SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ LIÊN HUYỆN TÂN PHÚ-ĐỊNH QUÁN
Mã số: ………………
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“RÈN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CHO
HỌC SINH LỚP 8” Người thực hiện: Bùi Thị Thủy
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục
- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán
- Lĩnh vực khác: …………
Có đính kèm
Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác
Năm học: 2014-2015
1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ LIÊN HUYỆN TÂN PHÚ-ĐỊNH QUÁN
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Bùi Thị Thủy
2. Ngày tháng năm sinh: 20/9/1976
3. Nam, nữ: Nữ
4. Địa chỉ: Tổ 14 - Khu 10 - Tân Phú - Đồng Nai.
5. Điện thoại: 0613856483 (cơ quan), ĐTDĐ : 01652793569
6. Fax: ………… E-mail:
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Nhiệm vụ được giao: Giảng dạy môn Toán 8, Lý 9.
9. Đơn vị công tác: Trường phổ thông Dân Tộc Nội Trú liên
động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học,
nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kĩ
năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn.
Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là
nội dung hết sức quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú, đa
dạng cho việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân
thức, giải phương trình, Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, cũng như qua việc
theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8 (2 lớp đang giảng dạy),
việc phân tích đa thức thành nhân tử là không khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh
làm sai hoặc còn lúng túng và chưa thực hiện được, chưa nắm vững chắc các
phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ năng biến đổi một cách linh hoạt, sáng tạo vào
từng bài toán cụ thể.
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ
và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao
chất lượng bộ môn nên bản thân đã chọn đề tài: “ Rèn kĩ năng phân tích đa thức
thành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lý luận
Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông
tin như hiện nay, một xã hội thông tin đang hình thành và phát triển trong thời kỳ
đổi mới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạo trước những thời cơ và
thách thức mới. Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào tạo luôn đảm
nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi
dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi mới giáo dục phổ thông
theo Nghị quyết số 40/2000/QH10 của Quốc hội”.
Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy
nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông. Là
giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ
dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học đáp ứng
đầy đủ những yêu cầu đó.
tiện dạy học mới vào giảng dạy .
Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đến việc học tập của con em mình
việc học tập của các em hầu như khoán trắng cho giáo viên.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
1. Giải pháp 1: Các phương pháp cơ bản và những sai lầm cần tránh.
1.1) Phương pháp đặt nhân tử chung.
a) Phương pháp.
Bước 1: Tìm nhân tử chung. Nhân tử chung là những đơn thức hoặc đa thức
có mặt trong tất cả các hạng tử. Nhân tử chung này là tích của hệ số với phần biến:
+ Hệ số là ƯCLN của các hệ số của các hạng tử (nếu các hệ số là số nguyên).
+ Phần biến gồm có các biến chung của các hạng tử với số mũ nhỏ nhất.
4
Bước 2: Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử
khác.
Bước 3: Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc rồi viết các nhân tử còn lại của
mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).
b) Ví dụ.
* Nhân tử chung là đơn thức
Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 4x
3
– 12x
2
+ 18x
b) 28x
2
y
4
- 21xy
5
y
2
= 7xy
2
.4xy
2
– 7xy
2
.3y
3
+ 7xy
2
.2x
= 7xy
2
4xy
2
(4xy
2
– 3y
3
+ 2x)
* Nhân tử chung là đa thức
Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) 3x
2
(x + 1) – 2x(x + 1)
b) (x – y + z)
2
– z(x – y + z) + x – y + z
(y – x - z)). Vì vậy:
3x
2
y
2
(x – y + z) + 2xy(y – x – z) = 3x
2
y
2
(x – y + z) - 2xy(x – y + z)
= xy(x – y + z)(3xy – 2)
c) Một số sai lầm học sinh hay mắc phải.
* Học sinh xác định nhân tử chung không hết, dẫn đến phân tích không triệt
để.
Chẳng hạn: Một học sinh phân tích như sau:
x
2
(x – 1) + 2x(x – 1) = (x – 1)(x
2
+ 2x)!
Đến đây, học sinh đó dừng lại.
Rõ ràng, học sinh này phân tích chưa triệt để vì xác định nhân tử chung không
hết. Nhân tử chung chính xác phải là x(x - 1).
Cách làm đúng: x
2
(x - 1) + 2x(x - 1) = x(x - 1)(x + 2).
* Học sinh không biết cách đổi dấu hạng tử hoặc đổi dấu hạng tử sai, dẫn đến
việc không phân tích được, hoặc phân tích không triệt để, hoặc phân tích sai.
Chẳng hạn: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x(x – y) – 2(y – x) ;
không có nhân tử chung. Nhưng nếu chúng ta quan sát kĩ từng số hạng thì thấy
từng số hạng có thể phân tích tiếp, và khi đó nhân tử chung mới xuất hiện:
3y(6x – 4y) + 2x(9x – 6y) = 3y.2(3x – 2y) + 2x.3(3x – 2y)
= (3x – 2y)(6y + 6x) = 6(x + y)(3x – 2y).
1.2) Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
a) Phương pháp.
Vận dụng một trong các hằng đẳng thức sau đây để phân tích:
1. Bình phương của một tổng: (A + B)
2
=A
2
+ 2AB + B
2
2. Bình phương của một hiệu: (A – B)
2
= A
2
– 2AB + B
2
3. Hiệu hai bình phương: A
2
– B
2
= (A – B)(A + B)
4. Lập phương của một tổng: (A + B)
3
= A
3
3
= (A – B)(A
2
+ AB + B
2
)
Ngoài ra, ta có thể áp dụng các hằng đẳng thức sau:
8. Bình phương của một tổng ba biểu thức:
A
2
+ B
2
+ C
2
+ 2AB + 2AC + 2BC = A
2
+ B
2
+ C
2
+ 2(AB + AC + BC)
= (A + B + C)
2
9. Hiệu hai lũy thừa cùng số mũ.
a
n
- b
n
= (a – b)(a
n - 1
b) Ví dụ
* Nếu đa thức có hai số hạng, ta thường nghĩ đến việc vận dụng các hằng đẳng
thức 3, 6, 7, 9, 10.
A
2
– B
2
= (A – B)(A + B)
A
3
+ B
3
= (A + B)(A
2
– AB + B
2
)
A
3
– B
3
= (A – B)(A
2
+ AB + B
2
)
7
a
n
- b
; b) x
3
– 8y
3
; c) 27 + 64y
6
.
Phân tích và giải:
a) Ta viết: 4x
2
= (2x)
2
, 9y
2
= (3y)
2
, đa thức có dạng hiệu hai bình phương
4x
2
– 9y
2
= (2x)
2
- (3y)
2
= (2x – 3y)(2x + 3y).
b) Ta viết: 8y
3
= (2y)
3
3
= (3 + 4y
2
)(9 – 12y
2
+ 16y
4
).
Ví dụ 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) x
7
- 1; b) 1 + x
10
Phân tích và giải:
a) Ta thấy x
7
- 1 = x
7
- 1
7
. Đa thức có dạng hằng đẳng thức số 9. Vì vậy: x
7
- 1 = (x – 1)(x
6
+ x
5
+ x
4
+ x
3
2
- 4x + 1 = (2x)
2
– 2.2x.1 + 1
2
= (2x – 1)
2
;
b) x
2
+ x +
4
1
= x
2
+ 2.x.
2
1
+
2
2
1
=
2
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
(A – B)
3
= A
3
– 3A
2
B + 3AB
2
– B
3
.
Ví dụ 8. Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) x
3
+ 15x
2
+ 75x + 125; b) 27x
3
- 18x
2
y
- 18x
2
y
2
+ 36xy
4
– 8y
6
= (3x)
3
– 3.(3x)
2
.2y
2
+ 3.3x.(2y
2
)
2
– (2y
2
)
3
Đến đây, ta thấy đa thức có dạng hằng đẳng thức thứ 5. Vì vậy:
27x
3
- 18x
2
y
2
- 25x
2
+ 15x – 1 = (5x - 1)
3
!
Sai lầm ở đây là học sinh đã nhận dạng sai hằng đẳng thức, nên đã vội vàng
phân tích mà không kiểm tra xem đa thức có đúng dạng các hằng đẳng thức đã biết
hay chưa:
a) Ta thấy đa thức chỉ là bình phương thiếu của một hiệu:
x
2
- 2xy + 4y
2
= x
2
- x.2y + (2y)
2
Đa thức này có dạng A
2
- AB + B
2
chứ không phải là A
2
- 2AB + B
2
!
b) Phân tích đa thức 125x
3
- 25x
2
+ 4y
2
b) – 4x + x
2
+ 4.
Nhiều học sinh sẽ lúng túng dẫn tới việc không phân tích được.
Dễ dàng nhận ra hằng đẳng thức nếu ta đổi chỗ các số hạng.
9
a) - x
2
+ 4y
2
= 4y
2
- x
2
= (2y – x)(2y + x).
b) – 4x + x
2
+ 4 = x
2
– 4x + 4 = (x – 2)
2
.
* Học sinh không biết đổi dấu các số hạng để nhận ra hằng đẳng thức hoặc
đổi dấu sai dẫn tới nhận nhầm hằng đẳng thức.
Chẳng hạn, khi phân tích các đa thức – 16 + 24x – 9x
2
thành nhân tử, nhiều
* Học sinh không phân tích triệt để.
Chẳng hạn, khi phân tích các đa thức x
4
– 9 thành nhân tử, có học sinh phân
tích như sau: x
4
– 9 = (x
2
)
2
– 3
2
= (x
2
– 3)(x
2
+ 3)! Ở đây, học sinh chỉ áp dụng một
lần hằng đẳng thức hiệu hiệu hai bình phương và hài lòng khi phân tích được như
vậy.
Cách làm đúng: Ta thấy x
2
– 3 = x
2
–
( )
2
3
= (x -
3
)( x +
3
– 1
3
= (x
2
– 1)(x
4
+ x
2
+1) = (x – 1)(x + 1)( x
4
+ x
2
+1).
Nhìn qua, ta thấy có vẻ hợp lý, nhưng đa thức đã được phân tích chưa triệt để.
Nếu ta thay đổi cách áp dụng hằng đẳng thức, thì đa thức sẽ được phân tích triệt
để:
x
6
– 1 = (x
2
)
3
– 1
3
= (x
3
– 1)(x
3
+ 1) = (x – 1)(x
- x +1).
Nhưng rõ ràng cách này không phải học sinh nào cũng nhìn ra và do đó không
thể làm được.
1.3) Phương pháp nhóm hạng tử
a) Phương pháp
- Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.
10
- Áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng
thức.
b) Ví dụ
* Thông thường ta hay nhóm hai hạng tử rồi xem có thể đặt nhân tử chung
hoặc dùng các hằng đẳng thức (số 3, 6, 7) được hay không.
Ví dụ 9. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x
2
– 2xy – x + 2y ;
b) 2xy - 4y
2
+ 3x + 9;
c) 125x
3
– 10x
2
+ 2x – 1.
Phân tích và giải:
a) Ta thấy, có thể nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối hoặc nhóm hạng
tử thứ nhất với hạng tử thứ ba và hạng tử thứ hai với hạng tử thứ tư. Còn nếu nhóm
hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ tư và nhóm hai hạng tử còn lại thì đa thức không
thể phân tích được. Vì vậy, ta chỉ có hai cách làm như sau:
Cách 1: x
2
– 2x)
= (5x – 1)(25x
2
+ 5x + 1) – 2x(5x – 1)
= (5x – 1)(25x
2
+ 3x + 1).
* Nếu nhóm hai hạng tử mà đa thức không phân tích được thì chuyển sạng
nhóm ba hạng tử và có thể nghĩ đến việc áp dụng các hằng đẳng thức như bình
phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu rồi sau đó là hiệu hai bình
phương.
Ví dụ 10. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x
2
– 9y
2
+ 9 - 6x;
b) x
2
+ 3xy – 4x – 6y + 4;
11
c) x
3
– 3x
2
- 3xy + 3x + 3y – 1.
Phân tích và giải:
a) Ta thấy nếu nhóm hai hạng tử thì đa thức không phân tích thành nhân tử
được.Từ đó, ta nghĩ đến việc nhóm ba hạng tử. Hạng tử thứ nhất và hai hạng tử
nghĩ nhóm này phải có dạng hằng đẳng thức 4 hoặc 5. Ta thấy, nếu nhóm hai hạng
tử đầu với hạng tử thứ tư và thứ 6 thì có dạng hằng đẳng thức lập phương một hiệu.
Vậy ta làm như sau:
x
3
– 3x
2
- 3xy + 3x + 3y – 1 = (x
3
– 3x
2
+ 3x – 1) – (3xy + 3y)
= (x – 1)
3
– 3y(x – 1)
= (x – 1)(x
2
– 2x – 3y + 1).
* Nhiều khi ta phải khai triển đa thức rồi mới tìm cách nhóm thích hợp.
Ví dụ 11. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = (x + y)(y + z)(z + x) + xyz
Phân tích và giải:
Đây là một đa thức khó phân tích vì không thể áp dụng các phương pháp trên
ngay được. Nhưng nếu ta khai triển đa thức thì đa thức có thể phân tích được.
Cách 1: Khai triển A ta được:
A = xyz + xy
2
+ xz
2
+ x
2
z + yzt + xyt – xyz + xyz
= t
3
– (x + y + z)t
2
+ (xy + yz + zx)t = t
3
– t
3
+ (xy + yz + zx)t
= (xy + yz + zx)(x + y + z).
12
c) Một số sai lầm học sinh hay mắc phải.
* Học sinh nhóm hạng tử đồng thời biến thành nhân tử dẫn tới phân tích sai.
Chẳng hạn, khi phân tích x
2
– xy + x - y thành nhân tử, có em làm như sau:
x
2
– xy + x – y = (x
2
– xy)(x – y) = x(x – y)(x – y) = x(x – y)
2
!
Ở đây, học sinh nhóm số hạng đồng thời không viết dấu “+” vào giữa các số
hạng dẫn tới sai lầm kể trên.
Cách làm đúng:
x
2
– xy + x – y = (x
– 4x) – (y
2
– 4) = x(x – 4) – (y – 2)(y + 2)
x
2
– 4x – y
2
+ 4 = (x
2
– y
2
) – (4x – 4) = (x – y)(x + y) – 4(x – 1).
và cho rằng đa thức không thể phân tích thành nhân tử được. Rất ít em chuyển
sang nhóm ba hạng tử
Cách làm đúng: x
2
– 4x – y
2
+ 4 = (x
2
– 4x + 4) – y
2
= (x – 2)
2
– y
2
= (x – y – 2)(x + y – 2).
* Học sinh khi nhóm hạng tử hay mắc lỗi đổi dấu dẫn tới không phân tích
được.
y
2
– 2xy + 1 + x
2
+ 2xy + y
2
13
= x
2
y
2
+ 1 + x
2
+ y
2
= (x
2
y
2
+ x
2
) + (y
2
+ 1)
= x
2
(y
2
+ 1) + (y
Ví dụ 12. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 2x
2
+ 4x + 2 - 2y
2
;
b) x
3
- 2x
2
- 4xy
2
- 4xy;
c) x
3
– 2x
2
- 4x + 8.
Phân tích và giải:
a) Các hạng tử đều có nhân tử chung là 2. Vì vậy ta dùng phương pháp đặt
nhân tử chung trước:
2x
2
+ 4x + 2 - 2y
2
= 2(x
2
+ 2x + 1 – y
2
) = 2[(x + 1)
- 4x + 8 = (x
3
– 2x
2
) – (4x – 8) = x
2
(x – 2) – 4(x – 2)
= (x – 2)(x
2
– 4) = (x – 2)
2
(x + 2).
c) Một số sai lầm học sinh hay mắc phải.
14
* Học sinh không đặt nhân tử chung ngay mà hay nghĩ đến việc nhóm hạng
tử. Do đó gặp bế tắc trong phân tích.
Chẳng hạn, khi phân tích đa thức: 2x
2
+ 4x + 2 - 2y
2
có học sinh làm như sau:
2x
2
+ 4x + 2 - 2y
2
= (2x
2
+ 4x) – (2y
2
– 2) = 2x(x + 2) – 2(y – 1)(y + 1)
30
46,2
%
15
23,1
%
6
9,2
%
Sau khi áp
dụng giải
pháp 1
68 10
14,7
%
21
30,9
%
31
45,6
%
6
8,8
%
0 0%
Lớp
Sĩ
số
Giỏ
i
48,5
%
7
10,3
%
0 0%
2. Giải pháp 2: Các phương pháp nâng cao và những sai lầm cần tránh.
Các phương pháp sau chủ yếu hướng dẫn và rèn luyện cho học sinh khá, giỏi;
cũng có một số phương pháp có thể rèn luyện cho học sinh trung bình khá, tùy
từng đối tượng học sinh mà giáo viên áp dụng các phương pháp vào bài tập sao
cho phù hợp và hiệu quả.
15
2.1) Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
a) Phương pháp.
Ở đây chúng ta chỉ xét đa thức bậc hai.
Xét đa thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c, có ba hướng tách hạng tử:
Cách 1: Tách hạng tử ax
2
Cách 2 (phương pháp chung): Tách hạng tử bx.
Bước 1: Tìm ac, rồi phân tích ac ra thành tích của hai thừa số nguyên bằng
mọi cách: a.c =
332211
=====
ii
cacacaca
Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng bằng b, chẳng hạn chọn tích a.c =
ii
++
2
2
2
2
22
442
2
a
b
a
c
a
b
a
b
xxa
a
c
x
a
b
xa
= a
Phân tích và giải:
Cách 1. (tách hạng tử bậc nhất bx)
- Phân tích: ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12)
- Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 là tích a.c = 2.6 (a.c =
ii
ca .
).
- Tách 8x = 2x + 6x (bx =
xcxa
ii
+
).
Ta phân tích như sau: f(x) = 3x
2
+ 8x + 4 = 3x
2
+ 2x + 6x + 4
= (3x
2
+ 2x) + (6x + 4)
= x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2).
Ngoài cách tách hạng tử bx, ta còn một số cách tách như sau:
Cách 2. (tách hạng tử bậc hai ax
2
)
16
- Làm xuất hiện hiệu hai bình phương:
f(x) = (4x
2
+ 8x + 4) – x
Cách 4. (tách 2 số hạng, 3 số hạng)
f(x) = (3x
2
+ 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)
2
– 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2)
f(x) = (x
2
+ 4x + 4) + (2x
2
+ 4x) = = (x +2)(3x + 2).
Cách 5. f(x) = 3
−+++=
++
9
16
3
4
−
+
3
2
3
4
3
2
3
4
3
9
4
3
4
2
xxx
= 3
( ) ( )( )
– B
2
+ c = (A ± B)
2
– (B
2
– c)
hoặc f(x) = ax
2
– B
2
+ B
2
± 2BC + C
2
= (ax
2
– B
2
) + (B – C)
2
.
Ví dụ 14. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) f(x) = 4x
2
- 4x - 3 ; b) g(x) = 7x
2
+ 12x – 4
Phân tích và giải:
a) Ta có thể dùng cách tách như đã trình bày ở các ví dụ trên. Để ý kĩ hơn, ta
f(x) = 16x
2
- 9x
2
+ 12x - 4 = 16x
2
– (9x
2
- 12x + 4)
= (4x)
2
– (3x – 2)
2
= (x + 2)(7x – 2).
17
c) Chú ý:
* Đa thức f(x,y) = ax
2
+ bxy + cy
2
có cách phân tích giống như đa thức ở trên.
Ví dụ 15. Phân tích các đa thức A = 4x
2
– 4xy – 3y
2
thành nhân tử.
Phân tích và giải:
Cách 1. A = 4x
2
– 4xy – 3y
phân tích theo các cách đã nêu nhưng không thể tìm ra cách tách thích hợp nào!
Thực ra, đa thức trên không phân tích được. Tại sao? Vì đa thức này không có
nghiệm. Những đa thức bậc hai không có nghiệm thì không thể phân tích được.
Vậy, ta giải quyết vấn đề như sau:
Ta có: f(x) =
0
4
3
2
1
4
3
4
1
2
2
>+
+=+
011
,, ,, aaaa
nn −
nguyên, có nghiệm nguyên x = a. Thế thì:
01
2
2
1
1
axaxaxaxa
n
n
n
n
n
n
+++++
−
−
−
−
=
( )
( )
01
2
2
1
1
a
.
b. Ví dụ
Ví dụ 16. Phân tích đa thức f(x)= x
3
– x
2
+ 4 thành nhân tử.
Phân tích và giải:
18
Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, 4, ta thấy f(–2) = (–2)
3
+ (–2)
2
+ 4 = 0. Đa
thức f(x) có một nghiệm x = – 2, do đó nó chứa một nhân tử là x + 2. Từ đó, ta tách
như sau:
Cách 1: f(x) = x
3
+ 2x
2
– x
2
+ 4 = (x
3
+ 2x
2
) – (x
2
– 4)
2
+ 2x) + (2x
2
– 2x + 4) = x(x
2
– x + 2) + 2(x
2
– x + 2)
= (x + 2)(x
2
– x + 2).
c) Một hệ quả rút ra từ định lí trên.
Từ định lí trên ta có hệ quả sau:
Hệ quả 1: Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nghiệm là x = 1.
Từ đó f(x) có một nhân tử là x – 1.
Chẳng hạn, đa thức x
3
– 5x
2
+ 8x – 4 có 1 + (–5) + 8 + (–4) = 0 nên x = 1 là
một nghiệm của đa thức. Đa thức có một nhân tử là x – 1 . Ta phân tích như sau :
f(x) = (x
3
– x
2
) – (4x
2
– 4x) + (4x – 4)
= x
2
+− a
f
và
a
f
đều là số nguyên.
Chứng minh
Đa thức f(x) có nghiệm x = a nên f(x) có một nhân tử là x – a. Do đó f(x) có
dạng: f(x) = (x – a).q(x) (1)
Thay x = 1 vào (1), ta có : f(1) = (1 – a).q(1).
19
Do f(1) ≠ 0 nên a ≠ 1, suy ra q(1) =
( )
1
1
−
−
a
f
. Vì các hệ số của f(x) nguyên nên
các hệ số của q(x) cũng nguyên. Do đó, q(1) là số nguyên. Vậy
( )
1
1
−
−
a
f
là số
nguyên. Thay x = –1 vào (1) và chứng minh tương tự ta có
−±
−
−−
−
không là số nguyên nên –3, ± 6, ± 9, ± 18
không là nghiệm của f(x). Chỉ còn –2 và 3. Kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của f(x).
Do đó, ta tách các hạng tử như sau :
f(x) = 4x
3
- 13x
2
+ 9x - 18 = 4x
2
(x – 3) – x(x – 3) + 6(x – 3)
= (x – 3)(4x
2
– x + 6)
Hệ quả 3: Nếu f(x) =
01
2
2
1
1
axaxaxaxa
n
n
n
n
n
n
2
1
1
bxbxbxb
n
n
n
n
++++
−
−
−
−
.
Đồng nhất hai vế ta được q
001
, apbab
nn
=−=
−
. Từ đó suy ra p là ước của
0
a
, còn
q là ước dương của
n
a
(đpcm).
Ví dụ 18. Phân tích đa thức f(x) = 3x
3
phân tích hơn và có thể phân tích đa thức theo nhiều cách.
20
* Nếu đa thức có bậc nhất, ta thường tách hạng tử thành các đa thức có chứa
nhân tử x – a như: x – a; kx – ka (k là hằng số).
* Nếu đa thức có bậc hai, khi phân tích bẳng phương pháp này ta thường tách
hạng tử thành một trong các đa thức có chứa nhân tử x – a như:
x
2
– ax = x(x – a); x
2
– a
2
= (x – a)(x + a); x
2
– 2ax + a
2
= (x – a)
2
.
* Nếu đa thức có bậc ba, khi phân tích bẳng phương pháp này ta thường tách
hạng tử thành một trong các đa thức có chứa nhân tử x – a như:
x
3
– ax
2
= x
2
(x – a); x
3
– ax = x(x – a)(x + a); x
= x
2
(x
2
– a
2
) = x
2
(x – a (x + a) ;
2.3) Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
a) Phương pháp.
Thêm và bớt cùng một hạng tử nhằm làm xuất hiện các hằng đẳng thức (hiệu
hai bình phương, hiệu hai lập phương, tổng hai lập phương hoặc làm xuất hiện
nhân tử chung.
b) Ví dụ
Ví dụ 19. Phân tích các đa thức thành nhân tử.
a) x
2
- 2x – y
2
+ 2y; b) x
2
+ x – y
2
– y.
Phân tích và giải:
Quan sát nhanh, ta thấy các đa thức này có thể phân tích bằng phương pháp
nhóm hạng tử. Ngoài cách đó ra, ta có thể thêm bớt hạng tử để phân tích:
a) Cách 1: x
2
2
= (x – 1 – y + 1)(x – 1 + y – 1) = (x – y)(x + y – 2).
b) Cách 1: x
2
+ x – y
2
- y = (x
2
– y
2
) + (x – y) = = (x – y)(x + y + 1).
Cách 2: x
2
+ x – y
2
- y = x
2
+ x +
4
1
– y
2
– y -
4
1
= (x +
2
1
)
Phân tích và giải:
a) Ta có thể thêm bớt theo nhiều cách như sau:
- Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phương
Cách 1 : x
4
+ x
2
+ 1 = (x
4
+ 2x
2
+ 1) – x
2
= (x
2
+ 1)
2
– x
2
= (x
2
– x + 1)(x
2
+ x + 1).
- Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
Cách 2: x
4
+ x
2
+ 1 = (x
) – (x
3
– 1)
= x
2
(x
2
+ x + 1) + (x – 1)(x
2
+ x + 1) = (x
2
– x + 1)(x
2
+ x + 1).
b) Ta có thể thêm bớt theo nhiều cách như sau:
- Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phương
Cách 1 : x
4
+ 4 = (x
4
+ 4x
2
+ 4) – 4x
2
= (x
2
+ 2)
2
– (2x)
2
Cách 1: x
5
+ x – 1 = x
5
- x
4
+ x
3
+ x
4
- x
3
+ x
2
- x
2
+ x - 1
= x
3
(x
2
- x + 1) + x
2
(x
2
- x + 1) - (x
2
- x + 1) = (x
2
- x + 1)(x
+ x
2
- 1).
2.4) Phương pháp đổi biến.
a) Phương pháp.
Phương pháp đổi biến nhằm mục đích hạ bậc đa thức để đưa đa thức ban đầu
về dạng đa thức mới dễ phân tích hơn.
b) Ví dụ
* Với đa thức: a(f(x))
2
+ bf(x) +c, trong đó f(x) là đa thức biến x
Cách giải: Đặt t = [f(x)]
2
rồi đưa đa thức về dạng: at
2
+ bt + c, rồi phân tích
tiếp.
Ví dụ 22. Phân tích các đa thức thành nhân tử.
22
a) x
4
+ 24x
2
– 112;
b) x
6
+ 9x
3
+ 8;
c) (x
, đa thức trở thành : t
2
+ 9t + 8 = (t + 1)(t + 8).
Suy ra : x
6
+ 9x
3
+ 8 = (x
3
+ 1)(x
3
+ 8)
= (x + 1)(x
2
– x + 1)(x + 2)(x
2
– 2x + 4)
= (x + 1)(x + 2)(x
2
– x + 1)(x
2
– 2x + 4).
c) Đặt t = x
2
– x – 1 , đa thức trở thành : t
2
– 5t – 14 = (t + 2)(t – 7)
Suy ra : (x
2
– 2x – 1)
+ x + 1 + 4)
= (x
2
+ x – 2)(x
2
+ x + 5) = (x – 1)(x + 2) (x
2
+ x + 5).
* Đa thức: f(x) = (x + a)
4
+ (x + b)
4
+c
Cách giải : Đặt t = x +
2
ba +
, đưa đa thức về dạng mt
4
+ nt
2
+ p.
Ví dụ 23. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x + 1)
4
+ (x + 3)
4
- 16
Phân tích và giải:
Đặt x + 2 = t, thì phương trình đã cho trở thành:
(t – 1)
4
– 1)(x
2
+ 7) = 2(x – 1)(x + 1)(x
2
+ 7).
* Đa thức: f(x) = (x + a(x + b(x + a(x + d) +m, với a + c = b + d.
Cách giải: Đặt t = x
2
+ (a + c)x + k, trong đó k là một số thực được chọn thích
hợp.
Ví dụ 24. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x – 1)(x – 2)(x + 4)(x + 5) – 112;
b) (x
2
+ 3x + 2)(x
2
+ 7x + 12) – 24.
23
Phân tích và giải:
a) Ta biến đổi đa thức đã cho thành :
[(x – 1)(x + 4)][(x – 2)(x + 5)] – 112 = (x
2
+ 3x – 4)(x
2
+ 3x – 10) - 112
Đặt t = x
2
+ 3x – 7, ta được: (t + 3)(t – 3) - 112 = t
2
- 121 = (t – 11)(t + 11).
2
+ 5x)(x
2
+ 5x + 10)
= x(x + 5) (x
2
+ 5x + 10).
Chú ý: Một số dạng tương tự cũng có thể giải được theo cách trên.
Ví dụ 25. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
(3x – 2)(6x + 5)(2x + 1)(x – 1) - 10.
Phân tích và giải:
Ta biến đổi đa thức thành :
[(3x – 2)(2x + 1)][(6x + 5)(x – 1)] – 10 = (6x
2
– x – 2)(6x
2
– x – 5) - 10
Đặt t = 6x
2
– x – 5, ta được: (t + 3)t - 10 = t
2
+ 3t – 10 = (t – 2)(t + 5).
Suy ra : (3x – 2)(6x + 5)(2x + 1)(x – 1) – 10 = (6x
2
– x – 7)(6x
2
– x)
= (x + 1)(6x – 7)x(6x – 1) = x(x + 1)(6x – 1)(6x – 7).
* Đa thức dạng ax
4
2
+
−+
+=
+−++
7
2
+ 2 + 6y + 7) = x
2
(y + 3)
2
= (xy + 3x)
2
=
2
3
1
+
− x
x
xx
= (x
2
2
.
2.5) Phương pháp hệ số bất định.
a) Phương pháp.
Phân tích đã cho thành tích của hai hay nhiều đa thức có thể phân tích được
với các hệ số chưa biết. Sau đó đồng nhất hệ số của đa thức đã cho với đa thức mới
để tìm hệ số chưa biết.
b) Ví dụ
Ví dụ 27. Phân tích đa thức thành nhân tử: x
3
- 19x - 30
Phân tích và giải:
Nếu đa thức này phân tích được thành nhân tử thì tích đó phải có dạng:
x
3
- 19x - 30 = (x + a)(x
2
+ bx + c) = x
3
+ (a + b)x
2
+ (ab + c)x + ac.
Vì hai đa thức đồng nhất nên:
−=
−=+
2
(z - x) + z
2
(x - y);
b) B = (x - y)
3
+ (y - z)
3
+ (z - x)
3
;
c) C = (a + b + c)
3
- a
3
- b
3
- c
3
Phân tích và giải:
25
Copyright: Tài liệu đại học ©