A.ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LỜI MỞ ĐẦU.
Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những kiến thức cơ bản trong
chương trình toán học là công cụ để giải quyết nhiều bài toán như :
- Rút gọn phân thức.
- Giải phương trình, giải bất phương trình.
- Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức.
- Biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỉ.
- Tìm giá trị của biến để biểu thức nguyên.
- Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
…
Việc phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi người học phải tư duy, có kiến
thức tổng quát, sáng tạo, nhanh trí, vận dụng kiến thức toán học một cách nhuần
nhuyễn, hợp lý. Để làm được việc này ít nhất là người học sử dụng thành thạo các
tính chất, quy tắc phép tính, thành thạo trong việc nhân chia đa thức. Đặc biệt phải
thuộc lòng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ từ đó phát triển được các hằng đẳng thức tổng
quát.
Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp . Ngoài 3 phương
pháp cơ bản :
- Đặt nhân tử chung.
- Nhóm nhiều hạng tử.
- Dùng hằng đẳng thức.
Sách giáo khoa còn giới thiệu thêm hai phương pháp :
- Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
- Thêm bớt cùng một hạng tử.
Ngoài ra có thể sử dụng những phương pháp khác :
- Đặt ẩn phụ (biến đổi).
- Hệ số bất định.
Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp khác nhau do đó khi
giảng dạy người giáo viên giúp đỡ học sinh lựa chọn phương pháp phù hợp để giải
quyết một cách nhanh chóng. Khi dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân

4
+ 81
- Nhìn bài toán này học sinh khá, giỏi vẫn còn vướng mắc, chưa nói đến học sinh
trung bình ,yếu các em thật sự chán nạn,sợ sệt hoặc không đủ tự tin là bản thân làm
sẽ đúng vì học sinh chưa hiểu được 4x
4
+ 81 khi thêm, bớt 36x
2
thì bài toán sẽ có
dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.Nên khi ra một dạng toán nào học sinh
cần xem áp dụng được pháp nào?
2 . KẾT QUẢ ĐIỀU TRA KHẢO SÁT.
Khi chưa thực hiện đề tài ,tôi đã khảo sát ở 2 lớp 8A,8B với đề bài như sau :
Phân tích đa thức thành nhân tử
a , 4xy + 3x
2
y b, x
2
- 4
c, x
2
+x -2x
3
-2 d , 2x
2
– 4xy + 2y
2
e, (x
2
+ x)

ngoặc (kể cả dấu của chúng).Phương pháp này dựa trên tính chất :
A.B + A.C + + A.F = A (B + C + + F)
Học sinh phải nắm chắc kiến thức phép nhân phân phối đối với phép cộng.
b. Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử .
A = 15a
2
b
2
- 9a
3
b + a
2
b
3

Với định hướng câu hỏi như trên , học sinh tìm ra thừa số chung của các hạng tử là
3a
2
b
Đặt 3a
2
b làm thừa số chung ta được: A = 3a
2
b (5b – 3a –b
2
)
1.2 – Phương pháp dùng hằng đẳng thức :

a. Phương pháp :
Để sử dụng các hằng đẳng thức đưa các đa thức về dạng một tích các đa thức

+ b
3
= (a + b)(a
2
- ab + b
2
)
5, a
3
- b
3
= (a - b)(a
2
+ ab + b
2
)
6, (a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b +3ab
2
+ b
3
7, (a - b)
3
= a
3

3
+ 3.(2x)
2
y + 3.2x.y
2
+ y
3
= (2x - y)
3
– Phương pháp nhóm nhiều hạng tử :
a. – Phương pháp :
Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.
Tiếp tục áp dụng các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.
Đối với phương pháp này học sinh cần sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm
các hạng tử một cách thích hợp rồi phân tích thành nhân tử đối với từng nhóm,từ đó
viết được đa thức đã cho thành nhân tử .
b. Vớ d: Phõn tớch a thc thnh nhõn t :
2x
2
+ 2y
2
x
2
z + z zy
2
2
a thc ny cỏc hng t khụng cú nhõn t chung , khụng lp thnh hng ng
thc.Vy nờn nhúm cỏc s hng nh th no xut hin nhõn t chung mi?
2x
2

b.Vớ d : Phõn tớch a thc thnh nhõn t:
3x
3
y - 6x
2
y 3xy
3
6axy
2
3a
2
xy + 3xy
a thc ny xột xem cú th nhúm cỏc s hng thớch hp no nhm lm xut
hin nhõn t chung hoc dng hng ng thc .
3x
3
y - 6x
2
y 3xy
3
6axy
2
3a
2
xy + 3xy = 3x

y(x
2
- 2x y
2

6x + 8
Đa thức trên không chứa nhân tử chung , không có dạng một hằng đẳng thức đáng
nhớ nào , cũng không thể nhóm các hạng tử . Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có
nhiều hạng tử hơn.
Cách 1: (Tách hạng tử thứ hai).
x
2
- 6x + 8 = x
2
- 2x - 4x + 8 = (x
2
- 2x ) - (4x - 8) = x(x - 2) - 4(x- 2) = (x -2)(x -4)
Cách 2: (Tách hạng tử thứ ba)
x
2
6x + 8 = x
2
6x + 9 1 = (x
2
6x + 9) 1 = (x 3)
2
1
= (x 3 1)( x 3 + 1) = (x 4)(x -2)
1.6 . Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử :
a. Phơng pháp :
Thêm bớt cùng một hạng tử thích hợp để làm xuất hiện hiệu của hai bình phơng
hoặc nhân tử chung .
b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : x
4
+ 4

Nhiều khi với những phơng pháp thông thờng trên vẫn cha đáp ứng đợc yêu cầu
phân tích đa thức thành nhân tử .Sau đây là một số phơng pháp đặc biệt .
2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phơng pháp đặc biệt :
2.1. Phơng pháp đổi biến số (đặt ẩn phụ).
a. Phơng pháp :
Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đa thức đã cho có biểu
thức xuất hiện nhiều lần, ta đặt biểu thức ấy làm biến phụ từ đó đa đợc về đa thức
đơn giản hơn.
b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử :
A = (x
2
+ 3x + 1) (x
2
+ 3x - 3) 5
Đặt (x
2
+ 3x + 1) = y
A = y(y - 4) 5 = y
2
+ y - 5y - 5 = y (y + 1) - 5(y + 1) = (y +1)(y - 5)
Thay (x
2
+ 3x + 1) = y vào ta có : A = (x
2
+ 3x + 2) (x
2
+ 3x - 4)
= (x +1)(x + 2)(x -1)(x + 4)
2.2. Phơng pháp xét giá trị riêng:
a. Phơng pháp : Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức rồi gán cho các

a. Phơng pháp :
Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa thức bậc
nhất ,một đa thức bậc hai dạng: (a + b)(cx
2
+ dx + m) rồi biến đổi cho đồng nhất hệ
số của đa thức này với hệ số của đa thức kia.
b.Ví dụ :
1, x
3
+ 11x + 30
Kết quả cần tìm có dạng : (x + a)(x
2
+ bx + c)
Vì (x + a)(x
2
+ bx + c) = x
3
+ (a + b) x
2
+ (ab + c)x + ac
Nên x
3
+ 11x + 30 = x
3
+ (a + b) x
2
+ (ab + c)x + ac
Ta có a + b = 0
ab + c = 11
ac = 30

f(x) chứa nhân tử (x - a) thì a phải là nghiệm của đa thức .
Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ớc của hệ số tự do.
b. Ví dụ : x
3
+ 3x 4
Nếu đa thức có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử x - a) thì nhân tử còn lại có
dạng (x
2
+ bx + c) => - ac = 4 => a là ớc của 4.
Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ớc của hạng tử
không đổi Ư(- 4) =
{ }
4;4;2;2;1;1
Sau khi kim tra thy 1 l nghim ca a thc => a thc cha nhõn t (x 1)
Do vy ta tỏch cỏc hng t ca a thc lm xut hin nhõn t chung (x 1)
Cách 1: x
3
+ 3x
2
– 4 = x
3
- x
2
+ 4x
2
– 4 = x
2
(x - 1) + 4(x - 1)(x + 1)
= (x - 1)(x
2

2
- 5x + 8x – 4 có : 1 – 5 + 8 – 4
Đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức chứa thừa số (x - 1)
x
3
- 5x
2
+ 3x + 9 có : -5 + 9 = 1 + 3
Đa thức có nghiệm là -1 hay đa thức chứa thừa số (x + 1)
Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhưng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ.
Trong đa thức với hệ số nguyên ,nghiệm hữu tỉ nếu có phải có dạng p/q .Trong đó p
là ước của hạng tử không đổi ,q là ước dương của hạng tử cao nhất.
Ví dụ: 2x
3
- 5x
2
+ 8x – 3
Nghiệm hữu tỉ nếu có của đa thức trên là :-1 ; 1 ;-1/2 ; 1/2 ; -3/2 ; 3/2 ;3 ;…Sau khi
kiểm tra ta thấy x = -1/2 là nghiệm của đa thức nên đa thức chứa nhân tử (2x - 1). Do
đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung (2x - 1).
2x
3
- 5x
2
+ 8x – 3 = 2x
3
- x
2
- 4x
2

 Nếu là nghiệm của f(x) thì f(x) khi phân tích thành nhân tử có một hạng tử là
x – a dựa vào hệ quả định lý Bezout
“ Nếu là nghiệm của f(x) thì f(x)

x – a ”
Như vậy đối với đa thức bậc 2, bậc 3 mà nhẩm nghiệm không có nghiệm hữu tỉ thì
đa thức đó sẽ không phân tích được thành nhân tử.
PHẦN II : ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH
ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ .
1. Bài toán rút gọn biểu thức.
• Đường lối giải :
Dựa trên cơ sở tính chất cơ bản của phân thức đại số . phân tích tử thức và mẫu thức
thành nhân tử chung rồi rút gọn đồng thời tìm TXĐ của biểu thức thông qua các
nhân tử nằm ở dưới mẫu .
Với học sinh nhằm rèn luyện kĩ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử vào loại bài rút gọn , giúp học sinh thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa
các kiến thức phát triển trí thông minh .
Ví dụ : Cho A = (
3
2
+
−
x
x
-
2
3
+
−
x

x
+
65
2
2
++
−
xx
x
)
A =
)3)(2(
)2()3)(3()2)(2(
++
−++−−+−
xx
xxxxx
A =
)3)(2(
294
22
++
−++−−
xx
xxx
=
)3)(2(
)3(
++
+−

3 . Bài toán giải bất phương trình :
* Đường lối giải .
Với các bất phương trình bậc cao hoặc các bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu thì
việc rút gọn biểu thức vào bất phương trình thành đa thức và mẫu thành nhân tử
đóng vai trò rất quan trọng khi đưa bất phương trình về dạng bất phương trình tích
(A.B < 0) hoặc (A.B > 0) hay bất phương trình thường
Ví dụ : Giải bất phương trình
a ,
1
2
+
−
x
x
- 1 >
1
23
−
+
x
x
- 3
Điều kiện : x
≠
- 1 và x
≠
1 ,bất phương trình đã cho tương đương với :
2
12
+

)1)(1(
5533
−+
++−
xx
xx
< 0 
)1)(1(
28
+−
+
xx
x
< 0
Sử dụng phương pháp bảng ta có x < -1 hoặc -1/4 < x < 1
b , x
2
– 2x + 1 < 9
Giải : Cách 1: x
2
– 2x + 1 < 9  (x - 1)
2
< 9 
1−x
< 3
 - 3 < x – 1 < 3  - 2 < x < 4
Cách 2: Biến đổi thành bất phương trình dạng tích :
x
2
– 2x + 1 < 9  x

32
nnn ++
Và chứng minh : (2n + 3n
2
+ n
3
) chia hết cho 6
2n + 3n
2
+ n
3
= n(n + 1)(n + 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp vì vậy ít nhất một
thừa số chia hết cho 2,một thừa số choa hết cho 3. Mà (2;3) = 1 nên tích này chia
hết cho 6.
Vậy
∀
n
∈
Z thì
3
n
+
2
2
n
+
6
6
n
là số nguyên .

e , B = 6x
4
11x
2
+ 3
Kt qu cho thy :
- Hc sinh khụng cũn nhm ln gia cỏc phng phỏp
- Bit la chn v trỡnh by phng phỏp hp lớ, cht ch.
- T tin ,sỏng to hn khi lm bi.
C th:
Lp S s Gii Khỏ TB Yu Kộm
SL % SL % SL % SL % SL %
8A 32 3 9,4 10 31,3 15 46,9 2 6,2 2 6,2
8B 32 3 9,4 9 28,1 15 46,9 3 9,4 2 6,2

Qua quỏ trỡnh vit ti, qua hc hi kinh nghim ca nhiu anh, ch i trc tụi
mnh dn vit li nhng gỡ mỡnh ó lm, tuy tui ngh s phm cha c nhiu v
thu ỏo.Trong quỏ trỡnh dy, i vi tng i tng m tụi iu chnh sao cho phự
hp vi cỏc em, ụi lỳc giỏo viờn phi theo s tip thu ca hc sinh m t cõu hi
sao cho d hiu, cú th giỳp gi m cỏc em t duy. Nhng bi a ra khụng nờn
quỏ d, phi cú d, phi cú khú dn, hc sinh s khụng nn m s tỡm cỏch gii
quyt bi toỏn tt hn.
Mc ớch ca tụi l lm nh th no rỳt ra c kinh nghim cho bn thõn, giỳp
cho kh nng dy hc ca mỡnh nõng cao hn, gim thiu hc sinh chỏn hc.
ng thi cng rt mong s úng gúp chõn thnh t cỏc bn, anh, ch ng
nghip, ca hi ng khoa hc cỏc cp tụi cú thờm nhng kinh nghim quý bỏu
trong dy hc. Bi theo tụi ngh bt kỡ õu, lm bt kỡ mt vic gỡ mun hon thnh
tt cụng vic thỡ ũi hi phi cú phng phỏp ỳng, cú s rốn luyn, s n lc t
phn u vn lờn ca mi cỏ nhõn mỡnh .
Khi dy dạng toán này tôi rút ra cho bản thân một số kinh nghiệm sau :