Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHUYÊN ĐỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC
THÀNH NHÂN TỬ TOÁN 8
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
– Tìm nh}n tử chung l{ những đơn, đa thức có mặt trong tất cả c|c hạng tử.
– Ph}n tích mỗi hạng tử th{nh tích của nh}n tử chung v{ một nh}n tử kh|c.
– Viết nh}n tử chung ra ngo{i dấu ngoặc, viết c|c nh}n tử còn lại của mỗi hạng tử v{o trong
dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).
Ví dụ 1

h nt h

th

s u th nh nh n t

28a2b2 - 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab - 3b + 2a)
2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y - z) – 5y(y - z) = (y – z)(2 - 5y)
xm + xm + 3 = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1)
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
- Dùng c|c hằng đẳng thức đ|ng nhớ để ph}n tích đa thức th{nh nh}n tử.
- C n chú đến vi c v n d ng hằng đẳng thức.
Ví dụ 2

h nt h

th

s u th{nh nh}n tử

- Dùng hằng đẳng thức.
- Nhóm nhiều hạng tử.
Ví dụ 4

h nt h

th

s u th nh nh n t

3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2
3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy =
= 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1)
= 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]
= 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2]
= 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)]
= 3xy( x –1 – y – a)(x – 1 + y + a)
II. PHƯƠNG PHÁP TÁCH

T H NG TỬ TH NH NHIỀU H NG TỬ

1. Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)
a) C|ch 1 (t|ch hạng tử b c nhất bx):
Bước 1: Tìm tích ac, rồi ph}n tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi c|ch.
a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = …
Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng bằng b, chẳng hạn chọn tích a.c = a i.ci với b = ai + ci
Bước 3: T|ch bx = aix + cix. Từ đó nhóm hai số hạng thích hợp để ph}n tích tiếp.
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

d) C|ch 4 (t|ch 2 số hạng, 3 số hạng)
f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2)
f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3x + 2)
e) C|ch 5 (nhẩm nghi m): Xem ph n III.
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Chú : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c thì ta t|ch như sau :
f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c)
Ví dụ 6

h}n tí h

thứ f(x) = 4x2 - 4x - 3 thành nhân tử

Hướng dẫn
T thấy 4x2 - 4x = (2x)2 - 2 2x Từ ó t

ần thêm v{ bớt 1 2 = 1 ể xuất hiện hằng ẳng thứ

Lời giải
f(x) = (4x2 – 4x + 1) – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1)
Ví dụ 7



ng t nh ph n t h

th

f(x) = x 2 + bx + c.

Ta t h h ng t th 2
2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y)
= (x - 2y)(2x - y)
a)

h n x t z - x = -(y - z) - (x - y)

W: www.hoc247.net

v y t t h h ng t th h i u

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

th


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) =
= (y - z)(x2 - y2) - (x - y)(y2 - z2) = (y - z)(x - y)(x + y) - (x - y)(y - z)(y + z)
= (x - y)(y - z)(x - z)

= (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 2 : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2)
= (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 3 : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4)
= x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 4 : f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2)
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

= (x + 2)(x2 – x + 2).
Từ ịnh lí trên, t

ó | hệ quả s u

H quả 1. Nếu f(x) có tổng c|c h số bằng
nh}n tử l{ x – 1.

thì f(x) có một nghi m l{ x = 1. Từ đó f(x) có một

Chẳng hạn, thứ x3 – 5x2 + 8x – 4 có 1 + (–5) + 8 + (–4) = 0 nên x = 1 l{ một nghiệm ủ
thứ Đ thứ ó một nh}n tử l{ x – 1 T ph}n tí h nh s u
f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1)
= (x – 1)( x – 2)2
H quả 2. Nếu f(x) có tổng c|c h số của c|c luỹ thừa b c chẵn bằng tổng c|c h số của c|c luỹ

ủ 18 l{ ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18

f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± 1 không phải l{ nghiệm ủ f(x)
Dễ thấy không l{ số nguyên nên –3, ± 6, ± 9, ± 18 không l{ nghiệm ủ f(x) Chỉ òn –2 và 3.
Kiểm tr t thấy 3 l{ nghiệm ủ f(x) Do ó, t t| h | hạng tử nh s u
f(x) = 4x3 – 12x2 – x2 + 3x + 6x – 18
= 4x2(x-3) – x(x – 3) + 6(x – 3) (0) = (x – 3)(4x2 – x + 6)

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

H quả 4. Nếu ( an , an1 ,..., a1 , a0 l{ c|c số nguyên) có nghi m hữu tỉ x 

p
, trong đó p, q
q

Z và

(p , q)=1, thì p l{ ước a0, q l{ ước dương của an .
Ví dụ 10

h}n tí h


Cách 2 : x4 + x2 + 1 = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1)
= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Cách 3 : x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1)
= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Ví dụ 13

h}n tí h

thứ x4 + 16 th{nh nh}n tử

Lời giải
Cách 1 : x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
Cách 2 : x4 + 4 = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4)
= (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
2. Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Ví dụ 14

h nt h

th


u h

V. PHƯƠNG PHÁP Đ I BI N
Đặt ẩn ph để đưa về dạng tam thức b c hai rồi sử d ng c|c phương ph|p cơ bản.
Ví dụ 16

h nt h

th

s u th nh nh n t

x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
Lời giải
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

nh n t l


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Đ t x2 + 10x + 12 = y,

th



d

i d ng

1
1
 y th x 2  2  y2  2 Do o
x
x

A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2
2

 

1
=  x  x    3x  = (x2 + 3x - 1)2.
x
 

D ng ph n t h n y ung ung v i x = 0
C|ch 2. A = x4 + 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + 1 = x4 + (6x3 -2x2) + (9x2 - 6x + 1)
= x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2.
VI. PHƯƠNG PHÁP H
Ví dụ 18

h nt h

B T Đ NH


X t bd= 3 v i b, d Î Z, b Î {± 1, ± 3

i b = 3 th d = 1, h

i u ki n tr n tr th nh

a  c  6

 2c = -14 - (-6) = -8 Do o = -4, a = -2.
ac  8
a  3c  14

ậy x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1).
VII. PHƯƠNG PHÁP X T GIÁ T

IÊNG

Trong ph ng ph p n y, tr
h tt x
inh d ng
nh n t
roi g n ho
bi n
gi tri u th
x
inh
nh n t on l i
Ví dụ 19


4.1 + 1.(–2) + 0 = k.1.1.(–2) suy ra k =1
Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z)
VIII. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ

T

ĐA THỨC Đ C BI T

1. Đưa về đa thức a3 + b3 + c3 - 3abc

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Ví dụ 20
a)

h nt h

th

s u th nh nh n t

a3 + b3 + c3 - 3abc.



s u th nh nh n t

a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3.
b) 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3.
Lời giải
a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b) + c]3 - a3 - b3 - c3
= (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) - a3 - b3 - c3
= (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) - (a + b)(a2 - ab + b2)
= (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) - (a2 - ab + b2)]
= 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a).
b) Đ t x + y = , y + z = b, z + x = th
W: www.hoc247.net

+ b + = 2( + b + )

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Đ th

ho o d ng ( + b + )3 - a3 - b3 - c3

Th o k t qu



21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

(a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4c2
4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2
a 4 + b4 + c4 – 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c2
a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3)
a 6 – a4 + 2a3 + 2a2
(a + b)3 – (a – b)3
X 3 – 3x2 + 3x – 1 – y3
X m + 4 + xm + 3 – x - 1
(x + y)3 – x3 – y3
(x + y + z)3 – x3 – y3 – z3

12. a 2 + 2ab + b2 – 2a – 2b + 1

31. (b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)3

13.
14.
15.

x2 – 7xy + 10y2

24.

x4 – 7x2 + 1

3.

a2 – 5a - 14

25.

4x4 – 12x2 + 1

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

4.

2m2 + 10m + 8

26.

x2 + 8x + 7


3x2 – 16x + 5

9.

x4 + 4x2 + 5

31.

8x2 + 30x + 7

10. x3 – 10x - 12

32.

2x2 – 5x – 12

11. x3 – 7x - 6

33.

6x2 – 7x – 20

12. x2 – 7x + 12

34.

x2 – 7x + 10

13. x2 – 5x – 14


40.

x3 – 19x + 30

19. x4 – 34x2 + 225

41.

x3 + 9x2 + 26x + 24

20. 4x4 – 37x2 + 9

42.

4x2 – 17xy + 13y2

21. x4 + 3x3 + x2 – 12x - 20

43.

- 7x2 + 5xy + 12y2

22. 2x4 + 5x3 + 13x2 + 25x + 15

44.

x3 + 4x2 – 31x - 70

Bài tập 3 Phân tích đa thức thành nhân tử.

8.
9.
10.
11.
12.

32x4 + 1
x4 + 4y4
x7 + x2 + 1
x8 + x + 1
x8 + x7 + 1

24.
25.
26.
27.
28.

W: www.hoc247.net

x8 - 3x4 + 1
a5 + a4 + a3 + a2 + a + 1
m3 – 6m2 + 11m - 6
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1
x7 + x5 + x4 + x3 + x2 + 1
x5 – x4 – x3 – x2 – x - 2
x8 + x6 + x4 + x2 + 1
x9 – x7 – x6 – x5 + x4 + x3 + x2 + 1


5. 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + 8
6. 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24
7. 15x3 + 29x2 – 8x – 12
8. x4 – 6x3 + 7x2 + 6x – 8
9. x3 + 9x2 + 26x + 24
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bài tập 6 Phân tích đa thức thành nhân tử.
1. a(b + c)(b2 – c2) + b(a + c)(a2 – c2) + c(a + b)(a2 – b2)
2. ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
3. a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2)
4. (x – y)5 + (y – z)5 + (z – x)5
5. (x + y)7 – x7 – y7
6. ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc
7. (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5
8. a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc
9. a3(b – c) + b3(c – a) + c3(a – b)
10. abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) – 1
Bài tập 7 Phân tích đa thức thành nhân tử.
1. (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12
2. (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2
3. (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12
4. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24


H2 khóa nền tảng ki n thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ ăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

-

H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, T

II.

hiên, gữ ăn+ X~ Hội.

Lớp Học Ảo VCLASS
Học Online như Học ở lớp Offline
-

Mang lớp học đ n tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.

-

Lớp học qua mạng, tương tác trực ti p với giáo viên, huấn luyện viên.

-

Học phí ti t kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

-

Mỗi lớp chỉ từ 5 đ n 10 HS giúp t

Các chương trình VCLA


Gi s To|n giỏi ến từ ĐHS , KHT , BK, Ngoại Th ng, Du ho Sinh, i|o viên To|n v{ iảng viên ĐH
Day kèm Toán mọi }p ộ từ Tiểu họ ến ĐH h y | h ng trình To|n Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…

-

Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.

-

Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể |nh gi| năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
ộc lập.

-

Tiết kiệm chi phí và thời gi n ho linh ộng h n giải pháp mời gi s

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

ến nhà.

T: 098 1821 807