HD học sinh lớp 8 phương pháp giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Nhật Quang , ngày 10 tháng 3 năm 2014.

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học 2013 - 2014

Phần I- Sơ yếu lý lịch
- Họ và tên: Trần Anh Dũng
- Chức vụ: Giáo viên
- Trường: THCS Nhật Quang – Phù Cừ - Hưng Yên.
Tên sáng kiến kinh nghiệm:
HƯỚNG DẪN HS LỚP 8 CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

******************************************
1
GV: Trần Anh Dũng – THCS Nhật Quang – Phù Cừ – Hưng Yên


HD học sinh lớp 8 phương pháp giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

Phần II- Nội dung
A : ĐẶT VẤN ĐỀ
I- LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
1 : Cơ sở lý luận
Với mục tiêu giáo dục phổ thông là "giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo
đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân,
tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ
nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục

Chưa thật sự quan tâm đến việc học tập của con em

mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc việc học của học sinh. Đa số phụ
huynh thường phó mặc cho nhà trường, không kiểm tra được việc học ở nhà
cũng như việc chuẩn bị bài trước khi đến lớp.
Đối với học sinh :
+ Học sinh có ý thức học tập không đồng đều, ít tập trung chú ý trong giờ học.
+ Đa số học sinh yếu về kỹ năng tính toán, quan sát nhận xét, biến đổi và thực
hành giải toán. Nguyên nhân là do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới cộng thêm
việc không chủ động trong học tập ngay từ đầu năm học dẫn đến chay lười trong
học tập.
+ Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, học máy móc thiếu
nhẫn nại khi gặp bài toán khó.
+ Không có thói quen tự học ở nhà: không làm bài, học bài, soạn bài trước khi
đến lớp.
+ Bạn bè lôi kéo, rủ rê ham chơi.
4
GV: Trần Anh Dũng – THCS Nhật Quang – Phù Cừ – Hưng Yên


HD học sinh lớp 8 phương pháp giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

Vì vậy làm sao để học sinh yêu thích môn toán, làm sao để học sinh có kỹ năng giải
bài toán PTĐTTNT, làm sao để không còn học sinh yếu kém bộ môn. Để giải quyết
các vấn đề trên trong quá trình giảng dạy tôi đã đề ra những phương pháp cơ bản,
phương pháp đặt biệt thông qua những bài tập cụ thể giúp các em hiểu rõ và vận
dụng các phương pháp này khi giải bài toán PTĐTTNT nhằm nâng cao chất lượng
học tập cho học sinh.
3- kết luận
Năm học 2013-2014 tôi tiếp tục được ban giám hiệu phân công giảng dạy toán 8.

toán về PTĐTTNT cho học sinh để từ đó khai thác hiệu quả và đào sâu suy nghĩ tư
duy lôgic của học sinh giúp học sinh phát triển khả năng tiềm tàng trong con người
học sinh.
*) Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình những kinh
nghiệm để làm luận cứ cho phương pháp dạy học mới của tôi những năm tiếp theo.
III- ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - PHẠM VI NGHIÊN CỨU :
1- Đối tượng nghiên cứu :
Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số phương pháp PTĐTTNT chương I Đại số 8.
Phân tích sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy được những
lập luận sai hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác.
6
GV: Trần Anh Dũng – THCS Nhật Quang – Phù Cừ – Hưng Yên


HD học sinh lớp 8 phương pháp giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải bài toán về PTĐTTNT.
2- Phạm vi nghiên cứu :
Trong sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu trong phạm vi :
1. Giáo viên dạy toán 8 - THCS
2. Học sinh lớp 8A; 8B- THCS Nhật Quang:
IV- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Đọc tài liệu : Tham Khảo tài liệu chuyên môn có liên quan
+ Sách giáo khoa 8, sách giáo viên, sách bài tập, vở bài tập.
+ Một số vấn đề phương pháp dạy học ở trường phổ thông.
+ Tài liệu bồi dưỡng GV dạy môn toán.
+ Đổi mới phương pháp dạy học toán.
+ Tổng hợp kiến thức Toán 8 THCS.
+ Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8.
 Chọn lọc kiến thức phù hợp với đơn vị. Học hỏi các giải pháp hay đã áp


TR. BÌNH

YẾU

KÉM

SL

TL%

SL

TL

SL

TL

SL

TL

SL

TL

5

7,9

8
GV: Trần Anh Dũng – THCS Nhật Quang – Phù Cừ – Hưng Yên


HD học sinh lớp 8 phương pháp giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

- Khi kiểm tra miệng, 15 phút, 1 tiết tôi phân loại học sinh yếu, trung bình, khá,
giỏi cập nhật vào sổ điểm riêng. Từ đó giáo viên tìm ra các giải pháp thích hợp cho
từng đối tượng học sinh.
g.Giả thiết khoa học.
- Qua các nội dung chương trình Sách giáo khoa, nếu tổ chức dạy học theo
hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh và kết hợp với các tiết luyện
tập, ôn tập khắc sâu bằng bài học kinh nghiệm hợp lí có thể góp phần nâng cao
chất lượng giảng dạy bộ môn.

B- NỘI DUNG – PHƯƠNG PHÁP
PHẦN 1: CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI
- Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử.
1) Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản
+ Phương pháp đặt nhân tử chung
+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
2) Đối với học sinh trung bình: Vận dụng và phát triển kỹ năng
+ Phối hợp nhiều phương pháp ( các phương pháp trên)
Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.
Cũng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kỹ năng thực hành.
Tìm cách giải hay, khai thác bài toán.
3) Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy
+ Phương pháp tách hạng tử

GV: Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong các hạng tử trên?
HS: 7 vì ƯCLN (14, 21, 28) = 7.
GV: Tìm nhân tử chung của các biến x2y, xy2, x2y2 ?
10
GV: Trần Anh Dũng – THCS Nhật Quang – Phù Cừ – Hưng Yên


HD học sinh lớp 8 phương pháp giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

HS: xy
GV: Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là gì?
HSS: 7xy
Giải:
14x2y + 21 xy2 - 28 x2y2 = 7xy. 2x + 7xy. 3y - 7xy. 4xy
= 7xy. (2x + 3y - 4xy).
VD3: Phân tích đa thức 3x( x – y) – 2( y – x)2 thành nhân tử.
Cách giải sai:
3x( x – y) – 2( y – x)2 = 3x( x – y) + 2( x - y)2
= ( x – y) [3x + 2( x – y)]
= ( x – y)(5x – 2y).
Sai lầm:
- Thực hiện đổi dấu sai: 3x( x – y) – 2( y – x)2 = 3x( x – y) + 2( x - y)2
- Sai lầm là do đổi dấu ba nhân tử: - 2 và ( y – x)2 của tích – 2( y – x)2
Vì – 2( y – x)2 = - 2( y – x)( y –x).
Cách giải đúng:
3x( x – y) – 2( y – x)2 = 3x( x – y) - 2( x - y)2
= ( x – y) [3x - 2( x – y)]
= ( x – y)(-2y + x).
Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:
- Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử.

dưới dạng phức tạp hơn.
+ Phân tích đa thức ( x + y )3 – ( x – y )3 thành nhân tử.
+ Phân tích đa thức a6 – b6 thành nhân tử.
Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:
- Quy tắc dấu ngoặc.
12
GV: Trần Anh Dũng – THCS Nhật Quang – Phù Cừ – Hưng Yên


HD học sinh lớp 8 phương pháp giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

- Kỹ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán dựa vào các hạng tử, số mũ
của các hạng tử để sử dụng hằng đẳng thức thích hợp, chính xác.
3) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:
Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có nhân tử
chung hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức.
Cách làm:
+ Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm.
+ Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
+ Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.
VD6: Phân tích đa thức 2x2 – 2xy + x – y thành nhân tử.
Cách 1: ( 2x2 – 2xy ) + ( x – y )
Cách 2: ( 2x2 + x ) - (2 xy + y )
Cách giải sai:
2x2 – 2xy + x – y = ( 2x2 – 2xy ) + ( x – y )
= 2x( x – y ) + ( x – y )
= ( x – y )( 2x + 0)
Sai lầm: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung.
Cách giải đúng:
2x2 – 2xy + x – y = (2 x2 – 2xy ) + ( x – y )

+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
VD9: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử.
GV: Xét từng phương pháp
HS: Thường mắc sai lầm là giải chưa hoàn chỉnh như sau:
° x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9 )
° x4 – 9x3 + x2 – 9x = ( x4 – 9x3 ) + ( x2 – 9x)
= x3( x – 9 ) + x( x – 9 )
14
GV: Trần Anh Dũng – THCS Nhật Quang – Phù Cừ – Hưng Yên


HD học sinh lớp 8 phương pháp giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

= ( x – 9 )( x3 + x )
Cách giải đúng:
x4 – 9x3 + x2 – 9x = x( x3 – 9x2 + x – 9 )
= x[(x3 – 9x2 ) + ( x – 9 )]
= x[x2( x – 9 ) + 1. ( x – 9 )]
= x( x – 9 )(x2 + 1)
VD10: Phân tích đa thức A = ( x + y + z )3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử.
Gợi ý: Aùp dụng hằng đẳng thức:
( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
= A3+ B3 + 3AB( A + B)
⇒ A3+ B3 = ( A + B )3 – 3AB( A + B)

Giải:
A = ( x + y + z )3 – x3 – y3 – z3
= [( x + y ) + z]3 – x3 – y3 – z3
= ( x + y )3 + z3 + 3z( x + y )( x + y + z ) – x3 – y3 – z3
= [( x + y )3 – x3 – y3 ] + 3z( x + y )( x + y + z )

= ( 3x – 2 )( x – 2 )
- Cách 2: Tách hạng tử - 8x
f(x) = 3x2 – 8x + 4
= 3x2 – 6x – 2x + 4
= 3x( x – 2 ) – 2( x – 2 )
= ( x – 2 )( 3x – 2 )
- Cách 3: Tách hạng tử 4
f(x) = 3x2 – 8x + 4
= 3x2 – 12 – 8x + 16
= 3( x2 – 22 ) – 8( x – 2 )
16
GV: Trần Anh Dũng – THCS Nhật Quang – Phù Cừ – Hưng Yên


HD học sinh lớp 8 phương pháp giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

= 3( x + 2 )( x – 2 ) – 8( x – 2 )
= ( x – 2 )( 3x + 6 – 8 )
= ( x – 2 )( 3x – 2 )
* Nhận xét:
- Cách 1: Tách hạng tử 3x2 làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương.
- Cách 2: Tách hạng tử - 8x làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau từ
đó xuất hiện nhân tử chung ( x – 2 ).
- Cách 3: Tách hạng tử 4 làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung.
Như vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác nhằm làm xuất hiện các
phương pháp đã học như đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều
hạng tử là khâu quan trọng và cần thiết đối vối học sinh trong việc giải bài toán
phân tích đa thức thành nhân tử.
Khai thác cách giải: Tách hạng tử - 8x
Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + 4 có các hệ số ở các số hạng là: 3, -6, -2, 4 tỉ lệ

* Lưu ý:
Đối với đa thức từ bậc ba trở lên để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc
điểm của các hệ số mà vận dụng cách tách hạng tử cho phù hợp nhằm vận dụng
được các phương pháp phân tích cơ bản đã học.
VD13: Phân tích đa thức f(x) = x4 – 30x2 + 31x – 30 thành nhân tử.
Gợi ý:
Tách như sau: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30
Giải:
f(x) = x4 – 30x2 + 31x – 30
= x4 + x – 30x2 + 30x – 30
= x( x3 + 1 ) – 30( x2 – x + 1 )
= x( x + 1 )( x2 – x + 1 ) – 30( x2 – x + 1 )
= ( x2 – x + 1 )( x2 + x – 30 )
= ( x2 – x + 1 )( x – 5 )( x + 6 ).
2)Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:
Sử dụng cho các bài tập không thể áp dụng ngay được ba phương pháp cơ bản
đã học để giải.
18
GV: Trần Anh Dũng – THCS Nhật Quang – Phù Cừ – Hưng Yên


HD học sinh lớp 8 phương pháp giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

Cách làm:
Phải thêm bớt cùng một hạng tử nào đó để đa thức chuyển về dạng hiệu hai
bình phương hoặc áp dụng phương pháp nhóm.
VD14: Phân tích đa thức f(x) = x4 + 4 thành nhân tử.
Giải:
f(x) = x4 + 4
= x4 + 4x2 + 4 – 4x2

1)Biện pháp:
- Để thực hiện tốt kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử giáo
viên cần củng cố các kiến thức cơ bản sau cho học sinh :
+ Các phép tính, các phép biến đổi, quy tắc dấu và quy tắc dấu ngoặc ở lớp
6,7.
+ Đầu chương trình lớp 8 là phép nhân: Đơn thức với đa thức, đa thức với đa
thức, các hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh cần:
+ Quan sát đặc điểm của bài toán: Nhận xét quan hệ giữa các hạng tử trong bài
toán.
+ Nhận dạng bài toán: Bài toán thuộc dạng nào? Aùp dụng phương pháp nào
để giải cho phù hợp.
* Lưu ý:
° Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử.
° Trong phương pháp nhóm các hạng tử học sinh thường nhóm chưa hợp lý và đặt
sai dấu.
- Việc giải bài toán theo các định hướng trên tạo cho học sinh thói quen học
tập, biết quan sát và nhận dạng bài toán, có cách nhận xét bài theo quy trình nhất

20
GV: Trần Anh Dũng – THCS Nhật Quang – Phù Cừ – Hưng Yên


HD học sinh lớp 8 phương pháp giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

định từ đó biết lựa chọn phương pháp giải thích hợp vận dụng cho từng bài toán, sử
dụng thành thạo kỹ năng giải tóan, rèn khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo.
2)Kết quả:
Các biện pháp trên góp phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh được
thống kê qua các giai đoạn như sau:

52,4%

30

47,6%

45

71,4%

18

28,6%

Trước khi áp dụng phương pháp trên tôi nhận thấy nhiều học sinh nhìn nhận
giải quyết bài toán chưa đúng, chưa biết quan sát để thấy được đặc điểm của đề bài,
chưa nắm được phương pháp giải từng dạng toán. Cho nên nhiều học sinh làm bài
còn mơ hồ, trình bày không khoa học thiếu tính logíc, kỹ năng biến đổi còn hạn chế
và chưa biết tự kiểm tra kết quả.
Qua thực tế giảng dạy từ khi áp dụng phương pháp này tôi nhận thấy học sinh
nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ cách giải toán ở dạng bài tập này. Phương pháp
này giúp cho các học sinh yếu, học sinh trung bình nắm vững chắc về cách phân
tích đa thức thành nhân tử trong chương trình đã học và rèn kỹ năng thực hành theo
hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức ở những mức độ khác nhau thông qua các
dạng bài tập. Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá, giỏi có điều kiện tìm hiểu
thêm một số phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn phát huy
được tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học sinh trong việc học toán.
21
GV: Trần Anh Dũng – THCS Nhật Quang – Phù Cừ – Hưng Yên




HD học sinh lớp 8 phương pháp giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

động đến từng đối tượng sao cho phù hợp. Chẳng hạn đối với học sinh yếu, kém,
trung bình nên gợi ý tỉ mỉ, học sinh khá, giỏi cần nêu nét cơ bản hướng học sinh
theo con đường cần đi đến. Nên để cho học sinh tích cực tìm tòi sáng tạo như vậy
mới phát triển tư duy trí tuệ cho học sinh.
E- NHỮNG VẤN ĐỀ BỎ NGỎ VÀ ĐIỀU KIỆN THỰC HIỆN ĐIỀU KIỆN
I-

Những vấn đề bỏ ngỏ
- Đề tài có nội dung kiến thức tương đối rộng gần như xuyên suốt chương

trình đại số 8, được áp dụng để nâng cao chất lượng học sinh đại trà và bồi dưỡng
học sinh giỏi. Vì vậy việc tổ chức cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản theo
yêu cầu của chương trình, có kỹ năng giải toán thành thạo là hết sức quan trọng.
Việc áp dụng đề tài này cần phải có thời gian, phải được tiến hành một cách hệ
thống. Do vậy hình thức tổ chức là các buổi luyện tập, ôn tập giáo viên phân dạng
bài tập và trình bày theo hệ thống kiến thức. Tuy nhiên vì điều kiện thời gian có
hạn, những vấn đề tôi đưa ra chỉ là phương pháp giải và các ví dụ minh hoạ còn ít,
khai thác cách giải còn hạn chế, những vấn đề này tôi sẽ tiếp tục hoàn thiện các
năm sau.
II. Điều kiện thực hiện
* Giáo viên:
- Giáo viên nhiệt tình say mê tìm tòi nghiên cứu, chịu học hỏi để tìm ra cách
hướng dẫn có hiệu quả giúp học sinh nhớ lâu, nắm chắc hơn dạng toán mà các em
đã học.
- Có thái độ rõ ràng với việc học tập của học sinh: khích lệ kịp thời nhưng
cũng phê bình nghiêm túc.

GV: Trần Anh Dũng – THCS Nhật Quang – Phù Cừ – Hưng Yên


HD học sinh lớp 8 phương pháp giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

- Trang bị sách nâng cao, sách tham khảo cho học sinh và giáo viên, có tủ sách
cho HS mượn học tập.
- Cần tổ chức nhiều hơn các chuyên đề giảng dạy để giáo viên học hỏi trao đổi
kinh nghiệm về phương pháp giảng dạy.
- Trang bị phương tiện dạy học hiện đại giúp giáo viên có những tiết dạy hay,
sinh động phù hợp với đặc điểm tâm lý lứa tuổi học sinh.
2- Đối với giáo viên
- Khi hướng dẫn học sinh nắm kiến thức cần gợi mở cho các em tư duy suy
nghĩ, tìm tòi phát hiện ra kiến thức của bài. Giáo viên luôn phải có phương pháp
đổi mới gây hứng thú học tập cho học sinh, không làm thay, làm hộ học sinh. Tìm
tòi, sáng tạo những trò chơi phù hợp với nội dung kiến thức, đảm bảo tính chính
xác và đặc điểm tâm sinh lý của học sinh THCS.
- Khắc phục kịp thời những sai lầm của học sinh và động viên kịp thời các em
tiến bộ.
- Kết hợp chặt chẽ giữa nhà trường và gia đình- xã hội trong giáo dục học sinh.
- Giáo viên cần nghiên cứu kĩ nội dung và chương trình sách giáo khoa, soạn
giáo án cụ thể và chi tiết, đồ dùng dạy học và thiết bị dạy học sao cho sinh động và
thu hút đối tượng học sinh tham gia.
- Giáo viên cần phải tích cực học hỏi và tham gia chuyên đề, hội thảo của tổ,
nhóm và nhà trường, cum tổ chức, tham gia tích cực và nghiên cứu tài liệu về bồi
dưỡng nâng cao.
3- Đối với học sinh
25
GV: Trần Anh Dũng – THCS Nhật Quang – Phù Cừ – Hưng Yên