Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
phần I : Lý do chọn đề tài
Chúng ta đã biết, Toán học là một môn học chứa rất nhiều điều thú vị và bất
ngờ, nó chiếm một vai trò quan trọng trong hoạt động giáo dục, đặc biệt là trong
các lĩnh vực khoa học và đời sống.
Dạy toán nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học phổ thông
cơ bản tạo điều kiện cho các em đợc hình thành và phát triển các phẩm chất, năng
lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên
cứu và khám phá thế giới xung quanh, góp phần cải tạo thế giới, cải tạo thiên nhiên
mang lại cuộc sống ấm no hạnh phúc cho mọi ngời.
Trong chơng trình toán lớp8 nói riêng và toán THCS nói chung, dạng toán phân
tích đa thức thành nhân tử là một nội dung kiến thức rất quan trọng và lý thú, xong
nó lại là một trong những dạng toán khó đối với các em.
Phân tích đa thức thành nhân tử đợc giới thiệu khá đầy đủ trong chơng trình
đại số 8 và có thể coi là nội dung nòng cốt của chơng trình. Bởi nó đợc vận dụng rất
nhiều ở các dạng toán khác nh: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu của các phân
thức, biến đổi các biểu thức hữu tỷ, biến đổi các biểu thức vô tỷ, phơng trình bậc
cao
Thực tế giảng dạy cho thấy, mặc dù các phơng pháp đợc giới thiệu trong sách
giáo khoa rất rõ ràng, cụ thể. Song việc các em vận dụng còn nhiều lúng túng. Đặc
biệt đối với học sinh khá giỏi thì nội dung kiến thức cha đáp ứng đợc nhu cầu học
toán của các em.
Vậy Dạy - Học nội dung:
"
Phân tích đa thức thành nhân tử
"
nh thế nào để đạt
kết quả tốt nhất? phù hợp với học sinh đại trà?
Đồng thời đáp ứng đợc nhu cầu học tập của học sinh khá giỏi.
Để đạt đợc kết quả đó, ngoài phơng pháp truyền thụ của ngời thầy phải nắm bắt
đợc kiến thức một cách nhuần nhuyễn. Đó là lý do tôi chọn đề tài này.

Tỉ lệ 0 % 9,5% 23,5% 68%
phần III - Nội dung
A: các ph ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
A1:các phơng pháp cơ bản
I - Ph ơng pháp đặt nhân tử chung
1. Ph ơng pháp :
+ Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử.
+ Phân tích mỗi hạng tử thành tích nhân tử chung và một nhân tử .
+ Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng
tử vào trong dấu ngoặc (kể cả hạng tử của chúng).
2. Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 6xy + xy
3
- 2 x
2
y
b) 15x(x + y) - 5y(3x + 3y)
Bài làm
a) 6xy + xy
3
- 2 x
2
y = xy.6 + xy. y
2
- xy.2x = xy( 6+ y
2
-2x)
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang2
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

2
- 2AB + B
2
3. A
2
- B
2
= (A + B)(A - B)
4. (A + B)
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
5. (A - B)
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
6. A
3

n - 1
+ A
n - 2
B + + AB
n - 2
+ B
n - 1
)
10. A
2k+1
+ B
2k+1
= (A + B)(A
2k
- A
2k - 1
B + A
2k - 2
B
2
- + B
2k
)
11. (A + B)
n
= A
n
+ n A
n - 1
B -

2.1
1nn
A
n - 2
B
2
- + (- 1)
n
B
n
2. Ví dụ
Ví dụ1 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x
2
- 10xy
2
+ 25y
4
b) x
4
- y
4
c) x
3
- 3x
2
+ 3x - 1
Bài làm
a) x
2

+ y
2
)(x
2
- y
2
)
= (x
2
+ y
2
)(x + y)(x - y)
c) x
3
- 3x
2
+ 3x - 1 = (x - 1)
3
Ví dụ2 :Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x
3
+ y
3
+ z
3
- 3xyz
Bài làm
x
3
+ y

2
d) 81(x + 5)
2
- 9(x - 7)
2
Bài 4 :Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 64x
3
- 27y
3
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang4
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
b) (x + 2)
3
- (x - 1)
3
c) y
3
- 6xy
2
+ 12x
2
y - 8x
3
Bài 5 : Tính giá trị của các biểu thức:
a) a
2
- b
2

2
- z
2
- 9t
2
- 2xy + 6zt
Bài làm
a) x
2
- xy + 3x - 3y = (x
2
- xy) + (3x - 3y) = x(x - y) + 3(x - y)
= (x - y)(x + 3)
b) x
2
+ 6x - y
2
+ 9 = (x
2
+ 6x + 9)- y
2
= (x + 3)
2
- y
2
= (x + 3 + y)(x + 3 - y)
c) x
2
+ y
2

2
+ 2xyz
Bài làm
x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang5
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
= (x
2
z + y
2
z + 2xyz) + x
2
y + xy
2
+ xz
2
+ yz

- 3x
2
+ 3x - 1 - 8y
3
Bài 7 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x(y
2
- z
2
) + y(z
2
- y
2
) + z(x
2
- y
2
)
b) xy(x - y) - xz(x + z) - yz(2x + y - z)
c) x(y + z)
2
+ y(z + x)
2
+ z(x + y)
2
- 4xyz
d) yz(y + z) + xz(z - x) - xy(x + y)
Bài 8 : Tính nhanh giá trị của mỗi biểu thức :
a) x
2

- 6axy
2
- 3a
2
xy + 3xy
Bài làm
a) 5y
3
- 45y = 5y(y
2
- 9) = 5y(y + 3)(y -3)
b) 3x
2
y 6x
2
y - 3xy
3
- 6axy
2
- 3a
2
xy +3xy
= 3xy(x
2
- 2x - y
2
- 2ay - a
2
+ 1)
= 3xy[(x

+ b
2
) +4abxy]
2
- 4 [xy(a
2
+ b
2
) + ab(x
2
+ y
2
)]
2
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử
(x + y + z)
3
- x
3
- y
3
- z
3
Hớng dẫn
(x + y + z)
3
- x
3
- y
3

2
- 2x) - (4x - 8) = x(x - 2) - 4(x -2)
Cách 2: x
2
- 6x + 8 = (x
2
- 6x + 9) - 1 = (x - 3)
2
- 1
Cách 3: x
2
- 6x + 8 = (x
2
- 4) - 6x + 12 = (x - 2)(x +2) - 6(x -2)
Cách 4: x
2
- 6x + 8 = (x
2
- 16) - 6x + 24 =(x - 4)(x+4) - 6(x-4)
Cách 5: x
2
- 6x + 8 = (x
2
- 4x + 4) - 2x +4 = (x - 2)
2
- 2(x - 2)
3. Bài tập
Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x
2

+ 64 + 16x
2
- 16x
2
= (x
2
+ 8)
2
- (4x)
2
= (x + 4x + 8)(x
2
- 4x + 8)
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang8
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Ví dụ2 : Phân tích đa thức thành nhân tử:
x
4
+ 4y
4
Bài làm
x
4
+ 4y
4
= x
4
+ 4y
4

+ 4
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x
3
+ 5x
2
+ 3x - 9
b) x
3
- 7x + 6
Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x
3
- 5x
2
+ 8x - 4
b) x
3
- 3x + 2
c) x
3
- 5x
2
+ 3x + 9
d) x
3
+ 8x
2
+ 17x + 10
e) x

2
+ 5y + 4 = (y +1)( y + 4)
- Trả lại biến cũ:
x
4
+5x
2
+ 4= (x
2
+1)( x
2
+ 4)
b) Đặt x
2
+ 3x + 1 = y => x
2
+ 3x - 3 = y - 4
- Đa thức đã cho trở thành
y(y - 4) - 5 = y
2
- 4y - 5 = (y + 1)(y - 5)
- Trả lại biến cũ
(x
2
+ 3x +1)(x
2
+ 3x - 3) - 5 = (x
2
+ 3x + 1 + 1)(x
2

2
+ 8x + 10) = (x
2
+ 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang1
0
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
3. Bài tập
Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) (x
2
+ 3x + 1)(x
2
+ 3x + 2) - 6
b) (x
2
+ 4x + 8)
2
+ 3x(x
2
+ 4x + 8) + 2x
2
Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24
b) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) + 3x
2
c) 3x
6
- 4x

Vậy P = 3(x + y)(x + z)(y + z)
3. Bài tập
Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang1
1
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
A = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a)
IX - Ph ơng pháp tìm nghiệm của đa thức
1. Ph ơng pháp
Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0. Nh vậy nếu đa thức
f(x) chứa nhân tử (x - a) thì phải là nghiệm của đa thức
Ta biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ớc của hệ số tự do.
2. Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử:
x
3
+ 3x - 4
Ta xét các ớc của (- 4) là: - 1; 1; - 2; 2; - 4; 4, sau khi kiểm tra thấy 1
là nghiệm của đa thức suy ra đa thức chứa nhân tử (x - 1)
Do vậy ta tách hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung (x -1)
* Cách 1: x
3
+ 3x
2
- 4 = x
3
-x
2
+ 4x
2

+) Nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng
tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử (x + 1).
Ví dụ :
* Đa thức : x
3
- 5x
2
+ 8x - 4 có 1 - 5 + 8 - 4 = 0
Suy ra đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức có chứa thừa số (x - 1)
* Đa thức : x
3
- 5x
2
+ 3x + 9 có (- 5) + 9 = 1 + 3
Suy ra đa thức có nghiệm là - 1 hay đa thức chứa thừa số (x +1).
Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhng đa thức có nghiệm hữu tỷ .
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang1
2
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có
dạng p/q trong đó p là ớc của hạng tử không đổi, q là ớc dơng của hạng tử
cao nhất.
Ví dụ: 2x
3
- 5x
2
+ 8x - 3
Nghiệm hữu tỷ nếu có của đa thức trên là :(- 1); 1; (- 1/2); 1/2;
(- 3/2); 3/2; - 3







+
+
x
x
x
x
x
x

Bài làm
a) A =
3322
14433
223
223
++
++
xxxxx
xxxxx
=
)1(3)1()1(2
)1()1(4)1(3
2
3

2
+

=
+

x
x
xx
xx
b) MTC = x
2
- 1 = (x + 1)(x - 1)
B =
)1)(1(
)3()1)(12()1)(3(
+
++
xx
xxxxx
B =
)1)(1(
31232
22
+
++++
xx
xxxxx
B =
x

b) B =
933193
451272
23
23
+
+
xxx
xxx
c) C =
222
333
)()()(
3
xzzyyx
xyzzyx
++++
++
Bài 20: Rút gọn biểu thức
a) A =
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
xyyyxxyxyyxx
+

A = 0
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang1
4
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
B = 0

D = 0
2. Ví dụ: Giải phơng trình:
* Ví dụ1:
x
3
- 7x
2
+ 15x - 25 = 0
<=> x
3
- 5x
2
- 2x
2
+ 10x + 5x - 25 = 0
<=> x
2
(x - 5) - 2x(x - 5) + 5(x - 5) = 0
<=> (x - 5)(x
2
- 2x + 5) = 0
<=>


2
+ 3x - 1 = t
=> 2x
2
+ 3x + 3 = t + 4
Phơng trình đã cho trở thành:
t
2
- 5(t + 4) +24 = 0
<=> t
2
- 5t + 4 = 0
<=> (t - 1)(t - 4) = 0
<=>



=
=
04
01
t
t
<=>



=
=
4


=
=+
2
1
2
012
02
x
x
x
x
+) Thay t = 4 vào (*) ta có:
2x
2
+ 3x - 1 = 4
<=> 2x
2
+ 3x - 5 = 0
<=> (x - 1)(2x + 5) = 0
<=>




=
=




+ 3x
2
+ 6x + 5 = 0
b) x
4
- 4x
3
- 19x
2
+ 106x - 120 = 0
c) x
3
+ 3x
2
+ 4x + 2 = 0
Bài 23: Giải phơng trình:
a) x(x + 1)(x - 1)(x + 2) = 24
b) (x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680
c) (2x + 1)(x + 1)
2
(2x + 3) = 18
d) (12x + 7)
2
(3x + 2)(2x + 1) = 3
Bài 24: Giải phơng trình
a) x
4
- 2x
3
+ 4x

f(x) là một đa thức có thể phân tích thành các nhân tử mà những nhị thức bậc nhất
thì ta có thể giải nhờ vào cách giải bất phơng trình tích
2. Ví dụ: Giải bất phơng trình.
* Ví dụ 1:
x
2
- 5x + 6 < 0 (1) <=> (x - 2)(x - 3) < 0
Ta có bảng:
x 2 3
x - 2 - 0 + // +
x - 3 - // - 0 +
(x - 2)(x - 3) + 0 - 0 +
Vậy bất phơng trình (1) có nghiệm là 2 < x < 3

* Ví dụ 2:
x
4
- 3x
3
- x + 3 0
<=> (x - 1)(x - 3)(x
2
+ x + 1) 0
Vì x
2
+ x + 1 =





- 4x + 3 < 0
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang1
7
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 27: Giải bất phơng trình:
a)
)43)(7(
5
xx
x
+
+
< 0
b)
2
2
2
>
+
+
x
x
x
x
IV - Bài toán chia hết
1. Ph ơng pháp
Biến đổi đa thức đã cho thành một tích, trong đó xuất hiện thừa số có dạng chia
hết.
2. Ví dụ

Xét 2n +3n
2
+ n
3
= n(n + 1)(n + 2) là tích của 3 số nguyên liên
tiếp. Vì vậy ít nhất có 1 thừa số chia hết cho 2; 1 thừa số chia hết cho 3.
Mà (2; 3) = 1. Nên tích này chia hết cho 6.
Vậy

n z thì
623
32
nnn
++
z
3. Bài tập
Bài 28: Chứng minh rằng :
a) 2
4n
- 1 15
b) 7
1
+ 7
2
+ 7
3
+ 7
4

+ + 7

giúp các em nắm đợc bài, hiểu bài và có hứng thú, kỹ năng làm bài, nhất là các bài
tập khó trong giờ luyện tập, chuyên đề
Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề rộng lớn trải suốt chơng trình
học của học sinh, nó liên quan kết hợp với các phơng pháp khác tạo nên sự lôgic
chặt chẽ của toán học. Các phơng pháp đợc nêu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức
tạp giúp học sinh hiểu sâu hơn và phát triển có hệ thống câu kỹ năng, kỹ xảo, phân
tích.
Qua đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác, năng lực
nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức.
Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử không chỉ cần thiết đối với
học sinh THCS nói chung mà nó rất cần cho giáo viên trong quá trình dạy toán để
giúp giáo viên chủ động về kiến thức, tự tin trong dạy toán, trong công tác bồi dỡng
học sinh giỏi.
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang1
9
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Tuy nhiên do khả năng có hạn, kinh nghiệm giảng dạy và nghiên cứu còn ít ỏi,
thêm nhiều yếu tố khách quan nên tài liệu có thể cha đáp ứng hết sự mong mỏi của
các thầy cô giáo, đồng nghiệp và các em học sinh.
Rất mong đợc sự đóng góp chân thành, sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô
giáo, bạn bè, đồng nghiệp.
Tôi xin chân trọng cảm ơn !!!
Quảng Bình, ngày 15 tháng 05 năm 2009
Ngời viết Nguyễn Quốc Huy
Đánh giá của HĐKH
Trờng THCS Quảng Đông

1 SGK Đại số 8 Phan Đức Trí (Tổng chủ biên)
Tôn Thân (Chủ biên)
2 SGV Đại số 8 Nguyễn Huy Đoan
Lê Văn Hồng
3 Nâng cao & phát triển toán 8 (Tập I
& II)
Vũ Hữu Bình
4 Toán nâng cao & các chuyên đề Đại
số 8
Vũ Dơng Thụy (Chủ Biên)
Nguyễn Ngọc Đạm
5 Để học tốt Đại số 8 Nguyễn Vinh Cân
Vũ Thế Hu
Hoàng Trung
6 Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi
toán lớp 8 (phần Đại số)
Võ Đại Mau
Võ Đại Hoài đức
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang2
1
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang2
2