SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUAN HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ
DẠNG BÀI TOÁN Ở MÔN ĐẠI SỐ LỚP 8

Người thực hiện: Lê Văn Khâm
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Hiền Kiệt
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2017


MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài

Trang 4

1.2. Mục đích nghiên cứu

Trang 4

1.3. Đối tượng nghiên cứu

Trang 4


3.2. Kiến nghị

Trang 18

Tài liệu tham khảo

Trang 19

2


1. MỞ ĐÂU
1.1. Lí do chọn đề tài
Toán học là môn học hết sức quan trọng ở các trường phổ thông, học tốt
bộ môn toán sẽ giúp học sinh học tốt các môn học khác. Hơn nữa chương
trình toán THCS là những viên gạch đặt nền móng đầu tiên cho cả quá trình
học tập sau này. Nhưng thực trạng hiện nay cho thấy, học sinh học tốt bộ môn
toán ở trường THCS Hiền Kiệt nói riêng và học sinh vùng sâu, vùng xa của
huyện Quan Hóa nói chung chiếm tỉ lệ rất thấp, đa số các em rất ngại, thậm trí
là sợ học toán. Vì vậy, không những chất chất lượng đại trà môn toán thấp
mà còn kéo theo nhiều môn học khác cũng thấp, đặc biệt là các môn học
thuộc ban khoa học tự nhiên.
Xuất phát từ lòng thương yêu học sinh như con em của mình và lương
tâm của một người thầy giáo. Tôi thực sự băn khoăn, trăn trở trước những khó
khăn, chán nản của học sinh khi học môn toán. Bởi vậy trong quá trình giảng
dạy tôi luôn học hỏi đồng nghiệp và tìm tòi những phương pháp thích hợp để
giúp các em học sinh học tốt môn toán và yêu thích môn toán hơn. Với mong
muốn nâng cao chất lượng dạy - học tại đơn vị. Vì vậy năm học 2016–2017
tôi mạnh dạn áp dụng chuyên đề “Vận dụng phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử để giải một số dạng toán ở môn đại số lớp 8” nhằm

số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” mà bản thân đã áp dụng
giảng dạy năm học 2012 – 2013. Điểm mới của SKKN này là vận dụng việc
phân tích các đa thức thành nhân tử để giải các bài toán liên quan, qua đó
củng cố kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
Đặc điểm của lứa tuổi THCS là muốn tự mình khám phá, tìm hiểu trong
quá trình nhận thức. Các em có khả năng điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn
sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướng
dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy cô giáo. Hình thành
tính tích cực, tự giác, chủ động và đồng thời phát triển năng lực tự học của
học là một quá trình lâu dài, kiên nhẩn và đòi hởi người giáo viên phải có
phương pháp phù hợp, để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động và năng
lực tự học của học sinh. Trong quá trình giảng dạy, giáo viên phải hướng dẫn
học sinh:
- Tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư
tưởng rập khuôn, máy móc.
- Có khả năng ghi nhớ và kỹ năng vận dụng kiến thức đã học vào việc
giải các bài toán liên quan.
- Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, phân loại
các dạng bài toán và phương pháp giải.
Là giáo viên có nhiều năm công tác tại trường THCS Hiền Kiệt, nên
bản thân tôi hiểu rất rõ chất lượng học sinh tại nhà trường, phải thẳng thắn
nhìn nhận rằng chất lượng học sinh tại nhà tương đối thấp, đặc biệt là môn
toán. Đối với môn toán học, đa số các em chỉ rừng lại ở mức độ biết, một
số ít học sinh đạt được mức độ hiểu, còn khả năng vận dụng đối với các em
gần như không có. Qua tìm hiểu nguyên nhân cho thấy, địa bàn trường trực
thuộc vùng xâu, vùng xa của huyện Quan Hóa, học sinh đa số là con em
đồng bào dân tộc thái, điều kiện kinh tế còn khó khăn; trình độ dân trí thấp,
nên việc đầu tư về vật chất cũng như thời gian cho con cái học tập chưa

chia sẻ và cho ý kiến, bản thân tôi luôn lăng nghe ý kiến chia sẻ của đồng
nghiệp, từ đó sẽ hoàn thiện hơn đề tài.
2.2. Thực trạng
Khảo sát ở hai lớp 8A, 8B năm học 2016–2017 tại nhà trường về nội
dung kiến thức “Phân phân tích đa thức thành nhân tử” cho thấy chất lượng
học sinh là tương đối thấp.
Giỏi
Sĩ số
Lớp
học sinh SL TL

Khá

T. bình

Yếu

SL

TL

SL

TL

SL

TL

Kém


34

0

0

2

5,8

10

29,4

15

44,1

7

20,7

Qua việc chấm bài làm cùa học sinh và trực tiếp giảng dạy, tôi nhận thấy:
- Việc ghi nhớ công thức toán học của học sinh là máy móc.

5


- Việc vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ, phương pháp phân

sáng tạo và yêu thích môn học.
Trong quá trình giảng dạy tôi đã sử dụng một số bài toán điển hình, nhằm
thông qua bài toán này để dạy các phương pháp phân tích khác nhau, để học
sinh có thể so sánh, khắc sâu và ghi nhớ được các phương pháp phân tích đó.
c) Tổ chức thực hiện
Cơ sở lý thuyết
Những hằng đẳng thức đáng nhớ
6


1. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
2. (A – B)2 = A2 – 2AB + B2
3. A2 – B2 = (A - B)(A + B)
4. (A + B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5. (A – B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
6. A3 + B3 = (A+B)(A2 - AB + B2)
7. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
8. (A + B + C) = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC
Các phương pháp phân tích đa thành nhân tử:
- Phương pháp đặt nhân tử chung:
AB + AC - AD = A(B + C - D)
- Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
- Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp.
- Phương pháp đặt ẩn phụ.
- Phương pháp thêm bớt hạng tử.
- Phương pháp hệ số bất định,…
Vận dụng cơ sở lý thuyết trên. Giáo viên hướng dẫn học sinh vận dụng
vào để giải một số bài toán liên quan đến các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử.

= 37,5 . 10 – 7,5 . 10
= 375 – 75
= 3000
b) 452 + 402 – 152 + 80 . 45
= (452 + 2 . 40 . 45 + 40 2) – 152
= (45 + 40)2 – 152
= 852 - 152
= (85 – 15)(85 + 15)
= 70 . 100
= 7000
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức
Phương pháp giải
- Trước hết phân tích đa thức thành nhân tử
- Thay giá trị của biến vào biểu thức đã phân tích
Ví dụ 3: Tính nhanh
a) x2 +

1
1
x+
với x = 49,75
2
16

b) x2 – y2 – 2y – 1 với x = 93, y = 6
Hướng dẫn:
- Phân tích biểu thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức:
bình phương một tổng (câu a); nhóm hạng tử và dùng hai hằng đẳng thức bình
phương của một tổng và hiệu hai bình phương (câu b).
- Thay giá trị x, y vào để tính.

Với x = 93, y = 6 thì :
(x – y – 1)(x + y + 1) = (93 – 6 – 1)(93 + 6 + 1) = 86.100 = 8600
Ví dụ 4:
Tính giá trị của biểu thức sau:
a) 15.91,5 + 150.0,85
b) 5x5(x – 2z) + 5x5(2z – x) với x = 1999 ; y = 2000 ; z = - 1 [1]
Hướng dẫn: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử
chung, nhóm nhiều hạng tử.
Giải
a) 15 . 91,5 + 150 . 0,85
= 15 . 91.5 + 15 . 8,5 = 15(91,5 + 8,5) = 15 . 100 = 1500
b) 5x5(x – 2z) + 5x5(2z – x) = 5x 5(x – 2z + 2z – x) = 5x 5 . 0
Với x = 1999; y = 2000; z = - 1 thì: 5x 5 . 0 = 0
Dạng 3: Tìm x thỏa mãn đẳng thức đã cho (phương trình tích)
Phương pháp giải
- Chuyển vế tất cả các số hạng về vế trái của đẳng thức, vế phải bằng 0
- Phân tích vế trái thành nhân tử để được dạng A . B = 0 suy ra: A = 0
hoặc B = 0.
- Lần lượt tìm x từ các đẳng thức A = 0, B = 0 ta tìm được kết quả. [2]
Ví dụ 5:
Tìm x biết:
a) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0
b) x3 – 13x = 0

[1]

Hướng dẫn: Phân tích vế trái thành nhân tử bằng phương pháp nhóm
nhiều hạng tử; vận dụng tính chất A . B = 0 suy ra: A = 0 hoặc B = 0
9



x + = 0 ⇒ x = - 13
Vậy x = 0 hoặc x = 13 hoặc x = - 13
Ví dụ 6:
Tìm x biết:
a) 2 – 25x2 = 0
b) x2 – x +

1
=0
4

[1]

Hướng dẫn: Tương tự ví dụ 5
Giải
a) 2 – 25x2 = 0
⇒ ( 2 - 5x)(

2 + 5x) = 0

2 - 5x = 0 hoặc

2 + 5x = 0


 2 - 5x = 0 ⇒ - 5x = - 2 ⇒ x =


 2 + 5x = 0 ⇒ 5x = - 2 ⇒ x = 

2

⇒ x=

1
2

Ví dụ 7: Tìm x biết
a) x(x – 2) + x – 2 = 0
b) 5x(x – 3) - x + 3 = 0
c) (2x – 1) 2 – (x + 3)2 = 0
Hướng dẫn: Phân tích vế trái thành nhân tử bằng các phương pháp
nhóm nhiều hạng tử; hàng đẳng thức đáng nhớ.
Giải
a) x(x – 2) + x – 2 = 0
⇒ x(x – 2) + (x – 2) = 0
⇒ (x – 2)(x + 1) = 0

x – 2 = 0 hoặc x + 1 = 0

x - 2 = 0 ⇒ x = 2

x + 1 = 0 ⇒ x = - 1
Vậy x = 2 hoặc x = - 1
b) 5x(x – 3) - x + 3 = 0
⇒ 5x(x – 3) – (x – 3) = 0
⇒ (x – 3)(5x – 1) = 0

x – 3 = 0 hoặc 5x – 1 = 0


3x + 2 = 0 ⇒ x = - 3
Vậy x = 4 hoặc x = -

2
3

Dạng 4: Áp dụng vào chứng minh tính chia hết trong số học
Phương pháp giải
- Phân tích đa thức chia thành nhân tử sao cho xuất hiện số chia
- Áp dụng tính chất nếu số nguyên a chia hết cho số nguyên b nếu có số
nguyên q sao cho a = q.b.
[2]
Ví dụ 8:
Chứng minh rằng 55 n + 1 – 55n chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên) [2]
Hướng dẫn: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử và sử dụng tính
chất chia hết
Giải
Ta có 55n + 1 – 55n = 55n(55 – 1) = 54.55 n chia hết cho 54 với mọi n
Ví dụ 9:
Chứng minh rằng (5n + 2) 2 – 4 chia hết cho 5 với mọi n ∈ Z.

[1]

Hướng dẫn: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách
hạng tử và nhóm nhiều hạng tử; sử dụng tính chât chia hết.
Giải
Ta có (5n + 2) 2 – 4 = (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2) = 5n(5n + 4) chia hết cho
5 với mọi n ∈ Z
Ví dụ 10: Chứng minh rằng với mọi n ∈ Z
a) n3 – n chia hết cho 6

Vì n lẻ nên ta đặt n = 2k + 1 thay vào ta có (k ∈ Z)
(2k – 2)2k(2k + 2) = 8k(k – 1)(k + 1) 8
Mặt khác k(k – 1)(k + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên k(k – 1)
(k + 1)  6.
Vậy chia hết cho 48
Dạng 5: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức cho trước
Phương pháp giải
- Phân tích một vế của đẳng thức thành tích của hai thừa số, vế còn lại
là một số nguyên n.
- Phân tích số nguyên n thành tích hai thừa số bằng tất cả các cách, từ
đó tìm các cặp số (x, y) tương ứng.
Ví dụ 11: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn một trong các đẳng
thức sau:
13


a) x + y = xy

b) xy – x + 2(y – 1) = 13[2]

Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
bằng cách tách hạng tử, nhóm nhiều hạng tử.
Giải
a) Ta có: x + y = xy ⇒ xy – x - y = 0
⇒ x(y – 1) – (y – 1) = 1
⇒ (y – 1)(x – 1) = 1 mà 1 = 1.1 = ( -1)(- 1) nên ta có:

y −1 = 1
 y − 1 = −1
hoặc 

=
14
y
=
2
y
=
−
12



y =0

Vậy các cặp số nguyên (x,y) cần tìm là: (- 1 , 14); (11 , 2); (- 3 , -12);
(-15 , 0)
Dạng 6: Chứng minh đẳng thức
Phương pháp giải
- Phân tích đa thức thành nhân tử của vế trái để đưa đẳng thức về dạng
tích bằng 0.
- Xét từng thừa số bằng 0 rồi chứng minh đẳng thức, nhiều trường hợp
phải dùng đến đặt ẩn phụ.
Ví dụ 11: Chứng minh rằng nếu a 3 + b3 + c3 = 3abc thì a = b = c hoặc
a+b+c=0

[2]

Hướng dẫn: Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ phân tích đa thức thành
nhân tử.
Giải

97 3 + 833
− 97.83 [2]
b)
180

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức (dạng 2)
a) A = x(2x – y) – z(y – 2x) với x = 1,5 ; y = 2 ; z = 1,8
b) B = (x – 1)x2 – 4x(x – 1) + 4(x – 1) với x = 4
Bài 3. Tìm x biết (dạng 3)
a) (2x – 1) 2 – 16 = 0
b) 8x2 – 32x = 0
c) (x – 3)(x2 + 2x + 7) + 2(x 2 – 9) – 5(x – 3) = 0
d) 2(x + 3) – x 2 – 3x = 0
15


e) 4x2 – 25 – (2x – 5)(2x + 7) = 0
Bài 4. Chứng minh rằng (dạng 4)
a) 29 – 1 chia hết cho 73
b) 56 – 104 chia hết cho 9

[2]

Bài 5. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì (dạng 4)
a) (n + 3)2 – (n – 1) 2 chia hết cho 8
b) (n + 6) 2 – (n – 6) 2 chia hết cho 24
c) n2 + 4n + 3 chia hết cho 8 với n lẻ
d) n3 + 3n2 – n – 3 chia hết cho 48 với n lẻ [2]
Bài 6. Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn (dạng 5)
a) y(x – 2) + 3x – 6 = 2

TL

SL

TL

SL

TL

SL

TL

SL

TL

8A

33

0

0

3

9,1


14,7

2

6

Nhìn vào kết quả cũng như rút ra được từ quá trình giảng dạy tôi nhận
thấy rằng:
- Đa số học sinh ở lớp 8B đã đạt mức độ nhận thức hiểu, một số học sinh
đã biết vận dụng phương pháp phân tích thành nhân tử để giải được các bài tập
liên quan, không máy móc dập khuôn như trước nữa.

16


- Qua đề tài tôi thấy học sinh đã có hứng thú đối với phân môn đại số, các
em đã mạnh dạn hơn khi tiếp cận kiến thức, vì vậy giờ toán không còn nhàm
chán như trước nữa.
- Qua đề tài tôi nhận thấy một số em đã biết vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử một cách chính xác, lập luận để giải các bài tập
liên quan.
3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Việc dạy học là một quá trình lâu dài và thường xuyên, không thể nói
nâng cao chất lượng là ta có thể nâng cao được ngay chất lượng học sinh, nhất là
đối với học sinh miền núi. Vì vậy trong sáng kiến kinh nghiệm này bản thân
cũng không mong muốn có thể làm thay đổi hoàn toàn chất lượng học sinh. Tuy
nhiên ở một góc độ nào đó sáng kiến kinh nghiệm này cũng mạng lại một hiệu
quả nhất định đối với học sinh nhà trường cũng như giúp bản thân tôi rút ra được
rất nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy. Đề tài này chỉ là một mảng kiến thức rất

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của minh
viết không sao chép nội dung của người khác

Lê Văn Khâm
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 . Sách giáo khoa toán 8 tập 1
Nhóm tác giả: Phan Đức Chính - Tôn Thân - Vũ Hữu Bình - Trần Đình
Châu – Ngô Hữu Dũng – Phan Gia Đức – Nguyễn Duy Thuận
Nhà xuất bản xuất bản giáo dục, xuất bản năm 2009
2. Các dạng toán và phương pháp giải toán 8 tập 1;
Nhóm tác giả: Tôn Thân - Vũ Hữu Bình - Nguyễn Vũ Thanh – Bùi Văn
Tuyên
Nhà xuất bản giáo dục; xuất bản năm 2011

18


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Lê Văn Khâm.
Chức vụ và đơn vị công tác:Giáo viên – Trường THCS Hiền Kiệt

TT

Tên đề tài SKKN

Kết quả

B

2014 - 2015

Sử dụng công thức tính diện tích
tam giác để giải một số dạng bài
3 toán hình học lớp 8”
Phòng GD

19