Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

A: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lời mở đầu
Trong trường phổ thông môn Toán có vị trí quan trọng, nó là cơ sở để bổ trợ
cho các môn học khác, đặc biệt là các môn học tự nhiên. Nội dung chương trình
và phương pháp dạy học bộ môn là yếu tố quyết định hiệu quả giáo dục đào tạo ở
phổ thông. Vì vậy môn Toán đã được Bộ giáo dục soạn thảo, sắp xếp từ đơn giản
đến phức tạp, từ trực quan đến tư duy trừu tượng để học sinh có thể vận dụng
linh hoạt các kiến thức đã biết, đã tiếp thu được trong trường phổ thông. Trong
chương trình toán nói chung và phân môn Đại số nói riêng thì phân tích đa thức
thành nhân tử là kiến thức cơ bản, cần thiết trong giảng dạy toán phổ thông. Phần
này chiếm một vị trí quan trọng, là một trong nội dung lớn của chương trình Đại
số, xuyên suốt chương trình toán phổ thông.
Vì vậy để có thể nâng cao và phát triển khả năng giải loại toán này cho các
em học sinh, tôi đã tham khảo nhiều tài liệu viết về vấn đề này và tôi thấy việc
cần thiết phải có cách tư duy và những phương pháp giải thích hợp giúp học sinh
một phần nào đó có cơ sở để tìm tìm lời giải không chỉ mình loại toán này mà
cho nhiều loại toán khác có liên quan. Với đề tài này tôi muốn giới thiệu về:
“Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”.
Trong việc học toán để các em tự tìm tòi lời giải để đưa ra phương án giải
một bài toán đúng thì đa số các em thường “bí” trước những vấn đề mới, chỉ một
phần ít các em giỏi có thể tự mình tìm ra được đường lối đúng, vì vậy việc tìm ra
một phương pháp chung cho một dạng toán nào đó thực sự là cần thiết, và công
việc này người thầy đóng vai trò là chủ đạo, học sinh chủ động tìm tòi kiến thức.
Với đề tài này tôi góp phần nhỏ về kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề phân tích
đa thức thành nhân tử cho học sinh THCS.
Người thực hiện: Dương Văn Thanh
Dương


giúp học sinh phát hiện phương pháp giải phù hợp với từng bài cụ thể ở các dạng khác
nhau.

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Các giải pháp thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này:
1, Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các đơn vị kiến thức cơ bản.
2, Giáo viên cho học sinh nắm vững bản chất của việc phân tích đa thức thành nhân
tử.
- Các phương pháp thông thường.
- Một số phương pháp phân tích đa thức khác.
Người thực hiện: Dương Văn Thanh
Dương

2

Đơn vị: Trường THCS Thiệu


Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
- Một số bài tập áp dụng.

II . Các biện pháp thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này:
1) Biện pháp thứ nhất.
Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các đơn vị kiến thức cơ bản như
các quy tắc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức,
phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức đã
sắp xếp, các quy tắc đổi dấu đa thức, thật thuộc và vận dụng thành thạo các hằng đẳng
thức đáng nhớ.
2) Biện pháp thứ hai.


Người thực hiện: Dương Văn Thanh
Dương

(Nhóm các hạng tử)
3

Đơn vị: Trường THCS Thiệu


Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
= (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a -b) (a + b - 2)

(Đặt NTC)

Để phối hợp nhiều phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử cần chú
ý các bước sau đây:
+ Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản đa
thức.
+ Xét xem đa thức có dạng bằng đẳng thức nào không ?+ Nếu không có nhân tử
chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải nhóm các hạng tử vào từng nhóm thoả
mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tử chung, làm xuất hiện nhân tử chung của các
nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng thức. Cụ thể các ví dụ sau:
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
M3 = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2
Ta thấy M3 không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có nhân tử chung,
vậy làm gì để phân tích được. Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 có nhân tử chung. Vì
vậy ta dùng phương pháp nhóm các hạng tử đầu tiên:

+ Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có:
M4 = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1)
Vậy: M4 đã được phân tích các đa thức thành nhân tử.
Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp
sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học để các bước phân tích
được rõ ràng, mạch lạc và triệt để (đa thức không thể phân tích được nữa).
2.2. Một số phương pháp phân tích đa thức khác.
Giáo viên trước hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo các phương pháp phân
tích thành nhân tử thông thường (đã học trong SGK) và kết hợp các phương pháp sau
để làm các bài toán khó.
+ Phương pháp tách hạng tử.
+ Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử.
+ Phương pháp đặt ẩn phụ.
+ Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
+ Phương pháp dùng hệ số bất định.
+ Phương pháp xét giá trị riêng.
Cụ thể:
2.2.1: Phương pháp tách hạng tử.
Ví dụ 5: Phân tích thành nhân tử đa thức sau:
N = a2 - 6a + 8.
Người thực hiện: Dương Văn Thanh
Dương

5

Đơn vị: Trường THCS Thiệu


Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

6

Đơn vị: Trường THCS Thiệu


Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
+ Phân tích a.c ra thừa số nguyên với mọi cách
+ Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b
Ngoài ra có thể tách đồng thời cả hai hạng tử (hạng tử tự do và hạng tử bậc nhất)
(như cách 3)
2.2.2) Phương pháp thêm bớt hạng tử.
Ví dụ 6: Phân tích đa thức P1 = x4 + 4 thành nhân tử
P1 = x4 + 4

= x4 + 4x2 + 4 - 4x2

(thêm 4x2, bớt 4x2)

= (x4 + 4x2 + 4) - 4x2

(nhóm hạng tử)

= (x2 + 2)2 - (2x)2

(dùng hằng đẳng thức)

= (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2)
Ví dụ 7: Phân tích đa thức : P2 = a4 + 64 thành nhân tử.
P2 = (a4 + 16a2 +64) - 16a2 (thêm 16a2, bớt 16a2)

(Tách 4y = 6y - 2y)

D1 = y (y - 2) + 6(y - 2)

(đặt nhân tử chung)

D1 = (y – 2)(y + 6)

(đặt nhân tử chung)

Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay lại biến x
D đã phân tích thành 2 nhân tử (x2 + x- 2) và (x2 + x+ 6)
Việc phân tích tiếp các nhân tử cho triệt để có thể dựa vào các phương pháp
đã nêu ở trên. Chú ý có những tam thức không thể phân tích tiếp được như :
x2 + x + 6 = (x +

1 2
3
) + 5 . Do vậy không phân tích tiếp được nữa
2
4

Còn x2 + x - 2 = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2)
Khi đó D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2).
2.2.4) Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
Nguyên tắc: Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm thì theo định lý Bơ du
ta có: Nếu m là nghiệm của (1) thì m chứa nhân tử (x - m), khi đó dùng phép chia đa
thức ta có:
ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phân tích tiếp
được dựa vào các phương pháp nêu ở trên.

(Chia E2 cho(x - 2))

E2 = (x + 2) (x -1)2

Các ví dụ trên đây là một số phương pháp để phối kết hợp với các
phương pháp thông thường giúp học sinh phân tích được các bài toán khó
thành nhân tử giúp cho quá trình rút gọn phân thức cũng như giải phương
trình.
3) Một số bài tập áp dụng.
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
1a.

x2 - 4x + 3 bằng 4 cách (phương pháp tách).

Gợi ý 4 cách làm.
C1: Tách - 4x = - 3x + (-x)
C2: Tách 3 = 4 - 1.
C3: Tách 3 = 12 - 9
C4: Tách -4x = -2x + (-2x) và 3 = 2 + 1
Sau đó có thể nhóm làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung.
1b.

81a4 + 4

(thêm bớt hạng tử)

Gợi ý:Thêm 2 lần tích của 9a2 và 2  Hằng đẳng thức. Cụ thể: 36x2
1c:

(x2 + x)2 + 9x2 + 9x + 14 (phương pháp đổi biến).

+ Thay a = 102 vào M đã rút gọn.
Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
3.a)

y2 - 5y + 4 = 0.

Gợi ý: Phân tích vế trái thành các nhân tử  phương trình trở về phương trình tích.
3b: y 3 - 2y2 - 9y + 18 = 0.
Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa phương trình đã cho thành phương
trình tích  giải phương trình tích.
Bài tập 4: Chứng minh rằng đa thức sau.
4a)

A = (a2 + 3a + 1)2 - 1 chia hết cho 24.

Với a là một số tự nhiên.
Gợi ý:
+ Trước hết phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.
Người thực hiện: Dương Văn Thanh
Dương

10

Đơn vị: Trường THCS Thiệu


Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
A = (a2 + 3a + 2) (a2 + 2a) (Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương)
A = (a + 2) (a + 1) (a + 3)a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3)


Đơn vị: Trường THCS Thiệu


Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy ở trường THCS Thiệu
Dương trong năm học 2010 - 2011 đã thu được các kết quả khả quan.
Kết quả học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua mỗi kỳ
thi, đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các thủ thuật phân
tích đa thức thành nhân tử để làm các dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa
thức đạt kết quả tốt. 100% các em học sinh đã biết sử dụng các phương pháp phân tích
thông thường một cách thành thạo, 90% các em học sinh có kỹ năng nắm vững thủ
thuật phân tích đa thức dựa vào các phương pháp phân tích đã được nêu trong sáng
kiến kinh nghiệm. Bên cạnh đó các phương pháp này các em dễ dàng tiếp cận với các
dạng

toán khó và các kiến thức mới cũng như việc hình thành một số kỹ năng trong
quá trình học tập và giải toán khi học bộ môn toán.
C. KẾT LUẬN.
Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây có kết quả
hữu hiệu cho việc học tập và giải toán. Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi và định
hướng phương pháp làm bài khi chưa có sự gợi ý của giáo viên, mang lại nhiều sáng
tạo và kết quả tốt từ việc giải toán rút ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân
tử.
Vì lẽ đó vơí mỗi giáo viên chung và bản thân tôi nói riêng cần hiểu rõ khả năng
tiếp thu bài của các đối tượng học sinh để từ đó đưa ra những bài tập và phương pháp
giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm được các bài tập, gây hứng thú học tập, say
sưa giải toán, yêu thích học toán. Từ đó dần dần nâng cao từ dễ đến khó, có được như
vậy thì người thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phương pháp giải toán, có nhiều bài toán

Kính chào quý thầy cô và các bạn.
Lời đầu tiên cho phép tôi được gửi tới quý thầy cô và các bạn lời chúc tốt đẹp
nhất. Khi thầy cô và các bạn đọc bài viết này nghĩa là thầy cô và các bạn đã có thiên
hướng làm kinh doanh
Nghề giáo là một nghề cao quý, được xã hội coi trọng và tôn vinh. Tuy nhiên,
có lẽ cũng như tôi thấy rằng đồng lương của mình quá hạn hẹp. Nếu không phải môn
học chính, và nếu không có dạy thêm, liệu rằng tiền lương có đủ cho những nhu cầu
của thầy cô. Còn các bạn sinh viên…với bao nhiêu thứ phải trang trải, tiền gia đình
gửi, hay đi gia sư kiếm tiền thêm liệu có đủ?
Bản thân tôi cũng là một giáo viên dạy môn Ngữ Văn. vì vậy thầy cô sẽ hiểu tiền
lương mỗi tháng thu về sẽ được bao nhiêu. Vậy làm cách nào để kiếm thêm cho mình
4, 5 triệu mỗi tháng ngoài tiền lương.
Thực tế tôi thấy rằng thời gian thầy cô và các bạn lướt web trong một ngày cũng
tương đối nhiều. Ngoài mục đích kiếm tìm thông tin phục vụ chuyên môn, các thầy cô

Người thực hiện: Dương Văn Thanh
Dương

13

Đơn vị: Trường THCS Thiệu


Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
và các bạn còn sưu tầm, tìm hiểu thêm rất nhiều lĩnh vực khác. Vậy tại sao chúng ta
không bỏ ra mỗi ngày 5 đến 10 phút lướt web để kiếm cho mình 4, 5 triệu mỗi tháng.
Điều này là có thể?. Thầy cô và các bạn hãy tin vào điều đó. Tất nhiên mọi thứ đều có
giá của nó. Để quý thầy cô và các bạn nhận được 4, 5 triệu mỗi tháng, cần đòi hỏi ở
thầy cô và các bạn sự kiên trì, chịu khó và biết sử dụng máy tính một chút. Vậy thực

Để đăng kí làm thành viên satavina thầy cô làm như sau:
Bước 1:
Nhập địa chỉ web: http://satavina.com vào trình duyệt web( Dùng trình duyệt firefox,
không nên dùng trình duyệt explorer)
Giao diện như sau:

Người thực hiện: Dương Văn Thanh
Dương

14

Đơn vị: Trường THCS Thiệu


Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Để nhanh chóng quý thầy cô và các bạn có thể coppy đường linh sau:
http://satavina.com/[email protected]&hrID=22077
( Thầy cô và các bạn chỉ điền thông tin của mình là được. Tuy nhiên, chức năng đăng
kí thành viên mới chỉ được mở vài lần trong ngày. Mục đích là để thầy cô và các bạn
tìm hiểu kĩ về công ty trước khi giới thiệu bạn bè )
Bước 2:
Click chuột vào mục Đăng kí, góc trên bên phải( có thể sẽ không có giao diện ở
bước 3 vì thời gian đăng kí không liên tục trong cả ngày, thầy cô và các bạn phải thật
kiên trì).
Bước 3:
Nếu có giao diện hiện ra. thầy cô khai báo các thông tin:

Người thực hiện: Dương Văn Thanh

Sau khi đăng kí web sẽ thông báo thành công hay không. Nếu thành công thầy cô và
các bạn vào hòm thư đã khai báo để kích hoạt tài khoản. Khi thành công quý thầy cô
và các bạn vào web sẽ có đầy đủ thông tin về công ty satavina và cách thức kiếm tiền.
Hãy tin vào lợi nhuận mà satavina sẽ mang lại cho thầy cô. Hãy bắt tay vào việc đăng
kí, chúng ta không mất gì, chỉ mất một chút thời gian trong ngày mà thôi.
Kính chúc quý thầy cô và các bạn thành công.
Người thực hiện: Dương Văn Thanh
Dương

16

Đơn vị: Trường THCS Thiệu


Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Nếu quý thầy cô có thắc mắc gì trong quá trình tích lũy tiền của mình hãy gọi
trực tiếp hoặc mail cho tôi:
Người giới thiệu: Dương Văn Dũng
Email người giới thiệu:
[email protected]
Mã số người giới thiệu:
00022077
Quý thầy cô và các bạn có thể coppy Link giới thiệu trực tiếp:
http://satavina.com/[email protected]&hrID=22077
Di động:
0976 192 579
Website: http://vandung80.violet.vn
2/ Cách thức satavina tính điểm quy ra tiền cho thầy cô và các bạn:
+ Điểm của thầy cô và các bạn được tích lũy nhờ vào đọc quảng cáo và xem video

Dương

17

Đơn vị: Trường THCS Thiệu


Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Tuy nhiên thầy cô và các bạn không nên mơ đạt đến mức 5. Chỉ cần cố gắng để 1tháng
được 1=>10 triệu là quá ổn rồi.
Như vậy thầy cô và các bạn thấy satavina không cho không thầy cô và các bạn tiền
đúng không. Vậy hãy đăng kí và giới thiệu mạng lưới của mình ngay đi.
Lưu ý: Chỉ khi thầy cô và các bạn là thành viên chính thức thì thầy cô và các bạn mới
được phép giới thiệu người khác.
Hãy giới thiệu đến người khác là bạn bè thầy cô và các bạn như tôi đã giới thiệu
và hãy quan tâm đến những người mà bạn đã giới thiệu và chăm sóc họ( khi là thành
viên thầy cô và các bạn sẽ có mã số riêng).Khi giới thiệu bạn bè hãy thay nội dung ở
mục thông tin người giới thiệu là thông tin của thầy cô và các bạn. Chúc quý thầy cô
và các bạn thành công và có thể kiếm được 1 khoản tiền cho riêng mình.
Người giới thiệu: Dương Văn Dũng
Email người giới thiệu: [email protected]
Mã số người giới thiệu:
00022077
Quý thầy cô và các bạn có thể coppy Link giới thiệu trực tiếp:
http://satavina.com/[email protected]&hrID=22077
Di động:
0976 192 579
Website: http://vandung80.violet.vn