Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
SƠ LƯỢC LÍ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1.Họ và tên: VŨ ĐỨC BIÊN
2.Ngày tháng năm sinh: 20/06/1985
3.Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: 340, Tổ 2 ấp 2, Vĩnh Tân, Vĩnh Cửu, Đồng Nai
5. Điện thoại: 0938142284
6. Fax:
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Đơn vị công tác: THCS HIẾU LIÊM
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn nghiệp vụ cao nhất): CĐSP
- Năm nhận bằng: 2006
- Chuyên ngành đào tạo: TOÁN – TIN
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Gỉảng dạy
Số năm có kinh nghiệm: 5
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm
Trang 1
Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài :
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) nghĩa là biến đổi nó thành một tích
của những đơn thức và đa thức.Việc phân tích một đa thức thành nhân tử là một trong
những kĩ năng cơ bản nhất của chương trình đại số bậc THCS. Kĩ năng này được sử
dụng khi giải các bài toán : biến đổi đồng nhất các biểu thức toán học, giải phương
trình ,chứng minh bất đẳng thức, qui đồng mẫu các phân thức, rút gọn phân thức, chứng
minh một số bài toán chia hết. ….
Song việc lựa chọn một phương pháp như thế nào để cho phù hợp với từng bài

- Hệ thống hóa được các phương pháp cơ bản và một số phương pháp nâng cao
để trang bị cho các em học sinh, giúp các em vận dụng một cách linh hoạt các
phương pháp này vào từng dạng bài tập cụ thể để góp phần nâng cao chất lượng
dạy học toán trong nhà trường.
- Nêu ra một số dạng bài tập cơ bản thường gặp và cách giải các bài tập đó.
IV. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 8 trườngTHCS Hiếu Liêm.
Điểm KSCL đầu năm:
Tổ
ng
số
Giỏi Khá Trung bình Yếu
Kém
SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ
43
1 2,3% 7 16,3% 15 34,9% 13 30,2% 7
16,3
%
V.Các phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình làm đề tài này tôi có dùng một số phương pháp nghiên cứu sau:
1. Nghiên cứu lý luận qua đọc sách giáo khoa hướng dẫn giảng dạy, sách tham
khảo, tạp chí toán học có liên quan đến đề tài.
2. Quan sát thực tiễn sư phạm (dự giờ thăm lớp).
3. Tổng kết các kinh nghiệm của đồng nghiệp.
4. Qua thực nghiệm sư phạm bằng các tiết giảng dạy của giáo viên.
5. Tăng cường kiểm tra, trắc nghiệm để nghiệm lại kết quả, từ đó điều chỉnh các
bước cho phù hợp.
Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm
Trang 3
Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
PHẦN 2 : NỘI DUNG

a) 15x
2
y
2
- 5x
2
y - 25xy
2
Giải :
Các hạng tử của đa thức đã cho có thể viết:
15x
2
y
2
= 5xy.3xy
-5x
2
y = 5xy.(-x)
-25xy
2
= 5xy(-5y)
Nhân tử chung của đa thức là : 5xy
Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm
Trang 4
Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Vậy: 15x
2
y
2
- 5x

+6 –(x + 7) – 9]
=( 4x - 8)(x
2
- x - 10)
* PHƯƠNG PHÁP 2: DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC
1. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG:
- Trong nhiều trường hợp ta có thể sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều
biến đổi từ một vế là đa thức sang vế kia là một tích của các nhân tử hoặc lũy thừa
của một đa thức đơn giản hơn.
- Ôn tập các hằng đẳng thức đáng nhớ.
2. PHƯƠNG PHÁP:
- Phát hiện và quy về dạng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Áp dụng các hằng đẳng thức viết các đa thức thành dạng tích của các nhân tử hoặc
lũy thừa của một đa thức đơn giản hơn.
3. CÁC VÍ DỤ:
a/ Ví dụ 1. Phân tích đa thức 4x
2
+ 16x + 16 thành nhân tử:
Giải:
4x
2
+ 16x + 16 = (2x)
2
+ 2.2x.4 + 4
2
=(2x + 4)
2
b/ Ví dụ 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 27 + x
3
y

5
2
3
5
2
5
2
.3.23
25
4
9
5
12
25
4
9
5
12






−−=






+1)
2
=( 2x + x
2
+ 1)(2x – x
2
– 1 )
= -(x + 1)
2
(x -1)
2
e/ Ví dụ 5: (x - y - 1)
2
+ 2(x - y - 1)+ 1
Giải
(x - y - 1)
2
+ 2(x - y -1) + 1
=(x - y -1 +1)
2
=(x - y )
2
* PHƯƠNG PHÁP 3: NHÓM NHIỀU HẠNG TỬ.
1. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG:
- Ôn tập tính chất kết hợp của phép cộng.
- Khi sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp
nhóm nhiều hạng tử ta cần nhận xét đặc điểm của các hạng tử, nhóm các hạng tử
thích hợp nhằm làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức giữa các nhóm.
2. PHƯƠNG PHÁP:
- Phát hiện các hạng tử có chứa nhân tử chung kết hợp chúng thành từng nhóm rồi

15.64 +25.100 + 36.15 + 60.100
= (15.64 + 36.15) +(25 .100 + 60.100)
= 15( 64 + 36) + 100 (25 +60)
= 15.100 + 100.85
=100(15 + 85) = 100 .100 = 10000
c) Ví dụ3: x
2
- 2xy + y
2
- ax + ay
Giải:
x
2
-2xy+y
2
-ax+ay
=( x
2
-2xy+y
2
)-(ax-ay)
=(x-y)
2
-a(x-y)
=(x-y)(x-y-a)
d/ Ví dụ 4 : x
2
- xz – 9y
2
+3yz

– y
2
= (x + 2 – y)(x + 2 + y)
* PHƯƠNG PHÁP 4: PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
1. PHƯƠNG PHÁP :
Trong một số trường hợp ta phải phối hợp các phương pháp để phân tích đa thức
thành nhân tử.
Thông thường để phân tích một đa thức thành nhân tử ta xét đến phương pháp đặt
nhân tử chung trước tiên, tiếp đó xét xem có thể sử dụng được các hằng đẳng thức đã
học hay không.
- Nếu đa thức có nhân tử chung thì đầu tiên nên đặt nhân tử chung ra ngoài dấu
ngoặc. Đa thức trong ngoặc sẽ đơn giản hơn đa thức đã cho, sau đó ta phân tích tiếp
(nếu cĩ thể).
- Nhóm nhiều hạng tử sao cho mỗi nhóm có nhân tử chung hoặc là hằng đẳng thức.
- Phân tích mỗi nhóm để làm xuất hiện tiếp nhân tử chung hoặc là hằng đẳng thức.
2. VÍ DỤ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm
Trang 7
Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
a) ) Ví dụ 1:
2 2
2 2 2x y x xy y− − + −
Giải:
2 2
2 2 2x y x xy y− − + −
=
( )
( )
( ) ( )
2

( )
2 2
2 9x x xy y+ + −
=
( )
2
2
3x x y
 
+ −
 
=
( ) ( )
3 3x x y x y+ − − −
d/ Ví dụ 4 : (xy +4)
2
- 4(x +y)
2
Giải
(xy +4)
2
-4(x +y)
2
=[(xy+4) -2(x +y)][(xy +4)+2(x +y)]
=(xy +4 -2x -2y)(xy +4+2x+2y)
=[x(y -2) – 2(y -2)][x(y +2)+2(y+ 2)]
=(x - 2)(y – 2)(x +2)(y+ 2)
* MỘT VÀI KĨ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC
THÀNH NHÂN TỬ:
1. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ

nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới.
b1 : Tính a.c = 3.(-2) = -6
b2: Phân tích -6 thành tích hai thừa số trái dấu, trong đó thừa số dương có giá trị
tuyệt đối lớn hơn (để tổng hai thừa số bằng 5)
-6 = (-1).6= (-2).3
b3 : Chọn hai thừa số có tổng bằng 5 đó là -1 và 6.
Vậy ta có thể phân tích như sau:
3x
2
+ 5x - 2
= 3x
2
- x + 6x - 2
= (3x
2
- x) + (6x - 2)
= x(3x - 1) + 2(3x - 1)
= (3x - 1)(x + 2)

Chú ý: Đối với tam thức bậc hai ax
2
+ bx + c (a ≠ 0) để thuận tiện khi phân tích
thành nhân tử ta dựa vào nhận xét sau:
- Nếu b
2
- 4ac là bình phương của một số hữu tỷ thì có thể tiếp tục phân tích tam thức
thành nhân tử bằng một trong các phương pháp đã biết hoặc bằng cách đề ra bình
phương đủ.
- Nếu b
2

= − − = − −
 
 ÷  ÷  ÷
     
 
 
+ Nếu f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
thì f(x) = a(x - x
1
)(x - x
2
)
c/ Ví dụ 3:
2
4 3x x− +
Giải
2
4 3x x− +
=
2
3 3x x x− − +
=
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 1 1 3x x x x x− − − = − −


2. THÊM BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ
2.1. PHƯƠNG PHÁP:
Cộng thêm vào đa thức một hạng tử thì đồng thời cũng phải bớt hạng tử đó để
đa thức không đổi.
Khi sử dụng phương pháp này (thêm, bớt) phải nhằm hướng đến xuất hiện hằng
đẳng thức (thường là A
2
- B
2
, A
3
- B
3
… ) hoặc xuất hiện nhân tử chung.
2.2. CÁC VÍ DỤ:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) Ví dụ1: 4y
4
+ 81
Giải:
4 y
4
+ 81
=(2 y
2
)
2
+ 2.18 y
2
+ 9

+ 2)
2
- (2x)
2

= (x
2
+ 2 - 2x)(x
2
+ 2 + 2x)
c/ Ví dụ3: x
7
+ x
2
+ 1
Giải:
x
7
+ x
2
+ 1
= x
7
– x + x
2
+ x + 1
= x(x
6
- 1) + (x
2

4
+ x
3
– x
4
– x
3
– x
2
+ x
2
+ x +1
Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm
Trang 10
Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
= x
3
(x
2
+ x +1 ) – x
2
(x
2
+ x + 1) +(x
2
+ x +1)
=(x
2
+ x +1 )(x
3

3
- x
2
+1)
e/ Ví dụ 5: x
4
+ 5x
3
+ 10x – 4
Giải
x
4
+ 5x
3
+ 10x – 4
= x
4
+ 5x
3
+ 10x – 4 +2x
2
– 2x
2
=(x
4
+5x
3
-2x
2
) +(2x

A = t(t + 1) – 2
= t
2
+ t – 1 - 1
= (t
2
- 1) + (t - 1)
= (t -1)(t + 1) + (t - 1)
= (t - 1)(t + 1 + 1)
= (t - 1)(t + 2)
Thay trở lại ta có: A = (x
2
+ x - 1)(x
2
+ x + 2)
b/Vídụ 2: B = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
Giải:
Ta có: B = x(x + 10)(x + 4)(x + 6) + 128
= ( x
2
+10x)(x
2
+10x+24)+128
Đặt t =x
2
+10x+12:
B = (t-12)(t+12)+128
= t
2
-16

=(y -4)(y +4)
Thay trở lại ta có:
(x
2
+10x +16)(x
2
+10x +8)
=(x +2)(x +8)(x
2
+10x + 8)
Nhận xét: ở ví dụ a) nhờ đặt ẩn phụ ta đã đưa đa thức bậc bốn đối với x thành đa
thức bậc hai đối với y.

Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm
Trang 12
Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Qua thực tế ứng dụng đề tài này, trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy:
-Việc tổ chức giờ dạy trở nên sinh động, học sinh mạnh dạn trình bày ý kiến của
mình để thực hành giải toán phân tích đa thức thành nhân tử rất tự tin và chính xác.
-Học sinh rất thích thú trong việc giải dạng toán này và tính ứng dụng của nó.
-Trong thực hành giảng dạy trên lớp giáo viên đã tạo ra không khí học tập sôi nổi
trong học sinh, tạo ra sự thi đua trong học tập, học sinh chăm chú nghe giảng và
tham gia hoạt động tìm kiếm kiến thức rất chủ động, tích cực. Chính vì vậy mà qua
kiểm tra đánh giá chất lượng đạt như sau :
Điểm kt 45’

Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm
Trang 13
Tổ

vận dụng nó để giải một số dạng toán có liên quan như giải phương trình bậc cao, rút
gọn biểu thức v.v…
Nhờ đó khi học sinh thực hành dạng toán này không bị lúng túng đồng thời góp
phần đáng kể nâng cao chất lượng dạy học môn toán trong nhà trường.
Thực tế qua trực tiếp giảng dạy môn toán lớp 8 tôi đã mạnh dạn ứng dụng đề tài
này và chất lượng giảng dạy được nâng lên rõ ràng. Tỷ lệ học sinh khá giỏi cũng được
nâng dần, học sinh yếu kém đã giảm nhiều.
Tuy nhiên, sự hạn chế và thiếu sót của đề tài là không thể tránh khỏi, rất mong
được sự góp ý xây dựng chân thành của quý Thầy, Cô giáo.

Người thực hiện
Vũ Đức Biên

Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm
Trang 14
Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. [19] Ôn tập đại số 8 - Nguyễn Ngọc Đạm - Vũ Dương Thụy -Nhà xuất bản Giáo
Dục – 2004.
2. [29 37] Luyện tập đại số 8 - Nguyễn Bá Hòa - Nhà xuất bản Giáo dục – 2004
3. [24 33] Những bài toán cơ bản và nâng cao chọn lọc toán 8 – Tập 1- Lê Thị
Hương – Nguyễn Kiếm - Hồ Xuân Thắng - Nhà xuất bản Đại học sư phạm Hà Nội
– 2004.
4. [12 15] Phương pháp giải các dạng toán 8 - Nguyễn Văn Nho - Nhà xuất bản
Giáo dục – 2004.
5. [5 7] Bài tập toán 8 tập 1 - Tôn Thân (chủ biên) - Nhà xuất bản Giáo dục – 2004.
6. [18 25] Toán 8 tập 1- Tôn Thân (chủ biên) -Nhà xuất bản Giáo dục – 2004.
7. [25 30] - SGVToán 8 - Tôn Thân (chủ biên) - Nhà xuất bản Giáo dục – 2004.

Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm

trong phạm vi rộng:
Tốt Khá Đạt
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Kí ghi rõ họ tên) (Kí ghi rõ họ tên)
Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm
Trang 16