1

MỞ ðẦU
1. Lí do chọn ñề tài khóa luận
Như chúng ta ñã biết một miền nguyên có nhiều tính chất số học tương
tự như các tính chất số học trong vành các số nguyên [3]. ðối với tính chất số
học của một miền nguyên, khái niệm phần tử bất khả quy ñóng một vai trò
quan trọng tương tự vai trò của các số nguyên tố trong vành các số nguyên.
Một trong những miền nguyên thường ñược ñề cập tới trong ñại số và hình
học là các vành ña thức, trong ñó phần tử bất khả quy chính là khái niệm ña
thức bất khả quy.
Trong chương trình toán tại phổ thông, bài toán phân tích một ña thức
thành nhân tử bất khả quy ñã ñược ñưa vào giảng dạy ngay từ THCS. Về mặt
ñại số, việc phân tích nói trên cho phép ta chuyển việc nghiên cứu một
phương trình ñại số về các phương trình ñại số bậc thấp hơn. Về mặt hình học
bài toán này cho thấy người ta luôn biểu diễn một siêu mặt thành hợp của hữu
hạn siêu mặt trong không gian n chiều (tập các không ñiểm của một ña thức n
biến) bất khả quy (siêu mặt không phân tích ñược). Ngoài ra việc phân tích
một ña thức thành tích các nhân tử bất khả quy còn ñược ứng dụng trong tính
ñạo hàm cấp cao, nguyên hàm và tích phân của các hàm phân thức hữu tỉ.
Trong ñại số hiện ñại, khái niệm ña thức bất khả quy ñược ñưa vào
giảng dạy ngay từ những năm ñầu tiên thuộc nội dung ñại số cao cấp. Kèm
theo ñó là nhiều tiêu chuẩn về tính bất khả quy của ña thức trên một trường.
Qua ñó, chúng ta thấy rõ hơn vai trò của ña thức bất khả quy trong nhiều vấn
ñề của ñại số như: Nghiệm của một phương trình ñại số, bài toán mở rộng
trường, phần tử ñại số và siêu việt…
Do ý nghĩa khoa học của ña thức bất khả quy và với mong muốn hiểu
một cách toàn diện hơn về ñối tượng này, tôi chọn ñề tài: “Tính bất khả quy
của ña thức trên miền nguyên” cho khóa luận tốt nghiệp ñại học của mình.
2


vành chính, vành Gauss. Cuối cùng trên cơ sở các tính chất của ña thức bất
khả quy ñã biết từ các phần trước, chúng tôi vận dụng ñể chuyển sang khảo
sát về tính bất khả quy của ña thức trên một trường, mà cụ thể ñó là xét tính
bất khả quy của ña thức trên trường số hữu tỉ, trường số thực và trường số
phức và một số ứng dụng của nó trong một số bài toán ñại số.
5. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu

•
••
• ðối tượng: ða thức bất khả quy.
•
••
• Phạm vi: Khóa luận chỉ giới hạn nghiên cứu về ña thức một biến bất
khả quy trên một miền nguyên giao hoán.
6. Ý nghĩa khoa học
Kết quả nghiên cứu của khóa luận góp phần giúp chúng ta thấy rõ hơn
các tính chất của ña thức bất khả quy khi vành cơ sở là một miền nguyên.
Ngoài ra, qua một số tiêu chuẩn mở rộng tính bất khả quy của ña thức từ vành
số nguyên sang vành chính, vành Gauss, chúng ta một phần thấy ñược tính
bất biến của các tính chất qua các lớp vành có những ñiểm tương tự về tính
chất số học. Khóa luận là tài liệu tham khảo hữu ích ñối với các sinh viên
ngành toán khi nghiên cứu về ña thức bất khả quy.
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài các phần: mục lục, mở ñầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội
dung của khóa luận ñược chia thành ba chương:
Chương 1. ða thức bất khả quy trên miền nguyên
Chương 2. ða thức bất khả quy trên một vành chính
Chương 3. ða thức bất khả quy trên một trường
4


=
∑
là một ña thức trên
vành
[
]
x
D
. Trong ñó
k
a D
∈
,
0,1, ,
k n
=
là các hệ số hay còn gọi là hệ tử của
( )
f x
;
0
a
ñược gọi là hệ số tự do;
x
là ẩn;
k
k
a x
ñược gọi là hạng tử, số hạng
hay ñơn thức;

f x a a x a x
= + + +
là một ña thức tùy ý của vành
[ ]
D x
;
phần tử
0 1
( )
n
n
f c a a c a c A
= + + + ∈
có ñược bằng cách thay
x
bởi
c
gọi là
giá trị của
( )
f x
tại
c
. Nếu
( ) 0
f c
=
thì
c
gọi là nghiệm của

∈
. Dư của phép chia
( )
f x
cho
x c
−
là
( )
f c
.
Chứng minh:
5

Nếu ta chia
( )
f x
cho
x c
−
, dư hoặc bằng 0 hoặc là một ña thức bậc 0 vì
bậc
( )
x c
−
là bằng 1. Vậy dư là một phần tử
r D
∈
. Ta có:
( ) ( ) ( )

chia hết cho
x c
−
khi và chỉ khi
( ) 0
f c
=
).
Chứng minh:
+) ðiều kiện ñủ:
Giả sử
( )
f x
chia hết cho
x c
−
, tức tồn tại ña thức
[
]
( )
g x D x
∈
sao cho
( ) ( ) ( )
f x x c g x
= −
. Khi ñó rõ ràng
( ) 0
f c
=

=
.
Thay
x c
=
vào hai vế ta ñược
( ) ( ) 0
f c r c
= =
, do
c
là nghiệm của
( )
f x
. Vậy
( )
f x
chia hết cho
x c
−
.
Ta ñược ñiều phải chứng minh.
Chú ý 1.1.5: (xem [5]) Khi thực hiện phép chia
1
0 1
( )
n n
n
f x a x a x a
−

i n
= −
và dư
1
.
n n
r a c b
−
+
=
.
6

Vì
( )
r f c
=
, ta suy ra một phương pháp (phương pháp Hoocne) ñể tính
( )
f c
với cách tính như sau:

0
a

1
a
…
1
n

b a cb
−
= +
; … ;
1
( )
n n
f c r a cb
−
= = +

Trong ñó mỗi phần tử của dòng thứ hai ñược xác ñịnh bằng cách cộng
vào phần tử tương ứng của dòng thứ nhất tích của
c
với phần tử ñứng trước
dòng thứ hai (trừ phần tử ñầu tiên
0 0
b a
=
).
ðịnh nghĩa 1.1.6: Giả sử
D
là một miền nguyên,
c D
∈
,
( ) [ ]
f x D x
∈


=
người ta còn gọi
c
là nghiệm ñơn,
2
m
=
thì
c
là nghiệm kép.
Người ta coi ña thức có một nghiệm bội cấp
m
như một ña thức có
m

nghiệm trùng với nhau.
Mệnh ñề 1.1.7: Trong miền nguyên
,
D
ña thức

[
]
1
0 1
( )
n n
n
f x a x a x a D x
−

=
;
1
r
i
i
s n
=
=
∑
. Khi ñó
1 2
0 1 2

( ) ( ) ( ) ( )
r
s s s
r
f x a x c x c x c
= − − −
.
Chứng minh:
Thật vậy, vì
1
c
là nghiệm bội
1
s
của
( )

= −
ta có:
1 2
1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
s s
f x x c x c f x
= − −

Tiếp tục như vậy sau
r
bước ta ñược
7

1 2
1 2
)
( ) ( ( ) ( ) ( )
r
s s s
r r
f x x c x c x c f x
= − − −

Vì deg
( )
f x n
=
nên deg
( ) 0

là một miền nguyên, thì mọi ña thức
[
]
0 ( )
f x D x
≠ ∈
bậc n có nhiều nhất n nghiệm trong
D
.
Chứng minh:
Ta chứng minh quy nạp với
deg ( )
n f x
=
.
Nếu
0
n
=
, ña thức
( )
f x
là một hằng số
0
0
a
≠
của
D
nên

( ) ( ) ( )
f x x c q x
= −
với ña thức
[
]
( )
q x D x
∈

ðẳng thức trên ñã khẳng ñịnh ña thức
( ) 0
q x
≠
với
deg ( ) 1
q x n
= −
.
Vì
[
]
D x
là một miền nguyên, ngoài ra ta có hàm ña thức
( ) ( ) ( )
f x u c q x
= −
ɶ
ɶ
cho thấy một nghiệm của

ðịnh lí 1.1.9 (ðịnh lí Viet): Nếu
[
]
1
0 1
( )
n n
n
f x a x a x a D x
−
∈
= + + +
,
D

là một miền nguyên,
0
0
;
i
a D a
∈ ≠
, có
n
nghiệm trên
D
là
1 2
, , ,
n

a
a
c c c c c c c c c
a
a
c c c c
a
−
− −
−

+ + + = −



+ + + + + =




+ + + + = −



= −



(
0

1 2
, , ,
n
c c c
là
n
nghiệm của
( )
f x
trên
D
nên theo nhận xét 1.1.5
ta có:

0 1 2

( ) ( )( ) ( )
n
f x a x c x c x c
= − − −

1 2
0 1 2 1 2 1 2 3 1
[( ( ) ( )
n n n
n n n n
a x c c c x c c c c c c c c x
− −
−
= − + + + + + + + +

3
1 2 3 1 2 4 2 1
0
1 2 1
0
( 1) .
r
n n n
n n n
n
n
n n
a
c c c
a
a
c c c c c c c c
a
a
c c c c c c c c c
a
a
c c c c
a
−
− −
−

, ,
r
D x x
thì tồn tại một bộ
r
phần tử
(
)
1
, ,
r
s s s
=
của
D
không phải là nghiệm của
f
.
Chứng minh:
Ta chứng minh bằng quy nạp trên
r
.
Với
1
r
=
, do
D
là một miền nguyên nên mọi ña thức
[

r
−
biến.
Cho
[
]
1
, ,
r
f D x x
∈
ta viết
f
dưới dạng:
0 1

m
r m r
f f f x f x
+ + +
=
là ña
thức theo biến
r
x
có các hệ tử
0
, ,
m
f f

i r
f D x x
∈
.
Theo giả thiết quy nạp, tồn tại bộ
1
r
−
phần tử
(
)
1 1
, ,
'
r
s s s
−
=
của
D

sao cho
( )
' 0
m
f s
≠
ɶ
và ta có:
( ) ( ) ( )

phần tử
(
)
1
, ,
r
s s s
=
của
D
không phải là nghiệm của
[
]
1
, ,
r
f D x x
∈
.
Vậy mệnh ñề ñược chứng minh.
Hệ quả 1.1.11: (xem [1]) Nếu
D
là một miền nguyên vô hạn thì vành
ña thức
[
]
D x
ñẳng cấu với vành
[
]

( ) ( )
f u g u
≠
ɶ
ɶ
.
Mặt khác ta có:
( ) ( )
f x g x
≠
kéo theo
( )( ) 0
f g x
− ≠

ðặt
deg( )( )
n f g x
= −

Theo mệnh ñề 1.1.8 thì
( )( )
f g x
−
có nhiều nhất
n
nghiệm trong
D
.
Ta lại có:

có nhiều nhất
n

nghiệm. Vậy ta phải có
( ) ( )
f u g u
≠
ɶ
ɶ
. Ta ñược ñiều phải chứng minh.
Nhận xét 1.1.12: (xem [1]) Nếu
D
là một miền nguyên vô hạn, nhờ
ñẳng cấu này người ta thường ñồng nhất mỗi ña thức
[
]
( )
f x D x
∈
với hàm ña
thức
[ ]
( )
f u D u
∈
ɶ
.
1.2. Tính chất số học của vành ña thức trên miền nguyên
ðịnh nghĩa 1.2.1: Hai ña thức
[

với mọi
0,1, ,
k n
=
.
ðịnh nghĩa 1.2.2: ða thức không là ña thức mà tất cả các hệ số của nó
ñều bằng 0 và ta kí hiệu là 0.
Một ña thức bằng ña thức 0 nếu và chỉ nếu mọi hệ số của nó ñều bằng 0.
ðịnh nghĩa 1.2.3: Mỗi ña thức
[
]
0 1
( )
n
n
f x a a x a x D x
∈
= + + +
tồn tại
một phần tử ñối duy nhất ñược gọi là ña thức ñối ñó là
[
]
0 1
( )
n
n
f x a a x a x D x
∈
− = + + +
sao cho


Ta gọi tổng của
( )
f x
và
( )
g x
là ña thức
[
]
1
0 0 1 1 1
) ) )
( ) ( ( (
m m n
m m m n
h x a b a b x a b x a x a x D x
+
+
+ + + + + + ∈
= + + +
.
ðịnh nghĩa 1.2.5: Hiệu của hai ña thức
( )
f x
và
( )
g x
kí hiệu là ña
thức


và
( )
g x
kí hiệu là
( ) ( )
f x g x
là ña thức
1
0 0 0 1 1 0 1 1
. ) )
( ) ( (
m n n m
m m n m n m
h x a b a b a b x a b a b x a b x
+ − +
− −
+ + +
= + + +
.
Hoặc ta có thể viết dưới dạng
0
( ) ( )
n m
k
k
k
f x g x c x
+
=

( ).1 1. ( ) ( )
f x f x f x
= =
với mọi
[
]
( )
f x D x
∈

4. Phép nhân ña thức phân phối ñối với phép cộng ña thức:
( )( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x h x f x g x f x h x
+ = +

ðịnh lí 1.2.7 (ðịnh lí về phép chia có dư): Cho hai ña thức
[
]
( ), ( )
f x g x D x
∈
, trong ñó
( ) 0
g x
≠
, khi ñó có không quá một cặp ña thức
[
]
( ), ( )
q x r x D x

]
( ), ( )
f x g x D x
∈
. Ta nói
( )
f x
chia hết cho
( )
g x
nếu tồn tại ña thức
[
]
( )
h x D x
∈
sao cho
( ) ( ) ( )
f x g x h x
=
và kí hiệu
( ) ( )
f x g x
⋮
hay
( )| ( )
g x f x
. Ta cũng nói
( )
f x

( )
f x
chia hết cho
( )
g x
thì mọi nghiệm của
( )
g x

ñều là nghiệm của
( )
f x
.
ðịnh nghĩa 1.2.10: Nếu
( ) | ( )
h x f x
và
( ) | ( )
h x g x
thì
( )
h x
gọi là ước
chung của
( )
f x
và
( )
g x
.

thức
( )
f x
và
( )
af x
với
a K
∈
và
0
a
≠
ñược gọi là liên kết.
ðịnh nghĩa 1.2.13: Cho một miền nguyên
D
, ña thức
( )
d x
gọi là ước
chung lớn nhất của
( )
f x
và
( )
g x
nếu
( )
d x
là ước chung của

f x g x D x
∈
là hai ña thức khác không
a) Nếu deg
( )
f x
≠
deg
( )
g x
thì ta có
deg
( ( ) ( ))
f x g x
+ =
max(deg
( ),
f x
deg
( )
g x
).
b) Nếu deg
( )
f x
=
deg
( )
g x
và

và
deg( ( ) ( )) deg ( ) deg ( )
f x g x f x g x
= +
.
Chứng minh:
Giả sử
[
]
( ), ( )
f x g x D x
∈
là hai ña thức khác 0.
0 1
( )
m
m
f x a a x a x
= + + +
với
0
m
a
≠

0 1
( )
n
n
g x b b x b x

m n
a b
≠
(
D
không có ước của 0) do ñó
( ) ( ) 0
f x g x
≠

và
deg( ( ) ( )) deg ( ) deg ( )
f x g x m n f x g x
= + = +
. Ta ñược ñiều phải chứng minh.
Hệ quả 1.2.17: (xem [5]) Nếu
D
là một miền nguyên thì
[
]
D x
là một
miền nguyên.
Hệ quả 1.2.18: (xem [1]) Nếu
D
là một miền nguyên thì
[
]
1
, ,

a

khả nghịch, hoặc
b
khả nghịch ; nói cách khác
p
không có ước thực sự.
Phần tử
p
của miền nguyên
D
gọi là nguyên tố nếu
0
p
≠
,
p
không
khả nghịch và với mọi
,
a b D
∈
;
|
p ab
thì
|
p a
hoặc
|

Mệnh ñề 1.3.4: Một ña thức
[
]
( )
f x D x
∈
là b
ấ
t kh
ả
quy khi và ch
ỉ
khi
deg ( ) 0
f x
≥
,
( ) 0
f x
≠
, không kh
ả
ngh
ị
ch trong
[
]
D x
,
( )

D x
,
ñ
a
th
ứ
c
[
]
( )
f x D x
∈
là
ñ
a th
ứ
c b
ấ
t kh
ả
quy
thì
:
1) N
ế
u
deg ( ) 0
f x
=
thì

ñượ
c d
ướ
i d
ạ
ng
( ) ( ) ( )
f x g x h x
=
v
ớ
i
[
]
( ); ( )
g x h x D x
∈
khác 0, không kh
ả
ngh
ị
ch,
0 deg ( ) deg ( )
g x f x
< <
và
0 deg ( ) deg ( )
h x f x
< <
.

ị
ch.
b)
ð
a th
ứ
c
[
]
( )
f x D x
∈
v
ớ
i
deg ( ) 1
f x
≥
là
ñ
a th
ứ
c b
ấ
t kh
ả
quy thì
( )
f x
là

+
là ña thức bất khả quy của vành
[ ]
x
ℝ
,
ℝ
là trường số
thực. Nhưng trong vành
[ ]
x
ℂ
với
ℂ
là trường số phức thì
2
1
x
+
không phải là
ña thức bất khả quy vì nó có ước thực sự là
x i
−
và
x i
+
.
15
Mệnh ñề 1.3.7: Cho ña thức bất khả quy
( )

nguyên t
ố
cùng nhau.
Sau ñây chúng ta sẽ xem xét ñiều kiện bất khả quy của ña thức trong
trường hợp miền nguyên
D
là vành Gauss. Miền nguyên
D
là vành nhân tử
hóa hay còn gọi là vành Gauss (miền nguyên Gauss) nếu mọi phần tử khác
không, không khả nghịch của nó ñều phân tích ñược một cách duy nhất thành
tích các phần tử bất khả quy.
ða thức nguyên bản và Bổ ñề Gauss
* Cho một miền nguyên Gauss
D
và xét vành ña thức
[
]
D x
. Trước hết
ñể ý rằng, vì
D
là miền nguyên nên
[
]
D x
cũng là miền nguyên có cùng
nhóm U các phần tử khả nghịch với
D
, và do ñó các khái niệm về phần tử


Ví dụ 1.3.9: 1) ðơn thức
[
]
n
n
a x D x
∈
là nguyên bản nếu
1
n
a
∼
(tức là
nếu
n
a
là một phần tử khả nghịch của
D
).

2)
3
3 4 6
x x
+ +
và
3
x
−

D x
, và dạng này của
( )
f x
là duy nhất theo nghĩa nếu cùng
có
2
( ) ( )
f x cf x
∼
với
*
c D
∈
và
2
( )
f x
là ña thức nguyên bản của
[
]
D x
thì
c d
∼
và
1 2
( ) ( )
f x f x
∼

t
i i
a da
′
=
v
ớ
i
0,1, ,
i n
=

Ta có
0
d
≠
và
0
i
a
′
≠
và
1 2 3
( , , , , ) 1
n
a a a a
′ ′ ′ ′
∼
và

= + + + +
là
ñ
a th
ứ
c nguyên b
ả
n
c
ủ
a
[
]
D x
.
Bây gi
ờ
gi
ả
s
ử

( )
f x
c
ũ
ng có d
ạ
ng
2

.
ðẳ
ng th
ứ
c
(
)
1'
này cho
suy ra
c
là
ướ
c chung c
ủ
a các h
ệ
t
ử

i
a
c
ủ
a
( )
f x
và do
ñ
ó là m

(
)
1'
ta có:
2 1
( ) ( )
f x uf x
=

Nh
ư
ng
ñẳ
ng th
ứ
c này suy ra r
ằ
ng
u
là m
ộ
t
ướ
c chung c
ủ
a các h
ệ
t
ử
c

ây cho ta k
ế
t lu
ậ
n
c d
∼
và
1 2
( ) ( )
f x f x
∼

.
V
ậ
y ta
ñượ
c
ñ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
ðể
ý m
ộ

n c
ủ
a
[
]
D x
n
ế
u
0
1
a
∼
ngh
ĩ
a là n
ế
u
0
a
là m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
kh
ả
ngh
ị

ấ
t
kh
ả
quy c
ủ
a
[
]
D x
có b
ậ
c 0) không ph
ả
i là nh
ữ
ng
ñ
a th
ứ
c nguyên b
ả
n c
ủ
a
[
]
D x
v
ớ

ủ
a
[
]
D x

vì
(
)
(
)
2 3 2
1 1 1
x x x x x
+ + + = + +

Bổ ñề 1.3.12 (Gauss) : (xem [1]) Tích của hai ña thức nguyên bản của
[
]
D x
là một ña thức nguyên bản của
[
]
D x
.
Chứng minh :
Cho hai ña thức nguyên bản của
[
]
D x

ủ
a chúng
0 1
( ) ( )
n m
n m
f x g x c c x c x
+
+
= + + +

là
ñ
a th
ứ
c nguyên b
ả
n c
ủ
a
[
]
D x
b
ằ
ng ph
ả
n ch
ứ
ng.

ộ
t
ướ
c chung b
ấ
t kh
ả
quy
p D
∈
. Vì
p

không th
ể
là m
ộ
t
ướ
c chung c
ủ
a các h
ệ
t
ử

0
, ,
n
a a

.
T
ươ
ng t
ự

ñố
i v
ớ
i các h
ệ
t
ử

0
, ,
m
b b
c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c nguyên b
ả
n
( )
g x
, cho nên có

ử
sau
ñ
ây c
ủ
a
( ) ( )
f x g x

0 1 1 1 1 0

r s r s r s r s r s r s
c a b a b a b a b a b
+ + − + + − +
= + + + + + +

và
|
i
p a
v
ớ
i
0,1, , 1
i r
= −
,
|
j
p b

hay
|
s
p b
trái v
ớ
i
các tính ch
ấ
t
p
không chia h
ế
t
r
a
và
p
không chia h
ế
t
s
b

ở
trên. V
ậ
y
( ) ( )
f x g x

n các
ñ
a th
ứ
c nguyên b
ả
n c
ủ
a
mi
ề
n nguyên
[
]
D x
là
ổ
n
ñị
nh
ñố
i v
ớ
i phép nhân.
Bây gi
ờ
g
ọ
i
D


chuy
ể
n
x
thành
x
, cho nên m
ộ
t
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a
[
]
D x

ñượ
c xem là m
ộ
t
ñ
a th
ứ
c
c
ủ

∼
trong
[
]
D
F x

thì
1 2
( ) ( )
f x f x
∼
trong
[
]
D x
.
D
F
là trường các thương của
.
D

Chứng minh:
Nếu
1 2
( ) ( )
f x f x
∼
trong

]
D x
ta có:

H
ơ
n n
ữ
a vì
1
( )
f x
và
2
( )
f x

ñề
u là
ñ
a th
ứ
c nguyên b
ả
n c
ủ
a
[
]
D x

i ch
ứ
ng minh.
Mệnh ñề 1.3.14: (xem [1]) Mọi ña thức
[
]
0
D
g F x
≠ ∈
có thể ñặt dưới
dạng
1
( ) ( )
g
g x g x
α
=

trong
ñ
ó 0
g D
F
α
≠ ∈
và
1
( )
g x

t sai khác nhau m
ộ
t nhân t
ử
kh
ả
ngh
ị
ch c
ủ
a
D
.
Chứng minh:
Cho ña thức sau ñây của
[
]
D
F x

1 2
( ) ( )
bf x af x
=
19
0 1
( )
n
n
g x x x

i
b D
∈
nên khi
vi
ế
t các
i
α
v
ớ
i m
ộ
t “m
ẫ
u chung”
*
0

n
b b b D
= ∈

1
0 1 1
( )
i i i i n
a b b b b b
α
−

ư
th
ế
n
ế
u
( ) 0
g x
≠
, ta có
*
( ) 0
g x
≠
và theo m
ệ
nh
ñề
1.3.10
*
1
( ) ( )
g x dg x
=

v
ớ
i
*
d D

ó
1 *
g D
b d F
α
−
= ∈
. Vì d và
1
( )
g x
là duy nh
ấ
t sai khác m
ộ
t nhân t
ử

ngh
ị
ch
ñả
o c
ủ
a
D
theo m
ệ
nh
ñề

( ) 0
f x
>
thì
( )
f x
là m
ộ
t
ñ
a th
ứ
c b
ấ
t kh
ả
quy c
ủ
a
[
]
D
F x
.

Chứng minh:
Vì
( )
f x
là ña thức bất khả quy với bậc

( ), ( )
D
g x h x F x
∈
khác 0 với bậc
( ) 0
g x
>
và bậc
( ) 0
f x
>
theo mệnh ñề
1.3.13:
1
( ) ( )
g
g x g x
α
=
và
1
( ) ( )
h
h x h x
α
=

trong ñó
*

Gauss tích
1 1
( ) ( )
g x h x
là
ñ
a th
ứ
c nguyên b
ả
n c
ủ
a
[
]
D x
theo
m
ệ
nh
ñề
1.3.13
ñẳ
ng th
ứ
c trên ta có:
1 1
( ) ( ) ( )
f x g x h x
∼

>
,
ch
ứ
ng t
ỏ

( ), ( )
g x h x
là nh
ữ
ng
ướ
c thích
ñ
áng c
ủ
a
( )
f x
, trái v
ớ
i gi
ả
thi
ế
t
( )
f x


ủ
a
[
]
D
F x
.
V
ậ
y ta
ñượ
c
ñ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
Bổ ñề 1.3.16: (xem [5]) Nếu
( )
f x
là ña thức với hệ số nguyên có bậc
lớn hơn 0 và ña thức
( )
f x
không bất khả quy trong
[
]

f x x
∈
ℤ
khác 0 và khác
1
±
.
+) Trường hợp 1: Nếu
deg ( ) 0
f x
=
thì
( )
f x
là số nguyên khác
1
±
, ta sẽ luôn
phân tích ñược số nguyên ñó thành tích của các thừa số nguyên tố.
+) Trường hợp 2: Nếu
deg ( ) 0
f x
>
, áp dụng bổ ñề 1.3.17 thì
( )
f x
sẽ ñược
viết dưới dạng:
1 2
( ) ( ) ( ) ( )

21
thì ña thức
( )
f x
phân tích ñược thành một tích những ña thức bậc khác 0
với hệ số thuộc A, với K là trường các thương của A.
Chứng minh:
Giả sử
( )
f x
không bất khả quy trong
[
]
K x
, khi ñó
( )
f x
có thể viết
dưới dạng
( ) ( ) ( )
f x x x
ϕ ψ
=
với
( ), ( )
x x
ϕ ψ
là những ước thực sự của
( )
f x

f x g x h x
q
=

Với
p
ac
q bd
=
và
,
p q
nguyên tố cùng nhau. Ta kí hiệu các hệ số của ña thức
tích
( ) ( )
g x h x
bằng
i
e
,
i
K
e
∈
. Theo bổ ñề 1.3.13
( ) ( )
g x h x
là ña thức nguyên
bản, cho nên các
i

là ña thức nguyên bản trong
[
]
A x
,
deg ( ) 0
f x
>
. Khi ñ
ó
( )
f x
là
ñ
a th
ứ
c b
ấ
t kh
ả
quy trong
[
]
A x
khi và
ch
ỉ
khi
( )
f x

ấ
t kh
ả
quy c
ủ
a các
ñ
a th
ứ
c nguyên b
ả
n trên m
ộ
t vành
Gauss và trên tr
ườ
ng các th
ươ
ng c
ủ
a nó là nh
ư
nhau).
Mệnh ñề 1.3.20: (xem [2]) Cho
A
là một vành Gauss.
A
là trường các
thương của vành
A

f
khả quy trong
[
]
A x
thì nó cũng khả quy trong
[
]
A x
.
Chứng minh:
Giả sử ña thức
[
]
0 1
( )
n n
f x a a x a x A x
= + + + ∈
;
(
)
x
f
khả quy trong
[
]
A x
, tức là trong
[

,
1 deg deg deg
g x h x f x
< <
.
ðặ
t
( )
( )
1
1
1
a
g x g x
b
=
trong
ñ
ó
1
1
a
A
b
∈
;
(
)
[
]

A
b
∈
;
(
)
[
]
1
h x A x
∈
và
(
)
1
h x
là
ñ
a th
ứ
c
nguyên b
ả
n.
Khi
ñ
ó
( ) ( )
( )
( )

=

vì
(
)
1
g x
,
(
)
1
h x
là hai
ñ
a th
ứ
c nguyên b
ả
n nên
(
)
1
g x
(
)
1
h x
là
ñ
a th

quy trong
[
]
x
A
.
Tiêu chuẩn Eisenstein (Aidenstainơ)
: (xem [5])

Gi
ả
s
ử

0 1
( )
n
n
f x a a x a x
= + + +
(
1
n
>
) là
ñ
a th
ứ
c v
ớ

,
nh
ư
ng
p
chia h
ế
t các h
ệ
s
ố
còn l
ạ
i và
2
p
không chia h
ế
t s
ố
h
ạ
ng t
ự
do
0
a
.
Th
ế thì ñ

f x a a x a x
= + + +
,
p A
∈
là
m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
nguyên t
ố
sao cho
p
không chia h
ế
t
n
a
, nh
ư
ng
p
chia h
ế
t các h
ệ


kh
ả
quy trong
[
]
K x
.
K
là tr
ườ
ng các th
ươ
ng c
ủ
a
A
.
Chứng minh :
Gi
ả
s
ử

( )
f x
có nh
ữ
ng
ướ
c th

ñ
ó
0 1
( )
r
r
g x b b x b x
= + + +
;
;
0
i
b A r n
∈
< <

0 1
( )
s
s
h x c c x c x
= + + +
;
;
0
i
c A s n
∈
< <


p
chia h
ế
t h
ệ
s
ố

0 0 0
a b c
=
, vì
p
là nguyên t
ố
, nên ho
ặ
c
p
chia h
ế
t
0
b
ho
ặ
c
p
chia h
ế

t
0
c
thì
2
p
chia h
ế
t
0 0 0
a b c
=
, trái v
ớ
i gi
ả
thi
ế
t. Và
p

không chia h
ế
t m
ọ
i h
ệ
s
ố
c


k
b
là h
ệ
s
ố

ñầ
u tiên c
ủ
a
( )
g x
không chia h
ế
t cho
p
. Ta hãy xét:
0 1 1 0

k k k k
a b c b c b c
−
= + + +
.
24
ñ
ó,
1 0

ặ
c
k
b
chia h
ế
t cho
p
ho
ặ
c
0
c

chia h
ế
t cho
p
, mâu thu
ẫ
n v
ớ
i gi
ả
thi
ế
t v
ề

k

=
là
ñ
a th
ứ
c b
ấ
t kh
ả

quy trong
[
]
A x
.
Xét
[
]
t
K
=
ℝ
là tr
ườ
ng phân th
ứ
c c
ủ
a
A

.
Ví dụ 1.3.22:
V
ớ
i

p
là s
ố
nguyên t
ố
,
p
ℤ
là m
ộ
t tr
ườ
ng,
q
là s
ố
nguyên
t
ố

1
q p
< <
. Khi

.
K
là tr
ườ
ng các
th
ươ
ng c
ủ
a
p
ℤ
.
Ví dụ 1.3.23:
Cho
ñ
a th
ứ
c
[
]
( )
f x x
∈
ℚ
có
nghi
ệ
m
3

−
d
ư

ax b
+
, ta vi
ế
t

2
( ) ( 3) ( )
f x x g x ax b
= − + +Vì
( )
f x
có
nghi
ệ
m
3
x =
nên ta
có
0 0. ( ) 3
g x a b
= + +

chia
h
ế
t cho
2
3
x
−
. Ta
ñượ
c
ñ
i
ề
u
phả
i ch
ứ
ng minh.
25
Khái quát:
Cho
ñ
a th
ứ
c
[
]
( )
f x x

t cho
n
x p
−
.
Á
p
dụ
ng tiêu chu
ẩ
n Eisenstein,
ñ
a th
ứ
c
n
x p
−
là
b
ấ
t
khả
quy trong
[
]
x
ℚ
.
Ta th

n
x p
−
suy ra r
ằ
ng
ướ
c chung l
ớ
n nh
ấ
t
củ
a
( )
f x
và
n
x p
−
chia h
ế
t cho
n
x p
−
trong
[
]
x

chia h
ế
t cho
n
x p
−
.
Ta
ñượ
c
ñ
i
ề
u
phả
i ch
ứ
ng minh. (N
ế
u
dù
ng ph
ươ
ng
phá
p s
ơ
c
ấ
p

D
là vành Gauss,

giả sử
( )
f x
[
]
D x
∈
,
( ) 0
f x
≠
, không khả
ngh
ị
ch trong
[
]
D x
. Các m
ệ
nh
ñề
sau
ñ
ây là t
ươ
ng