SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY DẠNG TOÁN
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ở TRƯỜNG THCS HOẰNG ANH
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Qua thực tế công tác quản lí và dạy học nhiều năm tôi thấy rằng chương
trình cải cách giáo dục với nội dung và kiến thức ngày càng cao. Việc đòi hỏi
học sinh phải nắm được kiến thức cơ bản theo yêu cầu mới, học sinh phải biết
vận dụng lí thuyết vào giải quyết các bài tập thực tế. Trong chương trình môn
toán THCS ở mỗi phân môn như: số học, đại số, hình học… đều có những dạng
toán riêng. Mỗi dạng toán đòi hỏi phải có những phương pháp riêng, phải nghiên
cứu nó một cách hợp lí thì mới có thể học và đào sâu được kiến thức cũng như
việc hình thành kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh. Khi giải quyết các bài tập toán học
không những đòi hỏi học sinh phải linh hoạt trong việc áp dụng các công thức
mà còn phải biết đào sâu khai thác, phát triển bài toán để tổng quát hoá, khái
quát hoá kiến thức…
Năm học 2016-2017 trường THCS Hoằng Anh tiếp tục nâng cao chất
lượng dạy học, mỗi giáo viên thực hiện đổi mới trong phương pháp dạy học theo
hướng tích cực hóa trong học tập của học sinh, coi trọng thực hành, rèn luyện
năng lực tự học của học sinh. Bằng những kinh nghiệm quản lí chỉ đạo chuyên
môn và trực tiếp giảng dạy môn toán, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến: “Một số
kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử ở trường
THCS Hoằng Anh” với hy vọng sẽ giúp người dạy và người học tháo gỡ được
một số những tồn tại và vướng mắc trong quá trình thực hiện.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Tôi nêu ra kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử,
qua đó phát huy trí lực, năng lực tư duy, sáng tạo của học sinh khi làm bài.
Giáo dục học sinh phát triển một cách toàn diện phù hợp với thời đại công
nghiệp hóa hiện đại hóa hiện nay.
Nâng cao chất lượng dạy học, tạo hứng thú cho học sinh khi học bài phân

Điều tra đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng
dạy.
Trao đổi ý kiến, thảo luận với đồng nghiệp, tổ chuyên môn về những băn
khoăn vướng mắc hay vấn đề phức tạp khi dạy bài phân tích đa thức thành nhân
tử mà bản thân chưa giải quyết được để tìm ra những điểm cần khắc phục.
Tổng kết kinh nghiệm: Sau khi tìm được những ưu điểm, nhược điểm của
giờ dạy qua thể hiện một giờ, đặt ra hệ thống câu hỏi để học sinh suy luận, phát
hiện rồi từ đó nhận xét đánh giá việc hiểu bài và vận dụng của học sinh để đưa
ra việc điều chỉnh cách dạy, học của giáo viên và học sinh.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ cở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại;
phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của
người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập
trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự
cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực. Chuyển từ học chủ
yếu trên lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội,
ngoại khóa, nghiên cứu khoa học. Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và
truyền thông trong dạy và học.
[1]

2


Một trong những thành tố cơ bản và trọng yếu của đổi mới giáo dục là
công tác đổi mới phương pháp dạy- học. Chỉ có đổi mới phương pháp dạy- học
chúng ta mới có thể tạo được sự đổi mới thực sự trong giáo dục. Cốt lõi của đổi
mới phương pháp dạy- học là hướng tới hoạt động học tập chủ động, chống
lại thói quen học tập thụ động, được tổ chức thông qua phương pháp dạyhọc tích cực.
Phương pháp dạy và học mới không chỉ làm cho người học phát triển tư

SL
%
SL
%
SL
%
11
27.5% 21 52.5%
8
20.0%
0
0%
Tìm hiểu nguyên nhân tôi thấy :
* Về học sinh: Có nhiều học sinh nắm được kiến thức cơ bản nhưng chưa
có tư duy logic trong việc vận dụng, đồng thời còn không ít học sinh chưa nắm
được kiến thức cơ bản, chưa nắm vững được phương pháp để giải một bài
toán… Chính vì vậy mà kết quả còn nhiều hạn chế. Như vậy rõ ràng học sinh
học yếu toán là do phương pháp học tập thụ động, mơ hồ. Không ít học sinh
thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực
chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao. Nhiều học sinh
hài lòng với lời giải của mình, mà không tìm lời giải khác, không mở rộng khai

3


thác phát triển, sáng tạo bài toán nên không phát huy được hết tính tích cực, độc
lập, sáng tạo của bản thân.
* Về giáo viên:
Luôn có xu hướng ôm đồn kiến thức vì còn chạy theo đủ nội dung trong
SGK học sinh không hiểu nên bài dạy còn dài dòng, chưa làm nổi bật trọng tâm

Việc trước tiên học sinh học thuộc 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
1. ( A + B )2 = A2 + 2AB + B2

4


2.
3.
4.
5.
6.
7.

( A - B )2 = A2 - 2AB + B2
A2 - B2 = ( A + B )( A - B )
( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3
A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2)
A3 + B3 = ( A + B )(

A2

-

AB

+

B2)


2
2
2
= 3xy (x − 2x + 1) − (y + 2ay + a )

5


2
2
= 3xy ( x − 1) − ( y + a) 

= 3xy ( x − 1) − ( y + a)  ( x − 1) + ( y + a) 
= 3xy (x - 1 - y - a)(x - 1 + y +a )
Củng cố các phương pháp cơ bản
Để học sinh nắm vững các phương pháp phân tích một cách tổng quát giáo
viên yêu cầu học sinh làm việc theo nhóm (4 học sinh) tóm tắt lại các phương
pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử dưới dạng sơ đồ tư duy và cho
học sinh trình bày lại

* Một số phương pháp khác
- Phương pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.
Tách một hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi
dùng Phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung.
Ví dụ: Phân tích đa thức x2 - 6x + 8 thành nhân tử .
Cách 1: x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8
= x (x - 2) - 4(x - 2)
= (x - 2) (x - 4)
Cách 2: x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1
= ( x - 3)2 - 1

Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix)
Chọn 2 thừa số có tổng là : 8 đó là 2 và (6)
3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)
= x(3x + 2) + 2(3x + 2)
= (x + 2)(3x +2)
Cách 2: Làm xuất hiện hiệu hai bình phương (Tách hạng tử bậc hai ax2)
4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2
= (2x + 2 – x)(2x + 2 + x)
= (x + 2)(3x + 2)
Cách 3: Tách thành 4 số hạng rồi nhóm thành hai nhóm (tách hạng tử tự do c)
3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2)
Cách 4: (tách 2 số hạng, 3 số hạng)
(3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2)
7


(x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3x + 2)
Cách 5 (nhẩm nghiệm)
Chú ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c thì ta tách như sau :
f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c)
Làm xuất hiện hiệu hai bình phương
[3]
Bài tập tương tự: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a, x 2 − 5 x + 6

d, x 2 −13 x + 36

b, 3x 2 − 8 x + 4


Cách 2: x4 + 4 = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4)
= (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
8


Bài tập tương tự:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1, (1 + x 2 )2 − 4 x(1 − x 2 ) 2, ( x 2 − 8 ) + 36
2

3, x 4 + 4

4, x 4 + 64

5, 64x 4 + 1

6, 81x 4 + 4

7, 4x 4 + 81

8, 64x 4 + y 4

9, x 4 + 4 y 4

10, x 4 + x 2 + 1

Dạng 3: Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ Phân tích đa thức x5 + x −1 thành nhân tử

[5]


8, x10 + x5 + 1

- Phương pháp đổi biến số (Đặt ẩn phụ )
Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phương pháp
cơ bản đã học ở trên.
Ví dụ: Phân tích đa thức 6x4 - 11x2 + 3thành nhân tử .

9


Đặt x2 = y ta được 6y2 - 11y + 3 = ( 3y + 1)(2y + 3)
Vậy: 6x4 - 11x2 + 3 = ( 3x2 - 1 )(2x2 - 3)
Ví dụ: Phân tích đa thức (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 thành nhân tử.
Đặt x2 + x = i ta được y2 + 4y + 2 = (y +1)(y + 2)
Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc 4 đối với x thành đa
thức bậc 2 đối với y.
(x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 = ( x2 + x + 1)( x2 + x + 2)
Ví dụ: Phân tích đa thức sau x4 + 6x3 + 7x2 − 6x + 1. thành nhân tử :
Cách 1. Giả sử x ≠ 0. Ta viết đa thức dưới dạng :
é 2 1 ö æ 1ö ù
æ2
6
1ö
2 æ
÷
êç
A = x2 ç
x
+

x
x
x÷
ë
û
1
1
Đặt x - = y thì x 2 + 2 = y 2 + 2 . Do đó :
x
x
A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2
2

é æ 1ö
ù
ú = (x2 + 3x −1)2.
x- ÷
+
3x
= êx ç
÷
ç
÷
ç
ê
ú
ë è xø
û
Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0.
Cách 2. A = x4 + 6x3 −2x2 + 9x2 − 6x + 1

thức bậc nhất,một đa thức bậc hai dạng (a + b)( cx 2 + dx + m) rồi biến đổi cho
đồng nhất hệ số của đa thức này với hệ số của đa thức kia.
Ví dụ: Phân tích đa thức x3 - 19x - 30 thành nhân tử.

10


Nếu đa thức này phân tích được thành nhân tử thì tích đó phải có dạng
(x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x +ac
Vì 2 đa thức này đồng nhất nên:
a+b =0
ab + c = -19
ac
= -30
Chọn a = 2, c = -15
Khi đó b = -2 thoả mãn 3 điều kiện trên
Vậy: x3 - 19x - 30 =(x + 2)(x2- 2x - 15)
- Phương pháp xét giá trị riêng
Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến giá
trị cụ thể xác định thừa số còn lại.
Ví dụ
P = x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) thay x bởi y thì thấy
P = y2 ( y - z) + y2 (z - y) = 0 như vậy P chứa thừa số (x - y)
Vậy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi ( đa thức P
có thể hoán vị vòng quanh). Do đó nếu P đã chứa thừa số (x - y) thì cũng chứa
thừa số (y - z), (z - x ). Vậy P có dạng k(x - y)(y - z)(z - x).
Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z.
còn tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y,z
Vì đẳng thức x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x).
đúng với mọi x, y, z. Nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng chẳng hạn:

Nếu đa thức trên có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) thì nhân
tử còn lại có dạng (x2 + bx + c)
⇒ -ac = - 4 ⇒ a là ước của - 4
Vậy trong đa thức với hệ số nguyên,nghiệm nguyên nếu có phải là ước
của hạng tử không đổi.
Ước của (- 4) là (-1), 1, (-2), 2, (-4), 4. Sau khi kiểm tra ta thấy 1 là
nghiệm của đa thức ⇒ đa thức chứa nhân tử (x - 1). Do vậy ta tách các hạng tử
của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung (x - 1).
- Cách 1: x3 + 3x - 4 = x3 - x2 + 4x2 - 4 = x2 (x -1) + 4(x -1)(x +1)
= (x - 1)(x2 + 4x + 4) =(x -1)(x + 2)2
- Cách 2: x3 + 3x - 4 =x3 - 1 + 3x2 - 3 = (x3- 1) + 3(x2 - 1)
= ( x - 1)(x2 + x +1 +3(x2+ - 1)
= ( x - 1)(x + 2)2
Chú ý
- Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì đa thức chứa nhân tử (x-1)
- Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc
lẻ thì đa thức có chứa nhân tử ( x + 1).
Ví dụ:
- Đa thức: x2 - 5x + 8x - 4 có 1 - 5 + 8 - 4 = 0
⇒ Đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức chứa thừa số ( x - 1)
- Đa thức: 5x3 - 5x2 + 3x + 9 có -5 + 9 =1 + 3
⇒ Đa thức có nghiệm là (-1) hay là đa thức chứa thừa số ( x + 1).

12


Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhưng đa thức có thể có nghiệm
p

hữu tỷ. Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng q

3
x+ )
2
2
7
49 25
− )
= 2 (x2 - 2. x +
4
16 16

2x2 - 7x + 3 = 2(x2-


2
2
= 2 (x − ) − ( )  = 2
4
4 

7

5

7 5
7 5
1

(x - 4 - 4 )(x - 4 + 4) = 2(x-3)(x- 2 )


Nếu r = 0 thì x = m là nghiệm của f(x).
Ví dụ: C = x4 + 2x3 - 4x2 - 5x – 6
Ư(- 6) = {- 6; -3 ; -2; -1 ; 1 ; 2; 3 ; 6}
Ta thấy hai trường hợp đặc biệt không xảy ra nên ta thử x = 2 ta làm như
sau: ( nên dùng máy tính cho nhanh)
x=2

a4=1

a3=2

b3 = 1

b2=2.1+2=4
3

a2=- 4

a1= -5

a0= -6

b1 = 2.4+(-4) =4

b0 =2.4 + (- 5) = 3

r = 2.3 + (- 6) = 0

2





−
+ 2
Ví dụ 1: Cho A = 
÷
 x + 3 x + 2 x + 5x + 6x 

a). Rút gọn A
b). Tính giá trị của A với x = 998
c). Tìm giá trị của x để A > 1
Hướng dẫn: Dựa trên cơ sở tính chất cơ bản của phân thức đại số, phân tích tử
thức và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử chung rồi rút gọn, đồng
thời tìm tập xác định của biểu thức thông qua các nhân tử nằm dưới mẫu.
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:

x 4 + x3 + x + 1
A= 4 3
x − x + 2 x2 − x + 1
a 2 ( b − c ) + b 2 (c − a ) + c 2 ( a − b )
B=
ab 2 − ac 2 − b3 + bc 2
x3 + y 3 + z 3 − 3xyz
C=
( x − y ) 2 + ( y − z ) 2 + ( z − x) 2

14



−2
>0
( x − 2)( x − 3)

Nhận xét: vì (- 2) < 0 ⇒ (x - 2)(x - 3) < 0 ⇒ 2 < x< 3
b)
3x2 - 10x - 8 > 0
⇒(3x + 2)( x - 4) > 0
Ta lập bảng xét dấu tích .Kết quả x
4 .
3

[10]

* Bài toán chứng minh về chia hết: Biến đổi đa thức đã cho thành một
tích trong đó xuất hiện thừa số có dạng chia hết
[10]
Ví dụ:
1) Chứng minh ∀ x∈Ζ ta có biểu thức P = (4x + 3)2- 25 chia hết cho 8.
Phân tích: P = 8(2x - 1)(x + 1) chia hết cho 8
2) Chứng minh rằng biểu thức :

n n 2 n3
+ +
là số nguyên ∀ n ∈Ζ
3 2
6


≥ >0 ∀ x.
4 4
2
4
4

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của đa thức
A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y
(Tương tự: B = x2 + y2 + xy - x - y )
Ta có : A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y
1 2
59
y + 16 + xy + 8x + 4y) + ( y2 - 3y) + 2005 - 16
4
4
1
59
6
36
9
= (x + y + 4)2 + ( y2 - 2. y +
) +1989 2
4
59
3481
59
1
6
117342 117342
59

59



Phần B cũng ta cũng làm bằng cách tách tương tự.
Trên đây là một số loại bài toán áp dụng kỹ năng phân tích đa thức thành
nhân tử. Tất nhiên không chỉ có các dạng này mà còn có một số bài tập khác
cũng vận dụng phân tích thành nhân tử để giải quyết. Với những bài tập vận
dụng này đã giúp học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo tìm tới phương pháp
giải bài toán nhanh hơn,thông minh hơn.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục
với bản thân đồng nghiệp và nhà trường.
Qua công tác chỉ đạo chuyên môn và trực tiếp giảng dạy bộ môn toán 8 và
một số kinh nghiệm dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8, tôi
nhận thấy nội dung này rất thiết thực và có lợi thế trong việc đổi mới phương
pháp dạy học môn toán, các em tích cực học tập và hứng thú hơn khi giải các bài
toán phân tích đa thức thành nhân tử. Đặc biệt là vận dụng các phương pháp
16


phân tích đa thức thành nhân tử vào các dạng toán sau này một cách có hiệu quả.
Với việc các em nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và
kết hợp với việc đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn toán ở khối 8, tôi thấy
chất lượng môn toán ngày càng tiến bộ rõ rệt. Cụ thể là:
Thống kê điểm
Điểm 8,9,10
Điểm 5,6,7
Điểm 3,4
Điểm 1,2
Môn

lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức.
3.2. Kiến nghị: Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi về các phương
pháp dạy giải toán phân tích đa thức thành nhân tử nhằm phát triển trí lực, tư
duy sáng tạo của học sinh. Tôi rất mong được sự góp ý của đồng nghiệp. Với nội
dung sáng kiến này tôi mong được sự quan tâm của ngành GD&ĐT Thành phố
cho phép được triển khai vận dụng mà trước mắt là đối với các trường THCS
ngoại thành.
Xin chân thành cảm ơn!
TP.Thanh Hóa, ngày 14 tháng 4 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm của mình viết, không sao chép nội
XÁC NHẬN
dung của người khác.
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
NGƯỜI VIẾT

Vũ Tiến Dũng

17


18