I. TÓM TẮT
Trong việc dạy học đại số lớp 8 theo phương pháp dạy học tích cực hiện
nay, việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là việc rất cần thiết không thể
thiếu được cho mỗi bài học, tiết học và xuyên suốt toàn bộ chương trình dạy và
học ở các cấp học đặc biệt là cấp Trung học cơ sở. Việc rèn luyện kỹ năng giải
toán giúp học sinh chủ động nắm bắt kiến thức, hiểu bài sâu hơn, phát huy được
khả năng bản thân, sự sáng tạo và hình thành phương pháp học tập tốt hơn. Vì
vậy, việc rèn luyện những kĩ năng giải toán đại số lớp 8 là rất cần thiết cho việc
học tập đồng thời cũng chuẩn bị kĩ năng cho việc tiếp thu kiến thức ở các lớp
trên.
Có rất nhiều kĩ năng cơ bản cần phải luyện cho học sinh trong quá trình
dạy môn đại số lớp 8 và một trong những kỹ năng quan trọng đó là “Rèn luyện
kỹ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các
bài toán đại số lớp 8 trường THCS Trần Phú”. Đây là kĩ năng rất cơ bản, cần
thiết khi học môn đại số lớp 8, nó giúp học sinh có thể dựa vào các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích và giải quyết nhiều dạng toán khác
nhau trong xuyên suốt chương trình đại số lớp 8.
Trong thực tế, đa số học sinh chưa thành thạo kĩ năng vận dụng các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào việc giải toán, phần lớn học
sinh lúng túng trong cách nhận dạng, áp dụng. Với kinh nghiệm ít ỏi của bản
thân tích luỹ được trong quá trình giảng dạy, tôi xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài:
“Rèn luyện kỹ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
vào giải các bài toán đại số lớp 8 trường THCS Trần Phú”
Trong nghiên cứu này, tôi xin đưa ra một số giải pháp giải quyết vấn đề
cụ thể mà bản thân đã áp dụng thành công trong việc giảng dạy những năm học
vừa qua, và được kiểm nghiệm rõ hơn trong năm học 2016 - 2017.
II. GIỚI THIỆU
1. Hiện trạng
Môn toán là môn học tư duy, là cửa ngõ cho mọi môn khoa học khác, nó
cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức quan trọng nhưng không phải ai cũng
biết được điều đó.

chi tiết theo nhóm nhỏ và các em thảo luận tìm ra rội dung bài học mới. Điều
này giúp các em hiểu bài và nhận biết vì sao sai, học sinh yếu không tự ti mà
mạnh dạng đưa ra ý kiến để các bạn cùng tháo gỡ, nên các em cùng tiến bộ rất
nhanh.
+ Giải pháp thay thế thứ ba: Quan tâm đến mọi đối tượng học sinh nhất là học
sinh còn yếu toán nhằm động viên và khích lệ việc học tập các em..
Việc học yếu toán là vấn đề nan giải, các em học chậm nhưng được quan
tâm các em đã cố gắng vươn lên, việc được động viên và quan tâm của giáo viên
và học sinh là điều khchsleej cho học sinh yếu học tập và tiến bộ rõ nhất là
trong thaisddooj học tập bộ môn toán đại số 8.
3. Vấn đề nghiên cứu
Làm thế nào để học sinh có kĩ năng nhận dạng và vận dụng linh hoạt các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong quá trình giải bài tập đại số
toán 8?
4. Giả thuyết nghiên cứu
Ứng dụng công nghệ thông tin, sử dụng tư liệu điện tử, dạy học đại số 8
theo hướng tích hợp, dạy học theo nhóm nhỏ và quan tâm đến học sinh yếu kém
, bổ sung phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để nâng cao kỹ năng vận
dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các bài toán
đại số lớp 8.

2


III. PHƯƠNG PHÁP
1. Khách thể nghiên cứu
Hai lớp được tham gia nghiên cứu là lớp 8/4 và 8/5 Trường THCS Trần
Phú năm học 2016 - 2017 có nhiều điểm tương đồng nhau về giới tính, trình độ.
Cụ thể như sau:
Bảng 1: Giới tính của học sinh hai lớp 8/4 và 8/5 trong năm học 2016 - 2017.

Trong quá trình dạy và kiểm tra đánh giá tôi sử dụng thang đo thái độ
giữa lớp thực nghiệm (lớp 8/5) và lớp đối chứng (lớp 8/4) trong năm học 2016 2017 để kiểm chứng tính tích cực học tập của học sinh qua việc học tập môn Đại
số lớp 8 bằng phiếu điều tra, đây là điều tra trước tác động để minh chứng thái
độ học tập của 2 lớp là tương đương không có sự chênh lệch đáng kể.
PHIẾU ĐIỀU TRA SỐ 1: (Đánh dấu x vào 1 trong 5 ý kiến).
Lớp thực nghiệm trước tác động (8/5- Tổng số học sinh 34)
STT

Nội dung

Đồng
ý

Rất
đồng
ý

Bình
thường

Không
đồng ý

Rất
không
đồng ý

1

Kiến thức đại số 8 quá khó tiếp


9

5

9

6

5

4

Tôi ưu tiên học môn toán 8 trước
các môn học khác.

7

4

12

8

3

5

Tôi thường phát biểu xây dựng
bài trong tiết đại số 8 và hoàn


Không
đồng ý

Rất
không
đồng ý

1

Kiến thức đại số 8 quá khó tiếp
thu.

11

3

10

7

1

2

Tôi không thích học tiết đại số 8.

7

3


10

8

3

5

Tôi thường phát biểu xây dựng
bài trong tiết đại số 8 và hoàn
thành tốt bài tập về nhà.

6

5

9

8

4

Qua phiếu điều tra tôi nhận thấy:
- Trước tác động: thái độ học tập của hai lớp tương đương nhau .
Để tiến hành công tác nghiên cứu trình độ hai lớp phải tương đương nhau.
Tôi đã dùng bài kiểm tra trước tác động đối với 2 lớp (Phần phụ lục 3). Dùng
công thức average(), mode(); median() và dùng phép kiểm chứng Ttest kiểm
chứng sự chênh lệch điểm số trước khi tác động, kiểm chứng để xác định các
nhóm tương đương.

4


P = 0.749636187 > 0,05 từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai
nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng là không có ý nghĩa, hai nhóm được coi
là tương đương.
Sử dụng thiết kế 2: Kiểm tra trước và sau tác động đối với các nhóm
tương đương.
Bảng 3: Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương
Nhóm

Kiểm tra trước tác
động

Tác động

Kiểm tra sau
tác động

Thực nghiệm

O1

Dạy học có sử dụng Tư
liệu điện tử, có tác động
rèn luyện kỹ năng vận
dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành
nhân tử, dạy học vận
dụng chia nhóm nhỏ và

khoá biểu để đảm bảo tính khách quan.

5


Bảng 4: Thực nghiệm trên môn Đại số 8.
Tiết theo PPCT

Tên bài dạy

9

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt
nhân tử chung.

10

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp
dùng hằng đẳng thức.

11

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp
nhóm hạng tử.

12

Luyện tập.

13

* Tiến hành làm phiếu điều tra sau tác động để minh chứng thái độ học tập của 2
lớp.
PHIẾU ĐIỀU TRA SỐ 1: (Đánh dấu x vào 1 trong 5 ý kiến).
Lớp thực nghiệm sau tác động (8/5- Tổng số học sinh 34)
ST
T

Nội dung

Đồng
ý

Rất
đồng
ý

Bình
thường

Không
đồng ý

Rất
không
đồng ý

1

Kiến thức đại số 8 quá khó tiếp
thu.

14

6

7

4

3

4

Tôi ưu tiên học môn toán 8 trước
các môn học khác.

15

7

5

3

4

5

Tôi thường phát biểu xây dựng
bài trong tiết đại số 8 và hoàn
thành tốt bài tập về nhà.

STT

Nội dung

1

Kiến thức đại số 8 quá khó tiếp
thu.

9

3

7

10

3

2

Tôi không thích học tiết đại số 8.

6

4

6

11


5

5

Tôi thường phát biểu xây dựng
bài trong tiết đại số 8 và hoàn
thành tốt bài tập về nhà.

6

7

10

5

4

7


Qua phiếu điều tra tôi nhận thấy:
- Sau tác động: thái độ học tập của lớp 8/5 có tiến bộ hơn so với lớp 8/4.
IV. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ
1. Phân tích dữ liệu
Bảng 5: So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động.
Đối chứng

Thực nghiệm

0.804712189

Sau tác động kiểm chứng chênh lệch giữa ĐTB bằng T – Test, so sánh
chênh lệch giá trị TB chuẩn 0,8 ≤ SMD = 0.804712189 ≤ 1 cho thấy ảnh hưởng
lớn. Quả trình thực nghiệm tác động có kết quả tốt. Xem thử độ chênh lệch kết
quả ĐTB nhóm thực nghiệm cao hơn ĐTB nhóm đối chứng là không ngẫu nhiên
mà do kết quả của tác động.
Theo kết quả ta thấy giá trị p = 0.003125762 < 0,05 điều này chứng tỏ dữ liệu
mà ta thu thập được là có giá trị, có ý nghĩa. Hay nói một cách khác là kết quả
dữ liệu (số liệu) thu thập được không bị tác động của ngẫu nhiên và nó có giá trị
đối với nội dung, giả thiết ta đang nghiên cứu. Nghĩa là nó có tính khách quan,
dữ liệu mô tả chính xác nội hàm của đối tượng ta khảo sát.
So sánh độ chênh lệch giá trị trung bình chuẩn. Điều đó cho thấy mức độ
ảnh hưởng của việc sử dụng phương pháp tác động trong bài luyện tập có tác
động đến kết quả học tập của nhóm.
2. Bàn luận
Điểm trung bình của nhóm thực nghiệm cao hơn so với nhóm đối chứng.
Phân tích độ chênh lệch điểm số của hai nhóm cho thấy kết quả nhóm thực
nghiêm cao hơn. Xem xét điểm trung bình của hai lớp đối chứng và thực nghiệm
có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm trung bình cao hơn lớp đối
chứng. Phân tích độ chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của bài kiểm tra
0,8 ≤ SMD = 0.804712189 ≤ 1. Kết luận về mức độ ảnh hưởng của tác động rất
lớn. Dùng phép kiểm chứng T – Test điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động
của hai lớp p = 0.003125762 < 0.05 kết quả này khẳng định sự chênh lệch điểm
8


trung bình của hai nhóm không phải là ngẫu nhiên mà do tác động mà có, cho
kết quả nghiêng về nhóm thực nghiệm.
* Hạn chế:

3 – Toán nâng cao tự luận và trắc nghiệm đại số 8 – TS. Nguyễn Văn Lộc – nhà
xuất bản giáo dục.
4 - Ôn Luyện Theo Chuẩn Kiến Thức Kĩ Năng Toán 8 - Nguyễn Đức
Tấn, Nguyễn Anh Hoàng – nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam

10


VII. PHỤ LỤC
PHỤ LỤC 1. KĨ NĂNG CẦN RÈN LUYỆN
A. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
I. Mét sè kh¸i niƯm c¬ b¶n:
1. §a thøc: Đa thức là một tổ ng củ a nhữ ng đơn thứ c . Mỗ i đơn thứ c trong
tổ ng gọi là một hạng tử của đa thứ c đó .
VÝ dơ :
BiĨu thøc: f(x) = 5x 3 - x 2 + 3x + 7 lµ mét ®a thøc cđa biÕn (Èn) x.
BiĨu thøc: g(y) = 7y 2+ 3y - 6 lµ mét ®a thøc cđa biÕn (Èn) y.
BiĨu thøc: h(x,y) = 5x 3 y - 3x2 y2- 2y 3 + 7 lµ mét ®a thøc cđa hai biÕn (Èn) x
vµ y.
2. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư:
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư (hay thõa sè) lµ biÕn ®ỉi ®a thøc ®ã thµnh
mét tÝch cđa c¸c ®¬n thøc vµ ®a thøc cã bËc nhá h¬n.
VÝ dơ :
a) x2 – xy + x – y =(x – y)(x + 1).
b) x 5 + x 4 + 1 = (x 2 + x + 1)(x 3 – x + 1).
II. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
§Ĩ ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tư cã rÊt nhiỊu ph¬ng ph¸p kh¸c
nhau, nhng chóng ta thêng sư dơng mét sè ph¬ng ph¸p th«ng dơng nh sau:
- §Ỉt nh©n tư chung.
- Sư dơng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí.

3) C = (y 2 z)(2x 2 y yz) (4yx 2 + yz 2 )(z y 2 ) + 6x 2 z(y 2 z)
Đổi dấu (4yx 2 + yz 2)(z y 2) = (4yx 2 + yz 2)( y 2 z), ta có thừa số
(y2 z) chung:
C = (y 2 z)(2x 2 y yz) (4yx 2 + yz 2 )(z y 2 ) + 6x 2 z(y 2 z)
= (y 2 z)(2x 2y yz) + (4yx 2 + yz 2)( y 2 z) + 6x 2z(y 2 z)
= (y 2 z)[( 2x 2y yz ) + (4yx 2 + yz 2) + 6x 2z]
= (y 2 z)[ 2x 2y + 4yx 2 + 6x 2z] = (y 2 z)[ 2xy 2 + 4yx 2 + 6x 2z]
= (y 2 z)[ 2x 2(y + 2y + 3z)] = (y 2 z)[ 2x 2(3y + 3z)]
= (y 2 z) 2x 2 .3(y + z)
= 6x 2 (y2 z)(y + z).
2. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức:
a) Phơng pháp:
Để áp dụng phơng pháp này, ta cần biến đổi các hạng tử để làm xuất hiện các
hằng đẳng thức (nếu có thể). Sau đó dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân
tích đa thức thành nhân tử.
b) Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
1) D = x 2 x +

1
4

2) E = 9(x + 5) 2 (x +7) 2

3) F = x3 + 9x2 27x + 27

4) G = 8 27a3b6

Giải:
Ta thấy mỗi hạng tử của đa thức trên đều không có nhân tử chung nên
không thể phân tích các đa thức đó thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử

Sử dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng các đơn
thức, ta có thể kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm. Trong mỗi nhóm
này, ta áp dụng liên tiếp các phơng pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng
thức để tiếp tục phân tích.
Lu ý: Thờng thì ta sẽ có nhiều cách nhóm các hạng tử khác nhau
b) Ví dụ :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
1) x2 xy + x y 2) x 2 - 2xy - z 2 + y 2 + 2zt t 2
3) 9 x 2 + 2xy y 2
Giải:
Ta thấy các hạng tử đều không có thừa số chung cũng không thấy có
dạng hằng đẳng thức. Vì thế ta sẽ nhóm hạng tử với nhau để làm xuất hiện
nhân tử chung hoặc có dạng hằng đẳng thức để phân tích tiếp:
1) x2 xy + x y
* Cách 1: Nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ hai, hạng tử thứ ba
với hạng tử thứ t ta có: x2 xy + x y = (x2 xy) + (x y)
= x(x y) + (x y) =(x y)(x + 1).
* Cách 2: Nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ 3, hạng tử thứ hai với
hạng tử thứ t, ta có :
x2 xy + x y = (x2 + x) (xy + y) = x(x + 1) y(x + 1)
= (x + 1)(x y).
Nhận xét : ở ví dụ trên ta đã nhóm các hạng tử thích hợp để sử dụng phơng pháp đặt nhân tử chung. Đối với một đa thức có thể có nhiều cách nhóm
khác nhau những hạng tử thích hợp.
2) x 2 - 2xy - z 2 + y 2 + 2zt t 2
Nhóm hạng tử thứ nhất, thứ hai với hạng tử thứ t , hạng tử thứ ba, thứ
năm với hạng tử thứ sáu để có dạng hằng đẳng thức và tiếp tục phân tích, ta
có :
x 2 - 2xy - z 2 + y 2 + 2zt t 2 = (x 2 2xy + y 2 ) (z 2 2zt + t) 2
= (x y) 2 (z t) 2
= (x y + z t)(x y z + t).

1)
Ta thấy các hạng tử đều có thừa số chung, ta đặt thừa số chung ra ngoài và
tiếp tục phân tích đa thức ở trong ngoặc:
2x2 + 4x + 2 2y2

= 2(x2 + 2x + 1 y2)

Đặt nhân tử chung

= 2 [(x2 + 2x + 1) y2] Nhóm các hạng tử thích hợp của đa thức
trong ngoặc.
= 2[(x + 1)2 y2]

Xuất hiện hằng đẳng thức

= 2(x + 1 y)(x + 1 + y) Dùng hằng đẳng thức
Nh vậy thứ tự u tiên là: Đặt nhân tử chung dùng hằng đẳng thức
nhóm hạng tử.
Vậy 2x2 + 4x + 2 2y2 = 2(x + 1 y)(x + 1 + y).
2)
2a2 12ab + 18b2
Cách giải tơng tự câu a):
2a2 12ab + 18b2 = 2(a2 6ab + 9b2) = 2(a 3b)2
3)
5x3z 10x2z 5xz3 - 5xy2z + 5xz + 10xyz2
= 5xz(x2 2x z2 y2 + 1 + 2yz)
= 5xz[ (x2 2x + 1) (y2 2yz + z2)]
= 5xz[(x 1)2 (y z)2] = 5xz(x 1 y + z)(x 1 + y z).
5. Phơng pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử:
a) Phơng pháp:

nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới.
Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử ta làm
nh sau:
+ Tìm tích ac
+ Phân tích tích ac thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách.
+ Chọn hai thừa số có tổng bằng b.
Khi đó hạng tử bx đã đợc tách thành 2 hạng tử bậc nhất.
Ví dụ 2: 4x2 4x 3
Ta có tích: ac = 4.( 3) = 12
Phân tích : 12 = 1.12 = 1.( 12) = 2.6 = 3.4 = 3.( 4)
Chọn 2 thừa số có tổng là : 4 đó là 2 và (6)
4x2 4x 3 = 4x2 + 2x 6x 3 = 2x(2x + 1) 3(2x + 1)
= (2x + 1)(2x 3)
* Cách 2: Tách hạng tử thứ ba thành 2 hạng tử rồi đa đa thức về dạng
hiệu hai bình phơng.
4x2 4x 3 = 4x2 4x +1 4 = ( 2x 1) 22
= ( 2x 1 2)( 2x 1 + 2) = (2x + 1)(2x 3)
Ví dụ 3: 3x2 8x + 4 = 4x2 8x + 4 x2 = (2x 2)2 x2
= ( 2x 2 x)(2x 2 + x) = (x 2)(3x 2)
Ví dụ 4: Phân tích x 2 5x + 6
Nhận xét : Đa thức trên có dạng a x 2 + bx + c ta phải tách

15


m + n = b
bx = mx + nx . Trong đó
mn = ac
x 2 - 5x + 6 = x2 + x 6x + 6 = (x 2 + x) (6x + 6)
= x(x + 1) 6(x +1) = (x + 1)(x 6).


x2 + x + 5 = x2 + x + 1 ữ 1 ữ + 5 = x + 1 ữ + 19
2
4
2 2

2

2

1
1 19 19

Vì

x + ữ 0x, x R nên x + ữ +
2
2
4
4


Và x2 + x + 5 không thể phân tích đợc nữa.
Kết quả: f(x) = (x 1)(x + 2)(x2 + x +5).
2)
h(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) 24
= (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) 24
= (x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) 24
Đặt y = x2 + 5x + 4 x2 + 5x + 6 = y + 2 và ta đợc:
16

Vì 90 = 6.15 = 9.10 nên chọn m = 9, n = 10, ta có:
6y2 + 19y + 15 = 6y2 + 9y + 10y + 15 = 3y(2y + 3) + 5(2y +3)
= (2y + 3)(3y + 5)
Do đó : P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 = ( 2x2 + 3)(3x2 + 5)
Đa thức dạng: P(x) = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d
Cách giải: Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) có thể y = (x + c)(x + d) hoặc
y2 = x2 + (a + b) x
Ví dụ: Phân tích P(x) = (x +1)(x + 2)(x +3)(x + 4) 15 thành nhân tử.
Giải: Với a = 1, b = 4, c = 2, d = 3 thì a + b = 5 =c + d.
Biến đổi: P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) 15
= (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) 15
Đặt y = x2 + 5x + 4 thì P(x) trở thành
Q(y) = y(y + 2) 1 = y2 +2y 15 = y2 3y + 5y 15
= y(y 3) + 5( y 3) = (y 3)(y + 5)
Do đó: P(x) = (x2 +5x + 1)(x2 + 5x + 9)
17


Tổng quát: Nếu đa thức dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2)
thoả mãn a1b1 = c1d1 và a1b2 + a2b1 = c1d2 +c2d1 thì đặt y =(a1x + a2)(b1x + b2)
rồi biến đổi nh trên.
Đa thức dạng: P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2)
với a1b1 = c1d1 và a2b2 = c2d2
Ví dụ: Phân tích P(x) = (3x + 2)( 3x 5)( x 9)( 9x + 10) + 24x 2 thành
nhân tử.
Giải: Dễ thấy a1b1 = 3.3 = 9.1 = c1d1 và a2b2 = 2.(-5) =(-1).10 =c2d2
P(x) = (9x2 9x 10)(9x2 + 9x 10) + 24x2
Đặt y = (3x +2)(3x 5) = 9x2 9x 10 thì P(x) trở thành:
Q(y) = y(y + 10x) = 24x2
Tìm m.n = 24x2 và m + n = 10x ta chọn đợc m = 6x , n = 4x


* Nếu đa thức P(x) có chứa ax4 thì có thể xét đa thức Q(x) = P(x)/a theo cách
trên.
Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + ( x + b)4 +c
Cách giải: Đặt biến phụ y = x + ( a + b)/2 và biến đổi P(x) về dạng
mx4 + nx2 + p
Ví dụ: Phân tích P(x) = (x 3)4 + ( x 1) 4 16 thành nhân tử.
Giải: Đặt y = x 2 lúc đó P(x) trở thành
Q(y) = (y 1)4 + ( y + 1) 4 16 = 2y4 + 12y2 14 = 2(y2 + 7)( y2 1)
= 2(y2 + 7)(y 1)(y + 1)
Do đó: P(x) = 2(x2 4x + 11)(x 3)(x 1).
7. Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử:
a) Phơng pháp :
Thêm bớt cùng một hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn có dạng hằng
đẳng thức rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung để tiếp
tục phân tích. Thông thờng hay đa về dạng các hằng đẳng thức đáng nhớ sau khi
thêm bớt.
b) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1) a3 + b3 + c3 3abc 2) x5 1 3) 4x4 + 81
4) x8 + x4 + 1
Giải: Các hạng tử của các đa thức đã cho không chứa thừa số chung, không có
một dạng hằng đẳng thức nào, cũng không thể nhóm các số hạng. Vì vậy ta phải
biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử để có thể vận dụng các
phơng pháp phân tích đã biết.
1) a3 + b3 + c3 3abc
Ta sẽ thêm và bớt 3a2b +3ab2 sau đó nhóm để phân tích tiếp
a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 (3a2b +3ab2 + 3abc)
= (a + b)3 +c3 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b)2 (a + b)c + c2 3ab]
= (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 ac bc + c2 3ab]

việc áp dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử là rất quan trọng.
Vì sau khi phân tích vế chứa ẩn thì đợc dạng phơng trình tích A.B = 0 khi và chỉ
khi A = 0 hoặc B = 0.
Khi đó các đa thức A và B có số mũ nhỏ hơn nên sẽ giúp các em giải các phơng
trình đợc sẽ dễ dàng hơn .
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình :
x 3 + 9x 2 + 11x - 21=0
(1)
Đây là phơng trình bậc 3 cha đợc học cách giải. Cũng từ suy nghĩ
phân tích VT của phơng trình thành nhân tử đợc thì phơng trình coi nh giải
xong.
Nhận xét : Phơng trình (1 )thuộc về dạng ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 có a + b
+c+d=0
Để phân tích VT thành nhân tử ta làm nh sau : Tách thành hạng tử thứ
hai trở đi thành hai hạng tử , sao cho hạng tử đầu có hệ số là đối của hạng
tử liền trớc . Từ đó ta phân tích đợc đa thức ở VT của phơng trình trên nh
sau:
Giải: x 3 + 9x 2 + 11x 21 = x3 x 2 + 10x 2 10x + 21x 21
= x2 (x 1) + 10x(x 1) + 21(x 1)
= (x 1).(x 2 + 10x + 21) = (x 1)(x + 7)(x + 3).
Vậy phơng trình (1) trở thành phơng trình: (x 1)(x + 7)(x + 3) = 0
Suy ra: hoặc x 1 = 0 hoặc x + 7 = 0 hoặc x + 3 = 0
Phơng trình có 3 nghiệm là: x =1; x = 7; x = 3.
Ví dụ 2: Giải phơng trình: ( 4x + 3)2 25 = 0
Giải: áp dụng phơng pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đa phơng
trình về dạng. 8(2x 1)( x+ 2) = 0

20


x
=


3
x+2=0

x = 2


x=

1
hoặc x = 2.
3

2. Bài toán giải bất phơng trình
a) Phơng pháp giải: Để giải các bất phơng trình bậc cao hoặc các bất phơng trình có chứa ẩn ở mẫu là một việc không dễ chút nào.
Đối với các bất phơng trình bậc cao ta nên phân tích vế có chứa ẩn thành
nhân tử để đa bất phơng trình về dạng bất phơng trình tích.
Đối với các bất phơng trình có chứa ẩn ở mẫu ta nên phân tích tử và mẫu
thành nhân tử để rút gọn biểu thức sau đó giải bất phơng trình sẽ đơn giản hơn. (
A.B < 0) hoặc (A.B > 0) hay bất phơng trình thờng
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải bất phơng trình
x2 + x 12 > 0 (*)
Giải: Ta thấy vế trái của BPT là một đa thức bậc hai, ta sẽ phân tích
x2 + x 12 = x2 3x + 4x 12 = (x 3)( x + 4)
việc giải BPT (*) sẽ đa về giải BPT :
(x 3)( x + 4) > 0

2(x + 5)
2
=
=
x 2 + 7x + 10 (x + 2)(x + 5) x + 2

Việc giải BPT (**) đa về giải BPT

2
0 x 2 < 0 x < 2
Vậy x < 2.
Ví dụ 3: Giải bất phơng trình3x2 10x 8 > 0
Giải: Ta có : 3x2 10x 8 = 3x2 -12x + 2x 8
= (3x2 -12x) + (2x 8) = 3x(x 4) + 2( x 4)
= (x 4)(3x + 2).
Đến đây việc giải BPT đa về giải BPT: ( 3x + 2)( x 4) > 0


2
3x + 2 > 0
x > 3


x>4
x 4 > 0
x > 4



3. Bài toán rút gọn biểu thức.
a) Phơng pháp giải: Dựa trên cơ sở của tính chất cơ bản của phân thức
đại số, chúng ta phân tích tử và mẫu thức thành nhân tử để xuất hiện nhân tử
chung rồi rút gọn, đồng thời tìm tập xác định của biểu thức thông qua các nhân
tử nằm ở dới mẫu.
Rèn luyện kỹ năng vận dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành
nhân tử vào loại bài toán rút gọn, giúp học sinh thấy đợc sự liên hệ chặt chẽ giữa
các kiến thức phát triển trí thông minh.
b) Ví dụ:
x 2 + y 2 z 2 + 2xy
x 2 y 2 + z 2 + 2xz
Giải: Ta phân tích tử và mẫu của phân thức thành nhân tử:
Ví dụ 1: Rút gọn phân thức sau A =

Tử: x 2 + y 2 z 2 + 2xy = (x 2 + 2xy + y 2 ) z 2
= (x + y)2 - z2 = (x + y + z)(x + y z)
Mẫu: x 2 y 2 + z 2 + 2xz = (x 2 + 2xz + z 2 ) y 2
= (x + z)2 - y2 = (x + y + z)(x - y + z).
A=

x 2 + y 2 z 2 + 2xy (x + y + z)(x + y - z) (x + y - z)
=
=
x 2 y 2 + z 2 + 2xz (x + y + z)(x - y + z) (x - y + z)
22


Vậy A =


Ví dụ 3: Rút gọn phân thức sau :

x 3 y xy3 + y3 z yz 3 + z 3 x xz 3
C= 2
x y xy 2 + y 2 z yz 2 + z 2 x zx 2
Giải: Phân tích tử: x 3 y xy3 + y3z yz 3 + z 3 x xz 3 = (x - y)(x - z)(y - z)(x + y+ z)

Mẫu: x 2 y xy 2 + y 2 z yz 2 + z 2 x zx 2 = (x - y)(x z)(y z)

x 3 y xy3 + y3 z yz 3 + z 3 x xz 3 = (x- y)(x - z)(y - z)(x + y+ z)
C= 2
(x -y)(x - z)(y - z)
x y xy 2 + y 2 z yz 2 + z 2 x zx 2
Vậy C = (x + y + z).
4. Bài toán chứng minh về chia hết
a) Phơng pháp giải: Ta sẽ phân tích đa thức đã cho thành một tích trong
đó xuất hiện thừa số có dạng chia hết cho số cần chứng minh.
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì (2n - 1) 3 - ( 2n - 1) luôn luôn
chia hết cho 8.
Giải:
Ta có: A = (2n 1)3 ( 2n 1)
= (2n - 1)[(2n - 1)2 - 1] = (2n - 1)(2n - 1 + 1)(2n - 1 - 1)
= (2n 1)2n (2n 2) = 4n (n 1)(2n 1).
23


Với mọi số nguyên n ta luôn có :
+ Nếu n chẵn thì n M2 4n M8 A M8 .
+ Nếu n lẽ thì (n 1) M2 4(n 1) M8 A M8 .

+ +
3 2 6
6

2n + 3n2 + n3 = n(2 + 3n + n2) = n( n + 1)( n + 2).
Mà n(n + 1)(n +2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp. Vì vậy ít nhất có một thừa số
chia hết cho 2 và chia hết cho 3 mà (2;3) = 1 nên tích này chia hết cho 6
2
3
Vậy n Z thì biểu thức n + n + n là số nguyên.

3

2

6

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi n N, 45n 3 45n 45n +1 chia hết cho 45.
Giải: Ta có : 45n 3 45n 45n +1 = 45(n 3 n 45n )
Ta có: 45 M
M45

45(n 3 n 45n ) M45

Vậy 45n 3 45n 45n +1 chia hết cho 45.
Kết luận: Trên đây là 4 dạng toán điển hình thờng áp dụng kỹ năng phân
tích đa thức thành nhân tử để giải. Ngoài 4 dạng này còn có một số bài tập khác
nh : tính nhẩm, tính giá trị biểu thức, giải hệ phơng trình cũng vận dụng phơng
pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Với những bài tập vận dụng này đã giúp
học sinh phát triển t duy, óc sáng tạo tìm tới phơng pháp giải toán nhanh hơn,

6’

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS
1/ Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ

25

Ghi bảng