ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH CÁCH PHÂN
TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG VIỆC PHÂN LOẠI
PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THƯC THÀNH NHÂN TỬ
PHẦN I. MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Toán học là công cụ giúp học tốt các môn học khác, chính vì vậy nó đóng
một vai trò vô cùng quan trọng trong nhà trường. Bên cạnh đó nó còn có tiềm
năng phát triển các năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ,giúp học sinh hoạt động
có hiệu quả trong mọi lĩnh vực của đời sống sản xuất.
Toán học mang sẵn trong đó chẳng những phương pháp quy nạp thực
nghiệm, mà cả phương pháp suy diễn lôgic. Nó tạo cho người học có cơ hội rèn
luyện khả năng suy đoán và tưởng tượng. Toán học còn có tiềm năng phát triển
phẩm chất đạo đức, góp phần hình thành thế giới quan khoa học cho học sinh.
Toán học ra đời từ thực tiễn và lại quay trở về phục vụ thực tiễn. Toán học còn
hình thành và hoàn thiện những nét nhân cách như say mê và có hoài bão trong
học tập, mong muốn được đóng góp một phần nhỏ của mình cho sự nghiệp
chung của đất nước, ý chí vượt khó, bảo vệ chân lý, cảm nhận được cái đẹp,
trung thực, tự tin, khiêm tốn,…. Biết tự đánh giá mình, tự rèn luyện để đạt tới
một nhân cách hoàn thiện toàn diện hơn. Mặt khác toán học còn có nhiệm vụ
hình thành cho HS những kỹ năng:
- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán để giải các bài tập toán
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học để học tập các môn học khác.
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào đơì sống, kỹ năng đo đạc, tính
toán,sử dụng biểu đồ, sử dụng máy tính….
1
Tuy nhiên cả ba kỹ năng trên đều có quan hệ mật thiết với nhau. Kỹ năng
thứ nhất là cơ sở để rèn luyện hai kỹ năng kia. Chính vì vậy kỹ năng vận dụng
kiến thức để giải bài tập toán là vô cùng quan trọng đối với học sinh. Trong đó
việc trình bày lời giải một bài toán chính là thước đo cho kỹ năng trên. để có
một lời giải tốt thì học sinh cần có kiến thức, các kỹ năng cơ bản và ngược lại có
kiến thức, có các kỹ năng cơ bản thì học sinh sẽ trình bày tốt lời giải một bài

III. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:
- Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là như thế nào?
- Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải quyết
những vấn đề liên quan.
- Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan, học sinh thường gặp những
khó khăn và sai lầm nào?
- Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ
năng giải quyết các vấn đề liên quan?
- Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào?
IV. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu:
- Các dạng toán về và phương pháp giảng dạy toán để giúp nâng cao hứng thú
và kết quả học tập của học sinh.
- Học sinh lớp trường THCS XXX
V. Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương
pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.
Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo,
phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…). Bước đầu mạnh
dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm về kết quả
thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và
đi đến kết luận.
Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của
học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của
học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán.
PHẦN II. NỘI DUNG
1.Cơ sở lí luận :
Trong luật giáo dục đã ghi rõ giáo dục phổ thông là phải phát huy tính
tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh phù hợp với từng lớp học, môn
3

học theo hướng tích cực) thì học sinh thông qua việc đọc thông tin SGK ,học
sinh sẽ rèn luyện tính làm việc độc lập, tự nghiên cứu có hiệu quả tuy nhiên HS
có thẻ do chưa thực sự nghiên cứu còn chểnh mảng nên chưa lĩnh hội đầy đủ
kiến thức dẫn đến còn "hổng kiến thức" dẫn đến chán nản, bỏ học
- Bên cạnh đó cũng có nhiều em đã thực sự vươn lên và luôn thể hiện sự
tự tin trong học tập để phấn đấu đạt điểm cao trong học tập môn hoá song vẫn
cần phải bổ xung thêm kiến thức mới
3 Giải pháp thực hiện
a, Về phía giáo viên:
Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các đơn vị kiến thức cơ bản
như các quy tắc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với
4
đa thức, phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia
hai đa thức đã sắp xếp, các quy tắc đổi dấu đa thức, thật thuộc và vận dụng
thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ.
Giáo viên dạy "Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử"
Giáo viên cho học sinh nắm vững bản chất của việc phân tích đa thức thành
nhân tử.
Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức
thành tích của nhiều đơn thức và đa thức khác.
Ví dụ: y
m+3
- y
m
= y
m
(y
3
- 1) = y
m

- b
2
- 2a + 2b
= (a
2
- b
2
) - (2a - 2b) (Nhóm các hạng tử)
= (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a -b) (a + b - 2) (Đặt NTC)
Để phối hợp nhiều phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử
cần chú ý các bước sau đây:
+ Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản đa
thức.
+ Xem xét đa thức có dạng bằng đẳng thức nào không ?
+ Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải
nhóm các hạng tử vào từng nhóm thoả mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tử
chung, làm xuất hiện nhân tử chung của các nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng
thức. Cụ thể các ví dụ sau:
5
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
M
3
= 5a
2
+ 3(a + b)
2
- 5b
2
Ta thấy M

2
. Đã có nhân tử chung là: (a + b) Vậy
ta tiếp tục đặt nhân tử chung.
M
3
= (a + b) (8a - 2b) =2 (a + b) (4a - b).
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
M
4
= 3x
3
y - 6x
2
y - 3xy
3
- 6xy
2
2 - 3xyz
2
+ 3xy.
Trước hết hãy xác định xem dùng phương pháp nào trước ?
Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy.
+ Đặt nhân tử chung.
M
4
= 3xy (x
2
- 2x - y
2
- 2yz - Z

Giáo viên trước hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo các phương pháp
phân tích thành nhân tử thông thường và kết hợp các phương pháp sau để làm
các bài toán khó.
+ Phương pháp tách hạng tử.
+ Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử.
+ Phương pháp đặt ẩn phụ.
+ Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
6
+ Phương pháp dùng hệ số bất định.
+ Phương pháp xét giá trị riêng.
Cụ thể một số phương pháp thông dụng nhất.
a. Phương pháp tách hạng tử.
Ví dụ 5: Phân tích thành nhân tử đa thức sau:
N = a
2
- 6a + 8.
Cách 1: a
2
- 4a - 2a + 8 (Tách - 6a = (- 4a) + (-2a)
= (a
2
- 4a) - (2a - 8) (Nhóm hạng tử)
= a (a - 4) - 2 (a - 4) (Đặt nhân tử chung)
= (a - 4) (a - 2) (Đặt nhân tử chung)
Có thể tách hạng tử tự do tạo thành một đa thức mới có nhiều hạng tử trong
đó có thể kết hợp làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung với các
hạng tử còn lại.
Cách 2: N = a
2
- 6a + 9 - 1 (Tách 8 = 9 - 1)

Tách hệ số b = b
1
+ b
2
sao cho b
1
. b
2
= a.c
Trong thực hành ta làm như sau;
7
+ Tìm tích a.c
+ Phân tích a.c ra thừa số nguyên với mọi cách
+ Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b
Ngoài ra có thể tách đồng thời cả hai hạng tử (hạng tử tự do và hạng tử bậc
nhất) (như cách 4)
b. Phương pháp thêm bớt hạng tử.
Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử
P
1
= x
4
+ 4 = x
4
+ 4x
2
+ 4 - 4x
2
(thêm 4x
2

4
+ 16a
2
+64) - 16a
2
(thêm 16a
2
, bớt 16a
2
)
= (a
2
+ 8)
2
- (4a)
2
= (a
2
+ 4a + 8) (a
2
- 4a + 8)
Như vây việc thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức rất
tiện lợi, song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào để xuất hiện bình phương
của 1 tổng và làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu hai bình phương thì mới phân
tích triệt để được.
Ở ví dụ P
1
đã có bình phương hạng tử (1) và bình phương hạng tử (2). Vậy
muốn là hằng đẳng thức thì còn thiếu 2 lần tích của 2 hạng tử. Do đó ta thêm
2.x

Khi đó ta có thể dùng phương pháp tách hoặc thêm bớt
D = (y
2
- 2y) + (6y - 12) (Tách 4y = 6y - 2y sau đó nhân)
D = y (y - 2) (y + 6) (đặt nhân tử chung)
Hay D = (x
2
+ x - 2) (x
2
+ x + 6) thay lại biến x
8
D đã phân tích thành 2 nhân tử (x
2
+ x- 2) và (x
2
+ x+ 6)
Việc phân tích tiếp các nhân tử cho triệt để có thể dựa vào các phương
pháp đã nêu ở trên. Chú ý có những tam thức không thể phân tích tiếp được
như :
x
2
+ x + 6 = (x +
2
1
)
2
+ 5
4
3
. Do vậy không phân tích tiếp được nữa

+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ tức là a - c = b +d đa thức
có x = -1
⇒ chứa nhân tử chung (x + 1)
+ Nếu không xét được hệ số ta xét các ước của hệ số tự do
(hệ số không đổi) (Ư
(d)
) ước nào làm cho đa thức có giá trị bằng 0 thì ước
đó là nghiệm của đa thức.
Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E
1
= x
3
+ 3x
2
- 4 xét tổng các hệ số ta thấy.
a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0 ⇒ x
1
= 1
E
1
= (x - 1) (x
2
+ 4x + 4) (chia E
1
Cho (x - 1) )
Sau đó dùng các phương pháp đã học để phân tích tiếp
E
1
= (x - 1) (x + 2)

2
- 4x + 3 bằng 4 cách (phương pháp tách).
Gợi ý 4 cách làm.
Tách - 4x = - 3x + (-x)
Tách 3 = 4 - 1.
Tách 3 = 12 - 9
Tách -4x = -2x + (-2x) và 3 = 2 + 1
Sau đó có thể nhóm làm xuất hiện hằng đẳng thức hau nhân tử chung.
b) 81a
4
+ 4 (thêm bớt hạng tử)
Gợi ý: Thêm 2 lần tính → Hằng đẳng thức cụ thể 36x
2
c) (x
2
+ x)
2
+ 9x
2
+ 9x + 14(phương pháp đổi biến).
Gợi ý: đặt (x
2
+ ) = y
d) x
3
- 2x
2
- x + 2 (phương pháp tìm nghiệm).
Gợi ý: Xét tổng các hệ số a + b + c = 0
Ngoài ra có thể sử dụng các phương pháp khác để phân tích các bài tập trên

3
- 2y
2
- 9y + 18 = 0.
Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa phương trình đã cho thành
phương trình ⇒ giải phương trình tích.
Bài tập 4: Chứng minh rằng đa thức sau.
4a) A = (a
2
+ 3a + 1)
2
- 1 chia hết cho 24.
Với a là một số tự nhiên.
Gợi ý:
+ Trước hết phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.
A = (a
2
+ 3a + 2) (a
2
+ 2a) (Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương)
A = (a + 2) (a + 1) (a + 3)a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3)
(Sử dụng phương pháp tách hạng tử 3a = 2a + a)
* Lập luận:
+ A đã cho là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chứng tỏ trong ba số tự nhiên
liên tiếp ắt phải có một số chia hết cho 3 vậy: A  3
+ Trong 4 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có 2 số chẵn liên tiếp nên mộct
trong hai số đó chia hết cho 2 và số còn lại sẽchia hết cho 4. Vậy A  8
+ Nhưng (3 ; 8) = 1 nên tích của 4 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết
cho 24.
b) B = 25m

+ 7
* Lập luận.
Vì (x - 2)
2
≥ o và (y + 1)
2
≥ 0, dấu " = "xảy ra khi a = 2 và y = - 1 nên A =
(x - 2)
2
+ (y + 1)
2
+ 7 ≥ 7
Vậy A
Min

= 7 đạt được khi x = 2; y = -1
11
PHẦN III : KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
1. KẾT LUẬN
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự
hình thành kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh
2. Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung
chuyên đề thực hiện.
3. Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải
quyết các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
4. Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết
các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
5. Thiết kế các thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học
tích cực.

cùng phát hiện ra các cách giải khác nhau cũng như cách giải hay, tính tự giác
trong học toán, phương pháp giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách
giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải: Một vài phương pháp
phân tích đa thức ở trên đây rất có hữu hiệugiúp học sinh trong quá trình giải
toán có sử dụng phân tích đa thức mà tôi đã viết trên đây có lẽ sẽ còn rất nhiều
hạn chế. Mong tổ chuyên môn trong trường, đồng nghiệp góp ý chân thành để tôi
có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt hơn phục vụ cho việc giảng dạy học sinh.
- Giáo viên chủ nhiệm cũng cần thường xuyên trao đổi thông tin đến gia
đình học sinh đồng thời phối hợp với đoàn thể chính quyền địa phương để cùng
chăm lo giáo dục học sinh một cách toàn diện.
2. KIẾN NGHỊ
1. Với Sở GD&ĐT, Phòng GD&ĐT
- Quan tâm hơn nữa đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo
viên dạy toán. Nên tổ chức các hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên
trong tỉnh.
2. Với BGH nhà trường
- Hiện nay, nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên có vẻ như
chưa đầy đủ. Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm
sách tham khảo môn Toán để học sinh được tìm tòi, học tập khi giải toán để các
em có thể tránh được những sai lầm trong khi làm bài tập và nâng cao hứng thú,
kết quả học tập môn toán nói riêng, nâng cao kết quả học tập của học sinh nói
chung.
3. Với PHHS
- Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con cái. Thường xuyên
kiểm tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của các con.
13