TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TẬP LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI
ÔN THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG MÔN TOÁN HAY
Đề 1
Câu 1
a) Giải phương trình :
5x3x4x
2
+=+−
.
b) Giải phương trình :
2x22x3xx
23
+=−−+
trên
[ ]
2;2−
.
Câu 2
Cho
2>α
và dãy số
( )
n
x
với :
( )






. Gọi
M
là điểm chuyển động trên cạnh
AB
.
Gọi
N
là điểm chuyển động trên cạnh
AC
.
a) Giả sử
CNBM
=
.Chứng minh đường trung trực của
MN
luôn đi qua một điểm cố định .
b) Giả sử
AN
1
AM
1
+
không đổi.Chứng minh
MN
luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 4
Tìm các số nguyên tố
cba ,,
sao cho
ca

24
=+−− ttt
(*)
Ta có : (*)
( )
( )
016533
23
=−−+−⇔ tttt




=−−+
=
⇔
(**)01653
3
23
ttt
t
Với
3=t
ta có
4=x
Đặt
( )
11 ≥+= yty
từ phương trình (**) ta có :
098

nên có thể chọn
00
;vu
sao cho :
3
8
00
=vu
Vậy ta có :





=+
=
9
27
512
3
0
3
0
3
0
3
0
vu
vu
Như vậy

3
0
3
0
v
u
Ta tìm được nghiệm của (***) là
33
0
108
139
2
9
108
139
2
9
−++=y
.Suy ra :
51
108
139
2
9
108
139
2
9
2
33






−−++=x
b) Đặt
tcos2x
=
.Với
[ ]
2;2x −∈
ta có
[ ]
π∈ ;0t
Phương trình đã cho trở thành :






=−+−
2
t
cos21tcos2tcos3tcos4
23
(*)
Với
[ ]



=






=






⇔
5
4
t
0t
t
1
2
t5
cos
0
2
t
cos

Nn
n
3n
x3x2
3x

a) Chứng minh :
1x
n
>
với
*
Nn ∈∀
.
b) Chứng minh dãy số
( )
n
x
có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Giải
a) Ta chứng minh
1x
n
>
với
*
Nn ∈∀
bằng quy nạp
Ta có :
α=

2
n
>
+
+
Suyra:
1x
1n
>
+
.
Vậy
1x
n
>
với
*
Nn ∈∀
Ta chứng minh
( )
n
x
là dãy giảm bằng quy nạp
Vì
2
>α
nên
α<+α 243
2
.Ta có

2
1k
+
+<
+
+
+
+
Suy ra:
1k2k
xx
++
<
Vậy
( )
n
x
là dãy giảm
( )
n
x
lả dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ.
Đặt
α=
n
xlim
.Ta có
1132
2
=α⇔+α=α

không đổi.Chứng minh
MN
luôn đi qua một điểm cố
đinh .
Giải

a) Nếu tam giác
ABC
cân thì trung trực
MN
đi qua điểm
A
cố định
Xét tam giác
ABC
không cân tại A
Gọi E là điểm chính giữa cung
BAC
của đường tròn ngọai tiếp tam giác
ABC .E là điểm cố định
vì
CNBM;ECEB ==
;góc
EBM
=góc
ECN
nên
ECNEBM
∆=∆


2
1 β
+
β
=β






+
β
β
=⇒
ANAM
AN.AM
2
sin
sin
AF
AF
⇒
không đổi hay F là điểm cố định
Vậy
MN
luôn đi qua một điểm cố đinh .
Câu 4 Tìm các số nguyên tố
c,b,a
sao cho

19981219992
bb
++=+
chia hết cho 3 .suy ra
c
chia hết
cho 3 ( mâu thuẫn
c
nguyên tố).Vậy
2b
=
Với
2ba
==
ta có
2003c
=
Câu 5
Trong mặt phẳng cho 6 điểm tùy ý sao cho không có ba điểm nào thẳng
hàng.Người ta tô mỗi đoạn thẳng tạo ra từ 6 điểm này bằng một trong hai
màu đen hoặc trắng .
Chứng minh tồn tại một tam giác có các cạnh được tô cùng màu.
Giải
Từ điểm A ta tạo với 5 điểm B,C,D,E ,F được 5 đoạn thẳng
AB,AC,AD,AE,AF.
Vì chỉ tô màu đen hoặc trắng nên trong 5 đoạn thẳng trên phải tồn tại 3 đọan
thẳng tô cùng màu.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử AB,AC, AD được tô màu đen.
Nếu có ít nhất môt trong ba đọan thằng BC,CD,DB được tô màu đen.Không
mất tính tổng quát giả sử BC tô màu đen thì ABC là tam giác thỏa yêu cầu

u
u u u
+ +
=


= −


= −


*
( )n N∈
a) Chứng minh
3 2
n
u n= -
với mọi
*
n NÎ
.
b) Tính tổng
1 2 2012
S u u u= + + +
.
Bài 3
Cho đường tròn
( ; )O R
có tâm là

qua
O
và giả sử
D
thay đổi nhưng luôn qua
E
.
Chứng minh :
2 2 2
CD DF FC+ +
luôn nhận giá trị không đổi.
Bài 4
Người ta đặt 4025 điểm bên trong hình tròn bán kính là 1 sao cho không có ba điểm nào thẳng
hàng. Chứng minh luôn tìm được 3 điểm từ các điểm trên sao cho tam giác tạo thành có diện tích
bé hơn
2012
π
.
Bài 5
Xét các đa thức
( )
P x
hệ số thực thoả mãn điều kiện sau :
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
( ) 2 2 2 1 1 ( 1)P x x x x x x x P x+ + + = + − +
với
x R


= ∈


= +

Tìm số dư khi chia
2013
v
cho 2011.
Bài 7
Cho tam giác
ABC
nội tiếp đường tròn
( ; )O R
và có trọng tâm
G
. Gọi
1 1 1
, ,A B C
lần lượt là giao
điểm của
, ,GA GB GC
với đường tròn
( ; )O R
.
a) Chứng minh:
2 2 2 2 2
3( )GA GB GC R OG+ + = -
.

2 3b b+ ³

Cộng từng vế hai bất đẳng thức trên ta có :
3 3 2
6 3 3a b a b+ + +³

Suy ra:
3 3
9a b+ ³
Khi
2, 1a b= =
thì đẳng thức xãy ra
Bài 2
Cho dãy số thực
( )
n
u
với
1 2
2 1
1, u 1
2
n n n
u
u u u
+ +
= = −


= −

2 2 3 2 3 2 1( ) ( ( ))
k k k
u u u k k
+ -
= - = - - - -

1 2 3 2 1( )k k= - = - +
Vậy
3 2
n
u n= -
với mọi
*
n NÎ
b)
3 2 1 3 2 2 3 2 2012( . ) ( . ) ( . )S = - + - + + -

3 2012 2 1 2 2012. ( )= - + + +

6036 2013 2012 4044120.= - = -
Bài 3
Cho đường tròn
( ; )O R
có tâm là
O
và
AB
là đường kính ,
E
là điểm cố định nằm

E
.
Chứng minh :
2 2 2
CD DF FC+ +
luôn nhận giá trị không đổi.
Giải
E
F
I
O
A
B
D
C
a) Ta có :
2 2 2
MC MD A B+ =

2 2 2
4( ) ( )MO O C MO OD R+ + + =Û
uuuur uuur uuuur uuur
2 2
4 2 4( )R MO OC OD R+ + =Û
uuuur uuur uuur

0.MO OI =Û
uuuur uur
(
I

2 2 2 2
2 .CE DE EC ED DF FC= + + + +
Xét
CEFD
ta có :
2
2 2 2
2
2
EF
CE CF R+ = +
Tương tự xét
DEFD
:
2
2 2 2
2
2
EF
DE DF R+ = +
Mặt khác :
2 2
.EC ED R EO= -
Thay thế các đẳng thức vào ta được :
2 2 2
CD DF FC+ +
2
2
6
2

Bài 5
Xét các đa thức
( )
P x
hệ số thực thoả mãn điều kiện sau :
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
( ) 2 2 2 1 1 ( 1)P x x x x x x x P x+ + + = + − +
với
x R∀ ∈
a) Chứng minh :
( ) ( )
1 1 0P P= − =
b)Tìm tất cả các đa thức
( )
P x
Giải
a) Lần lượt thay
1, 1x x= = −
, từ giả thuyết đề bài ta có điều phải chứng minh
b) Vì
( )
P x
có nghiệm là 1 và
1−
nên theo Bezout ta có :
1 1( ) ( ).( ).( )P x Q x x x= - +
Từ giả thuyết ta có

Do đó
( )F x C=
(hằng số) nên
2 2
1 1( ) ( )( )P x C x x= + -
Thử lại thấy
( )P x
thỏa yêu cầu bài toán . vậy
2 2
1 1( ) ( )( )P x C x x= + -
Bài 6
Cho dãy số
( )
n
v
với
1
*
2
2 1
8
34 ( )
8 1996
n n n
v
v n N
v v v
+ +
=



= ∈


= −

Ta có
( )
mod 2011
n n
v u≡
với mọi
*
n N∈
Xét phương trình đặc trưng :
2
8 15 0t t− + =
Phương trình trên có nghiệm
5, 3t t= =
( )
n
u
có dạng
.5 .3
n n
n
u A B= +
Vì
1 2
5, 13u u= =

( )
2013
3 27 mod 2011≡
Vậy khi chia
2013
u
cho 2011 ta được số dư là 152. Suy ra khi chia
2013
v
cho 2011 ta được
số dư là 152
Bài 7
Cho tam giác
ABC
nội tiếp đường tròn
( ; )O R
và có trọng tâm
G
. Gọi
1 1 1
, ,A B C
lần lượt
là giao điểm của
, ,GA GB GC
với đường tròn
( ; )O R
.
a)Chứng minh:
2 2 2 2 2
3( )GA GB GC R OG+ + = -

b)
1 1 1
1 1 1
. . .GA GA GB GB GC GC
GA GB GC
GA GB GC
+ + = + +
2 2
1 1 1
( )( )R OG
GA GB GC
= - + +
2 2 2
1 1 1
3
( )
GA GB GC
GA GB GC
+ +
= + +
Mặt khác :
2
2 2 2
3
( )GA GB GC
GA GB GC
+ +
+ + ³
áp dụng AM-GM:
1 1 1

cb
cb
ba
++≥
+
+
+
+
+
+
+
+
22
33
22
33
22
33
Bài 2
Cho dãy số thực
( )
n
x
với
1
1
1
3 4
1
n

và
( )
n
v
với
( )
*
2n n
v x n N= ∈
a) Chứng minh các dãy số
( )
n
u
,
( )
n
v
có giới hạn hữu hạn khi
n → +∞
b) Chứng minh các dãy số
( )
n
x
có giới hạn hữu hạn khi
n → +∞
và tìm giới hạn đó.
Bài 3
a) Cho tam giác
ABC
có

tùy ý.Tìm vị trí của
M
để
MA MB MC MD ME
+ + + +
ngắn nhất.
Bài 4
Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên
, ,x y z
sao cho:
2012 2012 2010
2009 2011 2012x y z+ = +

Bài 5
Trên mặt phẳng cho 2011 điểm sao cho với ba điểm bất kỳ trong số các điểm đó ta luôn tìm được
hai điểm để đoạn thẳng được tạo thành có độ dài bé hơn 1.Chứng minh luôn tồn tại một hình tròn
bán kính 1 chứa không ít hơn 1006 điểm đã cho.
Đáp án
Bài 1
a)Giải phương trình:
.1
1
3
2
=
+
+
x
x
x

Với điều kiện trên ta có:
x
x
x
x
x
x
−
=+⇔=
+
+
1
3
11
1
3
2
2⇔
2 2 2
(1 ) ( 1) 9x x x− + =
2
2
1 1
2 7 0x x
x x
 
⇔ + − + − =

1 10 5 2
2
1 10 5 2
2
x
x

+ − −
=


⇔

+ + +
=


So với điều kiện
10 << x
, phương trình đã cho có nghiệm
2
25101 −−+
=x
Bài 1b
Ta chứng minh:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
2
a b c a b c
a b b c c a

+
Suy ra :
2
22
2
22
2
22
2
cba
ac
ca
cb
bc
ba
ab ++
≤
+
+
+
+
+
Suy ra :
2
22
2
22
2
22
2

ac
b
cb
a ++
≥
+
+
+
+
+
(2)
(2) đối xứng với
cba ,,
.Không mất tính tổng quát ta giả sử
cba ≥≥
Suy ra :
22
2
22
2
22
2
ba
c
ca
b
cb
a
+
≥

2
a b c
b c a c a b
+ + ≥
+ + +
( bất đẳng thức nesbitt)
Vậy ta chứng minh được (2)
Công (1) và (2) vế theo vế ta có điều phải chứng minh
Bài 2
Cho dãy số thực
( )
n
x
với
1
1
1
3 4
1
n
n
n
x
x
x
x
+
=



( )
n
u
,
( )
n
v
có giới hạn hữu hạn khi
n → +∞
b) Chứng minh các dãy số
( )
n
x
có giới hạn hữu hạn khi
n → +∞
và tìm giới hạn đó
Giải
Câu 1a
Xét hàm số
( )
3 4
1
x
f x
x
+
=
+
trên
( )

Ta chứng minh
( )
n
u
,
( )
n
v
bị chặn bằng quy nạp
Ta có
1 1
u x=
suy ra
1
0 4u< <
Giả sử :
0 4
k
u< <
Vì
( )
f x
nghịch biến trên
( )
0;+∞
nên
( ) ( ) ( )
4 0
k
f f x f< <

nên
( ) ( )
1 3
f x f x>
hay
42
xx >
Giả sử
2 1 2 1k k
x x
− +
<
ta có
( ) ( )
2 1 2 1k k
f x f x
− +
>
hay
2 2 2k k
x x
+
>
( với
*
Nk ∈
)
Với
2 2 2k k
x x

( )
12 −n
x
là dãy tăng ,
( )
2n
x
là dãy giảm
Hay ta có
( )
n
u
là dãy tăng ;
( )
n
v
là dãy giảm
( ) ( )
,
n n
u v
là các dãy đơn điệu và bị chặn nên
2 2 1
lim ;lim
n n
x v x u
−
= =
Câu 2b
Ta có :

v
u
v
u
+

=


+

+

=

+

⇔
u v=
Dãy số
( )
n
x
có hai dãy con
( ) ( )
2 2 1
,
n n
x x
−

1 2 3
, ,G G G
lần lượt là trọng tâm các tam
giác
, ,KBC KCA KAB
∆ ∆ ∆
.
Chứng minh:
1 2 3
, ,G A G B G C
đồng quy và
1 2 3
G A G B G C= =
.
b)Trong mặt phẳng cho ngũ giác đều
ABCDE
nội tiếp đường tròn tâm
O
bán kính
R
và
điểm
M
tùy ý.
Tìm vị trí của
M
để
MA MB MC MD ME
+ + + +
ngắn nhất

=
uuur uuur
nên
, , ,H G O K
thẳng hàng và
O
là
trung điểm
HK
Gọi
M
là trung điểm
BC
.
Trong tam giác
AMK∆
ta có :
1
GG
song song
AK
;
1
1
3
GG AK=
và
1
3
GO OK=

Ta có :
ROAMO
R
OAOAMO
R
OAMA
R
OAMA
R
MA +=+=≥= .
1
).(
1

1
||.||.
1
1
( ) 5MA MB MC MD ME MO OA OB OC OD OE R
R
⇒ + + + + ≥ + + + + +
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
5MA MB MC MD ME R⇒ + + + + ≥
Vậy
MA MB MC MD ME
+ + + +
ngắn nhất khi
M
trùng với O.
Bài 4

Giải
A
B
C
Xét
A
tùy ý trong số 2011 điểm trên .Vẽ hình tròn
( )
1
C
tâm
A
,bán kính 1.
-Nếu tất cả các điểm còn lại đều nằm trong
( )
1
C
thì bài toán được chứng minh
-Nếu tồn tại điểm
B
(
B A≠
) không thuộc
( )
1
C
thì
1BA >
Vẽ hình tròn
( )

thuộc
( )
1
C
Như vậy ta đã chứng minh được
( )
1
C
và
( )
2
C
chứa tất cả 2011 điểm đã cho
Vậy luôn tồn tại một hình tròn bán kính 1 chứa không ít hơn 1006 điểm đã cho.
Đề 4
Bài 1
Cho a, b và c là các số không âm. Chứng minh rằng:

4 4 4
4 4 4
2 2 2
3 3 3
a b b c c a
a b c
+ + +
     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     
a) Giải phương trình

= −

= −


− + + + = ∀ ∈

¥
a) Chứng minh
*
2 3 ,
n
n
u n n
= − ∀ ∈
¥
.
b) Đặt
1
1
n
n k
k
S u
−
=
=
∑
. Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố và n > 2 thì
n

Đáp án
Bài 1.
a)Cho a, b và c là các số không âm. Chứng minh rằng:

4 4 4
4 4 4
2 2 2
3 3 3
a b b c c a
a b c
+ + +
     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     
b)Giải phương trình
( )
4 4
4 4
5 10
5
3 3
x x
x x x
+ −
+ − = + ∈¡
a. Cho a, b và c là các số không âm. Chứng minh rằng:

4 4 4
4 4 4

4 4
2 2
3 3
b c b c+ +
 
≥
 ÷
 
và
4
4 4
2 2
3 3
c a c a+ +
 
≥
 ÷
 
Suy ra
4 4 4
4 4 4
2 2 2
3 3 3
a b b c c a
a b c
+ + +
     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     

1 2
'( ) ; ''( ) ( 1)f x x f x x
α α
α α α
− −
= = −
(*)
Áp dụng (*) với
1
4
α
=

Ta có:
4 4
4 4 4
2 (5 ) 2 2(5 )
2 5
3 3 3
x x x x x x
x x
+ − + + −
+ − ≤ + +
5
(1) 5
2
x x x⇔ = − ⇔ =
. Vậy
5
2

a) Chứng minh
*
2 3 ,
n
n
u n n
= − ∀ ∈
¥
.
b) Đặt
1
1
n
n k
k
S u
−
=
=
∑
. Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố và n > 2 thì
n
S
chia
hết cho n.
a) Chứng minh
*
2 3 ,
n
n

= − = − +
Chứng minh
( )
2 *
2
2 3 2 ,
k
k
u k k
+
+
= − + ∀ ∈ ¥
Ta có
( ) ( )
2 1
3 1 2 1 3
k k k
ku k u k u
+ +
− + + + =
( ) ( )
( )
( )
( )
1
2
3 1 2 3 1 2 1 2 3 3
k k
k
ku k k k k

S u
−
=
=
∑
. Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố và n > 2 thì
n
S
chia hết cho
n.
Ta có:
( )
1
2 1
1
2 2 2 3 1 2 ( 1)
n
n
n k
k
S u n
−
−
=
= = + + + − + + + −
∑
( )
1
1
1 2 ( 1) ( 1)

là các đường trung tuyến của tam giác ABC và
O
là điểm tuỳ ý
trong mặt phẳng ABC.
a)Chứng minh
' ' ' 3 3
2
AA BB CC
BC CA AB
+ + ≥
.
b) Chứng minh
3
OA OB OC
BC CA AB
+ + ≥
.
a) Chứng minh
' ' ' 3 3
2
AA BB CC
BC CA AB
+ + ≥
.
Ta có
( )
2 2 2 2
4 ' 2AA AB AC BC
= + −
( )

' 2 3 'BB BB
AC AB BC CA
≥
+ +

2
2 2 2
' 2 3 'CC CC
AB AB BC CA
≥
+ +
Do
( )
2 2 2 2 2 2
3
' ' '
4
AA BB CC AB BC CA
+ + = + +
Nên
' ' ' 3 3
2
AA BB CC
BC CA AB
+ + ≥
b) Chứng minh
3
OA OB OC
BC CA AB
+ + ≥

.
OG GA GA
OA OA GA OAGA
BC BC GA AB BC CA AB BC CA
+
= ≥ ≥
+ + + +
uuur uuur uuur
uuur uuur
( )
2
2 2 2
3 3
.
OA
OG GA GA
BC AB BC CA
≥ +
+ +
uuur uuur
Tương tự ta được
( )
2
2 2 2
3 3
.
OB
OG GB GB
CA AB BC CA
≥ +

+ + = + + = + +
uuur uuur uuur r
Nên

3
OA OB OC
BC CA AB
+ + ≥
Bài 4.
Cho đa giác đều (H) có n đỉnh (
6n ≥
) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Xét các tam
giác có 3 đỉnh lấy từ n đỉnh của đa giác đều (H). Tìm n biết rằng trong số tam giác
đó, số tam giác mà ba cạnh không là cạnh của đa giác đều (H) bằng 5 lần số hình chữ
nhật có bốn đỉnh trong n đỉnh của đa giác đều (H).
Số tam giác có 1 cạnh là cạnh của hình (H) là n(n – 4)
Số tam giác có 2 cạnh là cạnh của hình (H) là n
Số tam giác có ba cạnh không là cạnh của đa giác đều (H) và có ba đỉnh trong n đỉnh
của đa giác đều (H) là
3 4 2
( 4) 3
n n
C n n n C n n− − − = − +
Một hình chữ nhật nội tiếp trong đường tròn có hai đường chéo cắt nhau tại tâm O ⇒
Hai đường chéo qua tâmO của hình (H) tạo thành một hình chữ nhật ⇒ n là số chẵn
và số hình chữ nhật là
2
2
n
C

2
x
x x
+
− = − + −
.
Bài 2.
Cho dãy số
( )
( )
1
*
1
1
:
3 2 2, ( )
n
n
n n
u
u
u u n
+
=



− = ∀ ∈



x y z
= + +
+ + +
.
b) Giải phương trình
( ) ( )
2
3
3
2
1 3 3 9 3
2
x
x x
+
− = − + −
a) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn
2 2 2
12x y z
+ + =
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 3
1 1 1
1 1 1
P
x y z
= + +
+ + +
.

+ − +
Tương tự
2 2
3 3
1 2 1 2
;
2 2
1 1
y z
y z
≥ ≥
+ +
+ +
Vậy
2 2 2
3 3 3
1 1 1 2 2 2
2 2 2
1 1 1
P
x y z
x y z
= + + ≥ + +
+ + +
+ + +
Áp dụng Cauchy – Swarzt, ta được:
2 2 2
18
1
6

27 2 45
; ; 3 3
9 2 18 3
t x t t
x x
+ + +
= = − =
Phương trình đã cho trở thành
3 2 3
2
45 45
1 3 3
18 3 2
t t t
t t t
+ +
= + + ⇔ = + +
Ta có
2
2
3 3
3 3 0
2 4
t t t
 
+ + = + + >
 ÷
 
nên
( )

3t
= −
thì
0x
=
Bài 2.
Cho dãy số
( )
( )
1
*
1
1
:
3 2 2, ( )
n
n
n n
u
u
u u n
+
=



− = ∀ ∈


¥

u u n
+
< ∀ ∈¥
bằng phương pháp quy nạp.
• Ta có:
1
2 1
2
1
5
6
u
u u
u
=


⇒ <

=


• Giả sử:
1
;
k k
u u k
+
< ∈¥
và k > 1

u
.
Ta có:
1
1 1
3
3 (2 ) 2 3 . 3 . 3
2
n n n
n n n n
u u u u
+
+ +
− = ⇔ = +
Đặt
3 6
n
n n
v u= +
, ta được:
1 1
3 3
6 ( 6) 3
2 2
n n n n
v v v v
+ +
− = − + ⇔ =
Ta được:
1

. 9.
2 2
n n
n
v v
− −
   
= =
 ÷  ÷
   
Vậy
6
1 1
6.
3 2 3
n
n
n n n
v
u
−
 
= = −
 ÷
 
Bài 3.
Trong mặt phẳng cho đường tròn (C) tâm I bán kính R và điểm A cố định thuộc
đường tròn (C). Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C) tại điểm A. Tìm quỹ tích điểm M biết
rằng khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ bằng độ dài tiếp tuyến MT của đường
tròn (C) với T là tiếp điểm.

 ÷
 
2
2 4 4
2 2 2 2 2 2 2
2 2
( , )
2 4 4
y y y
IM R y R d M MI R MT
R R R
 
= − + = + ⇒ ∆ = = − =
 ÷
 
Vậy quỹ tích điểm M là một parabol
2
( ) : 2P y Rx=
Bài 4.
Trong hình vuông diện tích bằng 12 đặt 3 đa giác có diện tích bằng 6. Chứng
minh rằng luôn tìm được hai đa giác mà diện tích phần chung của chúng không
nhỏ hơn 2.
Gọi ba đa giác trong đề bài là
1 2 3
, ,S S S
và kí hiệu
i
S
là diện tích của đa giác
i