Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
A / Lời nói đầu
Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức quan trọng, lý
thú, song đó lại là một trong những dạng toán khó đối với học sinh bậc
THCS.
Nội dung này được giới thiệu khá đầy đủ trong chương trình Đại Số
8 và có thể coi là nội dung nòng cốt của chương trình. Bởi nó được vận
dụng rất nhiều ở các phần sau như: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu
thức của các phân thức, biến đổi các biểu thức hữu tỉ, biến đổi các biểu
thức vô tỉ, giải phương trình bậc cao
Thực tế giảng dạy cho thấy, mặc dù các phương pháp được giơí
thiệu trong SGK rất roừ ràng, cụ thể. Song việc các em vận dụng còn
nhiều lúng túng. Đặc biệt đối với học sinh khá giỏi thì nội dung kiến
thức chưa đáp ứng được nhu cầu học toán của các em.
Vậy Dạy - Học nội dung phân tích đa thức thành nhân tử như thế
nào để đạt kết quả tốt nhất? Phù hợp cho học sinh đại trà? Đồng thời
đáp ứng được nhu cầu học tập của học sinh khá giỏi. Để đạt kết quả đó,
ngoài phương pháp truyền thụ người thầy phải nắm bắt được kiến thức
một cách nhuần nhuyễn. Đó chính là lý do tôi đưa ra đề tài này.
Cụ thể trong đề tài này, với mỗi phương pháp cơ bản hay đặc biệt.
Tôi làm rõ:
• Phương pháp giải.
• Bài tập tự luyện
Với nội dung và trình bày trong đề tài này, hy vọng đề tài này không
chỉ là tài liệu hướng dẫn đối với học sinh mà còn là tài liệu tham khảo
bổ ích cho công tác giảng dạy của giáo viên các trường THCS.
1
Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
B. Nội dung
Phần 1: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Các phương pháp cơ bản

2
(x + y) – 5(2x + 2y)y
2
= 10x
2
(x + y) – 10y
2
(x + y) = 10(x + y)
(x
2
– y
2
)
= 10(x + y)(x + y)(x – y) = 10(x + y)
2
(x – y)
Bài tập tự luyện
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 12xy
2
– 12xy + 3x
b) 15x – 30 y + 20z
c)
7
5
x(y – 2007) – 3y(2007 - y)
d) x(y + 1) + 3(y
2
+ 2y + 1)
Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau

3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
(A - B)
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
A
3
+ B
3
= (A + B)(A
2
– AB + B
2
)
A
3

k2
– B
k2
= (A +B)(A
12 −k
- A
22 −k
B + … - B
12 −k
)
A
12 +K
+ B
12 +K
= (A + B)(A
k2
– A
12 −k
B + A
22 −k
B
2
- … +B
k2
)
(A + B)
n
= A
n
+ n A

2−n
B
2
- … +(-1)
n
B
n
Ví dụ Phân tích đa thức tành nhân tử
a) x
2
+ 6xy
2
+ 9y
4
b) a
4
– b
4

c) (x – 3)
2
- (2 – 3x)
2
d) x
3
– 3x
2
+ 3x - 1
Bài Làm
a) x

2
) (a
2
– b
2
) = (a
2
+ b
2
) (a + b) (a –
b)
c) (x – 3)
2
- (2 – 3x)
2
= [(x – 3) + (2 – 3x)][(x – 3) – (2 – 3x)]= (- 2x
– 1)(- 5 + 4x)
d) x
3
– 3x
2
+ 3x - 1 = (x – 1)
3
2.2/ Phân tích đa thức thành nhân tử
a) a
3
+ b
3
+ c
3

+ b
2
+ c
2
– ab – bc – ca)
b) (a + b + c)
3
– a
3
– b
3
– c
3
= (a + b)
3
+ c
3
+ 3c(a + b)(a + b + c) – a
3
– b
3
–c
3

= 3(a + b)(ab + bc + ac + c
2
) = 3(a + b)(b + c) (c + a)
Bài tập tự luyện
Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) (x – 15)

3
+ 6xy
2
– 12x
2
y + 8x
3
d) 2004
2
- 16
III/ Phân tích đa thức thành nhân tử, bằng phương pháp nhóm
nhiều hạng tử.
Phương pháp
• Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử thích
hợp vào từng nhóm.
• Áp dụng phương pháp phân tích đa thức khác để giải toán.
2. Ví dụ
2.1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x
2
– 3xy + x – 3y
b) 7x
2
– 7xy – 4x + 4y
c) x
2
+ 6x – y
2
+ 9
d) x

2
= (x + 3)
2
- y
2
= (x + 3 + y)(x
+ 3 – y)
d)x
2
+ y
2
– z
2
– 9t
2
– 2xy + 6zt = (x
2
– 2xy + y
2
) – (z
2
– 6zt + 9t
2
)
= (x – y)
2
– (z – 3t)
2
= (x – y + z – 3t)(x – y –
z + 3t

y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz
= (x
2
z + y
2
z + 2xyz) + x
2
y + xy
2
+ xz
2
+ yz
2

= z(x + y)
2
+ xy(x + y) + z
2
(x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z
2

2
+ xyz)
= x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy)
= (xy + yz + xz)( x + y + z)
3. Bài Tập
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x
4
+ 3x
2
– 9x – 27
b) x
4
+ 3x
3
– 9x – 9
c) x
3
– 3x
2
+ 3x – 1 – 8y
3
BàI 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x(y
2
– z
2
) + y(z
2
– y

3
y – 6x
2
y – 3xy
3
– 6axy
2
– 3a
2
xy + 3xy
Bài làm
a) 5x
3
– 45x = 5x(x
2
– 9) = 5x(x +3) (x – 3)
b) 3x
2
y – 6x
2
y – 3xy
3
– 6axy
2
– 3a
2
xy + 3xy
= 3xy(x
2
– 2y – y

c + 2bc
2
– 4abc
b) 8x
3
(x + z) – y
3
(z + 2x) – z
3
(2x - y)
c) [(x
2
+ y
2
)(a
2
+ b
2
) + 4abxy]
2
– 4[xy(a
2
+ b
2
) + ab(x
2
+ y
2
)]
2

] – (y + z)(y
2
– yz +
z
2
)
= (y+z)[ x
2
+ y
2
+ z
2
+2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x
2
+ x
2
– y
2
+ yz –
z
2
]
= (y + z)(3x
2
+ 3xy + 3xz + 3yz)
6
Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
= 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)]
= 3( x + y)(y + z)(x + z)
V/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử

2
– 6x + 8 = (x
2
– 16) – 6x + 24 = (x –4)(x + 4) – 6(x – 4) =
(x – 4)(x + 4 –6) = (x –4)(x – 2)
Cách 5: x
2
– 6x + 8 = (x
2
– 4x + 4) – 2x + 4 = ( x – 2)
2
– 2(x – 2)= (x
– 2)(x – 2 – 2) = (x – 2)(x – 4)
3. Bài tập
Bài 9 : Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x
2
+ 7x +10
b) x
2
– 6x + 5
c) 3x
2
– 7x – 6
d) 10x
2
– 29x + 10
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x
3

= (x
2
+ 8)
2
– (4x)
2
= (x
2
+ 4x + 8)(x
2

– 4x + 8)
Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x
4
+ 4y
4

b) x
5
+ x + 1
Bài làm
a) x
4
+ 4y
4
= x
4
+ 4y
4

+ x + 1)
= x
3
(x
2
+ x + 1) – x
2
(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x +1)
= (x
2
+ x + 1)(x
3
– x
2
+1)
Bài tập
Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x
5
+ x
4
+ 1
b) x
8
+ x
7

c) x
3
– 5x
2
+ 3x + 9
d) x
3
+ 8x
2
+ 17x + 10
e) x
3
+ 3x
2
+ 6x + 4
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x
3
– 2x – 4
8
Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
b) 2x
3
– 12x
2
+ 7x – 2
c) x
3
+ x
2

4
– 11x
2
+ 3
b) (x
2
+ 3x + 1)(x
2
+ 3x – 3) –5
c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
Bài Làm
a) 6x
4
– 11x
2
+ 3
- Đặt x
2
= y
- Đa thức đã cho trở thành: 6y
2
– 11y + 3 = (3y – 1)(2y – 3)
- Trả lại biến cũ:
6x
4
– 11x
2
+ 3 = (3x
2
– 1) (2x

2
+ 3x + 1)(x
2
+ 3x – 3) – 5 = (x
2
+ 3x + 1 + 1)(x
2
+ 3x + 1 – 5)
= (x
2
+ 3x + 2)(x
2
+ 3x – 4)= (x + 1)(x + 2)(x – 1)(x + 1)
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 15
9
Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
- Đặt x
2
+ 8x + 7 = y ⇒ x
2
+ 8x + 15 = y + 8
- Đa thức đã cho trở thành :
y(y + 8) + 15 = y
2
+ 8y + 15 = y
2
+ 5y + 3y + 15= y(y + 5) + 3(y + 5)
= (y + 5)(y + 3)
- Trả lại biến cũ

+ 3x(x
2
+ 4x + 8) + 2x
2
Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
b) (4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) – 4
c) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) + 3x
2
d) 3x
6
– 4x
5
+ 2x
4
– 8x
3
+ 2x
2
– 4x + 3
VIII/ Phương Pháp hệ số bất định
Phương Pháp: Sử dụng tính chất: Hai đa thức cùng bậc bằng nhau thì
hệ số tương ứng của chúng phải bằng nhau.
a
n
x
n
+ a
1=n
x

∀ i = 1; n
2. Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử
2.1 Ví dụ 1: A = x
3
+ 11x + 30
Vì A là đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là 1. Nên nếu A phân tích
được thì A có dạng.
A = (x + a)(x
2
+ bx + c) = x
3
+ (a + b)x
2
+ (ab + c)x + ac
⇔ x
3
+ 11x + 30 = x
3
+ (a + b)x
2
+ (ab + c)x + ac
Đồng nhất hệ số, ta có
10
Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử





=

⇔B = x
4
+ (a + c)x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hệ số, ta có:

14
15
14
1
a c
ac b d
ad bc
bd
+ = −


+ + =


+ = −


=


⇒



=


= −


=

Do vậy B = (x
2
– x + 1)(x
2
– 13x + 1) hoặc B = (x
2
– 13x + 1)(x
2
– x +
1)
Bài tập
Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x
3
+ 4x
2
+ 5x + 2
b) 2x
4
– 3x

c) 4x
3
+ 7x
2
+ 7x – 6 = (ax + b)(x
2
+ x +1) + c
IX/ Phương pháp xét giá trị riêng
Phương pháp: Khi các biến có vai trò như nhau trong đa thức thì ta
xét giá trị riêng.
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử.
2.1: Ví dụ 1: P = (x + y + z)
3
– x
3
– y
3
– z
3
Bài Làm
Coi P là một đa thức biến x
Khi đó nếu x = -y thì P = 0
⇒
P  (x + y)
11
Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Trong P, vai trò của x, y, z bình đẳng nên.
P  (x + z)
P  (y + z)
⇒

⇒ M = (a - b)(b –c)(c – a)(a + b + c)R
Chọn a = 0, b = 1, c = 2 ⇒ R = 1
Vậy B = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c)
Bài tập
Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử
A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
X. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức
1. Phương pháp
Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0.
Như vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a) thì phải là nghiệm của đa
thức.
12
Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ
số tự do.
2. Ví dụ: x
3
+ 3x - 4
Nếu đa thức trên có nghiệm là a ( đa thức có chứa nhân tử (x - a) thì
nhân tử còn lại có dạng x
2
+ bx = c suy ra - ac = - 4 suy ra a là ước của
- 4
Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ước
của hạng tư không đổi.
Ước của (- 4) là : -1; 1; -2; 2; - 4; 4. sau khi kiểm tra ta thấy1 là nghiệm
của đa thức suy ra đa thức chứa nhân tử (x - 1)
Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung
(x – 1)
* Cách 1:

– 1) = (x – 1) (x
2
+ x +
1) + 3(x
2
– 1)= (x – 1) (x + 2)
2
Chú ý:
+ Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì đa thức chứa nhân tử
(x – 1).
+ Nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng
các hạng tử bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử (x + 1).
Ví dụ :
* Đa thức : x
3
- 5x
2
+ 8x – 4 có 1 - 5 + 8 - 4 = 0
Suy ra đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức có chứa thừa số (x – 1)
*Đa thức : x
3
– 5x
2
+ 3x + 9 có (- 5) + 9 = 1 + 3
Suy ra đa thức có nghiệm là - 1 hay đa thức chứa thừa số (x + 1).
+Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhưng đa thức có nghiệm hữu
tỷ .
13
Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng

2
(2x – 1) – 2x(2x –1) + 3(2x –1)
=(2x – 1)(x
2
– 2x + 3)
XI. Phương pháp tính nghiệm của tam thức bậc hai
a) Phương pháp: Tam thức bậc hai ax
2
+bx + c
Nếu b
2
– 4ac là bình phương của một số hữu tỷ thì có thể phân tích tam
thức thành thừa số bằng một trong các phương pháp đã biết .
Nếu b
2
– 4ac không là bình phương của một số hữu tỷ nào thì không
thể phân tích tiếp được nữa .
b) Ví dụ: 2x
2
– 7x + 3 Với a =2 , b =- 7 , c = 3
Xét b
2
- 4ac = 49 - 4.2.3 =25 = 5
5
Suy ra Phân tích được thành nhân tử : 2x
2
- 7x + 3 = ( x - 3)(2x - 1)
Chú ý: P(x) = ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm là x

xxx
B =
1
3
1
12
1
3
2
−
−
−
−
−
−
+
+
x
x
x
x
x
x
Bài Làm
a) A =
3322
14433
223
223
+−−+−

13
)32()1(
)13()1(
2
2
+
−
=
+−
−−
x
x
xx
xx
b) MTC = x
2
- 1 = (x + 1)(x - 1)
B =
)1)(1(
)3()1)(12()1)(3(
−+
−−+−−−+
xx
xxxxx
B =
)1)(1(
31232
22
−+
+−++−−+

xxx
C =
222
333
)()()(
3
xzzyyx
xyzzyx
−++++
++−
D =
222
333
)()()(
3
xzzyyx
xyzzyx
−+−+−
−++
Bài 20. Rút gọn biểu thức
A =
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
xyyyxxyxyyxx −

Phương pháp: áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
để đưa về phương trình tích
AB = 0
⇔
hoặc A = 0 hoặc B = 0
Ví dụ: Giải phương trình
* Ví dụ 1: x
3
- 7x
2
+ 15x - 25 = 0
⇔
x
3
- 5x
2
- 2x
2
+ 10x + 5x- 25 = 0
⇔
x
2
(x- 5) - 2x(x - 5) + 5(x - 5) = 0
⇔
(x- 5)(x
2
- 2x + 5) = 0
⇔



+ 3x + 3) + 24 = 0 (1)
Đặt: 2x
2
+ 3x - 1 = t (*)
⇒ 2x
2
+ 3x + 3 = t + 4
Phương trình đã cho trở thành: t
2
- 5(t + 4) + 24 = 0
⇔ t
2
- 5t + 4 = 0
⇔ (t - 1)(t - 4) = 0
⇔



=−
=−
04
01
t
t
⇔



=
=

1
2
012
02
x
x
x
x

+ Thay t = 4 vào (*), ta có :
2x
2
+ 3x - 1 = 4
⇔ 2x
2
+ 3x - 5 = 0
⇔ (x - 1)( 2x +5) = 0
⇔




−=
=
⇔



=+
=−

+ 6x + 8 = t + 3
Phương trình đã cho trở thành: t(t + 3) = 40
⇔ t
2
+ 3t – 40 = 0
⇔ (t – 5)(t + 8) = 0
⇔



−=
=
8
5
t
t
Thay t = 5 vào (*), ta có: x
2
+ 6x + 5 = 5
⇔x
2
+ 6x = 0
⇔x(x + 6) = 0 ⇔



=
=
6- x
0 x

Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
x
4
+ 3x
3
+ 4x
2
+ 3x + 1 = 0 (4)
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (4)
⇒ Chia hai vế của (4) cho x
2
≠ 0, ta được
x
2
+ 3x + 4 + 3
x
1
+
x
1
2
= 0
⇔
(x
2
+
2
1
x
) + 3(x +

1
t
t
Thay t = - 1 vào (*), ta được : x +
x
1
= -1
⇔
x
2
+ x + 1 = 0 (Vô nghiệm)
Thay t = - 2 vào (*), ta được : x +
x
1
= - 2
⇔
x
2
+ 2x + 1 = 0
⇔
(x + 1)
2

= 0
⇔
x = -1
Vậy phương trình (4) có tập nghiệm S = {-1}
*Ví dụ 5: Giải Phương trình đối xứng bậc lẻ
x
5

x
1
+
2
x
1
= 0 ⇔ (x
2
+
2
x
1
) – 2(x +
x
1
) + 5 = 0
Đặt (x +
x
1
) = t (*)
⇒ (x
2
+
2
x
1
) = t
2
– 2
(5’) ⇔ t

3
+ 3x
2
+ 4x + 2 = 0
Bài 23: giải phương trình
a) x(x + 1) (x – 1)(x+ 2) = 24
b) (x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680
c) (2x + 1)(x+ 1)
2
(2x + 3) = 18
d) 12x + 7)
2
(3x + 2)(2x + 1) = 3
Bài 24: giải phương trình
a) (x
2
– 6x + 9)
2
– 15(x
2
– 6x + 10) = 1
b) (x
2
+ x + 1)
2
+(x
2
+ x + 1) – 12 = 0
c) (x
2

5
+ x
4
+ x
3
+x
2
+ x + 1 = 0
Bài 26: giải phương trình: x
5
+ 2x
4
+ 3x
3
+ 3x
2
+ 2x + 1 = 0
19
Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
D. Kết luận chung
Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề rộng lớn trải suốt
chương trình học của học sinh, nó liên quan kết hợp với các phương
pháp khác tạo nên sự lôgic chặt chẽ của toán học. Các phương pháp
được nêu từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu
sâu hơn và phát triển có hệ thống các kỹ năng, kỹ xảo phân tích .
Qua đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính
xác, năng lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức.
Trong năm qua tôi đã vận dụng phương pháp dạy phân tích đa
thức thành nhân tử cho học sinh và thấy rằng các em rất hào hứng trong
quá trình tìm tòi lời giải hay và hợp lý nhất, kể cả các bài tập vận dụng