PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN THANH XUÂN
TRƯỜNG THCS KHƯƠNG MAI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
( Sáng kiến đạt giải C cấp Thành phố năm học 2012-2013)

Lĩnh vực: Toán
Họ và tên: Đỗ Kim Hương
Chức vụ: Giáo viên

Hà Nội, tháng 4 năm 2013

1


PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
a. Cơ sở pháp chế
Đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi là một công tác mũi nhọn của ngành giáo
dục & đào tạo. Trong xu thế phát triển hiện nay, việc đào tạo, bồi dưỡng học
sinh giỏi là một nhu cầu cấp thiết của xã hội, nó góp phần không nhỏ vào việc
đào tạo, bồi dưỡng nhân tài cho đất nước. Chính vì vậy, trong những năm gần
đây, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi được ngành giáo dục hết sức chú
trọng.
b. Cơ sở lý luận
Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông.
Là một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để
chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của
chương trình, nội dung của SGK, nắm vững phương pháp dạy học, để từ đó
tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả là một công việc mà bản thân mỗi

- Thực nghiệm việc sử dụng các phương pháp giải bài tập phân tích đa thức
thành nhân tử trong giảng dạy.
- Một số bài học kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu.
3. Giới hạn của đề tài
Đề tài này tôi áp dụng tại Trường THCS Khương Mai và dành cho đối
tượng là học sinh giỏi bộ môn Toán lớp 8
4. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh giỏi lớp 8 của Trường THCS Khương Mai – Quận Thanh Xuân.
5. Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện đề tài này, tôi sử dụng những phương pháp sau đây:
a) Phương pháp nghiên cứu lý luận.
b) Phương pháp khảo sát thực tiễn.
c) Phương pháp quan sát.
d) Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa.
e) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
6. Tài liệu tham khảo
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng một số tài liệu sau:
- Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán 8
- Chuyên đề bồi dưỡng Đại số 8 (Nguyễn Đức Tấn)
- “23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp” của Nhóm tác giả: Nguyễn Văn
Vĩnh – Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng và một số đồng nghiệp (NKTH).
- Nâng cao & phát triển toán 8 (Tập I & II) (Vũ Hữu Bình)
- Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8 (phần Đại số)
(Võ Đại Mau; Võ Đại Hoài Đức)
PHẦN II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
3


Nhiều định lý đã chứng tỏ được rằng mọi đa thức đều phân tích được thành

= a(5c + 2d)(x – 4a)
Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử
E = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy
Giải: Ta có: E = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy
= 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1)
4


= 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2))
= 3xy((x – 1)2 – (y + z)2)
= 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + 9 y+ z))
= 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)
Bài 6 : Phân tích đa thức thành nhân tử:
F = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)
Giải: Ta có : F = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)
= (y – 2z)(16x2 – 10y)
Bài 7 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
G = x3 + 3x2 + 2x + 6
Giải: Ta có : G = x3 + 3x2 + 2x + 6
= x2(x + 3) + 2( x + 3)
= (x2 + 2)(x + 3)
Bài 8 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
H = 6z3 + 3z2 + 2z +1
Giải: Ta có : H = 6z3 + 3z2 + 2z +1
= 3z2(2z + 1) + (2z + 1)
= (2z + 1)(3z2 + 1)
2 . Phương pháp nhóm các hạng tử
Phương pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính
chất kết hợp của phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân
tử chung, rồi sau đó vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép

Bài 5 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
E = x2 + 2xy + y2 – xz - yz
Giải: Ta có : E = x2 + 2xy + y2 – xz - yz
= (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz)
= (x + y)2 – z(x + y)
= (x + y)(x + y – z)
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
F = 2xy + z + 2x + yz
Giải: Ta có : F = 2xy + z + 2x + yz
= (2xy + 2x) + (z + yz)
= 2x(y + 1) + z(y + 1)
= (y + 1)(2x + z)
Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
G = x m + 4 + xm + 3 – x - 1
Giải: Ta có : G = xm + 4 + xm + 3 – x – 1
= xm + 3(x + 1) – ( x + 1)
= (x + 1)(xm + 3 – 1)
Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
H = x2(y – z) + y2(z - x) + z2(x – y)
6


Giải: Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số
chung y - z
Ta có : H = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2
= x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2)
= x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z)
= (y – z)((x2 + yz – x(y + z))
= (y – z)(x2 + yz – xy – xz)
= (y – z)(x(x – y) – z(x – y))

= (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc)
= (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c))
= (a + 2b)(2b – c)(a – c)
Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z)
Giải: Ta có : P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z)
= 4x2y2(2x + y) + z2(y2(z – y) – 4x2(2x + z)
= 4x2y2(2x + y) + z2( y2z – y3 – 8x3 – 4x2z)
= 4x2y2(2x + y) + z2(z(y2 – 4x2) – (y3 + 8x3))
= 4x2y2(2x + y) + z2(z(y – 2x)(y + 2x) – (y + 2x)(y2 – 2xy + 4x2))
= (2x + y)( 4x2y2 + z3 – 2xz3 – z2y2 + 2xyz2 – 4x2z2)
= (2x + y)(4x2(y2 – z2) – z2y (y – z) +2xz2( y – z))
= (2x + y)(y – z)(4x2y + 4x2z – z2y + 2xz2)
= (2x + y)( y – z)(y(4x2 – z2) + 2xz(2x + z))
= (2x + y)( y – z) (2x + z)(2xy – yz + 2xz)
3. Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
Phương pháp này dùng hằng đẳng thức để đưa một đa thức về dạng tích,
hoặc luỹ thừa bậc hai, bậc ba của một đa thức khác.
Các hằng đẳng thức thường dùng là :
A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A - B)2
A2 - B2 = (A + B) (A - B)
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2)
A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2)
Sau đây là một số bài tập cụ thể:
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x4 + x2y2 + y4
Giải: Ta có : A = x4 + x2y2 + y4

= (x2 – (y + z)2 )( x2 – (y - z)2 )
= (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z)
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
E = (x + y)3 +(x - y)3
Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách
khác giải như sau :
Cách 1: E = (x + y)3 +(x - y)3
= ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y)
= 8x3 – 3.2x(x2 – y2)
= 2x(4x2 – 3(x2 – y2))
9


= 2x(x2 + 3y2)
Cách 2: E = (x + y)3 +(x - y)3
= ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2
= 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2))
= 2x(x2 + 3y2)
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
F = 16x2 + 40x + 25
Giải: Ta có: F = 16x2 + 40x + 25
= (4x)2 + 2.4.5.x + 52
= (4x + 5)2
Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
G = (a + b+ c) – (a3 + b3+ c3)
Giải: Ta có: G = (a + b+ c) –(a3 + b3+ c3)
= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3)
= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3)
= 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c)
= 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc)

+ Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải
nhóm các hạng tử vào từng nhóm thoả mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tử
chung, làm xuất hiện nhân tử chung của các nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng
thức. Cụ thể các ví dụ sau:
Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2
Ta thấy P không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có nhân tử
chung, vậy làm gì để phân tích được. Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a 2 - 5b2 có
nhân tử chung. Vì vậy ta dùng phương pháp nhóm các hạng tử đầu tiên.
P = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2. Sau đó đặt nhân tử chung của nhóm thứ nhất
làm xuất hiện hằng đẳng thức P = 5(a 2 - b2) + 3 (a + b)2. Sử dụng hằng đẳng
thức ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tử chung của cả hai nhóm là (a+b)
Vậy P = 5(a + b) (a - b) +3 (a + b) 2 . Đã có nhân tử chung là: (a + b) Vậy ta
tiếp tục đặt nhân tử chung.
P = (a + b) (8a - 2b) =2 (a + b) (4a - b).
Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
Q = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy22 - 3xyz2 + 3xy.
Trước hết hãy xác định xem dùng phương pháp nào trước ?
Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy.
+ Đặt nhân tử chung.
Q = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - Z2 + 1)
Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không?
+ Nhóm hạng tử: Q = 3 xy[(x2 - 2x + 1 ) - (y2 + 2y z + z2)]
+ Dùng hằng đẳng thức: Q = 3xy [( x - 1)2 - ( y + z)2] xem xét hai hạng tử
trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào.
+ Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có:
Q = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1)
11


Vậy: Q đã được phân tích các đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát xem,

4

13
5

14
4

12
4

8
0

Vậy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4)
Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 cho (x + 2) như sau :

-2

1
1

4
2

5
2

4
2

Ta thấy : x = -2
P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = 0
Ta có: P = x4 + 2x3 – 4x3 – 8x2 – 3x2 – 6x + 18x + 36
= x3 (x + 2) – 4x2(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2)
= (x + 2)(x3 – 4x2 – 3x + 18)
Lại phân tích Q = x3 – 4x2 – 3x + 18 thành nhân tử
Ta thấy: Q(-2) = (-2)3 – 4(-2)2 – 3(-2) + 18 = 0
Nên chia Q cho (x + 2), ta được :
Q = (x + 2)(x2 – 6x + 9)
= (x + 2)(x – 3)2
Vậy: P = (x + 2)2(x – 3)2
5. Phương pháp đặt ẩn phụ
Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta có thể đưa
một đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa
thức này sẽ dễ dàng phân tích được thành nhân tử. Sau đây là một số bài toán
dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12
Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức đã cho trở thành :
A = y2 + 4y – 12
= y2 – 2y + 6y – 12
= y(y – 2) + 6(y – 2)
= (y – 2)(y + 6) (1)
Thay : y = x2 + x vào (1) ta được :
13


A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6)
= (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = x3 - 3 2 x2 + 3x + 2 - 2
Giải: Đặt : y = x - 2 , ta có x = y + 2
C = (y + 2 )3 - 3 2 (y + 2 )2 + 3(y + 2 ) + 2 - 2
= y3 + 3y2 2 + 3y.2 + 2 2 - 3 2 (y2 + 2 2 y + 2) + 3(y + 2 ) + 2 - 2
= y3 - 3y – 2
= y3 - y – 2y – 2
14


= y(y2 – 1) – 2(y + 1)
= y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1)
= (y + 1)(y(y – 1) – 2)
= (y + 1)(y2 – y – 2)
= (y + 1)(y + 1)(y – 2)
= (y + 1)2(y – 2)
(*)
Thay : y = x - 2 vào (*), được :
C = (x - 2 + 1)2(x - 2 - 2)

Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
D = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
Giải: Ta có:
D = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
= ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15
= (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15
Đặt : y = (x2 + 8x + 7). Đa thức đã cho trở thành :
D = y(y + 8) + 15
= y2 + 8y + 15
= y2 + 3y + 5y + 15


E = x2((x2 +

Do đó : E = x2(y2 + 2 + 6y + 7)
= x2( y + 3)2
= (xy + 3x) 2
1
, ta được
x
2
1


E =  x( x − ) + 3x
x



Thay y = x -

= (x2 + 3x – 1)2
Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0
Nhận xét :
Từ lời giải bài tập này, ta có thể giải bài tập tổng quát sau : Phân tích đa
thức sau thành nhân tử :
A = a0x2n + a1xn – 1 +…….+ an – 1xn – 1 +anxn + an – 1xn – 1 + …..+ a1x + a0
Bằng cách đưa xn làm nhân tử của A, hay :
A = xn(a0xn + a1xn – 1 + …….+ an – 1x + an +
Sau đó đặt y = x +


xy + yz + zx = b
⇒ ( x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a + 2b
16


Đa thức A trở thành :
G = a(a + 2b) + b2
= a2 + 2ab + b2
= (a + b)2 (*)
Thay : a = x2 + y2 + z2
b = xy + yz + zx vào (*) ta được :
G = (x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)2
6. Phương pháp tách hạng tử; thêm bớt hạng tử
Phương pháp tách; thêm, bớt các hạng tử trong đa thức để làm xuất hiện
các đa thức có thể đưa về hằng đẳng thức đáng nhớ.
Sau đây là một số ví dụ :
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x2 – 6x + 5
Giải: Ta có thể giải bài toán trên đây bằng một số cách như sau:
Cách 1:
A = x2 – 6x + 5
= x2 – x – 5x + 5
= x(x – 1) – 5(x – 1)
= (x – 1)(x – 5)
Cách 2 : A = x2 – 6x + 5
= (x2 - 2x + 1) – 4x + 4
= (x – 1)2 – 4(x – 1)
= (x – 1)(x – 1 - 4)
= (x – 1)(x – 5)
Cách 3 : A = x2 – 6x + 5

(x- 1). Thực hiện phép chia f(x) cho (x –1) được thương là (x – 5). Vậy
A = (x – 1)(x – 5)
Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c ≠ 0) bằng phương pháp tách số
hạng ta làm như sau :
Bước 1 : lấy tích a.c = t
Bước 2 : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trường hợp) t = pi.qi
Bươc 3 : tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pa, qa sao cho : pa + qa = b
Bước 4 : viết ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c
Bước 5 : từ đây nhóm các số hạng và đưa nhân tủ chung ra ngoài dấu
ngoặc.
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x4 + 2x2 - 3
Giải:
Cách 1: B = x4 + 2x2 - 3
= x4 – x2+ 3x2 – 3
= x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1)
= (x2 – 1) (x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Cách 2: B = x4 + 2x2 - 3
18


= x4 + 3x2 – x2– 3
= x2(x2 + 3) - (x2 + 3)
= (x2 + 3)(x2 – 1)
= (x2 + 3)(x – 1)(x + 1)
Cách 3 : B = x4 + 2x2 - 3
= (x4 ) + 2x2 – 1 – 2
= (x4 – 1) + 2x2– 2
= (x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1)

= (x2 + 1)2 - x2
= (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x)
Cách 2 : C = x4 + x2 + 1
= (x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)
= (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x)
Cách 3 : C = x4 + x2 + 1
= (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1)
= x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1)
= (x2 - x + 1)(x2 + x + 1)
Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
D = 5x2 + 6xy + y2
Giải:
Cách 1 : D = 5x2 + 6xy + y2
= (5x2 + 5xy) + (xy + y2)
= 5x(x + y) + y(x + y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 2 : D = 5x2 + 6xy + y2
= (6x2 + 6xy) – (x2 - y2)
= 6x(x + y) – (x – y)(x + y)
= (x + y)(6x – x + y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 3 : D = 5x2 + 6xy + y2
= (4x2 + 4xy) +(x2 + 2xy + y2 )
= 4x(x + y) + (x + y)2
= (x + y)(4x + x + y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 4 : D = 5x2 + 6xy + y2
= (3x2 + 6xy + 3y2) + (2x2 – 2y2 )
= 3(x + y)2 + 2(x2 – y2 )
= (x + y)(3x + 3y + 2x – 2y)

= x4 + (x2 – x + 1) + (x2 – x + 1)2 + x
= (x2 – x + 1)(x2 – x + 2) + x(x + 1)(x2 – x + 1)
= (x2 – x + 1)((x2 – x + 2) + x(x + 1))
= (x2 – x + 1)(2x2 + 2)
Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = 4x4 + 81
Giải: Ta có : P = 4x4 + 81
= 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2
= (2x2 + 9)2 – (6x)2
=(2x2 + 9 – 6x)(2x2 + 9 + 6x)
Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 5
21


Giải: Ta có : Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 5
= 3x3 – x2 – 6x2 + 2x + 15x – 5
= x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1)
= (3x – 1)(x2 – 2x + 5)
Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = x3 – x2 – x - 2
Giải: Ta có : M = x3 – x2 – x - 2
= x3 – 1 – (x2 + x + 1)
= (x – 1)(x2 + x + 1) - (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x – 1 – 1)
= (x2 + x + 1)(x – 2)
Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
N = x 3 + x2 – x + 2
Giải: Ta có : N = x3 + x2 – x + 2
= (x3 + 1) + (x2 - x + 1)

ad + bc = −14
bd = 3

Xét bd = 3 với b, d ∈ Z , b ∈ {1;3 } với b = 3; d = 1
Hệ điều kiện trở thành :
 a + c = −6

ac = 8
a + 3c = −14


Suy ra 2c = - 14 + 6 = - 8, do đó c = - 4 , a = -2
Vậy A = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
= (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng :
B = ( ax + by + c )( dx + ey + g )
= adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg
= adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey2 + ( bg + ce )y + cg
= 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện :
ad = 3
ae +bd = 22

ag +cd =11


be = 7
bg +ce = 37


Giải: Ta có thể biểu diễn B dưới dạng :
C = x4 – 8x + 63
= (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
= x4 + (a+ c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
a + c = 0
ac + b + d = 0

Đồng nhất hai đa thức ta được hệ điều kiện: 
ad + bc = −8

bd = 63

⇔

a


b


c


d


=−
4
=7

Vậy P = -1(x – y)(y – z)(z – x)
= (x – y)(y – z)(x – z)
Chú ý: (*) các giá trị của x, y, z có thể chọn tuỳ ý chỉ cần chúng đôi một khác
nhau để (x – y)(y – z)(z – x) ≠ 0.
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) + z2x2(y – z)
Giải: Thay x = y thì B = y2z2(z – y) + z2x2(y – z) = 0
Như vậy B chứa thừa số x – y.
Ta thấy đa thức B có thể hoán vị vòng quanh x → y → z → x. Do đó nếu B
chứa thừa số x – y thì cũng chứa thừa số y – z, z – x . Vậy B có dạng :
k(x – y)(y – z)(z – x)
Mặt khác B là đa thức bậc ba đối với x, y, z, nên trong phép chia B cho
(x – y)(y – z)(z – x) thương là hằng số k, nghĩa là :
B = k(x – y)(y – z)(z – x) , k là hằng số.
Cho : x = 1; y = -1; z = 0 ta được :
12.(-1)2.(-2) + (-1)2.0.(0 + 1) + 02.12.(1 – 0) = k. 2.(-1).(-1)
-2 = 2k
k = -1
Vậy B = -1(x – y)(y – z)(z – x)
= (x – y)(y – z)(x – z)
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
Giải:
Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì C không thay đổi. Thay a=b vào
C ta có:
C = 0 + bc(b – c) + cb(c – b) = 0
Do đó C chia hết cho (a – b)
Suy ra C chia hết cho (b – c) và C chia hết cho (c – a). Từ đó :
C chia hết cho (a – b)(b – c)(c – a)
Mặt khác C là đa thức bậc ba đối với a, b, c, nên trong phép chia C cho