UBND TỈNH KONTUM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn chuyên: Toán
Ngày thi: 9/7/2011
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Học sinh làm bài trên tờ giấy thi)
Họ và tên: ………………………………………
Số báo danh: …………………………………

ĐỀ:

Câu 1: (2 điểm)
Cho biểu thức:
   
2
3
x 2 1 1
P
1x
2 1 x 2 1 x

  


(x ≥ 0, x ≠ 1).
1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức
 
1
Q
x 1 P


n 6
1 2 2 3 3 4 n n 1
     
    

Câu 4: (3 điểm)
Cho đường tròn (O ; R), có hai đường kính AB và CD không vuông góc và không trùng
nhau. Vẽ tiếp tuyến (d) của đường tròn (O) tại B. Các đường thẳng AC, AD lần lượt cắt đường
thẳng (d) tại P và Q.
1. Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được trong đường tròn.
2. Chứng minh trung tuyến AI của tam giác APQ vuông góc với CD.
3. Khi đường tròn (O ; R) và đường kính AB cố định, đường kính CD thay đổi. Gọi E là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác CDP. Chứng minh rằng E di động trên một đường thẳng
cố định.
Câu 5: (1 điểm)
Cho hai số x, y thỏa mãn đẳng thức:
22
2
1
8x y 4
4x
  
. Xác định x, y để tích xy đạt giá
trị nhỏ nhất. Hết www.VNMATH.com

1 x 1 x x 1 x 1 x x
    


     

2
 
2
1 1 x x 3
Q x 2
x 1 P x 1 x 1

    
  

Q (x 1)   
Ư(3)
x 0 ; x 2 ; x 4   

2
1
31
3 x 2x 7
2x
2x
   

11
3 x 2 x 7

4



2
’ = m
2
– 9
Phương trình có hai nghiệm phân biệt  m > 3 hoặc m < - 3.
Theo Viète: x
1
+ x
2
= 2m – 2 ; x
1
x
2
= 10 – 2m.
x
1
và x
2
là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh
huyền bằng
42
, ta có: x
1
2
+ x
2

1
= 4 ; a
2
= - 2
a = 4  b = - 8 ; a = - 2  b = - 2
Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn đề bài: y = - 2x – 2 và y = 4x - 8
2
1 1 1 1
n 6
1 2 2 3 3 4 n n 1
     
    

 - 1 +
n1
= n – 6  n -
n1
- 5 = 0
Giải phương trình được n = 8
www.VNMATH.com
4

a
d
E
I
O
Q
P
C

sđ

AC



ADC
=

APQ
 tứ giác CPQD nội tiếp được trong đường tròn (góc ngoài
bằng góc đối của góc trong của tứ giác)
2
Chứng minh AI  CD:

DAC
= 90
0
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Vì AI là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông PAQ nên IA = IQ.


IAQ
=

IQA
, mặt khác

ADC
=

22
2
1
8x y 4
4x
  

2 2 2
2
1
4x 4xy y 4x 2 4xy 2 0
4x
       


 
2
2
1 1 1 1 1
xy 2x y 2x
4 4 2x 2 2

      



Min(xy) =
1
2
