Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

MỤC LỤC
MỤC LỤC.............................................................................................................1
Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU.......................................................................................2
I. Đặt vấn đề..........................................................................................................2
II. Mục đích nghiên cứu........................................................................................2
Phần thứ 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.....................................................................2
I. Cơ sở lí luận của vấn đề.....................................................................................2
II. Thực trạng vấn đề.............................................................................................3
III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:............................................4
IV. Tính mới của giải pháp..................................................................................16
V. Hiệu quả SKKN: ............................................................................................16
Phần thứ 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ..........................................................17
I. Kết luận: ..........................................................................................................17
II. Kiến nghị:.......................................................................................................17
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................19

Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

1

Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề

lượng trong học tập của các em, giúp các em phát triển tư duy giải Toán một
cách toàn diện.
Phần thứ 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lí luận của vấn đề
Phân tích đa thức thành nhân tử là một bộ phận vô cùng quan trọng của
phân môn Đại số 8 nhưng nó áp dụng xuyên suốt trong quá trình học cấp Trung
học cơ sở. Vì vậy nếu các em không nắm được phương pháp nhớ và vận dụng
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

2

Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

thì việc giải Toán liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử sẽ gặp rất nhiều
khó khăn.
Ví dụ một số bài Toán rút gọn biểu thức, tìm x, tính nhanh giá trị của biểu
thức… mà muốn giải được học sinh cần phải phân tích đa thức thành nhân tử.
Bài 55: (Trang 25/SGK Toán 8 tập 1) Tìm x, biết
1
a) x3 − x = 0
4
2
2
b) ( 2 x − 1) − ( x + 3) = 0
c) x 2 ( x − 3) + 12 − 4 x = 0


biết cách vận dụng linh hoạt phương pháp vào giải Toán, hoặc trường hợp các
em đã biết vận dụng nhưng trong khi thực hiện phép tính còn xảy ra sai sót về
dấu hoặc nhầm lẫn dấu sau khi bỏ ngoặc đằng trước có dấu trừ…
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

3

Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

Cụ thể, năm học 2016 – 2017, bài kiểm tra viết chương I: câu phân tích đa
thức thành nhân tử, số HS khối 8 trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám có 110
em, cho kết quả:
Phân tích đúng

Phân tích sai

Không biết phân tích

Số HS

40

40

30



2

= A2 − 2 AB + B 2

A2 − B 2 = ( A − B ) ( A + B )

( A + B)

3

= A3 + 3 A2 B + 3 AB 2 + B 3

( A − B)

3

= A3 − 3 A2 B + 3 AB 2 − B 3

A3 + B 3 = ( A + B ) ( A2 − AB + B 2 )
A3 − B 3 = ( A − B ) ( A2 + AB + B 2 )

* Học sinh cần học thuộc các cách phân tích đa thức thành nhân tử:
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

4

Giáo viên: H’An Niê Kdăm

2

b) x 2 − 2 x + 1 = x 2 − 2.x.1 + 12 = ( x − 1)

2

2
2
2
c) x − 4 = x − 2 = ( x − 2 ) ( x + 2 )

d) x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = x 3 + 3x 2 .1 + 3x.12 + 13 = ( x + 1)

3

e) x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = x 3 − 3 x 2 .2 + 3x.22 − 13 = ( x − 2 )

(

3
3
3
2
g) x + 27 = x + 3 = ( x + 3) x − 3x + 9

Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

5

3


x2
+ 2 xy + 4 y 2
4

Giải:
a) Đối với bài toán này giáo viên hỏi học sinh, ta có thể đưa về dạng hằng
đẳng thức nào. Học sinh sẽ phát hiện ra hằng đẳng thức số 3. Để đưa về dạng
A2 - B2 = (A-B)(A+B) thì ta cần gì, sử dụng công cụ gì? Học sinh tự phát hiện

( )

đưa về dạng lũy thừa a m

n

= a m.n . Vậy trong bài toán này ta đưa ra được như

thế nào, học sinh đưa ra x 6 = (x3)2, y6 = (y3)2, đến đây học sinh tự giải quyết các
bài toán.
b) và c) Với câu b, c là bài tập bắt đầu yêu cầu học sinh nâng cao tư duy,
học sinh khá giỏi sẽ giải bài này không khó khăn nhưng những học sinh yếu
kém sẽ thường nhầm lẫn như sau:
b)4 x 2 + 4 x + 1 = ( 4 x ) + 2. ( 4 x ) .1 + 12 = ( 4 x + 1)
2

2

c)4 x 2 − 12 x + 9 = ( 4 x ) − 2. ( 4 x ) .3 + 32 = ( 4 x − 3 )
2

2

2

Trong đó A = x; B = 10 y
Vì vậy bài Toán được giải đúng như sau:
b)4 x 2 + 4 x + 1 = ( 2 x ) + 2.( 2 x ) .1 + 12 = ( 2 x + 1)
2

2

c)4 x 2 − 12 x + 9 = ( 2 x ) − 2. ( 2 x ) .3 + 32 = ( 2 x − 3)
2

2

Giáo viên luôn luôn nhấn mạnh với học sinh là cần xác định chính xác biểu
thức A, B trước khi làm bài để tránh sai sót về sau.
d) Tương tự, sau khi học sinh đọc đề thì giáo viên định hướng và yêu cầu
học sinh xác định đúng A =

1
x và B = 2y, sau đó giáo viên cho học sinh phân
2

tích cụ thể biểu thức A2, 2AB và B2 đúng rồi sau đó mới tiến hành giải.
2

2


xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bài giải như sau:
x 3 + 2 x 2 y + xy 2 = x ( x 2 + 2 xy + y 2 ) = x ( x + y )

Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

7

2

Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

b) x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 − y 3
Với bài Toán này, tương tự học sinh tự xác định được 5 hạng tử nên giáo
viên gợi ý học sinh sử dụng cách nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức.
Lúc này học sinh sau khi nhóm sẽ dễ dàng phát hiện ra hai hằng đẳng thức: lập
phương của một hiệu và hiệu hai lập phương. Tuy nhiên giáo viên cần phải chỉ
rõ cách nhóm hạng tử để học sinh không bị nhầm lẫn, cách nhóm hạng tử dễ bị
nhầm lẫn trong bài này mà thường gặp trong học sinh là

x3 − 3x 2 + 3 x − 1 − y 3 = ( x 3 − 3x 2 + 3x − y 3 ) − 1 = ( x − y ) − 13 (Cách làm sai
3

của HS). Từ đó sẽ dẫn đến kết quả bài sai.
Vì vậy cần yêu cầu học sinh nháp trước cách làm và giải thích cụ thể, nếu
sai giáo viên định hướng kịp thời để giúp học sinh ghi nhớ ngay kiến thức.
Bài giải trên được giải đúng như sau:

= x2(y + z) + yz(y + z) + xy(y+ z) + xz(y + z)
= (y + z)( x2 + yz + xy + xz) = (y + z)[(x2 + xy) + (xz + yz)]
= (y + z)[x(x + y) + z(x + y)] = (y + z)(x+ y)(x + z)
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

8

Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

Tương tự câu b
b) x ( y + z ) + y ( x + z ) + z ( x + y ) − 4 xyz
2

2

2

Câu b cách làm cũng tương tự, khai triển xong rồi nhóm lại cách khác, cụ
2
2
thể: khai triển hai biểu thức đầu tiên là x ( y + z ) + y ( x + z ) ta được
x ( y 2 + 2 yz + z 2 ) + y ( x 2 + 2 xz + z 2 ) , nhân đơn thức cho đơn thức ta được

xy 2 + x 2 y + xz 2 + yz 2 + 4 xyz , sau đó tiếp tục đặt nhân tử chung trong biểu thức
thứ hai rồi phân tích đa thức thành nhân tử.
Như vậy, bài giải được trình bày như sau:


2

Chứng minh A = B. Học sinh làm được hai câu trên sẽ biết cách kết hợp để
được kết quả hoàn chỉnh.
2.3. Dạng 3: Dạng bài sử dụng nhiều hằng đẳng thức để phân tích đa thức
thành nhân tử.
2.3.1. Phương pháp:
- Đặt nhân tử chung (nếu có).
- Nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức.
- Dựa vào hằng đẳng thức để đưa biểu thức về dạng nhân tử.
2.3.2. Bài tập: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

9

Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

b) 5x2 – 10xy + 5y2 – 20z2 = 5(x2 – 2xy + y2 – 4z2)
Giải:
a) Giáo viên định hướng nhóm hạng tử để học sinh tự tìm ra được hằng
đẳng thức, sau khi đặt nhân tử chung ra ngoài lại tiếp tục xuất hiện hằng đẳng
thức, phải lưu ý các em là khai triển ra hằng đẳng thức cần làm triệt để.
x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y
= (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x + y) = (x + y)3 – (x + y)

Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ta được kết quả y(x – y) 2, thay giá
trị y = 0 vào biểu thức ta sẽ nhận được kết quả bằng 0.
2.5. Dạng 5: Giải phương trình tích thông qua phân tích đa thức thành nhân
tử.
2.5.1. Phương pháp:
- Chuyển toàn bộ vế phải của phương trình sang vế trái để vế phải có giá trị
là 0
- Áp dụng các cách phân tích để biến đổi vế trái thành dạng nhân tử để giải
phương trình tích.
2.5.2. Bài tập: Giải các phương trình sau:
a) 5x(x – 1) = x – 1
b) 2(x + 5) – x2 – 5x = 0
Giải:
a) Giáo viên gợi ý học sinh chuyển vế rồi phân tích đa thức thành nhân tử.
5x(x – 1) = x – 1
⇔ 5x(x – 1) – (x – 1) = 0
⇔ (5x – 1)(x – 1) = 0
⇔ 5x – 1 = 0 hoặc x – 1 = 0
• x–1=0⇔x=1
• 5x – 1 = 0 ⇔ x =
Vậy x = 1 hoặc x =

1
5

- Xác định biểu thức cần chứng minh là dạng hằng đẳng thức nào.
- Từ đó phân tích đa thức thành nhân tử.
2.6.2. Bài tập: Chứng minh:

a )29 − 1 chia hết cho 7
b)56 − 104 chia hết cho 9

c) ( n + 3) − ( n − 1) chia hết cho 8
2

2

d ) ( n + 6 ) − ( n − 6 ) chia hết cho 24
2

2

e) x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120
Phương pháp chung:
- Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân
tử có một nhân tử là bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành
nhân tử có các đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho
các số đó.
Giải:
- Giáo viên gợi ý học sinh làm câu a, tách 2 9 thành một số mũ 3 để biểu
thức cần chứng minh trở thành A 3 – B3. Sau đó áp dụng hằng đẳng thức đáng
nhớ học sinh dễ dàng chứng minh được như sau

a )29 − 1 = ( 23 ) − 1 = 83 − 1 = 83 − 13 = ( 8 − 1) ( 82 + 8.1 + 12 ) = 7.73
3


c) ( n + 3) − ( n − 1) = ( n + 3 + n − 1) ( n + 3 − n + 1)
2

2

= ( 2n + 2 ) 4 = 8n + 8 = 8 ( n + 1)

Bài Toán trên học sinh thường mắc phải lỗi do dấu trừ trước biểu thức thứ
hai nên sẽ có một số học sinh tính ra kết quả sau:

( n + 3)

2

− ( n − 1) = ( n + 3 + n + 1) ( n + 3 − n − 1) (Cách làm sai của HS)
2

do đó giáo viên cần nhấn mạnh học sinh đặc biệt chú ý với các biểu thức có
nhiều hạng tử mà trước ngoặc có dấu trừ.
- Với câu d cách làm hoàn toàn tương tự, ta có
d ) ( n + 6) − ( n − 6) = ( n + 6 + n − 6) ( n + 6 − n + 6)
2

2

= 2n.12 = 24n
Như vậy 24n chia hết cho 24 hay ( n + 6 ) − ( n − 6 ) chia hết cho 24.
2


= x ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 )
Mà ta có x ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 ) chia hết cho 2, 3, 4, 5
Mặt khác 2, 3, 5 là các số nguyên tố cùng nhau nên

x ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 ) chia hết cho 2.3.4.5 = 120
Vậy x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120.
2.7. Dạng 7: Dạng bài tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thông qua hằng
đẳng thức.
2.7.1. Phương pháp:
- Quy các biểu thức về dạng bình phương của một tổng hoặc bình phương
của một hiệu.
- Xuất hiện tổng của một hằng đẳng thức với một số.
- Dựa vào biểu thức vừa tìm được bằng suy luận để tìm ra giá trị lớn nhất
(hoặc nhỏ nhất) của biểu thức.
2.7.2. Bài tập
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức sau:
a) A = x2 – 6x + 11
b) B = 5x – x2
Giải:
a. Giáo viên định hướng học sinh quy biểu thức về dạng bình phương của
một hiệu, để ý hiệu x2 – 6x phân tích được x2 – 2.3.x, lúc này học sinh sẽ tìm
được hạng tử thứ hai là 3, vậy ta giải như sau
Ta có: A = x2 – 6x + 11 = x2 – 2.3x + 9 + 2 = (x – 3)2 + 2
Vì (x – 3)2 ≤ 0 nên (x – 3)2 + 2 ≤ 2
Suy ra: A ≤ 2.
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

14

Giáo viên: H’An Niê Kdăm

5
5
25 25
) ≤ 0 nên - (x - )2 ≥ 0 ⇒ - (x - )2 + ≥
2
2
2
4
4

Suy ra: B ≥

25
25
5
. Vậy B =
là giá trị lớn nhất tại x = .
4
4
2

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức sau:
a) M = 2x2 - 6x
b) N = x2 + y2 – x +6y + 10
Giải:
a) Giáo viên gợi ý tương tự bài 1, sau khi đưa nhân tử chung ra ngoài thì
trong ngoặc các em biến đổi về dạng bình phương của một hiệu để tìm ra hạng
tử thứ hai.
M = 2x2 - 6x = 2.(x2 - 2.
Vậy MinM = -


2

1
3
2

=  x − ÷ + ( y + 3) +
2
4

2

1
2
 x − ÷ ≥ 0
1
3 3
2

2
Do 
⇒ N =  x − ÷ + ( y + 3) + ≥
2
4 4

2

y
+


1
3
khi x = và y = -3
4
2

Tóm lại: một số bài Toán phân tích đa thức thành nhân tử tưởng rằng phức
tạp, khó khăn, thì lại hoàn toàn đơn giản. Mấu chốt của vấn đề là các em phải
hiểu cách biến đổi của từng dạng . Sau này không những áp dụng vào dạng Toán
phân tích đa thức thành nhân tử mà còn có trong dạng Toán tìm x, tính nhanh,
chứng minh, lượng giác… mà khi thuộc 7 hằng đẳng thức rồi thì việc học Toán
sẽ dễ tiếp thu hơn cả.
IV. Tính mới của giải pháp
Sau khi áp dụng đề tài tôi nhận thấy học sinh linh động hơn trong việc tìm
ra công thức để giải toán, các em biết cách xử lý nhanh hơn khi giải toán phân
tích đa thức thành nhân tử và những dạng toán liên quan.
Đề tài có hướng đến những lỗi sai trong cách giải của học sinh để giúp các
em định hướng cách làm đúng và nhanh nhất.
V. Hiệu quả SKKN:
Năm học 2017 – 2018, bài kiểm tra viết chương I: câu phân tích đa thức
thành nhân tử, số HS khối 8 trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám có 110 em,
cho kết quả:
Phân tích đúng

Phân tích sai

Không biết phân tích

Số HS

10

Tỉ lệ %

68,2%

22,7%

9,1%

Như vậy, sau hai năm học áp dụng kinh nghiệm dạy này, tôi nhận thấy đa
số học sinh tham gia đều rất hứng thú học Toán, tự giác và chủ động trong
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

16

Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

những kiến thức Toán giáo viên đưa ra, đặc biệt là những kiến thức liên quan
đến phân tích đa thức thành nhân tử.
Phần thứ 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I. Kết luận:
Phương pháp dạy phân tích đa thức thành nhân tử là phương pháp cực kỳ
quan trọng, góp phần định hướng tư duy cho học sinh trong các kĩ năng giải
toán, dễ dàng nhận dạng và giải quyết các bài toán từ đơn giản đến phức tạp.
Đối với người giáo viên khi dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân


Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

18

Giáo viên: H’An Niê Kdăm


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8”

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Toán 8 tập 1 – NXB GD&ĐT
2. Sách bài tập Toán 8 tập 1 – NXB GD&ĐT
3. />4. />5.

/>
3974

Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám

19

Giáo viên: H’An Niê Kdăm


20

Giáo viên: H’An Niê Kdăm