phòng giáo dục Thái Thụy
Tr-ờng THCS Thụy THANH

SáNG KIếN KINH NGHIệM

CáC PHƯƠNG PHáP PHÂN TíCH
ĐA THứC THàNH NHÂN Tử Và
ứng dụng vào giảI một số dạng
bài tập toán 8
Họ và tên:

Trần Ngọc đại

Tổ:

Tổ khoa học tự nhiên

Tr-ờng :

Trung học cơ sở Thụy THANH

Năm học:

2013 - 2014

Thụy Thanh, ngày 14 tháng 02 năm 2014


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ


h
h
h h h
hi
h
i
i
ị h
i
h
gọn phân th
q y ồng
mẫu th c các phân th c, c ng trừ các phân th c không cùng mẫu, giải hươ g
h tính
ầ

Đ

ƣ

2


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, biế ổi ồng nhất bi u th c hữu tỉ...vì để gi i được các dạng
toán đó thì cần ph i có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.
Trong thực tế gi ng dạy Toán trường THCS việc làm cho học sinh có kỹ năng gi i
các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán liên quan là công việc rất
quan trọng và không thể thiếu được. Để làm được điều này thì người thầy ph i cung cấp

 Học sinh vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử trong việc áp dụng vào gi i
một số dạng toán lớp và các lớp trên.
ầ

Đ

ƣ

3


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
 Phát huy kh năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh.
 Thấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong gi i toán từ đó
giáo dục ý thức học tập của học sinh.
 Đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng được tri thức vào thực
tiễn cuộc sống.
3. Nhiệm v nghiên cứu:
 Tìm hiểu nội dung (lý thuyết và bà tập về phân tích đa thức thành nhân tử trong
SGK và các sách tham kh o toán 8.
 Tìm hiểu ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong việc gi i các
bài toán có liên quan.
 Điều tra về thực trạng:
 Thường xuyên nghiên cứu các dạng bài tập có liên quan đến phân tích đa thức
thành nhân tử trong SGK, SBT và sách nâng cao của HS.
 Thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết qu học tập của HS để nhận được sự
ph n hồi từ HS. Qua đó nhận ra những tồn tại, những sai lầm HS thường mắc ph i đối với
các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử. Từ đó tìm ra những phương pháp
phù hợp nhằm nâng cao chất lượng gi ng dạy.


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
 Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, 9
 Sách giáo viên 7, 8, 9.
 Sách bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham kh o cho GV và học sinh.
b)

ƣơ

p áp đ ều tra, phỏng vấn

ố

ê:

- Phương pháp điều tra:
Điều tra việc học bài và làm bài tập của học sinh. ụ thể: học sinh có đọc kĩ lý
thuyết hay không Học sinh hay mắc ph i những sai lầm nào Học sinh có r t ra kinh
nghiệm sau khi mắc ph i sai lầm hay không
 Phương pháp phỏng vấn:
ỏi họ

i h

hỏi hư

? m hãy nêu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
m thấy phân tích đa thức thành nhân tử có khó hay không
Những dạng bài tập nào có ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử

5


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ

Ầ 2-

ĐỀ

CHƢƠNG I. CƠ Ở Ý

Ự

Ễ .

1. Cơ sở lí luậ :
Toán học là bộ môn khoa được coi là chủ lực b i trước hết Toán học hình thành cho
các em tính chính xác, khoa học, hệ thống, sáng tạo và tư duy lôgíc vì thế nếu chất lượng
dạy và học Toán được nâng cao thì có nghĩa ch ng ta đã tiếp cận với nền kinh tế tri thức
hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại.
ùng với sự đổi mới nội dung dạy học, chương trình sách giáo khoa, phương pháp
dạy học đang được đổi mới theo hướng tích cực hoá, phát huy đựơc sự tự giác, tích cực,
sáng tạo của học sinh nhằm nâng cao năng lực phát hiện và gi i quyết vấn đề, hình thành
và rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn.
Trong chương trình đại số , nội dung “Phân tích đa thức thành nhân tử” là nội dung
hết sức quan trọng vì dạng toán này được vận dụng rất nhiều trong các dạng toán: R t gọn
phân thức, qui đồng mẫu các phân thức, cộng, trừ, nhân, chia phân thức, ... hính vì vậy,
việc dạy phân tích đa thức thành nhân tử có ý nghĩa hết quan trọng.
Cơ s lí luận khi nghiên cứu nội dung “ Phân tích đa thức thành nhân tử” là:


ƣ

6


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
2. Cơ sở

ự

ễ :

Từ năm học 008 – 200 đến nay tôi được nhà trường phân công gi ng dạy bộ môn
toán và qua thực tế gi ng dạy kết hợp với dự giờ các giáo viên trong trường, đồng thời
qua các đợt kiểm tra, các kì thi chất lượng b n thân, tôi thấy việc dạy học môn Toán
trường TH S Thụy Thanh hiện nay có một số thuận lợi và khó khăn:
- Th ậ lợi
+ Được sự quan tâm của GH và đồng nghiệp đóng góp ý kiến, xây dựng qua từng
tiết dạy.
+ Giáo viên luôn tâm huyết với nghề, luôn tự học và trau dồi kiến thức để nâng cao
tay nghề.
+ Đa số học sinh có tinh thần học tập tốt, tích cực tham gia phát biểu xây dựng bài,
và có tính tự giác, ham học hỏi.
- Khó khăn:
+ Một số phụ huynh các em học sinh đi làm kinh tế nơi xa (bán quần áo, làm rẫy,
xây dựng,
nên không quan tâm sát sao đến việc học của con em mình, phó thác cho các
thầy cô giáo.

ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG

ƣơ

1.

p áp

ƣ
: Tìm nhân tử chung. Nhân tử chung là những đơn thức hoặc đa thức có mặt
trong tất c các hạng tử. Nhân tử chung này là tích của hệ số với phần biến:
+ Hệ số là

N của các hệ số của các hạng tử (nếu các hệ số là số nguyên .

+ Phần biến gồm có các biến chung của các hạng tử với số mũ nhỏ nhất.
ƣ

2: Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.

ƣ 3: Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc rồi viết các nhân tử c n lại của mỗi
hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể c dấu của ch ng .
2.

í
ử

2.1.
í


ầ

Đ

ƣ

8


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
ử

2.2.
í

đa

ứ

. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) 3x2(x + 1) – 2x(x + 1) ;
b) (x - y + z)2 - z(x - y + z) + x - y + z
h

h

giải



giải

a) Hạng tử thứ nhất có nhân tử là x – y, c n hạng tử thứ hai có nhân tử là y – x.
Ta thấy: y – x -(x – y . Từ đó, xuất hiện nhân tử chung là (x – y . Vì vậy:
4x(x – 2y) – 12(2y – x) = 4x(x – 2y) + 12(x – 2y) = 4(x – 2y)(x + 3).
b) Hạng tử thứ nhất có nhân tử là x – y + z, c n hạng tử thứ hai có nhân tử là
y – x - z. Ta thấy: x – y + z = -(y – x - z). Từ đó, xuất hiện nhân tử chung là
(x – y + z . Vì vậy:
3x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x - z) = 3x2y2(x – y + z) - 2xy(x – y + z)
= 3xy(x – y + z)(3xy – 2)
số s

3.

lầ

s
đ

3.1.

p
ử

đ

đ

đ

3.2.
v

ử

đ

đư ,

h gh

ử a
đ ,

đ
a

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x(x – y) – 2(y – x) ;
b) 3x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x - z)
h

h

il

họ

i h

Đ

ƣ

10


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
3y(6x – 4y) + 2x(9x – 6y)

= 3y.2(3x – 2y) + 2x.3(3x – 2y)
= (3x – 2y)(6y + 6x) = 6(x + y)(3x – 2y).

ƢƠ

II.

ƣơ

1.

ĐẲNG THỨC

P DÙNG HẰ
p áp

Vận dụng một trong các hằng đẳng thức sau đây để phân tích:
1.


ậ

hươ g

hi : a3 – 3a2b  3ab2 – b3 = (a – b)3
hươ g: a3  b3 = (a  b)(a2 – ab  b2 )

6. Tổ g h i lậ
i

7.

h i lậ

g i

hươ g: a3 – b3 = (a - b)(a2 + ab  b2 ).
h

g

h hươ g

8.

h g

ổ g

i


 b2k)

í
đa

2.1.
đ

ứ

ứ
a
, 9, 10:

a

ư

đ

a2 – b2 = (a – b)(a  b)
a3  b3 = (a  b)(a2 – ab  b2 )
a3 – b3 = (a - b)(a2 + ab  b2 )
ầ

Đ

ƣ


x3 – 8y3 = x3 - (2y)3 = (x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2).
3

c) Ta viết: 7

, 64y6 = (4y2)3, đa thức có dạng tổng hai lập phương:

27 + 64y6 = 33 + (4y2)3 = (3 + 4y2)(9 – 12y2 + 16y4).
í

. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) x7 - 1;
b) 1 + x10.
h

h

giải

a) Ta thấy x7 - 1 = x7 - 17. Đa thức có dạng hằng đẳng thức số . Vì vậy:
x7 – 1 = (x – 1)(x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)
b) Ta thấy

+ x10 = 15 + (x2)5. Đa thức có dạng hằng đẳng thức số 0. Vì vậy:

1 + x10 = x10 + 1 = (x2 + 1)(x8 – x6 + x4 - x2 + 1)
đa ứ
ứ 1, 2:



CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
h

h

giải

a) 4x2 - 4x + 1 = (2x)2 – 2.2x.1 + 12 = (2x – 1)2 ;
2

2

1
1 1 
1
b) x  x   x 2  2.x.      x   .
4
2 2 
2
2

hi

Nhi

hải ổi ấ

h

:

a3  3a2b  3ab2  b3 = (a  b)3.
a3 – 3a2b  3ab2 – b3 = (a – b)3.
í

. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) x3 + 15x2 + 75x + 125 ;
b) 27x3 – 18x2y2 + 36x4 - 8y6;.
h

h

giải

a) Để kiểm tra xem đa thức có dạng hằng đẳng thức hay không, ta phân tích:
x3 + 15x2 + 75x + 125 = x3 + 3.x2.5 + 3.x.52 + 53
Đến đây, ta thấy đa thức có dạng hằng đẳng thức thứ 4. Vì vậy:
x3 + 15x2 + 75x + 125 = (x + 5)3
b) Ta phân tích:
27x3 – 18x2y2 + 36x4 - 8y6 = (3x)3 – 3.(3x)2.2y2 + 3.3x.(2y2)2 – (2y2)3
Đến đây, ta thấy, đa thức có dạng hằng đẳng thức thứ . Vì vậy:
27x3 – 18x2y2 + 36x4 - 8y6 = (3x – 2y2)3
số s

3.

s
đ

chưa:
a) Ta thấy đa thức chỉ là bình phương thiếu của một hiệu:
x2 – 2xy + 4y2 = x2 – x.2y + (2y)2
Đa thức này có dạng a2 – ab + b2 chứ không ph i là a2 – 2ab + b2!
b) Phân tích đa thức:

x3 – 25x3 + 15x – 1 = (5x)3 – (5x)2.1 + 3.5x.12 – 13.

Đa thức này có dạng a3 – a2b + 3ab2 – b3 chứ không ph i là a3 – 3a2b + 3ab2 – b3!
đa

3.2.
đ

ứ đư

ứ

ư

ứ

hẳng hạn, khi phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) -x2 + 4y2;
b) -4x + x2 + 4.
Nhiều học sinh sẽ l ng t ng dẫn tới việc không phân tích được.
Dễ dàng nhận ra hằng đẳng thức nếu ta đỗi chỗ các số hạng.
a) -x2 + 4y2 = 4y2 – x2 = (2y – x)(2y + x).
b) -4x + x2 + 4 = x2 - 4x + 4 = (x - 2)2.
đ

Ứ
ách làm đ ng: -16 + 24x - 9x2 = -(9x2 – 24x + 16) = -(3x – 4)2.
Một ví dụ nữa là khi phân tích đa thức –x2 – 4y2 thành nhân tử, có học sinh phân tích
như sau: –x2 – 4y2 = -(x2 – 4y2) = -(x – 2y)(x + 2y) = (2y – x)(2y + x).
Sai lầm đây là học sinh đổi dấu số hạng sai dẫn tới nhận nhầm hằng đẳng thức
hiệu hai bình phương. Thực ra, đa thức không phân tích được vì nó không có dạng
hằng đẳng thức nào.
đ

3.4.

hẳng hạn, khi phân tích các đa thức sau thành nhân tử: x4 – 9, một học sinh phân
tích như sau: x4 – 9 = (x2)2 – 32 = (x2 – 3)(x2 +
đây, học sinh chỉ áp dụng một
lần hằng đẳng thức hiệu hai bình phương và hài l ng khi phân tích được như vậy.
ách làm đ ng: Ta thấy x2 – 3 = x2 – ( 3)2 = (x  3)(x  3). Vì vậy:
x4 – 9 = (x2)2 – 32 = (x2 – 3)(x2 + 3) = (x  3)(x  3)(x 2  3).
ưa

3.5.

khi

đ

ứ

hẳng hạn, khi phân tích các đa thức sau thành nhân tử: x6 – , một học sinh phân
tích như sau:
x6 – 1 = (x2)3 – 13 = (x2 – 1)(x4 + x2 + 1) = (x – 1)(x + 1)(x4 + x2 + 1).

ƣ

ặt nhân t chung hoặc dùng h g

ng th c.
15


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
2.

í
ư

2.1.
í

a a
đ

a
ứ (

ử
đư

đ
a


thứ tư, hạng tử thứ hai với thứ ba thì đa thức không phân tích được. Do đó, ta nhóm
hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ ba và nhóm hạng tử thứ hai với thứ bốn:
2xy - 4y2 + 3x + 9

= (2xy + 3x) – (4y2 - 9)
= x(2y + 3) – (2y – 3)(2y + 3)
= (2y + 3)(x – 2y + 3).

c) Nếu nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối hoặc hạng tử thứ nhất với hạng tử
thứ ba, hạng tử thứ hai với thứ tư thì đa thức không phân tích được. Do đó, ta nhóm
hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ tư và nhóm hạng tử thứ hai với thứ ba:
125x3 – 10x2 + 2x – 1 = (125x3 – 1) – (10x2 – 2x)
= (5x – 1)(25x2 + 5x + 1) – 2x(5x – 1)
= (5x – 1)(25x2 + 3x + 1)

ầ

Đ

ƣ

16


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
3.1.

a


. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x2 – 9y2 + 9 - 6x;
b) x2 + 3xy – 4x – 6y + 4;
c) x3 – 3x2 - 3xy + 3x + 3y – 1.
h

h

giải

a) Ta thấy nếu nhóm hai hạng tử thì đa thức không phân tích thành nhân tử được.
Từ đó, ta nghĩ đến việc nhóm ba hạng tử. Hạng tử thứ nhất và hai hạng tử cuối lập
thành một hằng đẳng thức. Do đó, ta có thể làm như sau:
x2 – 9y2 + 9 - 6x = (x2 – 6x + 9) – 9y2 = (x – 3)2 – (3y)2
= (x – 3 – 3y)(x – 3 + 3y)
= (x – 3y – 3)(x + 3y – 3)
b) Đa thức có năm số hạng, nếu nhóm hai số hạng với nhau thì sẽ l một số hạng, đa
thức sẽ không phân tích được. Như vậy sẽ có một nhóm chứa ba số hạng. Khi đó, ta
nghĩ nhóm này ph i có dạng hằng đẳng thức hoặc . Ta thấy, nếu nhóm số hạng
thứ nhất, thứ ba và số hạng cuối thì nhóm này có dạng hằng đẳng thức bình phương
một hiệu. Vậy ta làm như sau:
x2 + 3xy – 4x – 6y + 4

= (x2 – 4x + 4) + (3xy – 6y)
= (x – 2)2 + 3y(x – 2)
= (x – 2)(x + 3y – 2).

c) Đa thức có sáu số hạng, nếu nhóm hai số hạng hoặc ba số hạng bất kì với nhau
thì đa thức sẽ không phân tích được. Ta thử nhóm bốn số hạng. Khi đó, ta nghĩ

:

í

. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = (x + y)(y + z)(z + x) + xyz

h

h

giải

Đây là một đa thức khó phân tích vì không thể áp dụng các phương pháp trên ngay
được. Nhưng nếu ta khai triển đa thức thì đa thức có thể phân tích được.
h

Khai triển

ta được :

A = xyz + xy2 + xz2 + x2z + x2y + y2z + yz2 + xyz + xyz
= (x2y + xy2 + xyz) + (xyz + y2z + yz2) + (x2z + xyz + xz2)
= xy(x + y + z) + yz(x + y + z) + xz(x + y + z).
h

Đặt t

x+y+zx+y

t – z, y + z

x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) = (x + 1)(x – y).
ử

3.2.

:

hẳng hạn, khi phân tích đa thức xy - y2 + 3x + 9 thành nhân tử, có em làm như
sau:
xy - y2 + 3x + 9 = (xy - y2) + (3x + 9) = y(x – y) + 3(x + 3)
Đến đây học sinh đó dừng lại và kết qu là bế tắc khi phân tích.
ách làm đ ng: xy - y2 + 3x + 9

ầ

Đ

ƣ

= (xy + 3x) – (y2 - 9)
= x(y + 3) – (y – 3)(y + 3)
= (y + 3)(x – y + 3).
18


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
Một ví dụ khác nữa, khi phân tích x2 – 4x – y2 + 4 thành nhân tử, đa số các em chỉ
nhóm hai hạng tử như:
x2 – 4x – y2 + 4 = (x2 – 4x) – (y2 – 4) = x(x – 4) – (y – 2)(y + 2)

ứ

:

hẳng hạn, khi phân tích đa thức (xy – 1)2 + (x + y)2, nhiều học sinh cho rằng đa
thức này không phân tích được vì không có dạng hằng đẳng thức nào
Thực ra, nếu khai triển đa thức, ta thấy:
(xy – 1)2 + (x + y)2

= x2y2 – 2xy + 1 + x2 + 2xy + y2
= x2y2 + 1 + x2 + y2 = (x2y2 + x2) + (y2 + 1)
= x2(y2 + 1) + (y2 + 1) = (x2 + 1)(y2 + 1).

Một ví dụ khác, khi phân tích đa thức: x(x +
– (y – (y + , có học sinh cho
rằng đa thức này không phân tích được vì nhìn các số hạng không có nhân tử chung
Sai lầm này xuất phát từ việc khi đa thức không phân tích được, học sinh không nghĩ
đến khai triển đa thức. Ta phân tích đa thức như sau:
x(x + 2) – (y – 1)(y + 1)

ầ

Đ

ƣ

= x2 + 2x – y2 + 1 = (x2 + 2x + 1) – y2
= (x + 1)2 – y2 = (x + 1 – y)(x + 1 + y)
= (x – y + 1)(x + y + 1).
19

2
a) 2x + 4x + 2 - 2y2;
b) x3  2x2  4xy2  4xy;
c) x3 – 2x2 - 4x + 8.
h

h

giải

a) ác hạng tử đều có nhân tử chung là . Vì vậy ta dùng phương pháp đặt nhân tử
chung trước:
2x2 + 4x + 2 - 2y2 = 2(x2 + 2x + 1 – y2) = 2[(x + 1)2 – y2]
= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y) = 2(x – y + 1)(x + y + 1)
b) ác hạng tử đều có nhân tử chung là x. Vì vậy ta dùng phương pháp đặt nhân tử
chung trước:
x3  2x2  4xy2  4xy

= x(x2 - 2x – 4y2 – 4y)
= x[(x2 – 4y2) – (2x + 4y)]
= x[(x – 2y)(x + 2y) – 2(x + 2y)]
= x(x + 2y)(x – 2y – 2)

c) ác hạng tử không có nhân tử chung nào, vì vậy ta nghĩ đến việc nhóm các hạng
tử:
x3 – 2x2 - 4x + 8

= (x3 – 2x2) – (4x – 8) = x2(x – 2) – 4(x – 2)
= (x – 2)(x2 – 4) = (x – 2)2(x + 2).



CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
hẳng hạn, khi phân tích đa thức: x2 + 4x + 2 - 2y2 có học sinh làm như sau:
2x2 + 4x + 2 - 2y2

= (2x2 + 4x) – (2y2 – 2) = 2x(x + 2) – 2(y – 1)(y + 1)
= 2[x(x + 2) – (y – 1)(y + 1)].

Đến đây học sinh không phân tích nữa và dừng lại.
ách làm đ ng: em í

ƢƠ

B.

.

NÂNG CAO

ƢƠ

I.
1.

T H NG TỬ THÀNH NHIỀU H NG TỬ

ƣơ

p áp

ước 2: Chọn hai thừa s có tổng b ng b, ch ng h n chọn tích a.c = ai.ci với
b = ai + ci
ước 3: Tách bx = aix + cix. Từ

h i

h ng thích hợ

phân tích tiếp.

ử c.

3
4:

h

đa

ứ
 2
c
b
b2 c b2 
 2 b
 a  x  x    a  x  2.x.  2   2 
a
a
2a 4a
a 4a 

í
í

. Phân tích các đa thức f(x) = 3x2 + 8x + 4 thành nhân tử.

h

h
h

giải
hh g

ậ

hấ

 Phân tích: ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12)
 Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 là tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci).
 Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix).
Ta phân tích như sau :
3x2 + 8x + 4

= 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)
= x(3x + 2) + 2(3x + 2)
= (x + 2)(3x +2).

Ngoài cách tách hạng tử bx, ta c n một số cách tách như sau:
Cách 2. (tách h ng t bậc hai ax2)
 Làm xuất hi n hi

Cách 5.
ầ

Đ

8
4
4 16 4 16 


 3 x 2  x    3 x 2  2.x.    
3
3
3 9 3 9



f(x)
ƣ

22


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
2

4  4
4 2 
4 2

h

h

b) g(x) = 7x2 + 12x - 4

giải

a) Ta có thể dùng cách tách như đã trình bày

các ví dụ trên. Để ý kĩ hơn, ta thấy:

4x2  4x = (2x)2 – 2.2x.1
Để 4x2  4x thành bình phương một hiệu, ta cần thêm b2

. Từ đó ta có cách tách:

f(x) = (4x2 – 4x + 1) – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1)
b) Nhận x t: 12x - 4 = -(2.3x.2 + 22). Ta cần thêm 9x2 vào trong dấu ngoặc để
được hằng đẳng thức bình phương một hiệu (9x2 - 2.3x.2 + 22 = (3x – 2)2). Từ đó,
ta có cách tách:
f(x) = 16x2 - 9x2 + 12x - 4 = 16x2 – (9x2 - 12x + 4) = (4x)2 – (3x – 2)2
= (x + 2)(7x – 2)
3.
a

3.1.
í

ứ

= (2x – 3y)(2x + y).
ầ

Đ

ƣ

23


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
đa

3.2.
đư :

ứ

đa

ứ f(x) = ax2 +

hẳng hạn, khi phân tích đa thức f(x
x2 + x + , nhiều học sinh cố gắng phân tích
theo các cách đã nêu nhưng không thể tìm ra cách tách thích hợp nào
Thực ra, đa thức trên không phân tích được. Tại sao Vì đa thức này không có
nghiệm. Những đa thức bậc hai không có nghiệm thì không thể phân tích được.
Vậy, ta gi i quyết vấn đề như sau:
Ta có: f(x

f

t nhân t là x – a

- c đó tách các số hạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa nhân tử là
x – a. ũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên của đa thức, nếu có, ph i là một ước của
hệ số tự do.
h c an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a1 x  a0 víi an , an1,..., a1, a0

Thật vậy, giả s

nguyên, có nghi m nguyên x = a. Thế thì :
an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a1 x  a0  ( x  a)(bn1 x n1  bn2 x n2  ...  b1 x  b0 ) ,

g

bn1, bn2 ,..., b1, b0 là các s nguyên. H ng t bậc thấp nhất ở vế phải là

– ab0, h ng t bậc thấp nhất ở vế trái là a0 D
2.

– ab0 = a0

y

l ước c a a0.

í
í


3.

số ệ u

đ

lí

ê

Từ định lí trên, ta có các hệ qu sau :
H quả 1. Nếu f(x) có tổng các h s b ng 0 thì f(x) có m t nghi m là x = 1. Từ
f(x) có m t nhân t là x – 1.
Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 có 1 + (–5) + 8 + (–4) = 0 nên x = 1 là một
nghiệm của đa thức. Đa thức có một nhân tử là x – . Ta phân tích như sau :
f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4)
= x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1)
= (x – 1)( x – 2)2.
H quả 2. Nếu f(x) có tổng các h s c a các lu thừa bậc chẵn b ng tổng các h s
c a các lu thừa bậc l thì f(x) có m t nghi m x = –1. Từ
f
t nhân t là
x + 1.
Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 3x + 9 có 1 + 3 = –5 + 9 nên x = –1 là một nghiệm
của đa thức. Đa thức có một nhân tử là x + . Ta phân tích như sau :
f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9)
= x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1)
= (x + 1)(x – 3)2
H quả 3. Nếu f(x) có nghi m nguyên x = a và f(1) và f(–1) khác 0 thì
f (1)