Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

BẢN TÓM TẮT ĐỀ TÀI
Tên đề tài: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp
8 trường THCS Biên Giới”.
Họ và tên tác giả: Vũ Thái Châu
Đơn vị công tác: Trường THCS Biên Giới, huyện Châu Thành, Tỉnh Tây
Ninh.
1. Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình đại số lớp 8, mối liên hệ giữa các kiến thức với nhau thể
hiện rõ ràng ở các dạng toán như: Tính nhanh giá trị của biểu thức, các bài toán
tìm x, rút gọn phân thức đại số, giải phương trình tích… đều có liên quan đến
phân tích đa thức thành nhân tử. Như vậy, có thể nói phân tích đa thức thành
nhân tử là một cơ sở để giải quyết một số dạng toán khác.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở trường trung học cơ sở, tôi thấy nghiên
cứu đề tài “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” là
việc làm có ý nghĩa cả về lý luận cũng như thực tiễn.
Hơn nữa, bản thân tôi muốn tìm hiểu việc “Phân tích đa thức thành nhân tử
đối với học sinh lớp 8” tại đơn vị mình công tác, nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới
phương pháp dạy học và từng bước giúp học sinh tháo gỡ, giải quyết tốt những
khó khăn, vướng mắc trong quá trình tìm ra phương pháp giải. Từ đó, góp phần
nâng cao chất lượng dạy và học của nhà trường.
2. Đối tượng, phương pháp nghiên cứu:
a. Đối tượng nghiên cứu:
- Khách thể: Phân tích đa thức thành nhân tử; học sinh lớp 8 .
- Đối tượng: Rèn kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8.
b. Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu tài liệu; điều tra; thống kê.
3. Đề tài đưa ra giải pháp mới:
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử.


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

A. MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài:
Trong thời đại ngày nay, khi khoa học công nghệ đang phát triển thì việc nắm
bắt, tiếp cận được những thông tin kịp thời và chính xác đòi hỏi mỗi người
chúng ta phải có một kiến thức, một sự hiểu biết nhất định. Do đó, trong công
tác giảng dạy người thầy phải hướng dẫn, bồi dưỡng cho các em học sinh có
lượng kiến thức đầy đủ và vững chắc để tiếp tục lĩnh hội và tiếp thu kiến thức
mới nhằm trang bị cho các em có đủ năng lực phục vụ cho xã hội sau này.
Việc lĩnh hội, tiếp thu kiến thức mới là một khâu quan trọng trong quá trình
hoàn thiện kiến thức ở tất cả các môn học nói chung và Toán học nói riêng.
Trong chương trình Đại số lớp 8, mối liên hệ giữa các kiến thức với nhau thể
hiện rõ ràng ở các dạng toán như: Tính nhanh giá trị của biểu thức, các bài toán
tìm x, rút gọn phân thức đại số, giải phương trình tích… đều có liên quan đến
phân tích đa thức thành nhân tử. Như vậy, có thể nói phân tích đa thức thành
nhân tử là một cơ sở để giải quyết một số dạng toán khác.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở trường trung học cơ sở, tôi thấy nghiên
cứu đề tài “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” là
việc làm có ý nghĩa cả về lý luận cũng như thực tiễn.
Mặt khác, là một giáo viên dạy Toán của Trường THCS Biên Giới, sau khi
được đào tạo, học tập và trực tiếp giảng dạy, bản thân muốn tìm hiểu việc
“Phân tích đa thức thành nhân tử đối với học sinh lớp 8” tại đơn vị mình công
tác, nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học. Bên cạnh đó, còn
giúp học sinh tháo gỡ, giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập,
góp phần nâng cao chất lượng dạy và học của nhà trường.
Với những lý do khách quan và chủ quan nêu trên, bản thân tôi đã mạnh dạn
chọn cho mình giải pháp “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học

của việc phân tích đa thức thành nhân tử, nắm thật vững kiến thức để hạn chế sự
nhầm lẫn, sai sót sau này.
III. Đối tượng nghiên cứu:
- Khách thể: Phân tích đa thức thành nhân tử; học sinh lớp 8 .
- Đối tượng: Rèn kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8.
IV. Phạm vi nghiên cứu:
Giải pháp tập trung nghiên cứu việc rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân
tử cho học sinh lớp 8 của trường trung học cơ sở Biên Giới.
V. Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu tài liệu: Đọc tạp chí dạy học ngày nay; tạp chí giáo dục; những
vấn đề về đổi mới giáo dục trung học cơ sở; sách giáo khoa toán 8; sách bài tập
Toán 8; hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán THCS làm cơ
sở thực hiện giải pháp này.
Điều tra: Qua giờ dạy, dự giờ học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp, trao đổi với
học sinh để đưa ra biện pháp thực hiện.
Thống kê: Thống kê số liệu học sinh qua theo dõi.
VI. Giả thuyết khoa học:
Nếu giáo viên hướng dẫn và thực hiện tốt việc “Rèn kĩ năng phân tích đa
thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” thì hiệu quả hay chất lượng giảng dạy sẽ
được nâng cao.

Trang

4


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

B. NỘI DUNG

II. Cơ sở thực tiễn
1. Thực tiễn vấn đề nghiên cứu
Do học sinh còn yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi và
thực hành giải toán... nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm
được hướng giải quyết thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước,
phương pháp nào sau, phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt
nhất. Do đó, dẫn đến việc vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử còn nhầm lẫn. Ngoài ra, một vài học sinh còn chưa xác định rõ phân tích
đa thức thành nhân tử là như thế nào? Và làm thế nào để phân tích được đa thức
đã cho thành nhân tử.
Trang

5


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

Mặt khác, phân tích đa thức thành nhân tử còn được ứng dụng rất nhiều trong
các dạng toán sau này như: Tính nhanh giá trị của biểu thức, các bài toán tìm x,
rút gọn phân thức đại số, giải phương trình tích…
2. Sự cần thiết của đề tài:
Xuất phát từ tình hình thực tế của trường và yêu cầu của nội dung kiến thức,
tôi nhận thấy việc “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh
lớp 8” là thực sự cần thiết. Bởi vì, đây là cách giúp học sinh rèn được kĩ năng
quan sát, nhận xét và vận dụng linh hoạt các phương pháp đã học vào từng bài
tập cụ thể. Từ đó, giúp các em tìm tòi, phát hiện và chiếm lĩnh tri thức một cách
tốt nhất. Không những thế, giải pháp này còn giúp các em hứng thú hơn khi
được học toán, xem việc giải bài tập như cách giải trí sau khi học các môn khác.
III. Nội dung vấn đề


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 2, 4 trong các hạng tử trên?
(Học sinh trả lời là 2 vì ƯCLN(2,4 ) = 2).
- Tìm nhân tử chung của các biến x2 và x ? (Học sinh trả lời là x).
Khi đó nhân tử chung của đa thức là bao nhiêu? (Học sinh trả lời là 2x).
Giải:
2x2 – 4x = 2x.x – 2x.2 = 2x.(x – 2).
 Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử ta cần đổi dấu các hạng tử.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức 3(x – y) – 5x(y – x) thành nhân tử.
Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 3 và 5 ? (Học sinh trả lời là: 1 vì
ƯCLN(3;5)= 1).
- Tìm nhân tử chung của (x – y) và y(y – x) ? (Học sinh trả lời là: không
có).
- Sau đó giáo viên hướng dẫn thực hiện đổi dấu tích 3(x – y) hoặc tích –5x(y
– x) để có nhân tử chung (x – y) hoặc (y – x)?
Cách 1: Nếu đổi dấu tích –5x(y – x)= 5x(x – y) thì nhân tử chung của đa
thức là (x – y).
Cách 2: Nếu đổi dấu tích 3(x – y)= –3(y – x) thì nhân tử chung của đa
thức là (y – x) hoặc –(y – x).
Giải:
Cách 1: 3(x – y) – 5x(y – x) = 3(x – y) + 5x(x – y)
= (x – y).3 + (x – y).5x
= (x – y)(3 + 5x)
Cách 2: 3(x – y) – 5x(y – x) = – 3(y – x) – 5x(y – x)
= (y – x). (–3) – (y – x).5x

Giải:
x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2
b. x2 – 2
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
(Học sinh trả lời có dạng: A2 – B2 = (A – B)(A + B) với A = x, B = 2 )
Giải:
x2 – 2 = x2 –

( 2)

2

= (x – 2 )(x + 2 )

c. 1 – x3
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
(Học sinh trả lời có dạng: A 3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)) với A=1,
B=x).
Giải:
1 – x3 = (1 – x)(1 + x. 1 + x2) = (1 – x)(1 + x + x2).
Lưu ý: Giáo viên cần rèn cho học sinh kỹ năng vận dụng các hằng đẳng thức
đáng nhớ, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán, dựa vào các hạng tử,
số mũ của các hạng tử (Ở các bài về những hằng đẳng thức đáng nhớ) để học
sinh sử dụng hằng đẳng thức cho thích hợp ở dạng này.
* Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Phương pháp chung
Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện
nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán.

 Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên:
Ví dụ 6: Phân tích đa thức x2 + 2xy + y2 + 4x + 4y thành nhân tử.
Gợi ý: Có thể nhóm ba hạng tử đầu thành một nhóm, hai hạng tử sau thành một
nhóm.
Giải
x2 + 2xy + y2 + 4x + 4y = (x2 + 2xy + y2) + (4x + 4y)
= (x + y)2 + 4(x + y)
= (x + y)(x + y + 4)
Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình
phân tích thành nhân tử không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải
thực hiện lại.
* Phối hợp nhiều phương pháp
Phương pháp chung:
Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử,
đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy, học sinh cần nhận xét bài toán
một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp.
Thông thường ta có thể xét theo thứ tự các phương pháp: Đặt nhân tử chung;
dùng hằng đẳng thức; nhóm nhiều hạng tử?
Ví dụ 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 5x3 + 10x2y + 5xy2
b) x2 – 2xy + y2 – 9
Gợi ý: Đặt nhân tử chung ?
Dùng hằng đẳng thức ?
Nhóm nhiều hạng tử ?
Hay có thể phối hợp các phương pháp trên?
Trang

9



phương pháp nhóm hạng tử ở mức độ đơn giản học sinh có thể nhận dạng ngay
phương pháp cần áp dụng.
Ví dụ 8: Phân tích đa thức các đa thức sau thành nhân tử.
a. x2 – x
b. x2 – 4x + 4
c. x2 – xy + 2x – 2y
Giải:
a. x2 – x
(Học sinh dễ dàng nhận ra nhân tử chung là x).
x2 – x = x(x – 1)
b. x2 – 4x + 4
(Học sinh thấy được dạng của hằng đẳng thức A2 – 2AB + B2 = (A – B)2).
Xem cách giải ở ví dụ 3a đã nêu ở trên.
2
c. x – xy + 2x – 2y
(Học sinh thấy được hai hạng tử đầu x 2 – xy có nhân tử chung là x; hai
hạng tử cuối 2x – 2y có nhân tử chung là 2 thì lập tức nhóm hạng tử).
x2 – xy + 2x – 2y = (x2 – xy) + (2x – 2y)
= x(x – y) + 2(x – y)
= (x – y)(x + 2)
* Đối với học sinh trung bình: Có thể cho học sinh làm những bài tập có vận
dụng phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng hằng đẳng thức,
phương pháp nhóm hạng tử ở mức độ cao hơn. Đồng thời, vận dụng phối hợp
các phương pháp nêu trên.
Ví dụ 9: (Bài tập 48a – Sgk trang 22, Toán 8 tập 1)
Phân tích đa thức đa thức x2 + 4x – y2 + 4 thành nhân tử.
Gợi ý: - Có thể nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức, sau đó tiếp tục
vận dụng hằng đẳng thức.
Giải:
x2 + 4x – y2 + 4 = (x2 + 4x + 4) – y2

⇔ x = 2 hoặc x = –1
Vậy: x = 2 ; x = –1
- Dạng toán rút gọn phân thức đại số
Ví dụ 12: (Bài 12a – trang 40 sgk Toán 8 tập 1)
3 x 2 − 12 x + 12
.
x 4 − 8x

Rút gọn phân thức

Gợi ý: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử.
Giải
3x 2 − 12 x + 12 3( x 2 − 4 x + 4
=
x 4 − 8x
x x3 − 8

(

)

)

=

2
3( x − 2)
3( x − 2 )
=
2

Vì vậy, giáo viên cần lưu ý cho học sinh khi đặt nhân tử chung thì phép tính
tiếp theo là phép nhân.
Lời giải đúng: 3(x – y) – 5x(x – y) = (x – y).(3 – 5x)
* Sai lầm 2: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung
Ví dụ 14: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử. (Bài tập 47a –
trang 22 – SGK Toán 8 tập I)
Lời giải sai:
x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + (x – y)
= (x – y)x (kết quả dấu sai vì bỏ sót số 1)
Sai lầm của học sinh là: bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung
(HS cho rằng ở ngoặc thứ hai khi đặt nhân tử chung (x – y) thì hết, có nghĩa
là còn lại là số 0)
Giáo viên nên hướng dẫn học sinh ở trường hợp này nên phân tích (x – y) = 1.
(x – y) thì khi đặt nhân tử chung x – y thì học sinh vẫn còn nhìn thấy số còn lại là
1.
Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1)
* Sai lầm 3: Thực hiện thiếu dấu ngoặc trong quá trình phân tích:
Ví dụ 16: Phân tích đa thức (x + y) 2 – (x – y)2 thành nhân tử. (BT- 28a –
trang 6 – SBT – Toán 8 tập I).
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào ? (HS: có dạng A2 – B2).
Lời giải sai:
(x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc)
= 0.(2x) = 0
(kết quả sai)
Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc dẫn đến kết quả
sai.

Trang 13

Bạn An làm như sau:
x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 + x2)– (9x3 + 9x)
= x2 (x2 + 1)– 9x (x2 + 1)
= (x2 + 1)(x2– 9x)
= x(x– 9) (x2 + 1)
Hãy nêu ý kiến của em về lời giải của các bạn.
Giáo viên cho học sinh nêu ý kiến của mình. Sau đó giáo viên chốt lại và
nêu ra các sai lầm mà Thái và Hà đã mắc phải đó là phân tích chưa triệt để còn
bài của bạn An đã phân tích triệt để.
Ví dụ:

Trang 14


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

Lời giải chưa triệt để
Lời giải hoàn chỉnh
x4 – 9x3 + x2 – 9x
x4 – 9x3 + x2 – 9x
= x(x3 – 9x2 + x – 9)
= x(x3 – 9x2 + x – 9)
Bạn Thái
= x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)]
= x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)]
= x(x – 9)(x2 + 1)
x4 – 9x3 + x2 – 9x
x4 – 9x3 + x2 – 9x
= (x4 – 9x3 ) + (x2 –

 Chú ý: Tích không đổi khi ta đổi dấu hai nhân tử trong tích đó (một cách
tổng quát, tích không đổi khi ta đổi dấu một số chẵn nhân tử trong tích đó).
Lưu ý: (A – B)2 = (B – A)2

Trang 15


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

* Sai lầm 6: Cách nhóm hạng tử và đặt dấu sai
Ví dụ 20: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử.
Lời giải sai:
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y )
(đặt dấu sai)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên)
= (x – 2y)(x + 2y – 2)
(kết quả dấu sai)
Sai lầm của học sinh là: Nhóm và đặt dấu sai ở ngoặc thứ hai.
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y )
thay vì
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (–2x – 4y )
Lời giải đúng:
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2) + (–2x – 4y)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x +2y)
= (x + 2y)(x – 2y– 2)
Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh:
Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh cần
chú ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm.
Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu:

không đổi dấu các hạng tử mang vào. Cụ thể như sau:
x2 – xy + x – y = (x2 + xy) – (x – y)= x(x + y) – (x + y)=(x + y)(x – 1).(lời
giải sai)
Lời giải đúng:
x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y)
= x(x + 1) –y (x + 1)
= (x + 1)(x – y).
Như vậy, sai lầm ở cách 2 là sai lầm mà học sinh thường mắc phải nhất.
Học sinh thường không chú ý đến dấu khi nhóm. Còn khi nhóm các hạng tử theo
cách 1, thì học sinh ít sai do hạng tử đầu ở mỗi nhóm đều mang dấu cộng. Như
vậy, nếu nhóm theo cách 1 thì học sinh ít sai hơn.
Ví dụ 23: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử.
(Bài tập 57- SBT - trang 9 toán 8 tập 1)
Trong ví dụ này có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách
giải phù hợp nhất, gọn nhất.
Cách 1: Áp dụng hằng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B).
Giải:
A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3
= [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3
= (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 – y3 – z3
= [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z)
= [x3 + y3 + 3xy(x + y) – x3 – y3] + 3z(x + y)(x + y + z)
= 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 )
= 3(x + y)( xy + xz + yz + z2)
= 3(x + y)[ (xy + xz) + (yz + z2)]
= 3(x + y)[ x(y + z) + z(y + z)]
= 3(x + y)(y + z)(x + z)
Cách 2: Áp dụng hệ quả sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B) được suy ra
từ hằng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B).
Giải


(

)

− 3 ( x + y )  zx + z 2 + ( zy + xy ) 

3
= ( x + y + z ) − 3 ( x + y ) z ( x + z ) + y ( z + x ) 

= ( x + y + z ) − 3( x + y ) ( x + z ) ( z + y)
3

Từ

x 3 + y3 + z 3 = ( x + y + z ) 3 − 3 ( x + y ) ( x + z ) ( z + y )

3
Suy ra ( x + y + z ) − x 3 − y3 − z3 = 3 ( x + y ) ( x + z ) ( z + y )

* Khai thác bài toán
Từ ví dụ 23 có thể khai thác thành những bài toán sau:
1) Chứng minh rằng A= ( x + y + z ) − x 3 − y3 − z3 chia hết cho 3 với mọi x, y, z
3

nguyên.
2) Cho x + y + z = 0. Chứng minh x 3 + y3 + z3 = 3xyz (Bài tập 38-SBTtr7).
Hướng dẫn:
Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) và x + y + z = 0 ⇔ x + y = – z .
3) Phân tích đa thức x3 + y3 + z3– 3xyz thành nhân tử (Bài tập 28c)-SBTtr6).

Cách 3 (tách hạng tử : 4 = 16 – 12)
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 12 – 8x + 16
= 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2)
= 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2)
= (x – 2)(3x + 6 – 8)
= (x – 2)(3x – 2)
Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử
nhằm:
- Làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương. (cách 1)
- Làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ đó làm xuất
hiện nhân tử chung x – 2 . (cách 2)
- Làm xuất hiện nhân tử chung và hằng đẳng thức. (cách 3)
Vì vậy, việc tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất
hiện các phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức,
nhóm nhiều hạng tử là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh trong giải
toán.
Khai thác: Trong đa thức 3x2 – 8x + 4 đặt a = 3, b = – 8, c = 4. Tính tích
a.c và phân tích a.c = b1.b2 sao cho b1 + b2 = b
ac = b1.b2 = 3.4 = (– 6).( – 2) = 12;
b1 + b2 = b = (– 6) + ( – 2)= – 8
Tổng quát: Để phân tích đa thức dạng ax 2 + bx + c thành nhân tử, ta tách
hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho b1b2 = ac
Trong thực hành ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tích ac.
Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách .
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.

Trang 19



= x(x + 1)(x2 – x + 1) – 30(x2 – x + 1)
= (x2 – x + 1)(x2 + x – 30)
* Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử nhằm sử dụng phương pháp
nhóm để xuất hiện dạng đặt nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng thức.
Ví dụ 27: Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử.
Ta có thể phân tích:
Cách 1: Thêm x2 và bớt x2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức)
Trang 20


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”

Ta có x4 + x2 + 1 = x4 + x2 + x2 +1 – x2
= x4 + 2x2 +1 – x2
= (x4 + 2x2 + 1) – x2
Giải:
x4 + x2 + 1 = x4 + x2 + x2 +1 – x2
= x4 + 2x2 +1 – x2
= (x4 + 2x2 + 1) – x2
= (x2 + 1)2 – x2
= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1)
Cách 2: Thêm x và bớt x:(làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung)
Ta có x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1 = (x4 – x) + (x2 + x + 1)
Giải:
x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1
= (x4 – x) + (x2 + x + 1)
= x(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
= x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)

* Thay “4” thành “ 64y4 ”, ta có bài toán: x4 + 64y4
Hướng dẫn giải:
Thêm 16x2y2 và bớt 16x2y2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức)
x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) – 16x2y2
= (x2 + 8y2)2 – (4xy)2
= (x2 + 8y2 – 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy)
Trên đây là một vài ví dụ điển hình giúp các em học sinh giải quyết những
khó khăn trong quá trình giải bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử.
2.7) Một số lưu ý trong quá trình phân tích đa thức thành nhân tử:
* Quan sát đặc điểm của bài toán; nhận dạng bài toán; chọn lựa phương
pháp giải thích hợp:
- Quan sát đặc điểm của bài toán: Nhận xét quan hệ giữa các hạng tử trong
bài toán (về các hệ số, các biến).
- Nhận dạng bài toán: Xét xem bài toán đã cho thuộc dạng nào? áp dụng
phương pháp nào trước, phương pháp nào sau (đặt nhân tử chung hoặc dùng
hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử, phối hợp các phương pháp, phương pháp
tách hạng tử, thêm bớt hạng tử).
- Chọn lựa phương pháp giải thích hợp:Từ những cơ sở trên mà ta chọn lựa
phương pháp cho phù hợp với bài toán.
* Một số lưu ý khi thực hiện phân tích một đa thức thành nhân tử:
- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung thì bước tiếp
theo đối với biểu thức còn lại trong ngoặc, thường là thu gọn, hoặc sử dụng
phương pháp nhóm hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức.
- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử thì bước tiếp
theo đối với các biểu thức đã nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử
chung hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức.
- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức thì bước tiếp
theo của bài toán thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng
hằng đẳng thức.
- Phương pháp đặt nhân tử chung không thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai

Với việc các em nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
và kết hợp với việc đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn toán ở khối 8, tôi
thấy chất lượng môn toán ngày càng tiến bộ rõ rệt. Cụ thể là:
GIỮA HKI
HKI
LỚP (trước khi nghiên cứu) ( sau khi nghiên cứu)
TS Đạt TB↑ TL% Đạt TB↑
TL%
8A
27
18
66,7
24
88,9
8B
27
19
70,4
24
88,9
4. Phạm vi áp dụng:
Giải pháp này đã được áp dụng tốt trong đơn vị và có thể áp dụng cho một số
đơn vị trong huyện, trong tỉnh.

Trang 23


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 trường THCS Biên Giới”


Châu Thành, ngày 05 tháng 04 năm 2013
Người thực hiện

Vũ Thái Châu

Trang 24


MỤC LỤC
Trang
Bản tóm tắt đề tài …………………………………………………………… 1
A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài: .........................................................................................3
2. Mục đích nghiên cứu.....................................................................................3
3. Đối tượng nghiên cứu....................................................................................4
4. Phạm vi nghiên cứu.......................................................................................4
5. Phương pháp nghiên cứu...............................................................................4
6. Giả thuyết khoa học.......................................................................................4
B. NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận .................................................................................................5
II. Cơ sở thực tiễn .............................................................................................5
III. Nội dung vấn đề .........................................................................................6
1. Vấn đề đặt ra .................................................................................................6
2. Giải pháp, chứng minh vấn đề được giải quyết.............................................6
3. Kết quả thực hiện ........................................................................................23
4. Phạm vi áp dụng..........................................................................................23
C. KẾT LUẬN
1. Bài học kinh nghiệm ...................................................................................24
2. Hướng phổ biến, áp dụng đề tài .................................................................24
3. Hướng nghiên cứu tiếp đề tài .....................................................................24