Trang1

THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI
THTT SỐ 400-10/2010

ĐỀ SỐ 01
Thời gian làm bài 180 phút

PHẦN CHUNG
Câu I:
Cho hàm số:
3
y x 3mx 3m 1 (1)
   
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời chúng cách đều đường thẳng
x y 0
 
.
Câu II:
1) Giải phương trình:
5 cos2x
2cosx
3 2tan x




2) Giải hệ phương trình:
3 3
2 2

Chứng minh rằng với mỗi số dương x, y, z thỏa mãn
xy yz zx 3,
  
ta có bất đẳng thức:
   
1 4 3
xyz x y y z z x 2
 
  
.

PHẦN RIÊNG
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a:
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB, BC lần lượt
là
5x 2y 7 0,x 2y 1 0
     
. Biết phương trình phân giác trong góc A là
x y 1 0
  
. Tìm
tọa độ đỉnh C của tam giác ABC.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxyz cho điểm


M 1;2;3
. Viết phương trình
đường thẳng đi qua M, tạo với Ox một góc 60

0
.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxyz cho hình vuông ABCD có


A 5;3; 1

,


C 2;3; 4

, B là một điểm trên mặt phẳng có phương trình
x y z 6 0
   
. Hãy tìm tọa độ
điểm D.
Câu VII.b:
Giải phương trình:


3
3
1 x 1 x 2
   
.

HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ

PHẦN CHUNG



Vì CĐ và CT đối xứng qua y = x nên:
1 2
2 1
x y
m 2m m 3m 1
x y
m 2m m 3m 1


  



 

    




Giải ra được
1
m
3


Câu II:
1) ĐK:



    




Ths : Leâ Minh Phaán http://thichhoctoan.tk
Trang3

2)
Hệ PT
3 3
2 2
x y 9 (1)
x x 2y 4y (2)

 


   


Nhân 2 vế PT(2) với -3 rồi cộng với PT(1) ta được:
3 2 3 2
x 3x 3x y 6y 12y 9
     




Câu III:
 
     
1 cos x
2 2 2 2
0 0 0 0
1 sin x
I ln dx cosx.ln 1 sin x dx ln 1 sin x dx ln 1 cosx dx (1)
1 cosx
   


      

   

Đặt
x t dx dt
2

    

Suy ra:
     
2 2 2
0 0 0
I sin t.ln 1 cost dt ln 1 cost dt ln 1 sin t dt
  
     
  


Đặt
2 2
2
1
1 1
t 1 sin x dt cosxdx J ln tdt tlnt dt 2ln2 1
         
 

Với
 
2
0
K sin x.ln 1 cosx dx

 


Đặt
1 2
2 1
t 1 cosx dt sinxdx K ln tdt ln tdt 2ln2 1
          
 

Suy ra:
2I 2ln2 1 2ln2 1 I 2ln2 1
      


ID IA
 

Mà
ID BC


ID (ABC)
 

3
ABCD ABC
1 1 1 a 3
V ID.S .ID.AB.AC .a.a.a 3
3 6 6 6
    
Câu V:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương
1
2xyz
;
1
2xyz
và
   
4
x y y z z x
  

   

xy.yz.zx 1 x y z 1 xyz 1 (1)
3
 
 
     
 
 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương xy + yz, yz + zx và zx + xy:
   
     
 
3 3
xz yz xy zx yz xy 2 xy yz zx
xz yz xy zx yz xy 8 (2)
3 3
          
     
   
   

Từ (1) và (2) suy ra:






2 2 2
x y z x y y z z x 8

5x 2y 7 0 x 1
B 1; 1
x 2y 1 0 y 1
    
 
   
 
    
 

Ths : Leâ Minh Phaán http://thichhoctoan.tk
Trang5

Gọi D là giao điểm phân giác và BC.
Tọa độ điểm D:
 
x y 1 0 x 1
D 1;0
x 2y 1 0 y 0
   
 
 
 
   
 

Giã sử đường thẳng AC có vectơ pháp tuyến






      







Tọa độ điểm C:
11
x
2x 5y 14 0
11 4
3
C ;
x 2y 1 0 4
3 3
y
3



  


 
 
 

cos60 3a a a 0
2
a a a
      
 

(Oxz) có vectơ pháp tuyến


0;1;0

Đường thẳng d tạo (Oxz) 1 góc 30
0
nghĩa là d tạo với vectơ pháp tuyến này 1 góc 60
0
.
2 0 2 2 2
1 2 3
2 2 2
1 2 3
a
1
cos60 a 3a a 0
2
a a a
      
 

Giải ra được:
2 2 2



a 1; 1; 2
 


Suy ra 4 phương trình đường thẳng (d):

x 1 y 2 z 3
1 1
2
  
 
,
x 1 y 2 z 3
1 1
2
  
 

x 1 y 2 z 3
1 1
2
  
 

,

 

 


Lấy (2) trừ (1):
x y x y
e e y x e x e y
      

Xét hàm số


t
f t e t t 1
   

Ta có:


t
f ' t e 1 0 t 1
     


Hàm số luôn tăng trên miền xác định.









t
f t f 0 1 e t 1 t 0
       


PT vô nghiệm.
- Với
1 t 0
  
thì


f ' t 0
 
Hàm số luôn giảm




t
f t f 0 1 e t 1 1 t 0
         


PT vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm x = 0.


M 2; 2

2)
AC 3 2 BA BC 3
   

Tọa độ điểm B là nghiệm hệ phương trình:
     
     
     
2 2 2
2 2 2
2 2 2
x 5 y 3 z 1 9
x 5 y 3 z 1 9
x 2 y 3 z 4 9 x z 1 0
x y z 6 0 x y z 6 0


     

     



         
 
 
       

 


Ths : Leâ Minh Phaán http://thichhoctoan.tk
Trang7



B 2;3; 1

hoặc


B 3;1; 2




AB DC D 5;3; 4
  
 
hoặc


D 4;5; 3
Câu VII.b:


THTT SỐ 401-11/2010

ĐỀ SỐ 02
Thời gian làm bài 180 phút

PHẦN CHUNG
Câu I:
Cho hàm số:
3 2
y 2x 3x 1 (1)
  
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung
độ bằng 8.
Câu II:
1) Giải hệ phương trình:
2
2
xy 18 12 x
1
xy 9 y
3

  


 




a a c b
b b a c

 


 



Chứng minh rằng:
1 1 1
a b c
 

.

PHẦN RIÊNG
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a:
1) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho đường thẳng
(d) :3x 4y 5 0
  
và đường tròn (C):
2 2
x y 2x 6y 9 0
    
. Tìm những điểm M thuộc (C) và N thuộc (d) sao cho MN có độ dài
nhỏ nhất.

1 x x x a a x a x a x
        . Tính hệ số a
7
.
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b:
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):




2 2
x 1 y 3 1
   
và điểm
1 7
M ;
5 5
 
 
 
.
Tìm trên (C) những điểm N sao cho MN có độ dài lớn nhất.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S):
2 2 2
x y z 2x 4y 2z 5 0
      

và mặt phẳng (P):
x 2y 2z 3 0

1) Tự giải
Ths : Leâ Minh Phaán http://thichhoctoan.tk
Trang9

2)
3 2
y 2x 3x 1
   
2
y' 6x 6x
 

Gọi


0 0
M x ;y

Phương trình tiếp tuyến:




2
0 0 0 0
y 6x 6x x x y
   

Hay


x 2 3,xy 0
 - Nếu
xy 18

thì ta có hệ:
2
2
2
2
xy 18 12 x
xy 30 x (1)
1
3xy 27 y (2)
xy 9 y
3

  

 


 
 
 





 
2 2
5 3
x x 3 30 x 2x 3x 30 0 x
2
          (loại) hoặc
x 2 3
 (nhận)

Nghiệm


2 3;3 3

- Nếu
xy 18

thì từ (1) suy ra:
x 2 3
 , từ (2) suy ra:
y 3 3

xy 18 xy 18
   
Vô nghiệm.
Hệ có 2 nghiệm

2 11 x 2 1 0
2 1 x 0
2 11 x 0 x 3
     
    

  


    


Phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = 3.
Ths : Leâ Minh Phaán http://thichhoctoan.tk
Trang10

Câu III:
Gọi M là trung điểm BC
AM BC,SM BC
  

BC (SAM)
 

Trong (SAM) dựng
MN SA



MN là khoảng cách SA và BC.

  
 Câu IV:
   
5 5 2 4
0 0 0 0 0
J K
I x cosx sin x dx xcosxdx xsin xdx xcosxdx x 1 2cos x
cos x sin xdx
    
       
    
 
0
J xcosxdx




Đặt
u x du dx
  dv cosxdx v sin x
  

0 0

3 5
0 0 0
2 1 2 1
K x cosx cos x cos x cosx cos x cos x dx
3 5 3 5
8 2 1
cosxdx cos xdx cos xdx
15 3 5


  
   
      
   
   

   

  

Ths : Leâ Minh Phaán http://thichhoctoan.tk
Trang11

0
0
cosxdx sin x 0


 


 
8
I 2
15

  
.
Câu V:


 
2
2
a a c b (1)
b b a c (2)

 


 



Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác nên:
a c b
 

Từ (1) suy ra:
2
ab b a b b a 0

M thuộc (C) có vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại M cùng phương vectơ pháp tuyến (d) và
gần (d) nhất.




2 2
(C) : x 1 y 3 1
   


phương trình tiếp tuyến tại


0 0
M x ;y
:








0 0
x 1 x 1 y 3 y 3 1
     




 
1
2 2
2 11
3. 4. 5
5 5
d M ,(d) 1
3 4
 
  
 
 
 


 
2
2 2
8 19
3. 4. 5
5 5
d M ,(d) 3
3 4
 
  
 
 
 


 
  
  

  

 







Tọa độ điểm N cần tìm là
1 7
N ;
5 5
 
 
 
.
2)


I (d) I 2 t; 2t;4 3t
     

(S) tiếp xúc (P
1

 Với
t 1
 








2 2 2
2
1
I 1;2;1 ,R 2 (S ) : x 1 y 2 z 1 2
         

 Với
t 13
 








2 2 2
2

1 x C x C x C x C x C
     


4
0 1 2 2 3 3 4 4
4 4 4 4 4
1 x C xC x C x C x C
     
Suy ra:
2 3 1 3
7 4 4 4 4
a C C C C 6.4 4.4 40
       B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b:
1)
N là giao điểm của MI và (C) với MN lớn nhất.
Ths : Leâ Minh Phaán http://thichhoctoan.tk
Trang13

6 8
MI ;
5 5
 
 
 
 

 
   

   
   

1 2
MN 3,MN 1
  

So sánh:
1 2
MN MN



Tọa độ điểm N cần tìm là
8 19
N ;
5 5

 
 
 

2)
(S):





  

1
2
(P ') : x 2y 2z 0
(P '): x 2y 2z 6 0
  
   

Phương trình đường thẳng



đi qua I vuông góc với (P
1
’), (P
2
’):
 
x 1 t
: y 2 2t
z 1 2t
  


  


 

1 4 8 1
1 t 4 4t 2 4t 6 0 t M ; ;
3 3 3 3
 
             
 
 

 
 
1
2
2 2
2 8 10
3
3 3 3
d M ,(P) 1
1 2 2
   
 
  

Ths : Leâ Minh Phaán http://thichhoctoan.tk
Trang14

 
 
2
2
2 2

 

Câu VII.b:
 








3
3
2 2 2
x 0 x 0 x 0 x 0
f x f 0 1 3x 1 x 1 2x 1 x
1 3x 1 2x
f ' 0 lim lim lim lim
x 0 x x x
   
      
  
   




 
   

 
 
  
     



 
 
2
2
2
x 0 x 0 x 0
1 2x 1 x
x 1 1
lim lim lim
x 2
1 2x 1 x
x 1 2x 1 x
  
  
  
  
 
  
  
 

 
1 1

2
2 2
6x 3xy x y 1
x y 1.

   

 


Ths : Leâ Minh Phaán http://thichhoctoan.tk
Trang15

Câu III:
Cho hàm số


x
f x A.3 B
 
. Tìm các số A, B sao cho


f ' 0 2

và
 
2
1
f x dx 12

2

 
 
 

PHẦN RIÊNG
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a:
1) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho điểm


A 1;1
và đường thẳng (d) có phương trình
4x 3y 12 0
  
. Gọi B, C là giao điểm của (d) với các trục Ox, Oy. Xác định tọa độ trực tâm
của tam giác ABC.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, từ điểm


P 2;3; 5

hạ các đường thẳng vuông góc
với các mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình mặt phẳng đi qua chân các đường vuông góc đó.
Câu VII.a:
Chứng minh rằng số phức
24
5 5

 
 
và
2
x 1 y 2 z
d :
1 2 1
 
 
.
Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng


Q : x y 2z 3 0
   
sao cho (P)
cắt d
1
, d
2
theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất.
Câu VII.b:
Giải hệ phương trình
x y 1 2y 1
4
4 3.4 2
x 3y 2 log 3
  

 


(**) có 2 nghiệm dương phân biệt

 
2
Δ' 0 m 0
1
S 0 2 m 1 0 m ,m 0
2
P 0 2m 1 0

 



        
 
 
  



Với điều kiện này (**) có nghiệm
2 2
1 1 2 2
t x ;t x
 
(t
2
> t

m 1
2m 1 9 9m 32m 16 0
4
5
m
x x 9α
2m 1 9α
9


 
   

 

         
 
 

 

 
 




Vậy m = 4 hoặc
4
m

      
 Với
 
k2
x3x 2x k2
10 52
sin3x cos2x 0 sin3x sin 2x k Z
2
3x 2x k2
x k2
2 2
 

    


 
       

 
 
 


   
  







 
2
2 2
6x 3xy x y 1 1
x y 1. 2

   


 





  
2
1 6x 3xy 3x 2x y 1
3x 1 2x y 1 0
1
x
3
y 2x 1
     
    




  


      

    


Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm:

 
1 2 2 1 2 2 4 3
0;1 , ; , ; , ;
3 3 3 3 5 5
   
 
  
   
 
   
 
   

Câu III:
 


 
x
x

B 12
ln3
ln 3

 




  
 
  
  
  
 




Vậy
2
2
A
ln3
12
B 12
ln 3

Trang18

 
x
sin x 2cos
2
f x
x
cosx 2sin
2




x 0; .
2

 

 
 

Ta có:
2
x x x
cosx 2sin 2sin 2sin 1
2 2 2
    

Xét hàm số

 
 



g t 0
 

2
t 0;
2
 
 
 
 

x
cosx 2sin 0
2
  

x 0; .
2

 
 
 
 



2
x
1 sin
2
f ' x 0
x
cosx 2sin
2
 
 
 

 
 

x 0; .
2

 
 
 
 

GTLN


f x
=





C 0;4

Gọi


H x; y
là trực tâm tam giác ABC


BH x 3;y
 

,


CH x;y 4
 

,


AB 2; 1
 

,


AC 1;3


Vậy


H 3; 2
 

2) Gọi I, J ,K lần lượt là chân các đường vuông góc tương ứng của P lên các mặt phẳng Oxy,
Oyz, Oxz.
Ta có:


I 2;3;0
,


J 0;3; 5

,


K 2;0; 5


Mặt phẳng


IJK
có dạng
Ax By Cz D 0

Chọn D = -60, suy ra A = 15, B = 10, C = -6.
Vậy


IJK :15x 10y 6z 60 0
   

Câu VII.a:
24 k
24 24
k k
24 24
k 0 k 0
5 5 5 5 5k 5k
1 cos isin C cos isin C cos isin
6 6 6 6 6 6
 
     
     
     
     
     
 

24 24
k k
24 24
k 0 k 0
5k 5k
C cos i C sin

   

Suy ra:
24
k
24
k 0
5k
C sin 0
6





B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b:
1)






2 2
2
C : x 3 y 1 3
   

d song song với đường thẳng

1
d : x 2y 4 0
  
hoặc
2
d :x 2y 6 0
  

2) (P) song song với mặt phẳng


Q



P : x y 2z m 0
    

Ths : Leâ Minh Phaán http://thichhoctoan.tk
Trang20

1
x 1 2t
d : y 1 t
z t
 


  


1 t 2 2t 2t m 0 t m 3 N 2 m; 4 2m; m 3
                





2 2
2 2 2
MN m 3 m 3 3 2m 27 27
       

MinMN =
3 3
khi m = 0
Khi đó


P : x y 2z 0
  

Vậy


P : x y 2z 0
  

Câu VII.b:




  2y 2y
4 3
.4 .4 2
3 4

  

Đặt


2y
t 4 t 0
 
ta có:
2
4 3t 4
2 9t 24t 16 0 t
3t 4 3
       

2y
4 4
4 1 4 1 1
4 y log log 3
3 2 3 2 2
     