Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
A: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lời mở đầu
Trong trường phổ thông môn Toán có vị trí quan trọng, nó là cơ sở để bổ trợ
cho các môn học khác, đặc biệt là các môn học tự nhiên. Nội dung chương trình
và phương pháp dạy học bộ môn là yếu tố quyết định hiệu quả giáo dục đào tạo ở
phổ thông. Vì vậy môn Toán đã được Bộ giáo dục soạn thảo, sắp xếp từ đơn giản
đến phức tạp, từ trực quan đến tư duy trừu tượng để học sinh có thể vận dụng
linh hoạt các kiến thức đã biết, đã tiếp thu được trong trường phổ thông. Trong
chương trình toán nói chung và phân môn Đại số nói riêng thì phân tích đa thức
thành nhân tử là kiến thức cơ bản, cần thiết trong giảng dạy toán phổ thông. Phần
này chiếm một vị trí quan trọng, là một trong nội dung lớn của chương trình Đại
số, xuyên suốt chương trình toán phổ thông.
Vì vậy để có thể nâng cao và phát triển khả năng giải loại toán này cho các
em học sinh, tôi đã tham khảo nhiều tài liệu viết về vấn đề này và tôi thấy việc
cần thiết phải có cách tư duy và những phương pháp giải thích hợp giúp học sinh
một phần nào đó có cơ sở để tìm tìm lời giải không chỉ mình loại toán này mà
cho nhiều loại toán khác có liên quan. Với đề tài này tôi muốn giới thiệu về:
“Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”.
Trong việc học toán để các em tự tìm tòi lời giải để đưa ra phương án giải
một bài toán đúng thì đa số các em thường “bí” trước những vấn đề mới, chỉ một
phần ít các em giỏi có thể tự mình tìm ra được đường lối đúng, vì vậy việc tìm ra
một phương pháp chung cho một dạng toán nào đó thực sự là cần thiết, và công
việc này người thầy đóng vai trò là chủ đạo, học sinh chủ động tìm tòi kiến thức.
Với đề tài này tôi góp phần nhỏ về kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề phân tích
đa thức thành nhân tử cho học sinh THCS.
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

1

tử.
- Các phương pháp thông thường.
- Một số phương pháp phân tích đa thức khác.
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

2
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
- Một số bài tập áp dụng.
II . Các biện pháp thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này:
1) Biện pháp thứ nhất.
Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các đơn vị kiến thức cơ bản như
các quy tắc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức,
phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức đã
sắp xếp, các quy tắc đổi dấu đa thức, thật thuộc và vận dụng thành thạo các hằng đẳng
thức đáng nhớ.
2) Biện pháp thứ hai.
Giáo viên cho học sinh nắm vững bản chất của việc phân tích đa thức thành nhân
tử.
Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức thành tích
của nhiều đơn thức và đa thức khác.
Ví dụ: y
m+3
- y
m
= y
m
(y
3

= a
2
- b
2
- 2a + 2b
= (a
2
- b
2
) - (3a - 2b) (Nhóm các hạng tử)
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

3
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
= (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a -b) (a + b - 2) (Đặt NTC)
Để phối hợp nhiều phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử cần chú
ý các bước sau đây:
+ Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản đa
thức.
+ Xét xem đa thức có dạng bằng đẳng thức nào không ?+ Nếu không có nhân tử
chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải nhóm các hạng tử vào từng nhóm thoả
mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tử chung, làm xuất hiện nhân tử chung của các
nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng thức. Cụ thể các ví dụ sau:
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
M
3
= 5a

) + 3 (a + b)
2
Sử dụng hằng đẳng thức ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tử chung của cả hai
nhóm là (a + b):
M
3
= 5(a + b) (a - b) + 3 (a + b)
2
.
M
3
đã có nhân tử chung là: (a + b). Ta tiếp tục đặt nhân tử chung.
M
3
= (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)]
M
3
= (a + b)(8a – 2b)
Như vậy M
3
đã được phân tích thành tích của hai nhân tử (a + b) và (8a - 2b).
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

4
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
M
4

2
+ 2y z + z
2
)]
+ Dùng hằng đẳng thức: M
4
= 3xy [( x - 1)
2
- ( y + z)
2
] xem xét hai hạng tử trong
ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào?
+ Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có:
M
4
= 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1)
Vậy: M
4
đã được phân tích các đa thức thành nhân tử.
Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp
sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học để các bước phân tích
được rõ ràng, mạch lạc và triệt để (đa thức không thể phân tích được nữa).
2.2. Một số phương pháp phân tích đa thức khác.
Giáo viên trước hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo các phương pháp phân
tích thành nhân tử thông thường (đã học trong SGK) và kết hợp các phương pháp sau
để làm các bài toán khó.
+ Phương pháp tách hạng tử.
+ Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử.
+ Phương pháp đặt ẩn phụ.
+ Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.

= (a - 3)
2
- 1 (Sử dụng hằng đẳng thức)
= (a - 2) (a + 2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC)
Cách 3:
N = a
2
- 4a + 4 - 2a + 4 (Tách 8 = 4 + 4, - 6x = - 4a + ( - 2a)
= ( a
2
- 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhóm hạng tử)
= (a - 2)
2
- 2(a -2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC - biến thàng 2 nhân tử)
Ta thấy có để tách một hạng tử thành 2 hạng tử khác trong đó 2 cách tách sau là
thông dụng nhất;
- Phương pháp tách 1: Tách hạng tử tự do thành 2 hạng tử sao cho đa thức mới
được đưa về hiệu hai bình phương (cách 2) hoặc làm xuất hiện hằng đẳng thức và có
nhân tử chung với hạng tử còn lại (cách 3).
- Phương pháp tách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phương
pháp nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung làm xuất hiện nhân tử chung mới (cách 1)
Ví dụ 6: Phân tích tam thức bậc hai: ax
2
+ bx + c thành nhân tử.
Tách hệ số b = b
1
+ b
2

+ 4x
2
+ 4 - 4x
2
(thêm 4x
2
, bớt 4x
2
)
= (x
4
+ 4x
2
+ 4) - 4x
2
(nhóm hạng tử)
= (x
2
+ 2)
2
- (2x)
2
(dùng hằng đẳng thức)
= (x
2
+ 2x + 2) (x
2
- 2x + 2)
Ví dụ 7: Phân tích đa thức : P
2

Ở ví dụ 6, P
1
đã có bình phương hạng tử (x
2
) và bình phương hạng tử (2). Vậy muốn
là hằng đẳng thức thì còn thiếu 2 lần tích của 2 hạng tử đó. Do đó ta thêm 2.x
2
.2 = 4x
2
thì đồng thời phải bớt 4x
2
.
2.2.3) Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 8: Phân tích thành nhân tử:
D = (x
2
+ x)
2
+ 4x
2
+ 4x - 12
D = (x
2
+ x)
2
+ 4(x
2
+ x) - 12 (nhóm - làm xuất hiện nhân tử chung)
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

2
+ x + 6) thay lại biến x
D đã phân tích thành 2 nhân tử (x
2
+ x- 2) và (x
2
+ x+ 6)
Việc phân tích tiếp các nhân tử cho triệt để có thể dựa vào các phương pháp
đã nêu ở trên. Chú ý có những tam thức không thể phân tích tiếp được như :
x
2
+ x + 6 = (x +
2
1
)
2
+ 5
4
3
. Do vậy không phân tích tiếp được nữa
Còn x
2
+ x - 2 = (x
2
- 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2)
Khi đó D = (x
2
+ x + 6) (x - 1) (x + 2).
2.2.4) Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
Nguyên tắc: Nếu đa thức ax

1
= x
3
+ 3x
2
- 4 xét tổng các hệ số ta thấy.
a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0 ⇒ x
1
= 1
E
1
= (x - 1) (x
2
+ 4x + 4) (chia E
1
Cho (x - 1) )
Sau đó dùng các phương pháp đã học để phân tích tiếp
E
1
= (x - 1) (x + 2)
2
Ví dụ 10: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E
2
= x
3
- 3x + 2
Ta thấy tổng và hiệu các hệ số của E
2
≠ 0 do đó loại x = ± 1

: Tách 3 = 4 - 1.
C
3
: Tách 3 = 12 - 9
C
4
: Tách -4x = -2x + (-2x) và 3 = 2 + 1
Sau đó có thể nhóm làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung.
1b. 81a
4
+ 4 (thêm bớt hạng tử)
Gợi ý:Thêm 2 lần tích của 9a
2
và 2 → Hằng đẳng thức. Cụ thể: 36x
2
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

9
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
1c: (x
2
+ x)
2
+ 9x
2
+ 9x + 14 (phương pháp đổi biến).
Gợi ý: đặt (x
2

+ Thay a = 102 vào M đã rút gọn.
Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
3.a) y
2
- 5y + 4 = 0.
Gợi ý: Phân tích vế trái thành các nhân tử ⇒ phương trình trở về phương trình tích.
3b: y
3
- 2y
2
- 9y + 18 = 0.
Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa phương trình đã cho thành phương
trình tích ⇒ giải phương trình tích.
Bài tập 4: Chứng minh rằng đa thức sau.
4a) A = (a
2
+ 3a + 1)
2
- 1 chia hết cho 24.
Với a là một số tự nhiên.
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

10
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Gợi ý:
+ Trước hết phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.
A = (a
2

- 4x + 4 + y
2
+2y + 1 + 7 (tách 12 = 7 + 4 + 1)
A = (x
2
- 4x + 4) + (y
2
+ 2y + 1) + 7 (nhóm hạng tử)
A = (x- 2)
2
+ (y + 1)
2
+ 7
* Lập luận.
Vì (x - 2)
2
≥ o và (y + 1)
2
≥ 0, dấu " = "xảy ra khi a = 2 và y = - 1 nên A = (x - 2)
2
+ (y + 1)
2
+ 7 ≥ 7
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

11
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Vậy A

12
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
hay để hướng dẫn học sinh làm, đưa ra cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện ra các
cách giải khác nhau cũng như cách giải hay, tính tự giác trong học toán, phương pháp
giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải toán nhanh, có kỹ năng phát
hiện ra các cách giải: Một số kinh nghiệm trong phân tích đa thức thành nhân tử ở trên
đây giúp học sinh rất nhiều trong quá trình giải toán có sử dụng phân tích đa thức
thành nhân tử. Các kinh nghiệm về phân tích đa thức thành nhân tử mà tôi đã viết trên
đây có lẽ sẽ còn rất nhiều hạn chế. Mong tổ chuyên môn trong trường, đồng nghiệp
góp ý chân thành để tôi có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt hơn phục vụ tích cực cho
việc giảng dạy nhằm thực hiện tốt chương trình mới THCS.
Thiệu Dương, ngày 23 tháng 3 năm 2011
Người thực hiện
Dương Văn Thanh
Quý thầy cô và bạn nào tải SKKN này hãy dành thêm một chút
thời gian để đọc bài giới thiệu sau của tôi và hãy tri ân người đăng tài liệu này
bằng cách dùng Email và mã số người giới thiệu của tôi theo hướng dẫn sau. Nó sẽ
mang lại lợi ích cho chính thầy cô và các bạn, đồng thời tri ân được với người giới
thiệu mình:
Kính chào quý thầy cô và các bạn.
Lời đầu tiên cho phép tôi được gửi tới quý thầy cô và các bạn lời chúc tốt đẹp
nhất. Khi thầy cô và các bạn đọc bài viết này nghĩa là thầy cô và các bạn đã có thiên
hướng làm kinh doanh
Nghề giáo là một nghề cao quý, được xã hội coi trọng và tôn vinh. Tuy nhiên,
có lẽ cũng như tôi thấy rằng đồng lương của mình quá hạn hẹp. Nếu không phải môn
học chính, và nếu không có dạy thêm, liệu rằng tiền lương có đủ cho những nhu cầu

là sẽ tin ngay).Tất nhiên thời gian đầu số tiền kiếm được chẳng bao nhiêu, nhưng sau
đó số tiền kiếm được sẽ tăng lên. Có thể thầy cô và các bạn sẽ nói: đó là vớ vẩn, chẳng
ai tự nhiên mang tiền cho mình. Đúng chẳng ai cho không thầy cô và các bạn tiền đâu,
chúng ta phải làm việc, chúng ta phải mang về lợi nhuận cho họ. Khi chúng ta đọc
quảng cáo, xem video quảng cáo nghĩa là mang về doanh thu cho Satavina, đương
nhiên họ ăn cơm thì chúng ta cũng phải có cháo mà ăn chứ, không thì ai dại gì mà làm
việc cho họ.
Vậy chúng ta sẽ làm như thế nào đây. Thầy cô và các bạn làm như này nhé:
1/ Satavina.com là công ty như thế nào:
Đó là công ty cổ phần hoạt động trong nhiều lĩnh vực, trụ sở tại tòa nhà Femixco, Tầng
6, 231-233 Lê Thánh Tôn, P.Bến Thành, Q.1, TP. Hồ Chí Minh.
GPKD số 0310332710 - do Sở Kế Hoạch và Đầu Tư TP.HCM cấp. Giấy phép ICP số
13/GP-STTTT do Sở Thông Tin & Truyền Thông TP.HCM cấp.quận 1 Thành Phố
HCM.
Khi thầy cô là thành viên của công ty, thầy cô sẽ được hưởng tiền hoa hồng từ
việc đọc quảng cáo và xem video quảng cáo( tiền này được trích ra từ tiền thuê quảng
cáo của các công ty quảng cáo thuê trên satavina)
2/ Các bước đăng kí là thành viên và cách kiếm tiền:
Để đăng kí làm thành viên satavina thầy cô làm như sau:
Bước 1:
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

14
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Nhập địa chỉ web: http://satavina.com vào trình duyệt web( Dùng trình duyệt firefox,
không nên dùng trình duyệt explorer)
Giao diện như sau:


+ Mật khẩu đăng nhập: nhập mật khẩu khi đăng nhập trang web satavina.com
+ Các thông tin ở mục:
Thông tin chủ tài khoản: thầy cô và các bạn phải nhập chính xác tuyệt đối, vì thông
tin này chỉ được nhập 1 lần duy nhất, không sửa được. Thông tin này liên quan đến
việc giao dịch sau này. Sai sẽ không giao dịch được.
+ Nhập mã xác nhận: nhập các chữ, số có bên cạnh vào ô trống
+ Click vào mục: tôi đã đọc kĩ hướng dẫn
+ Click vào: ĐĂNG KÍ
Sau khi đăng kí web sẽ thông báo thành công hay không. Nếu thành công thầy cô và
các bạn vào hòm thư đã khai báo để kích hoạt tài khoản. Khi thành công quý thầy cô
và các bạn vào web sẽ có đầy đủ thông tin về công ty satavina và cách thức kiếm tiền.
Hãy tin vào lợi nhuận mà satavina sẽ mang lại cho thầy cô. Hãy bắt tay vào việc đăng
kí, chúng ta không mất gì, chỉ mất một chút thời gian trong ngày mà thôi.
Kính chúc quý thầy cô và các bạn thành công.
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

16
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Nếu quý thầy cô có thắc mắc gì trong quá trình tích lũy tiền của mình hãy gọi
trực tiếp hoặc mail cho tôi:
Người giới thiệu: Dương Văn Dũng
Email người giới thiệu:
[email protected]
Mã số người giới thiệu: 00022077
Quý thầy cô và các bạn có thể coppy Link giới thiệu trực tiếp:
http://satavina.com/[email protected]&hrID=22077
Di động: 0976 192 579
Website: http://vandung80.violet.vn

Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

17
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Tuy nhiên thầy cô và các bạn không nên mơ đạt đến mức 5. Chỉ cần cố gắng để 1tháng
được 1=>10 triệu là quá ổn rồi.
Như vậy thầy cô và các bạn thấy satavina không cho không thầy cô và các bạn tiền
đúng không. Vậy hãy đăng kí và giới thiệu mạng lưới của mình ngay đi.
Lưu ý: Chỉ khi thầy cô và các bạn là thành viên chính thức thì thầy cô và các bạn mới
được phép giới thiệu người khác.
Hãy giới thiệu đến người khác là bạn bè thầy cô và các bạn như tôi đã giới thiệu
và hãy quan tâm đến những người mà bạn đã giới thiệu và chăm sóc họ( khi là thành
viên thầy cô và các bạn sẽ có mã số riêng).Khi giới thiệu bạn bè hãy thay nội dung ở
mục thông tin người giới thiệu là thông tin của thầy cô và các bạn. Chúc quý thầy cô
và các bạn thành công và có thể kiếm được 1 khoản tiền cho riêng mình.
Người giới thiệu: Dương Văn Dũng
Email người giới thiệu: [email protected]
Mã số người giới thiệu: 00022077
Quý thầy cô và các bạn có thể coppy Link giới thiệu trực tiếp:
http://satavina.com/[email protected]&hrID=22077
Di động: 0976 192 579
Website: http://vandung80.violet.vn

Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

18