A.ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LỜI MỞ ĐẦU.
Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những kiến thức cơ bản trong
chương trình toán học là công cụ để giải quyết nhiều bài toán như :
- Rút gọn phân thức.
- Giải phương trình, giải bất phương trình.
- Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức.
- Biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỉ.
- Tìm giá trị của biến để biểu thức nguyên.
- Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Việc phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi người học phải tư duy, có kiến
thức tổng quát, sáng tạo, nhanh trí, vận dụng kiến thức toán học một cách nhuần
nhuyễn, hợp lý. Để làm được việc này ít nhất là người học sử dụng thành thạo các
tính chất, quy tắc phép tính, thành thạo trong việc nhân chia đa thức. Đặc biệt phải
thuộc lòng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ từ đó phát triển được các hằng đẳng thức tổng
quát.
Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp . Ngoài 3 phương
pháp cơ bản :
- Đặt nhân tử chung.
- Nhóm nhiều hạng tử.
- Dùng hằng đẳng thức.
Sách giáo khoa còn giới thiệu thêm hai phương pháp :
- Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
- Thêm bớt cùng một hạng tử.
Ngoài ra có thể sử dụng những phương pháp khác :
- Đặt ẩn phụ (biến đổi).
- Hệ số bất định.
Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp khác nhau do đó khi
1
giảng dạy người giáo viên giúp đỡ học sinh lựa chọn phương pháp phù hợp để giải
quyết một cách nhanh chóng. Khi dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân

4
+ 81
2
- Nhìn bài toán này học sinh khá, giỏi vẫn còn vướng mắc, chưa nói đến học sinh
trung bình ,yếu các em thật sự chán nạn,sợ sệt hoặc không đủ tự tin là bản thân làm
sẽ đúng vì học sinh chưa hiểu được 4x
4
+ 81 khi thêm, bớt 36x
2
thì bài toán sẽ có
dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.Nên khi ra một dạng toán nào học sinh
cần xem áp dụng được pháp nào?
2 . KẾT QUẢ ĐIỀU TRA KHẢO SÁT.
Khi chưa thực hiện đề tài ,tôi đã khảo sát ở 2 lớp 8A,8B với đề bài như sau :
Phân tích đa thức thành nhân tử
a , 4xy + 3x
2
y b, x
2
- 4
c, x
2
+x -2x
3
-2 d , 2x
2
– 4xy + 2y
2
e, (x
2

ngoặc (kể cả dấu của chúng).Phương pháp này dựa trên tính chất :
A.B + A.C + + A.F = A (B + C + + F)
Học sinh phải nắm chắc kiến thức phép nhân phân phối đối với phép cộng.
b. Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử .
A = 15a
2
b
2
- 9a
3
b + a
2
b
3

Với định hướng câu hỏi như trên , học sinh tìm ra thừa số chung của các hạng tử là
3a
2
b
Đặt 3a
2
b làm thừa số chung ta được: A = 3a
2
b (5b – 3a –b
2
)
1.2 Phương pháp dùng hằng đẳng thức :

a. Phương pháp :
Để sử dụng các hằng đẳng thức đưa các đa thức về dạng một tích các đa thức

+ b
3
= (a + b)(a
2
- ab + b
2
)
5, a
3
- b
3
= (a - b)(a
2
+ ab + b
2
)
6, (a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b +3ab
2
+ b
3
7, (a - b)
3
= a
3

= (2x)
3
+ 3.(2x)
2
y + 3.2x.y
2
+ y
3
= (2x - y)
3
Phương pháp nhóm nhiều hạng tử :
a. Phương pháp :
Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.
Tiếp tục áp dụng các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.
Đối với phương pháp này học sinh cần sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm
các hạng tử một cách thích hợp rồi phân tích thành nhân tử đối với từng nhóm,từ đó
viết được đa thức đã cho thành nhân tử .
b. Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử :
2x
2
+ 2y
2
– x
2
z + z – zy
2
– 2
Ở đa thức này các hạng tử không có nhân tử chung , không lập thành hằng đẳng
thức.Vậy nên nhóm các số hạng như thế nào để xuất hiện nhân tử chung mới?
2x

–Nhóm nhiều hạng tử.
b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử:
3x
3
y - 6x
2
y – 3xy
3
– 6axy
2
– 3a
2
xy + 3xy
Ở đa thức này xét xem có thể nhóm các số hạng thích hợp nào nhằm làm xuất
5
hin nhõn t chung hoc dng hng ng thc .
3x
3
y - 6x
2
y 3xy
3
6axy
2
3a
2
xy + 3xy = 3x

y(x
2

b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử: x
2
6x + 8
Đa thức trên không chứa nhân tử chung , không có dạng một hằng đẳng thức đáng
nhớ nào , cũng không thể nhóm các hạng tử . Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có
nhiều hạng tử hơn.
Cách 1: (Tách hạng tử thứ hai).
x
2
- 6x + 8 = x
2
- 2x - 4x + 8 = (x
2
- 2x ) - (4x - 8) = x(x - 2) - 4(x- 2) = (x -2)(x -4)
Cách 2: (Tách hạng tử thứ ba)
x
2
6x + 8 = x
2
6x + 9 1 = (x
2
6x + 9) 1 = (x 3)
2
1
= (x 3 1)( x 3 + 1) = (x 4)(x -2)
1.6 . Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử :
a. Phơng pháp :
Thêm bớt cùng một hạng tử thích hợp để làm xuất hiện hiệu của hai bình phơng
hoặc nhân tử chung .
b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : x

2
+ 2 + 2x)
Nhiều khi với những phơng pháp thông thờng trên vẫn cha đáp ứng đợc yêu cầu
phân tích đa thức thành nhân tử .Sau đây là một số phơng pháp đặc biệt .
2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phơng pháp đặc biệt :
2.1. Phơng pháp đổi biến số (đặt ẩn phụ).
a. Phơng pháp :
Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đa thức đã cho có biểu
thức xuất hiện nhiều lần, ta đặt biểu thức ấy làm biến phụ từ đó đa đợc về đa thức
đơn giản hơn.
b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử :
A = (x
2
+ 3x + 1) (x
2
+ 3x - 3) 5
6
Đặt (x
2
+ 3x + 1) = y
A = y(y - 4) 5 = y
2
+ y - 5y - 5 = y (y + 1) - 5(y + 1) = (y +1)(y - 5)
Thay (x
2
+ 3x + 1) = y vào ta có : A = (x
2
+ 3x + 2) (x
2
+ 3x - 4)

Chẳng hạn : x = 2, y = 1, z= 0 ta đợc: 4.1 + 1(-2) + 0 = k.1.1.(-2) => k = 1
Vậy P = -(x - y)(y - z)(z -x) = (x - y)(y - z)(z -x)
2.3 Phơng pháp hệ số bất định
a. Phơng pháp :
Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa thức bậc
nhất ,một đa thức bậc hai dạng: (a + b)(cx
2
+ dx + m) rồi biến đổi cho đồng nhất hệ
số của đa thức này với hệ số của đa thức kia.
b.Ví dụ :
1, x
3
+ 11x + 30
Kết quả cần tìm có dạng : (x + a)(x
2
+ bx + c)
Vì (x + a)(x
2
+ bx + c) = x
3
+ (a + b) x
2
+ (ab + c)x + ac
Nên x
3
+ 11x + 30 = x
3
+ (a + b) x
2
+ (ab + c)x + ac

- 2x - 15)
2.4 Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức :
a. Phơng pháp :
Cho đa thức f(x),a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0 .Nh vậy nếu đa thức
f(x) chứa nhân tử (x - a) thì a phải là nghiệm của đa thức .
Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ớc của hệ số tự do.
b. Ví dụ : x
3
+ 3x 4
Nếu đa thức có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử x - a) thì nhân tử còn lại có
dạng (x
2
+ bx + c) => - ac = 4 => a là ớc của 4.
Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ớc của hạng tử
không đổi Ư(- 4) =
{ }
4;4;2;2;1;1
Sau khi kim tra thy 1 l nghim ca a thc => a thc cha nhõn t (x 1)
Do vy ta tỏch cỏc hng t ca a thc lm xut hin nhõn t chung (x 1)
Cỏch 1: x
3
+ 3x
2
4 = x
3
- x
2
+ 4x
2
4 = x

-Nu a thc cú tng cỏc h s bng 0 thỡ a thc cha nhõn t (x - 1)
- Nu a thc cú tng cỏc h s ca hng t bc chn bng tng cỏc hng t bc
l thỡ a thc cha nhõn t (x + 1).
Vớ d: x
2
- 5x + 8x 4 cú : 1 5 + 8 4
a thc cú nghim l 1 hay a thc cha tha s (x - 1)
x
3
- 5x
2
+ 3x + 9 cú : -5 + 9 = 1 + 3
a thc cú nghim l -1 hay a thc cha tha s (x + 1)
Nu a thc khụng cú nghim nguyờn nhng a thc cú th cú nghim hu t.
8
Trong đa thức với hệ số nguyên ,nghiệm hữu tỉ nếu có phải có dạng p/q .Trong đó p
là ước của hạng tử không đổi ,q là ước dương của hạng tử cao nhất.
Ví dụ: 2x
3
- 5x
2
+ 8x – 3
Nghiệm hữu tỉ nếu có của đa thức trên là :-1 ; 1 ;-1/2 ; 1/2 ; -3/2 ; 3/2 ;3 ;…Sau khi
kiểm tra ta thấy x = -1/2 là nghiệm của đa thức nên đa thức chứa nhân tử (2x - 1). Do
đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung (2x - 1).
2x
3
- 5x
2
+ 8x – 3 = 2x

Z . Nếu f(x) có nghiệm hữu tỉ p/q thì p/a
0
> q/a
n

 Nếu là nghiệm của f(x) thì f(x) khi phân tích thành nhân tử có một hạng tử là
x – a dựa vào hệ quả định lý Bezout
“ Nếu là nghiệm của f(x) thì f(x)

x – a ”
Như vậy đối với đa thức bậc 2, bậc 3 mà nhẩm nghiệm không có nghiệm hữu tỉ thì
đa thức đó sẽ không phân tích được thành nhân tử.
PHẦN II : ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH
ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ .
1. Bài toán rút gọn biểu thức.
• Đường lối giải :
Dựa trên cơ sở tính chất cơ bản của phân thức đại số . phân tích tử thức và mẫu thức
thành nhân tử chung rồi rút gọn đồng thời tìm TXĐ của biểu thức thông qua các
nhân tử nằm ở dưới mẫu .
Với học sinh nhằm rèn luyện kĩ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử vào loại bài rút gọn , giúp học sinh thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa
các kiến thức phát triển trí thông minh .
Ví dụ : Cho A = (
3
2
+
−
x
x
-

-
2
3
+
−
x
x
+
65
2
2
++
−
xx
x
)
A =
)3)(2(
)2()3)(3()2)(2(
++
−++−−+−
xx
xxxxx
A =
)3)(2(
294
22
++
−++−−
xx

– 25 = 8(2x - 1)(x + 2)
8(2x - 1)(x + 2) = 0
 x =1/2 hoặc x = -2
Áp dụng phương pháp phân tích tam thức bậc 2 ở vế trái thành nhân tử đưa phương
trình về dạng : (2x - 1)(x + 2) = 0
=> x = 1/2 hoặc x = -2
3 . Bài toán giải bất phương trình :
* Đường lối giải .
Với các bất phương trình bậc cao hoặc các bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu thì
việc rút gọn biểu thức vào bất phương trình thành đa thức và mẫu thành nhân tử
đóng vai trò rất quan trọng khi đưa bất phương trình về dạng bất phương trình tích
(A.B < 0) hoặc (A.B > 0) hay bất phương trình thường
Ví dụ : Giải bất phương trình
10
a ,
1
2
+
−
x
x
- 1 >
1
23
−
+
x
x
- 3
Điều kiện : x

3
+x
+
1
5
−x
< 0 
)1)(1(
5533
−+
++−
xx
xx
< 0 
)1)(1(
28
+−
+
xx
x
< 0
Sử dụng phương pháp bảng ta có x < -1 hoặc -1/4 < x < 1
b , x
2
– 2x + 1 < 9
Giải : Cách 1: x
2
– 2x + 1 < 9  (x - 1)
2
< 9 

6
6
n
là số nguyên
Biến đổi đưa biểu thức về dạng :
6
32
32
nnn ++
Và chứng minh : (2n + 3n
2
+ n
3
) chia hết cho 6
2n + 3n
2
+ n
3
= n(n + 1)(n + 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp vì vậy ít nhất một
thừa số chia hết cho 2,một thừa số choa hết cho 3. Mà (2;3) = 1 nên tích này chia
hết cho 6.
Vậy
∀
n
∈
Z thì
3
n
+
2

– 4
c , 2x
3
+ 2x – 3x
2
-3 d , 4x
2
+ 4x – 3
e , B = 6x
4
– 11x
2
+ 3
Kết quả cho thấy :
- Học sinh không còn nhầm lẫn giữa các phương pháp
- Biết lựa chọn và trình bày phương pháp hợp lí, chặt chẽ.
- Tự tin ,sáng tạo hơn khi làm bài.
Cụ thể:
Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu Kém
12
SL % SL % SL % SL % SL %

Qua quá trình viết đề tài, qua học hỏi kinh nghiệm của nhiều anh, chị đi trước tôi
mạnh dạn viết lại những gì mình đã làm, tuy tuổi nghề sư phạm chưa được nhiều và
thấu đáo.Trong quá trình dạy, đối với từng đối tượng mà tôi điều chỉnh sao cho phù
hợp với các em, đôi lúc giáo viên phải theo sự tiếp thu của học sinh mà đặt câu hỏi
sao cho dễ hiểu, có thể giúp gợi mở để các em tư duy. Nhưng bài đưa ra không nên
quá dễ, phải có dễ, phải có khó dần, học sinh sẽ không nản mà sẽ tìm cách để giải
quyết bài toán tốt hơn.
Mục đích của tôi là làm như thế nào rút ra được kinh nghiệm cho bản thân, giúp