 7
2.3.2.1. Củng cố kiến thức cơ bản qua các phương pháp cơ bản Trang 7
2.3.2.2. Vn dụng và phát triển kĩ năng qua phương pháp: Phối hợp
các phương pháp thông thường…………………………………………
Trang 17
2.3.2.3. Phát triển tư duy qua 2 phương pháp phân tch mới …… Trang 20
2.3.2.4. Các dng bài tp ứng dụng phân tch đa thức thành nhân tử … Trang 28
* Các bài tp liên quan …………………………………………………….Trang 28
* Các bài tp tương t…………………………………………………….Trang 31
2.4. Hiệu quả của SKKN …………………………………………… Trang 33
3. Kết lu$n …………………………………….…………………………Trang 34
*
Kết quả đt được…………………………………………………
Kết quả đt được………………………………………………… Trang 34
* Bài học kinh nghiệm……………………………………………… Trang 34
4. Kiến ngh&, đ xut……………………………… ………………… Trang 35
* Tài liệu tham khảo…………………………………………………… Trang 36
1
1. Đt vn đ
Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bc học phổ thông.
Là một môn học khó, đòi hỏi mỗi học sinh phải có s nỗ lc lớn để chiếm lĩnh
tri thức cho mình. Chnh vì vy việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội
dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dy học, từ đó tìm ra những
phương pháp hay truyền đt cho học sinh là nhiệm vụ phải làm của mỗi giáo

Qua các năm giảng dy bộ môn Toán, tôi nhn thấy đây là bộ môn khoa
học có tác dụng phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, phát huy tnh tch
cc trong học tp của học sinh. Ngoài ra, việc học tốt môn Toán còn giúp cho
học sinh học tốt các môn học khác. Vì vy, dưới góc độ là một giáo viên dy
Toán tôi thấy việc hướng dẫn các em nắm vững phương pháp đối với từng dng
toán là rất cần thiết.
Từ kinh nghiệm giảng dy bộ môn toán 8, tôi xét thấy dng toán 
 có vị tr khá quan trọng trong chương trình Đi số 8.
Hiện ti với lượng thời gian phân phối chương trình là 7 tiết song nội dung này
là cơ s vn dụng cho các chương sau, các dng toán khác nhau, chẳng hn: giải
phương trình, rút rọn phân thức, tnh giá trị biểu thức, chứng minh, tìm x,… Có
thể nói bài toán phân tch đa thức thành nhân tử là bài toán “đầu tiên” của các
dng toán khác. Trên cơ s đó, để giúp học sinh lớp 8 phát hiện phương pháp
phân tch đa thức thành nhân tử nhằm nâng cao năng lc giải toán là vấn đề mà
bản thân tôi hết sức quan tâm.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh nắm được các phương pháp, có
kĩ năng nhn biết, phân tch để giải bài toán phân tch đa thức thành nhân tử một
cách chnh xác, nhanh chóng và đt hiệu quả cao. Để thc hiện tốt điều này, đòi
hỏi giáo viên cần xây dng cho học sinh những phương pháp phân tch cụ thể,
chi tiết, rèn các kĩ năng như quan sát, nhn xét, đánh giá bài toán và các quy tắc
biến đổi. Tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà giáo viên xây dng cách giải cho
phù hợp trên cơ s các phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học
sinh học tp tốt bộ môn.
2.2. Thực trạng của vn đ
Các bài toán phân tch đa thức thành nhân tử có thể không mấy khó khăn
đối với những học sinh khá, giỏi nhưng li khá nan giải đối với những đối tượng
học sinh trung bình, yếu kém. Bi vì, để giải được các bài tp dng này không
chỉ yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có một
kĩ năng giải bài tp nhất định.
Trên thc tế, với mức độ tiếp thu còn chm của các em thì trong chương

dụng kiến thức đã học vào giải toán là công việc rất quan trọng và không thể
thiếu được của người dy toán. Vì thông qua đó có thể rèn được tư duy logic,
khả năng sáng to, khả năng vn dụng cho học sinh. Để làm được điều đó thì
theo tôi, nhà giáo phải cung cấp cho học sinh các phương pháp giải cụ thể, chi
tiết để học sinh hiểu được thc chất của vấn đề, phát hiện phương pháp phù hợp
với từng bài cụ thể  các dng khác nhau. Từ đó giúp học sinh có các kĩ năng
giải toán thành tho, thoát khỏi tâm l chán nản, hoang mang, dẫn đến sợ môn
toán.
4
2.3. Các biện pháp tiến hành
2.3.1. Giải pháp mới của SKKN

- Định hướng phương pháp cụ thể cách phân tch của 3 phương pháp: Đặt
nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hng tử. Xây dng trình t chi tiết
các bước của mỗi phương pháp phân tch.
- Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giới thiệu 2 phương pháp
phân tch mới: Phương pháp tách một hng tử thành nhiều hng tử khác và
Phương pháp thêm và bớt cùng một hng tử.
a) Củng cố kiến thức cơ bản cho học sinh
- Giáo viên nêu các phương pháp:
+ Phương pháp: Đặt nhân tử chung
+ Phương pháp: Dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp: Nhóm nhiều hng tử
- Giáo viên chỉ ra phương pháp chung cho mỗi dng, hướng dẫn chi tiết
theo các bước cho học sinh. Sau đó cho học sinh t trình bày các bài tp tương
t với mức độ nâng dần nhằm cho học sinh thấy được các sai lầm thường gặp,
đồng thời giáo viên chữa các sai sót cho học sinh trong quá trình giải.
- Khai thác bài toán  mức độ đơn giản.
b) Vn dụng và phát triển kỹ năng cho học sinh
- Giáo viên nêu phương pháp: Phối hợp nhiều phương pháp (Phối hợp các

a) Định hướng phương phápchung
- Bước 1: Tìm hệ số của nhân tử chung: ƯCLN của các hệ số nguyên
dương
- Bước 2: Tìm biến (nếu có) của nhân tử chung: Biến có mặt trong tất cả
các hng tử, với số mũ nhỏ nhất.
- Bước 3: Xác định nhân tử chung: Lp tch của hệ số và biến chung
- Bước 4: Xác định các hng tử trong ngoặc.
Nhằm đưa đa thức về dng: A.B + A.C + …+ A.E = A.(B + C +…+ E)
 Chú ýNhiều khi để làm xuất hiện nhân tử ta cần đổi dấu các hng tử.
b) Các ví dụ
 ! Phân tch đa thức 14x
2
y – 21xy
2
+ 28x
2
y
2
thành nhân tử. "#$%&'%
(%!')
(*+,-.
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong các hng tử trên
6
"/01+2345"!617!178)90)
- Tìm nhân tử chung của các biến x
2
y, xy
2
, x
2

 & Phân tch đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)
2
thành nhân tử
(Cho HS t giải)
 5A 9x(x – y) – 10(y – x)
2

= 9x(x – y) + 10(x – y)
2
"BC)
= (x – y)[9x + 10(x – y)] "D,)
= (x – y)(19x – 10y) "EFG)
HIJK
Thc hiện đổi dấu sai: 9x(x – y) – 10(y – x)
2
= 9x(x – y) + 10(x – y)
2

Sai lầm  trên là BCL: –10 và (y – x)
2
của tch –10(y – x)
2
7
(Vì –10(y – x)
2
= –10(y – x)(y – x).
5AM 9x(x – y) – 10(y – x)
2
= 9x(x – y) – 10(x – y)
2

2
– (2 – x)
3
Giải:
a) 6xy – 30y = 6xy – 6y.5 = 6y(x - 5)
b) 5x (x – 2y) + 2 (2y – x) = 5x (x – 2y) - 2(x – 2y)
= (x – 2y)(5x - 2)
c) x(x+y) – (2x+2y) = x(x+y) – 2(x+y)
8
= (x+y)(x – 2)
d) 7x(x – 2)
2
– (2 – x)
3
= 7x(x– 2)
2
– (x – 2)
2
(2 - x)
= (x– 2)
2
[7x- (2 - x)]
= (x– 2)
2
(7x - 2 + x) = (x– 2)
2
(8x - 2)
e) Một số bài tập đề nghị
Phân tch các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
a) 2x + 6y

+ x
f) x
2
y
2
z – 6x
3
y – 8x
4
z
2
– 9x
5
y
5
z
5

h) 7x(y – 4)
2
– (4 – y)
3
i) x
2
– x + 1 + 7x (x
2
– x + 1)
m) 5x
5
(y

= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
5. Lp phương của một hiệu: (A – B)
3
= A
3
– 3A
2
B + 3AB
2
– B
3
6. Tổng hai lp phương: A
3
+ B
3
= (A + B)(A
2
– AB + B
2
)
7. Hiệu hai lp phương: A
3
– B

))
- Biến đổi đa thức để xác định A, B
Ta thấy đa thức x
2
+ 6x + 9 có dng của hằng đẳng thức N
7
O7N#O#
7

nên ta phân tch : x
2
= (x)
2
→ A là x 9 = 3
2
→ B là 3 và 6x = 2 . x . 3
Hay x
2
+ 6x + 9 = (x)
2
+ 2 . x . 3 + (3)
2
= (x + 3)
2
A
2
+ 2 . A . B + B
2
= (A + B)
2

2
+ 2x . y + y
2
)
HIJKThc hiện thiếu dấu ngoặc
5AM 8x
3
– y
3
= (2x)
3
– y
3
= (2x – y)[ (2x)
2
+ 2x . y + y
2
]
 Q Phân tch đa thức (x + y)
2
– (x

– y)
2
thành nhân tử bằng phương
pháp dùng hằng đẳng thức. "#$%78%#$%$')"*?)
(*+,-.
%Đa thức trên có dng hằng đẳng thức nào? "/N
7
=#

bài toán: Phân tch a
6
– b
6
thành nhân tử "#$%7Q%#$%')
c) Nhận xét
(*+,*KC;-
- Các sai lầm dễ mắc phải:
O Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc và quy tắc dấu
+ Cho học sinh thấy được s giống nhau và khác nhau của các dng như
hiệu hai bình phương và tổng hai bình phương, tổng hai lp phương và hiệu hai
lp phương để tránh nhầm lẫn.
- Rèn kĩ năng nhn dng hằng đẳng thức qua bài toán, da vào các hng
tử, số mũ của các hng tử mà sử dụng hằng đẳng thức cho thch hợp.
d) Vận dụng
Bài 1: Phân tch đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hằng đẳng thức
a) x
2
– 9
b) 4x
2
– 25
c) x
4
– y
4
Giải:
a) x
2
– 9 = x

= (x + y)(x - y)(x
2
+ y
2
)
Bài 2: Phân tch đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng
thức
a) 9x
2
+ 6xy +y
2
b) x
2
+ 4y
2
+ 4xy
c) (3x + 1)
2
– (x+1)
2
Giải:
a) 9x
2
+ 6xy + y
2
= (3x)
2
+ 2.3x.y + y
2
= (3x + y)

d) (x
2
+ 2x)
2
+ 2(x
2
+ 2x) + 1
e) 6x - 9 – x
2
f) x
3
+ y
3
+ z
3
- 3xyz.
Bài 2: Hoàn thiện vào chỗ trống để có kết quả đúng
a) x
2
+ ……… + 81 = (……… + …………)
2

b) …………+ 8x + 16 = (…………. + ………….)
2

c) y
2
– 20y + ………… = (…………. – ………….)
2


+ 6x +1 = (….)
3
+ 3(….)
2
… + 3……. + ….
3
= (…. +….)
3
i) 1 +
1
64
x
3
= …
3
+ (… )
3
= (…. + ….)(… – … + …….)
12
* Phương pháp nhóm nhiu hạng tử
a) Định hướng phương pháp chung
Đặc điểm của phương pháp nhóm hng tử là đa thức phải có từ 4 hng tử
tr lên. Dùng các tnh chất : giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức ta la
chọn các hng tử thch hợp để thành lp nhóm nhằm làm xuất hiện một trong hai
dng sau: *>H>1*>HSTU.
Thông thường ta da vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hng tử trong bài toán.
- Thành lp nhóm da theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
OVWXY-Z
OE[WX2G2

13
(HS cho rằng  ngoặc thứ 2 khi đặt nhân tử chung (x – y) thì còn li là số 0)
5AM x
2
– xy + x – y = (x
2
– xy) + (x – y)
= x(x – y) + 1.(x – y)
= (x – y)(x + 1)
* Nhóm nhằm xut hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức:
 8 Phân tch đa thức x
2
– 2x + 1 – 4y
2
thành nhân tử
(*+,-.Nhóm 3 hng tử đầu với nhau
5A x
2
– 2x + 1 – 4y
2
= (x
2
– 2x + 1) – 2y
2
"$FC*>)
= (x – 1)
2
- 2y
2
"abF)

2
– 4y
2
) – (2x – 4y) ">C)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) "D,)
= (x – 2y)(x + 2y – 2) "EFGC)
HIJK
Nhóm x
2
– 2x – 4y
2
– 4y = (x
2
– 4y
2
)-(2x – 4y)">C[*>7)
5AM x
2
– 2x – 4y
2
– 4y = (x
2
– 4y
2
) + (– 2x – 4y)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y)
= (x + 2y)(x – 2y – 2)
c) Nhận xét
d+ ,1*+,J`*K
- Cách nhóm các hng tử và đặt dấu trừ “–” hoặc dấu cộng “+”  trước

2
– y
2
) –(x + y) = (x + y)(x - y) – (x+ y)
= (x + y)(x - y) – (x+ y) = (x + y)(x - y – 1)
b) x
2
- 2xy + y
2
– z
2
= (x
2
- 2xy + y
2
)

– z
2
= (x – y)
2
- z
2
= (x – y +z) (x –y –z)
c) 5x – 5y + ax – ay = (5x – 5y) + (ax – ay) = 5(x – y) +a (x – y)
= (x – y)(5 + a)
d) 2x
2
+ 4x + xy +2y = (2x
2

– x
4
+ 2x
3
+ 2x
2
= (x
6
– x
4
) + (2x
3
+ 2x
2
)
= x
4
(x
2
– 1)+ 2x
2
(x+1) = x
4
(x– 1)(x+1) +2x
2
(x+1)
= (x+1) [x
4
(x– 1)+2x
2

2

- 6x + 25)
c) a
3
– a
2
x - ay + xy = (a
3
– a
2
x) – (ay - xy)
= a
2
(a – x) - y (a – x) = (a – x) (a
2
– y)
d) x
2
- 2xy - 4z
2
+ y
2
= (x
2
- 2xy + y
2
) - 4z
2
= (x – y)

2
c + bc
2
+ ac
2
– a
2
c – ab (a + b)
k) x
3
+ 3x
2
+ 3x + 9
m) 2a
2
b + 4ab
2
– a
2
c – 2abc + ac
2
+ 2bc
2
– 4b
2
c – 2abc
n) ax – 34bx – 15a + 17b
p) x
3
– x

/>
eSTU
XYc
Cụ thể:
- Bước 1: Đầu tiên hãy xét xem các hng tử có xuất hiện nhân tử chung
hay không?
+ Nếu đa thức có nhân tử chung thì áp dụng phương pháp đặt nhân tử
chung. Sau đó xem đa thức trong ngoặc là bài toán mới và quay li bước 1, tiếp
tục thc hiện các phương pháp để phân tch ( nếu có thể) đến kết quả cuối cùng.
+ Nếu đa thức không có nhân tử chung thì chuyển sang bước 2.
- Bước 2: Xét xem đa thức đó có dng hằng đẳng thức nào không?
+ Nếu đa thức có dng hằng đẳng thức ta vn dụng phương pháp hằng
đẳng thức để phân tch.
+ Nếu đa thức không có dng hằng đẳng thức thì chuyển sang bước 3.
- Bước 3: Dùng phương pháp nhóm để đưa các hng tử vào từng nhóm
thỏa mãn điều kiện: mỗi nhóm có nhân tử chung, làm xuất hiện nhân tử chung
của các nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng thức để tìm nhân tử của bài toán.
b) Ví dụ
 !R Phân tch đa thức x
4
– 9x
3
+ x
2
– 9x thành nhân tử. "#$%f7%
(%77)
(-.Xét từng phương pháp:
Đặt nhân tử chung
Dùng hằng đẳng thức
Nhóm nhiều hng tử

3
+ x) "\b)
5WJK \bZ
5AM x
4
– 9x
3
+ x
2
– 9x = x(x
3
– 9x
2
+ x – 9)
= x[(x
3
– 9x
2
) + (x – 9)]
= x[x
2
(x – 9) + 1.(x – 9)]
= x(x – 9)(x
2
+ 1)
c) Nhận xét
d + ,1*+,H.*K
Khi phân tch bài toán theo phương pháp đã chọn cần xem li đa thức đó
phân tch triệt để chưa. Nếu chưa triệt để thì tìm phương pháp để phân tch tiếp.
Trong một số bài có thể có nhiều cách giải, học sinh cần linh hot la chọn cách

O;
&
9":O;)
&
O&:;":O;)
e) Vận dụng
Phân tch đa thức thành nhân tử (Cho học sinh thc hiện theo nhóm thch
hợp)
a) x
4

+2x
3
+ x
2 
"X;FEi)
b) x
3
– x + 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
– y "XL2)
c) 5x
2

- 10xy + 5y
2

2
y +3xy
2
+ y
3
) –(x + y)
= (x+y)
3
- (x+y) = (x+y) [(x+y)
2
– 1] = (x+y)(x+y+1)(x + y - 1)
18
c) 5x
2

- 10xy + 5y
2
– 20z
2
= 5(x
2

- 2xy + y
2
– 4z
2
) = 5[(x - y)
2
–(2z)
2

3
+ 5x
2
+ 4x +20
2.3.2.3. Phát triển tư duy qua 2 phương pháp phân tích mới
Trong chương trình sách giáo khoa Toán 8 hiện hành chỉ giới thiệu ba
phương pháp phân tch đa thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng
hằng đẳng thức, nhóm nhiều hng tử. Tuy nhiên trong phần bài tp li có những
bài không thể áp dụng ngay ba phương pháp trên để giải, "4UcL
^P&1P0Ej76%7P). Sách giáo khoa có gợi ý cách “” một hng tử thành
hai hng tử khác hoặc “,+LSkc” thch hợp rồi áp dụng các
phương pháp trên để giải. Xin giới thiệu thêm về hai phương pháp: l
cYcEvà l,1LS
kc, để học sinh vn dụng rộng rãi trong thc hành giải toán. Tuy nhiên
mức độ của 2 phương pháp này tương đối khó nên tôi chỉ áp dụng nhiều cho đối
tượng khá, giỏi. Còn riêng đối tượng trung bình, yếu kém thì sẽ hướng dẫn
phương pháp, chi tiết trong các v dụ cụ thể với mức độ đơn giản.
* Phương pháp tách hạng tử thành nhiu hạng tử khác
a) Định hướng phương pháp
Việc tách hng tử thành nhiều hng tử khác là nhằm làm xuất hiện các
phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều
hng tử, là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh trong giải toán. Đối với
phương pháp này, tôi gợiý học sinh giải theo 3 hướng giải thông dụng sau:
19
- Hướng giải 1: Tách hng tử bc nhất thành 2 hng tử rồi dùng phương
pháp nhóm các hng tử và đặt nhân tử chung. Hướng giải này được áp dụng khi
phân tch đa thức có dng ax
2
+ bx + cthành nhân tử. Phương pháp như sau:
+ Bước 1: Tìm tch a.c

7
- :
7
Giải:
4!$c%8:
Ta có: a = 3 ; b = -8 ; c = 4
#! a.c = 12
#7 a.c9(–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1
#& b 98 = (- 6) +(-2)
Như vy sẽ tách hng tử- 8x = - 6x - 2x
Giải:
3x
2
– 8x + 4 = 3x
2
– 6x – 2x + 4
= 3x(x – 2) – 2(x – 2)
= (x – 2)(3x – 2)
47$c669%!7O!Q
3x
2
– 8x + 4 = 3x
2
– 12 – 8x + 16
20
= 3(x
2
– 2
2
) – 8(x – 2)

quyết chnh xác. Có một số cách giải có thể sử dụng đồng thời các hướng giải
với nhau. Vì vy đối với phương pháp tách hng tử thì bài toán được giải quyết
theo nhiều cách khác nhau, yêu cầu đối tượng khá giỏi tìm tòi các cách giải đúng
có thể thc hiện.
Lưu ý:Đối với đa thức f(x) có bc từ ba tr lên, để phân tch đa thức ta
sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm. Sử dụng Định l sau: Nếu f(x) có nghiệm x
= a thì f(a) = 0. Khi đó, f(x) có một nhân tử là x – a và f(x) có thể viết dưới
dng: f(x) = (x – a).q(x)
- Nếu tổng hệ số của các hng tử bằng 0 thì đa thức có nghiệm là 1
- Nếu tổng hệ số của các hng tử bc chẵn với hệ số đối của các hng tử
bc lẻ bằng 0 thì đa thức có nghiệm là -1.
d) Vận dụng
Bài 1: Phân tch đa thức sau thành nhân tử:
a) x
2
+ 5x – 6
b) x
2
+ 4x + 3
Giải:
a) x
2
+ 5x – 6
4! x
2
+ 5x – 6 = x
2
- x + 6x – 6 = (x
2
- x) + (6x – 6)

+ 4x + 3
4!: x
2
+ 4x + 3 = x
2
+ x + 3x + 3 = (x
2
+ x) + (3x + 3)
= x(x + 1) + 3(x+1) = (x + 1)(x + 3)
47 x
2
+ 4x + 3 = x
2
+ 4x + 4 – 1 = (x
2
- 1) + (4x + 4)
= (x + 1)(x - 1) + 4(x +1) = (x + 1) (x – 1 + 4)
= (x+1)(x+3)
4&: x
2
+ 4x + 3 = 4x
2
- 3x
2
+ 4x + 3 = (4x
2
+ 4x) - (3x
2
- 3)
= 4x(x+1) - 3(x

47 : x
3
– 7x – 6
= x
3
– 4x – 3x – 6 = x(x + 2)(x – 2) – 3(x + 2)
= (x + 2)(x
2
– 2x – 3) = (x + 2)(x
2
– 1 – 2x – 2)
22
= (x + 2)[(x – 1)(x + 1) – 2(x + 1)]
= (x + 2)(x + 1)(x – 3)
4& x
3
– 7x – 6
= x
3
+ 8 – 7x – 14 = (x + 2)(x
2
– 2x + 4) – 7(x + 2)
= (x + 2)(x
2
– 2x – 3) = (x + 2)(x
2
– 2x + 1 – 4)
= (x + 2)[(x – 1)
2
– 2

– 36 – 8x + 48 = (x
2
– 36) – (8x – 48)
= (x + 6)(x – 6) – 8(x – 6)= (x – 6)(x + 6 – 8)
= (x – 6)(x – 2)
46 : x
2
– 8x +12
= x
2
– 4 – 8x + 16 = (x
2
– 4) – (8x – 16)
= (x + 2)(x – 2) – 8(x – 2)= (x – 2)(x + 2 – 8)
= (x – 2)(x – 6)
4P: x
2
– 8x +12
= x
2
– 4x + 4 – 4x + 8 = (x
2
– 4x + 4) – (4x – 8)
= (x – 2)
2
– 4(x – 2) = (x – 2)(x – 2 – 4)
= (x – 2)(x – 6)
4Q: x
2
– 8x +12

5
+ x + 1
g) x
2
+ 4xy + 3y
2
* Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử
a) Định hướng phương pháp chung
Phương pháp thêm và bớt cùng một hng tử nhằm sử dụng l
Xđể xuất hiện dng >hoặccTUZ
* Phương pháp:
- Bước 1: Da vào hng tử của đa thức để nhn dng phương pháp: dng
đặt nhân tử chung hay dng hằng đẳng thức có thể xuất hiện.
- Bước 2: Nhóm các hng tử thuộc dng đã được xác định với nhau và
phân tch tiếp. Yêu cầu quá trình phân tch đó phải xuất hiện dng đặt nhân tử
chung.
- Bước 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.
b) Ví dụ
 !7 Phân tch đa thức x
4
+ x
2
+ 1 thành nhân tử.
(-.
- Thêm x và bớt x: "H:C\TU+>)
(
x
4
+ x
2

"H:C\TU+>
)
47 Thêm x
3
, x
2
, x và bớt x
3
, x
2
, x "H:C\>)
Giải:
4!: x
5
+ x
4
+ 1 = x
5
+ x
4
+ x
3
– x
3
+ 1
= (x
5
+ x
4
+ x

– x
2
+ x – x + 1
= (x
5
+ x
4
+ x
3
) + (– x
3
– x
2
– x) + (x
2
+ x + 1)
= x
3
(x
2
+ x + 1) – x(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)(x
3
– x + 1)

8
+ x
+ 1oZZZ2n:C\Xc:
7
O:O!+K`@,1Z
:
QO6
O:
QO7
O! x
4
+ x
2
+ 1; x
10
+ x
2
+ 1; x
10
+ x
8
+ 1; ZZZ2n:C
\Xc:
7
%:O!+K`@,1Z
c) Nhận xét
Từ v dụ trên, ta thấy việc thêm, bớt hng tử để xuất hiện dng nhân tử
chung hay hằng đẳng thức.Và bước phân tch cuối cùng phải xuất hiện dng
nhân tử chung. Vì vy trước khi thêm, bớt hng tử học sinh phải nhn dng được
phương pháp cần phân tch để tìm hng tử thêm, bớt cho thch hợp và triệt để bài