Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
Phát huy trí lực của học sinh qua việc phân tích đa thức thành nhân tử
PHẦN I
ĐẶT VẤN ĐỀ
I/ LÝ DO CHỌN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
Đối với trình độ học sinh THCS, việc trang bị kiến thức có đào sâu suy nghĩ, rèn
luyện năng lực tư duy toán học. Phát huy trí lực học sinh là một điều vô cùng quan
trọng, nó là cơ sở vững chắc để các em học tập toán học được tốt.
Trong chương trình toán học phổ thông phân tích đa thức thành nhân tử là một
vấn đề dặc biệt quan tâm. Vì nó được sử dụng rất nhiều khi giải toán trên các đa
thức, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức các phân thức, biến đổi đồng nhất các
biểu thức hữu tỉ, chứng minh đẳng thức, giải phương trình và xuyên suốt quá trình
học tập sau này của học sinh.
Để phân tích một đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp. Việc tìm ra
phương pháp thích hợp cho lời giải một bài toán được ngắn gọn, chính xác, khoa học
hay tìm ra nhiều cách giải khác nhau trong một bài toán tất cả đều phụ thuộc vào
việc tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh. Khi lựa chọn các phương pháp để
phân tích giúp cho học sinh phát triển tư duy toán học, óc tìm tòi sáng tạo, kỹ năng
vận dụng kiến thức đã học khi giải một bài toán cụ thể. Không những thế khi phân
tích đa thức thành nhân tử học sinh được ôn lại hay sử dụng các kiến thức liên quan
như : Hằng đẳng thức, kỹ năng thêm bớt tách các hạng tử, tính nhẩm nghiệm của đa
thức Nói chung, các thủ thuật toán học để giải bài toán phân tích đa thức thành nhân
tử đòi hỏi học sinh phải tư duy nhiều nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt, sáng
tạo các kiến thức đó.
1
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
Để giúp đỡ các em học sinh tiếp cận và khai thác lời giải các bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử và các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử trong quá
trình giải, cũng như nhằm nâng cao kiến thức cần thiết giúp các em học tốt môn toán
và đồng thời phát huy được trí tuệ của học sinh. Qua quá trình giảng dạy bộ môn
Toán 8 tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến và giải pháp thực hiện về việc “ Phát huy trí

3
Phương
pháp dùng
hằng đẳng
thức
Phương
pháp dùng
hằng đẳng
thức
Phối hợp
nhiều
phương
pháp
Phối hợp
nhiều
phương
pháp
Phương
pháp nhóm
nhiều hạng
tử
Phương
pháp nhóm
nhiều hạng
tử
Các phương
pháp đặc
biệt hoá
Các phương
pháp đặc

PHÁP ĐẶC BIỆT
CHƯƠNG II:
CÁC PHƯƠNG
PHÁP ĐẶC BIỆT
CHƯƠNG III:
PHÁT HUY TRÁ
LỰC HỌC SINH
QUA VIỆC PHÁN
TÁCH ĐA THỨC
THÁNH NHÁN TỬ
CHƯƠNG III:
PHÁT HUY TRÁ
LỰC HỌC SINH
QUA VIỆC PHÁN
TÁCH ĐA THỨC
THÁNH NHÁN TỬ
CHƯƠNG I:
CÁC PHƯƠNG
PHÁP CƠ BẢN
CHƯƠNG I:
CÁC PHƯƠNG
PHÁP CƠ BẢN
PHẦN II:
NỘI DUNG
CỤ THỂ
PHẦN II:
NỘI DUNG
CỤ THỂ
5
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o

Lập phương của một tổng: ( A + B )
3
= A
3
+ 3A
2
B +3AB
2
+ B
3
5.
Lập phương của một hiệu: ( A - B )
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
6.
Tổng hai lập phương : A
3
+ B
3
=( A +B ).(A
2
- AB + B
2

- 1
3
= ( 2xy
2
- 1 ).(4x
2
y
4
+ 2xy
2
+ 1)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
6
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
Giải
25x
4
+ 10x
2
y + y
2
= (5x
2
)
2
+ 2.5x
2
.y + y
2
= ( 5x

2
=( x
2
+ 2xz + z
2
) - y
2
=(x+z)
2
- y
2
=(x+y+z)(x-y+z)
IV. PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
Thường được tiến hành theo các trình tự sau :
+ Đặt nhân tử chung (nếu có) để biểu thức còn lại đơn giản hơn dễ nhận xét hơn
+ Nhóm hạng tử
+ Dùng hằng đẳng thức
7
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

x
2
+ 2xy + y
2
- xz – yz
Giải
x
2
+ 2xy + y

xy +3xy
= 3xy(x
2
-2x-y
2
-2ay-a
2
+1)
= 3xy[(x
2
-2x+1)-(y
2
+2ay+a
2
)]
= 3xy[(x-1)
2
-( y+a)
2
]
= 3xy(x-1-y-a)(x-1+y+a)
Chương II : Các phương pháp đặc biệt
I . PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ
Trong một số trường hợp bằng các phương pháp đã học không thể giải được mà
ta phải nghĩ tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để có thể áp dụng được các
phương pháp đã biết.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

x
2

Có nhiều cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khảctong đó có 2 cách thông
dụng là :
Cách 1 : Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các
hạng tử và đặt nhân tử chung.
Cách 2 : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu hai
bình phương
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

9x
2
+6x-8
Giải
9x
2
+6x-8 =9x
2
-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4)
Hoặc: =9x
2
-6x+1 – 9 =(3x+1)
2
-3
2
=(3x+1-3)(3x+1+3) =(3x -2)(3x+4)
*Chú ý : Khi tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử ta có thể dựa vào hằng đẳng
thức đáng nhớ: mpx
2
+ (mq +np)x +nq = (mx +n)(px +q)
Như vậy trong tam thức bậc hai :a x
2

Ví dụ 4 : Khi phân tích đa thức x
2
–x -6 thành nhân tử
Ta có : a = 1 ; b = -1 ; c = -6
+ Tích a.c =1.(-6) = -6
+ Phân tích -6 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số âm có giá trị tuyệt
đối lớn hơn vì b=-1 < 0 (để tổng hai thừa số bằng -1)
-6 = 1.(-6) = 2.(-3)
+ Chọn hai thừa số có tổng bằng -1, đó là : 2 và -3
Từ đó ta phân tích
x
2
-x -6 = x
2
+ 2x -3x -6 = x(x+2) -3(x+2) = (x+2)(x-3)
*Chú ý : Trong trường hợp tam thức bậc hai : ax
2
+ bx + c có b là số lẻ, hoặc không
là bình phương của một số nguyên thì nên giải theo cách một gọn hơn so với cách
hai.
II . PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ
10
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
Khi đa thức đã cho mà các hạng tử trong đa thức đó không chứa thừa số chung,
không có dạng của một hằng đẳng thức nào. cũng như không thể nhóm các số hạng
thì ta phải biến đổi hạng tử để có thể vận dụng được các phương pháp phân tích đã
biết.
Ví dụ 5 : Phân tích đa thức x
4
+ 4 thành nhân tử

- 2x +2)
Ví dụ 6 : Phân tích đa thức 64a
2
+ b
4
thành nhân tử
Ta thấy 64a
4
=(8a
2
)
2
; b
4
= (b
2
)
2
Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng
hạng tử 16a
2
b
2
64a
2
+ b
4
= 64a
2
+ b

2
+ 4x
2
+ 4x - 12 thành nhân tử
Ta có : (x
2
+x)
2
+ 4x
2
+ 4x - 12 = (x
2
+x)
2
+ 4(x
2
+ x) - 12
Nhận thấy nếu đặt x
2
+ x = y thì có đa thức đơn giản hơn y
2
+ 4y -12 là tam thức bậc
hai của biến y
Ta có : y
2
+ 4y -12 = y
2
+6y - 2y -12 = (y+6)(y-2) = (x
2
+ x+6)( x

2
+ 3x + 2)- 6 =y(y + 1 ) - 6 = y
2
+ y - 6 = y
2
+ 3y - 2y - 6
= (y + 3)(y - 2) = (x
2
+ 3x + 1 +3)( x
2
+ 3x + 1 -2)
= (x
2
+ 3x + 4)( x
2
+ 3x -1)
IV . PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
( PHƯƠNG PHÁP HẠ BẬC ĐA THỨC )
Tổng quát : cho đa thức f(x); a là nghiệm của f(x) nếu f(a) = 0 như vậy nếu f(x)
chứa nhân tử x - a thì a phải là nghiệm của đa thức
- Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng
tử không đổi
- Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử x-1
Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì
đa thức chứa nhân tử x + 1
Ví dụ 9 : Phân tích đa thức x
3
+ 3x
2
-4 thành nhân

2
Cách 2: x
3
+ 3x
2
-4 = x
3
-1+ 3x
2
-3 =(x-1)(x
2
+ x +1) +3(x-1)(x+1)
=(x-1)( x
2
+ x +1 +3x+3) =(x-1)(x
2
+4x+4) = (x-1)(x+2)
2
Ở ví dụ trên ta càng nhận thấy tổng các hệ số của đa thức là 1+3-4 = 0 nên đa thức
chứa nhân tử x-1. Do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử
chung x-1
Ví dụ 10 : Phân tích đa thức 2x
3
- 5x
2
+ 8x-3 thành nhân tử
Các ước của -3 là :
±
1 ;
±

3
- 5x
2
+ 8x-3 =2x
3
- x
2
-4x
2
+2x+6x-3
=x
2
(2x-1)-2x(2x-1)+3(2x-1) =(2x-1)(x
2
-2x-3)
V . PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
Ví dụ 11: Phân tích đa thức 2x
3
-5x
2
+8x-3 thành nhân tử
Giải : Nếu đa thức tiện phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng
(ax+b)(cx
2
+dx+m)=acx
3
+(ad+bc)x
2
+(am+bd)x+bm
Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho 2x

-2x+3).
VI . PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG
Ví dụ 12 : Phân tích đa thức P= ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) thành nhân tử
Giải
14
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
Sử dụng phương pháp xét giá trị riêng ta có. Nếu ta thay a bởi b thì P= 0+ bc(b-c) +
bc(c-b) =0, nên p chia hết cho a-b. vai trò của a,b,c như nhau trong đa thức nên p
chia hết cho (a-b)(b-c)(c-a)
Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức
chia (a-b)(b-c)(c-a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên thương là hằng số
k
ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)=k(a-b)(b-c)(c-a)
Trong đẳng thức trên cho ta các biến nhận giá trị riêng a=2 ; b=1 ; c=0, ta được :
2.1.1+0 +0 =k.1.1.(-2)
2 = -2k => k=-1
Vậy P = (a-b)(b-c)(c-a)
Ví dụ 13 : Phân tích đa thức Q = (a+b+c)
3
-a
3
-b
3
-c
3
thành nhân tử
Giải
Sử dụng phương pháp xét giá trị riêng ta có. Nếu ta thay a bởi -b thì
Q= (0+c)
3

18 = 6 k => k=3
Vậy : (a+b+c)
3
-a
3
-b
3
-c
3
= 3(a+b)(b+c)(c+a)
*Chú ý : Khi đa thức có nhiều biến số và vai trò các biến như nhau trong đa
thức thì ta sử dụng phương pháp xét giá trị riêng như trên.
Chương III
Phát huy trí lực của học sinh qua việc
Phân tích đa thức thành nhân tử
I. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ CHIA HẾT
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng : x
3
- x chia hết cho3 với mọi số nguyên x.
Giải : Ta có P = x
3
- x =x(x
2
-1) = x(x+1)(x-1)
Vì x nguyên nên x+1,x-1 là số nguyên . Do đó:
P = (x+1). x .(x-1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp sẽ chia hết cho 3
Vậy P

3
∀

-1)]= x(x
2
-1) (x
2
-4)
=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)
M Là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên M

2;3;4;5
16
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
Vì M

2 và M

4 nên M

8 ( 8 là BCNN của 2và 4)
Vậy M

8.3.5 =120 ( vì 3;8;5nguyên tố cùng nhau từng đôi một )
Ví dụ 3 : Chứng minh đa thức x
3
- x
2
+x -1 chia hết cho đa thức x-1
Giải : Ta có P = x
3
- x
2

Ví dụ 1 : Cho biểu thức P = 4x
2
- 12x + 9 . Chứng minh rằng P không âm với mọi x
Giải : Ta có P = 4x
2
-12x + 9 = (2x)
2
-2.2x.3 +(-3)
2
= (2x-3)
2

≥
0
Vậy P
≥
0 với
∀
x . Hay biểu thức P không âm với
∀
x.
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng biểu thức M =
223
1
234
34
++++
+−−
xxxx
xxx

)1)(2(
)1()1(
22
22
+++
++−
xxx
xxx
=
)2(
)1(
2
2
+
−
x
x
Vì x
2
+x +1 = x
2
+x +
4
1
+
4
3
=(x+
2
1

Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
Đây là bài toán áp dụng gần gũi nhất đối với việc phân tích đa thức thành nhân
tử. Đường lối giải là vận dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số để thu thành
nhân tử sau đó rút gọn thành nhân tử chung. ở đây cơ bản là rèn kỹ năng phân tích đa
thức thành nhân tử bên cạnh đó sử dụng một số tính chất toán học khác để giải. Sự
kết hợp đó có tác dụng rèn trí tuệ cho học sinh giúp các em thấy sự liên hệ chặt chẽ
giữa các kiến thức toán học phát triển trí tuệ thông minh và tư duy logickhoa học ở
các em.
Ví dụ : Cho P =
78
55
2
++
+
xx
x
a/ Rút gọn P
Giải P =
78
55
2
++
+
xx
x
=
)77()(
)1(5
+++
−

IV. BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC.
Loại toán này đường lối giải là ta phải đi bến đổi, rút gọn biểu thức phức tạp ở vế
này đến kết quả là biểu thức đơn giản hơn ở vế kia nhưng cũng có bài ta phải biến
đổi rút gọn ở cả hai vế để đi đến 1 kết quả giống nhau.
Thực chất của bài toán này là bài toán rút gọn biểu thức.
Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau :
78
55
2
++
+
xx
x
=
7
5
+x
Giải Biến đổi VT ta có : VT =
78
55
2
++
+
xx
x
=
)7)(1(
)1(5
++
+

2
3
+−−
+
xxx
x
=
)42)(1(
)42)(2(
2
2
+−−
+−+
xxx
xxx
=
x
x
−
+
1
2
Biến đổi VT ta có : VT =
1
2
−
−−
x
x
=

xx
x
Tìm giá trị của xđể biểu thức có giá trị nguyên.
Giải:
Theo VD1 ở IV -3 ta có: P=
78
55
2
++
+
xx
x
=
7
5
+x
P đạt giá trị nguyên
⇔
x+7 là ước của 5 (
±
1;
±
5)
20
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
Do đó x+7 =-1
⇒
x=-8
x+7 = 1
⇒
23
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
24