Sáng kiến kinh nghiệm:
Giải pháp thực hiện phép nhân, chia đa thức và phân tích đa thức
thành nhân tử và ứng dụng của nó
Phần thứ nhất
Đặt vấn đề
1.1. Lý do chọn sáng kiến.
Trong trường THCS việc nâng cao chất lượng dạy và học là vấn đề
thường xuyên, liên tục và cực kỳ quan trọng. Để chất lượng học sinh ngày
càng được nâng cao yêu cầu người giáo viên phải có một phương pháp
giảng dạy phù hợp và hệ thống bài tập đa dạng, phong phú đối với mọi đối
tượng học sinh.
Qua thời gian dạy lớp 8, tôi thấy khi giảng dạy Chương I phép nhân
và phép chia các đa thức, và phân tích đa thức thành nhân tử học sinh
thường làm sai đáp số….đối với học sinh lớp 8 đều cần phải thực hiện
thành thạo phép nhân chia đa thức và biến đổi đa thức thành nhân tử. Chính
vì vậy người giáo viên khi dạy học sinh học toán phải cung cấp cho các em
một cách hệ thống các phương pháp thực hiện nhanh các phép toán nhân
chia đơn thức đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử vì nó là công cụ
giải toán rất hữu hiệu, giải quyết hầu hết các dạng toán trong chương I môn
Đại số lớp 8.
Các vấn đề trong sáng kiến đều được lựa chọn để mọi đối tượng học
sinh đều có thể tiếp thu được. Ngoài ra trong sáng kiến một số vấn đề khó
được diễn đạt một cách đơn giản, dễ hiểu, các lời giải, trình bày ngắn gọn
để vừa tăng lượng thông tin trong khuôn khổ có hạn của sáng kiến, vừa
dành lại phần độc lập nghiên cứu cho học sinh, đồng thời nêu bật những
khâu mấu chốt của lời giải.
Xuất phát từ yêu cầu và mong ước trên, tôi đã chọn sáng kiến: “ Giải
pháp thực hiện phép nhân, chia đa thức và phân tích đa thức thành
nhân tử và ứng dụng của nó”.
1
1.2. Mục đích của sáng kiến:

2 . 5
2
x x x
 
− + −
 ÷
 
Để học sinh thực hiện được nhanh và chính xác kết quả của bài toán
trước khi dạy bài này cho học ôn tập lại phép nhân đơn thức với đơn thức
đã học ở lớp 7
Gọi 3 học sinh: Học sinh 1 thực hiện phép tính
( ) ( )
3 2 5
2 . 2x x x
− = −
Học sinh 2 thực hiện phép tính
( ) ( )
3 4
2 .5 10x x x
− = −
Học sinh 3 thực hiện phép tính
( ) ( )
3 3
1
2 .
2
x x
 
− − =
 ÷

thể dễ dàng thực hiện phép nhân đa thức với đa thức.
Ví dụ:
( )
2
1
2 . 6 5
2
x x x
 
− − +
 ÷
 
.
Gọi 2 học sinh : Học sinh 1 thực hiện phép tính
2
1
. 6 5
2
x x x
 
− +
 ÷
 
Học sinh 2 thực hiện phép tính
2
1
2. 6 5
2
x x
 

1
6 5
2
x x
 
− +
 ÷
 
2.2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích đa thức thành nhân tử ( hay thừa số) là biến đổi thành tíc của
những đa thức bậc nhỏ hơn.
Ví dụ: x
3
+ y
3
= ( x + y) (x
2
+ xy + y
2
)
Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp.
2.2.1.Phương pháp 1 : Đặt nhân tử chung ( thừa số).
* Các ví dụ: phân tích đa thức thành nhân tử.
a. 12x
2
y – 18y
3
.

b. 3x

( 3y –z) + ( z- 3y)( x + y).
Có thể viết: 2x
2
( 3y –z) - (3y - z)( x + y) và xuất hiện nhân tử chung là (3y –z).
2.2.2.Phương pháp 2: Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
* Các ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a. 4x
2
-12x +9. c. 16x
2
– 9( x +y)
2
.
b. 27 –27x +9x
2
–x
3
. d. 1 – 27x
3
y
6
.
Giải
a. 4x
2
-12x +9 = ( 2x)
2
– 2.2x.3 + 3
2
= ( 2x – 3)

= 1
3
– (3xy
2
)
3
= ( 1- 3xy
2
)(1+ 3xy
2
+ 9x
2
y
4
).
* Chú ý. Đôi khi phải đổi dấu mới áp dụng được hằng đẳng thức,
chẳng hạn:
-x
4
y
2
– 8x
2
y – 16 = -( x
4
y
2
+ 8x
2
y +16) = - ( x

- 1.
5
= ( x - 2)( x - 4).
Cách 3. x
2
– 6x + 8 = x
2
– 4x + 4 - 2x +4.
= ( x - 2)
2
– 2( x - 2 ).
= ( x - 2) ( x - 4).
Cách 4 . x
2
– 6x + 8 = x
2
–4 - 6x + 12.
= ( x - 2)( x + 2) – 6( x - 2).
= ( x - 2) ( x-4).
Cách 5 . x
2
– 6x + 8 = x
2
–16 - 6x + 24.
= ( x - 4)( x+ 4) – 6( x - 4).
= ( x - 2) ( x- 4).
Cách 6 . x
2
– 6x + 8 = 3x
2

2
= a.c.
Trong thực hành ta làm như sau:
Bước 1: tìm tích a.c
Bước 2: phân tích ac thành tích của hai thừa số, hai thừa số này cùng dấu
nhau (vì tích của chúng bằng 8) và cùng âm ( vì tổng của chúng bằng -6).
Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 9x
2
+ 6x - 8.
Giải
cách 1. tách hạng tử thứ hai.
9x
2
+ 6x – 8 = 9x
2
- 6x + 12x - 8.
= 3x( 3x – 2) + 4( 3x – 2).
6
= ( 3x – 2)( 3x + 4)
Chú ý: hệ số 6 được tách thành -6 và 12 vì tích của ac = 9.(-8) = 72.
Cách 2. Tách hạng tử thứ ba.
9x
2
+ 6x – 8 = 9x
2
+ 6x + 1 - 9.
= ( 3x + 1)
2
– 3
3

= ( x - y)(4x-3y)
Cách 2: 4x
2
– 7xy + 3y
2
= 4x
2
– 8xy + xy + 4y
2
– y
2

= 4(( x- y)
2
+ y(x - y)
= ( x - y)(4x - 3y)
b. Đa thức bậc hai ax
2
+ bx + c không phân tích thành tích các nhân tử
trong phạm vi số hữu tỷ, nếu theo cách 1 khi phân tích a.c ra tích 2 thừa số
nguyên bằng mọi cách không có hai thừa số nào có tổng bằng b, hoặc theo
cách hai sau khi đưa ra đa thức bậc hai về dạng a(x
2
– k) thì k không phải là
bình phương của một số hữu tỷ.
Chẳng hạn đa thức x
2
+ 4x + 6 có tích a.c = 6 = 1.6= 2.3 , nhưng
không có hai thừa số nào có tổng bằng 4.
7

f
a
−
và
( 1)
1
f
a
−
+
đều là số nguyên.
Ví dụ : f(x) = 4x
3
- 13x
2
+ 9x – 18.
Có các ước của 18 là:
1; 6; 9; 18
± ± ± ±

2; 3
± ±

f(1) = -18. f(1) = -44. Hiển nhiên
1
±
không là nghiệm của f(x) .
Ta thấy
18 18 18 18
; ; ;

+8x – 4 = x
3
– x
2
+ 4x + 4x – 4
= x
2
(x-1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) .
= (x-1)(x
2
– 4x + 4) = (x -1)(x-2)
2
.

Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: x
3
- 5x
2
+3x +9.
Ta thấy các hệ số của đa thức 1+ 3 = -5 +9, nên đa thức đã cho có
nghiệm là -1, đa thức chứa thừa số x+1.
Ta tách như sau: x
3
– 5x
2
+ 3x +9 = x
3
– 6x + x – 6x + 9x + 9.
= x
2

+ x + 2).
Ví dụ 4: 2x
3
–x
2
+5x +3.
Ta thấy
1; 3
± ±
không là nghiệm của đa thức , xét các số hữu tỷ dạng p/q
với p là Ư
(2)
và q là Ư
(3)
gồm
1 3
;
2 2
± ±
. Ta có
1
2
−
là nghiệm của đa thức nên
chứa thừa số 2x + 1.
Vậy: 2x
3
– x
2
+5x +3 = 2x

của hằng đẳng thức A
2
+2AB + B
2
còn thiếu 2AB, cần
thêm bớt 2.2x
2
.9 để làm xuất hiện hằng đẳng thức.
Ta có : 4x
4
+ 81 = (2x
2
)
2
+ 2.2x
2
.9 + 9
2
– 2.2x
2
.9
= (2x
2
+ 9)
2
– (6x)
2
= (2x
2
– 6x + 9)(2x

* Các ví dụ.
Ví dụ 1: ( x
2

+x)
2
+ 4x
2
+ 4x – 12
Ta thấy nếu đặt (x
2
+ x) = y thì đa thức có dạng y
2
+ 4y -12.
Ta có: y
2
+ 4y – 12 = y
2

+ 6y – 2y – 12
= y(y + 6) – 2(y + 6)
= (y+ 6)(y – 2).
Tương đương với: (x
2
+ x +6)(x
2
+ x – 2) = (x
2
+ x +6)(x + 2)(x – 1).
Ví dụ 2: (x +2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 .

Các hệ số -1;1; -3; 3 không phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thức
không có nghiệm hữu tỷ.
Như vậy đa thức trên khi phân tích sẽ có dạng: (x
2
+ ax + b)(x
2
+ cx + d).
Phép nhân này cho kết quả: x
4
+ (a+c)x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad + bc)x + bd
Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta được:
a +c = -6
ac + b + d = 4
ad + bc = 14
bd = 3
Xét db =3 với b,d thuộc Z,
{ }
1; 3b
∈ ± ±
; với b =-3 thì d = -1.
Khi đó a+ c =-6 ac = 8 -a –3c = 14
Suy ra: a =-2; c= -4,
vậy đa thức được phân tích thành: (x
2
- 2x - 3)(x
2

-2x – 3)
= (x
2
- 2x - 3)(x
2
- 4x - 1).
2.3.6. Phương pháp xét giá trị tuyệt đối.
Trong phương pháp này trước hết ta xác định các thừa số chứa biến của
đa thức rồi gán cho các biến giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.
Ví dụ:
P = x
2
(y – z) + y
2
(z – x) + z
2
(x – y).
Nếu thay x = y thì P = y
2
(y – z) + y
2
(z – y).
Như vậy P chứa thừa số x-y. Do vai trò của x, y, z như nhau trong P nên P
chứa x-y thì cũng chứa y-z và z-x.
Vậy dạng của P là k(x – y)(y – z)(z – x).
11
Ta thấy k phải là hằng số vì có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn
tích (x-y)(y-z)(z-x) cũng có bậc 3 đối với các biến x, y, z.
Ta có x
2

cảm ơn các đồng chí trong tổ chuyên môn trường THCS Tuân Lộ đã giúp
12
hoàn thành sáng kiến này. Tôi rất mong được sự chỉ bảo của các đồng chí
chuyên môn phòng giáo dục và đào tạo, ý kiến đóng góp của các đồng chí
để vốn kinh nghiệm giảng dạy của tôi được phong phú hơn.
3.2. Kiến nghị
- Đề nghị hội đồng tuyển sinh huyện cần quan tâm hơn đến chất lượng
tuyển sinh đầu vào.
- Đề nghị phòng giáo dục và đào tao mở các chuyên đề để chúng tôi có
điều kiện trao đổi và học hỏi thêm.
- Đề nghị hội phụ huynh học sinh cần quan tâm hơn nữa đến việc học
tập của con em mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tuân Lộ, ngày 20 tháng 04 năm 2012
Người viết sáng kiến
Lê Thị Xuân Hồng.
Nhận xét đánh giá của Hội đồng khoa học nhà trường
Nhận xét đánh giá của Hội đồng khoa học
Phòng giáo dục và đào tạo huyện Tân Lạc
13
MỤC LỤC
NỘI DUNG TRANG
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Tài liệu tham khảo
Phần thứ nhất: Đặt vấn đề 1
1.1. Lý do chọn sáng kiến. 1
1.2. Mục đích của sáng kiến. 1
1.3. Phương pháp nghiên cứu chủ yếu. 2
Phần thứ hai: Nội dung 3