ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
DƯƠNG HỒNG PHÚC
PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT
ĐIỂM TRONG GIẢI BÀI TOÁN
CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - NĂM 2010
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
DƯƠNG HỒNG PHÚC
PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT
ĐIỂM TRONG GIẢI BÀI TOÁN
CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. PHẠM NGỌC ANH
Thái Nguyên - Năm 2010
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mục lục i
Lời cảm ơn iii
Một số kí hiệu và chữ viết tắt iv
Lời nói đầu 1
1 Bài toán cân bằng 2
1.1 Các kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Tập lồi và các phép toán về tập lồi . . . . . . . . . . . . . . 2

luận văn vừa qua.
Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong Bộ môn Toán-Tin, Phòng
Đào tạo khoa học và Quan hệ quốc tế, các bạn học viên lớp Cao học Toán K2
trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và các bạn đồng nghiệp đã tạo
điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại
trường.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân đã
luôn khuyến khích và động viên tác giả trong suốt quá trình học cao học và viết
luận văn này.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu xót và
hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các
bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn.
Thái Nguyên, tháng 11 - 2010
Tác giả
Dương Hồng Phúc
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
iv
Một số kí hiệu và chữ viết tắt
R
n
không gian Euclide n-chiều
|β| trị tuyệt đối của số thực β
x := y x được định nghĩa bằng y
∀x với mọi x
∃x tồn tại x
 x  chuẩn của véc tơ x
x, y tích vô hướng của hai véc tơ x, y
A ⊂ B tập A là tập con thực sự của tập B
A ⊆ B tập A là tập con của tập B
A ∪ B A hợp với B

thức cơ bản nhất của tập lồi và hàm lồi, mà các kết quả này sẽ được sử dụng ở
các chương sau. Phần cuối của chương sẽ giới thiệu về bài toán cân bằng, một
số ví dụ và sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng.
Chương 2 gồm hai phần chính: Phần đầu trình bày phương pháp hàm phạt
điểm trong giải bài toán cân bằng bằng cách sử dụng hàm toàn phương logarit
kết hợp với điều kiện Lipschitz đã biết. Để tránh điều kiện Lipschitz, phần hai
trình bày phương pháp hàm phạt điểm trong giải bài toán cân bằng bằng cách
kết hợp hàm toàn phương logarit với kỹ thuật tìm kiếm theo tia.
Chương 3 là phần ứng dụng. Phần này trình bày một kết quả nghiên cứu
mới về bài toán bất đẳng thức biến phân và một số kết quả tính toán.
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
Chương 1
Bài toán cân bằng
1.1 Các kiến thức cơ bản
Giải tích lồi đóng một vài trò quan trọng trong việc nghiên cứu và xây dựng
các thuật toán giải bài toán cân bằng. Trong phần này, ta sẽ nhắc lại các kiến
thức cơ bản về giải tích lồi, trong đó các định lí, mệnh đề và hệ quả có thể không
được chứng minh.
Cho x = (x
1
, x
2
, · · · , x
n
)
T
và y = (y
1
, y

trong các chương tiếp theo.
Định nghĩa 1.1. ([8]) Cho a, b ∈ R
n
.
(i) Tập hợp điểm {x := λa + (1 − λ)b : 0 ≤ λ ≤ 1} được gọi là đoạn nối hai
điểm a và b, kí hiệu là [a, b].
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
(ii) Tập con C ⊆ R
n
được gọi là tập lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối hai
điểm bất kỳ của nó; nghĩa là, nếu λa + (1 − λ)b ∈ C ∀a, b ∈ C, λ ∈ [0, 1].
Tập lồi đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân với một số và phép lấy tổ
hợp tuyến tính (xem, [2]). Tức là, nếu A và B là hai tập lồi trong R
n
thì các tập
sau cũng là tập lồi:
(i) A ∩ B := {x : x ∈ A, x ∈ B},
(ii) αA + βB := {x = αa + βb : a ∈ A, b ∈ B}.
Một tập C ⊂ R
n
được gọi là một tập lồi đa diện (xem, [8]) nếu nó là giao
của một họ hữu hạn các nửa không gian đóng. Nói cụ thể hơn, tập lồi đa diện
là tập nghiệm của một họ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính dạng
a
i
, x ≤ b
i
, i = 1, · · · , m (1.1)
hoặc dưới dạng ma trận

(i) đơn điệu mạnh trên C với hằng số τ > 0 nếu với mỗi x, y ∈ C, ta có
f(x, y) + f(y, x) ≤ −τ ||x − y||
2
.
(ii) đơn điệu chặt trên C nếu với mỗi x, y ∈ C, x = y, ta có
f(x, y) + f(y, x) < 0.
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
(iii) đơn điệu trên C nếu với mỗi x, y ∈ C, ta có
f(x, y) + f(y, x) ≤ 0.
(iv) giả đơn điệu trên C nếu với mỗi x, y ∈ C, nếu
f(x, y) ≥ 0 kéo theo f(y, x) ≤ 0.
Từ định nghĩa trên ta có mối quan hệ sau: Nếu hàm f đơn điệu mạnh ⇒
f đơn điệu chặt ⇒ f đơn điệu ⇒ f giả đơn điệu. Trong trường hợp tổng quát,
chiều ngược lại có thể không đúng.
Ví dụ 1.1. Trong không gian R
2
xét hàm số
f : R
+
× R
+
−→ R
(x, y) −→ f(x, y) = −x
2
+ xy.
Khi đó f là hàm đơn điệu mạnh với hằng số 0 < τ ≤ 1.
Thật vậy, vì f (y, x) = −y
2
+ xy, nên ta có

ngoài của C tại x
0
(hay còn gọi là nón lồi đóng), kí hiệu là N
C
(x
0
), được xác
định bởi công thức
N
C
(x
0
) := {p ∈ R
n
: p, x − x
0
 ≤ 0 ∀x ∈ C}.
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
1.1.2 Hàm lồi và dưới vi phân
Định nghĩa 1.5. ([8]) (i) Cho C ⊆ R
n
và f : C → [−∞, +∞]. Khi đó các tập
domf := {x ∈ C : f(x) < +∞}
epif := {(x, α) ∈ C × R : f(x) ≤ α}
được gọi là miền xác định và tập trên đồ thị của f(x).
Hàm f được gọi là chính thường trên C, nếu
domf = ∅ và f(x) > −∞ ∀x ∈ C.
(ii) Một hàm f : C → R ∪ {+∞} được gọi là lồi trên C nếu tập trên đồ thị
của nó là một tập lồi trong R

= x
2
ta có
f((1 − λ)x
1
+ λx
2
) < (1 − λ)f(x
1
) + λf(x
2
).
(iv) Hàm f được gọi là lồi mạnh trên C, nếu tồn tại β > 0 sao cho
f(λx
1
+ (1 − λ)x
2
) ≤ λf(x
1
) + (1 − λ)f(x
2
) − λ(1 − λ)β||x
1
− x
2
||
2
,
∀x
1

.
Dưới vi phân là một khái niệm mở rộng của đạo hàm trong trường hợp hàm
lồi đang xét không khả vi.
Định nghĩa 1.6. ([8]) Cho f là một hàm chính thường trên R
n
. Một véc tơ
p ∈ R
n
được gọi là dưới gradient của f tại x
0
∈ C nếu
p, x − x
0
 + f(x
0
) ≤ f(x) ∀x ∈ C.
Tập tất cả các dưới gradient của f tại x
0
được gọi là dưới vi phân của f tại x
0
và được kí hiệu là ∂f(x
0
), hay
∂f(x
0
) = {p ∈ R
n
: f(x) − f(x
0
) ≥ p, x − x

0
∈ C.
Thật vậy, nếu x
0
∈ C thì δ
C
(x
0
) = 0 và
∂δ
C
(x
0
) = {p ∈ R
n
: δ
C
(x) ≥ p, x − x
0
 ∀x ∈ C}.
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Hay
∂δ
C
(x
0
) = {p ∈ R
n
: 0 ≥ p, x − x

¯
B(0, 1) là hình cầu đóng, tâm tại 0 và bán kính là 1.
Thật vậy, ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1. Với x
0
= 0, ta chứng minh
∂f(x
0
) = {p ∈ R
n
: ||p|| = 1, p, x
0
 = ||x
0
||}.
Nếu p thỏa mãn
||p|| = 1, p, x
0
 = ||x
0
||,
thì
p, x
0
 ≤ ||p||.||x
0
|| = ||x
0
||.
Do đó

0
 = p, x
0
.
Từ hai bất đẳng thức trên ta suy ra
||x
0
|| = p, x
0
. (1.5)
Mặt khác
||λy + x
0
|| − ||x
0
|| ≥ p, λy + x
0
− x
0
 = p, λy ∀λ > 0, y ∈ R
n
.
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Suy ra
||y +
x
0
λ
|| −

 < ||x
0
||.
Điều này mâu thuẫn với (1.5). Vậy ||p|| = 1.
Trường hợp 2. Với x
0
= 0, ta có
∂f(x
0
) = {p ∈ R
n
: p, x ≤ ||x|| ∀x}
= {p ∈ R
n
: ||p|| ≤ 1} =
¯
B(0, 1).
Nói chung tập ∂f(x
0
) gồm nhiều điểm. Trong trường hợp ∂f(x
0
) chỉ gồm duy
nhất một điểm, ta nói rằng f khả vi tại x
0
.
Mệnh đề 1.1. ([8]) Cho f
i
, i = 1, · · · , m là các hàm lồi chính thường trên R
n
.

Định nghĩa 1.7. ([8]) Một điểm x
0
∈ C ∩ domf được gọi là cực tiểu địa phương
của f(x) trên C, nếu tồn tại lân cận U(x
0
) của x
0
, sao cho −∞ < f(x
0
) ≤
f(x) ∀x ∈ C ∩ U(x
0
). Điểm x
0
được gọi là cực tiểu toàn cục của f(x) trên C nếu
−∞ < f(x
0
) ≤ f(x) ∀x ∈ C.
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Định lí 1.3. ([8]) Cho C là một tập lồi khác rỗng trong R
n
và f : R
n
→ R là
một hàm lồi. Khi đó, mọi cực tiểu địa phương của f trên C cũng là cực tiểu
toàn cục. Tập argmin{f(x) : x ∈ C} là một tập con lồi của C.
Nếu hàm f là hàm lồi chặt thì tập argmin{f(x) : x ∈ C} có duy nhất một giá
trị với điều kiện bài toán min{f(x) : x ∈ C} có nghiệm.
Định lí 1.4. ([8]) Cho C là một tập lồi trên R

là nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch lồi:
min
x∈C
f(x)
khi và chỉ khi nó là điểm dừng của f trên C, tức là
∇f(x
∗
), y − x
∗
 ≥ 0 ∀y ∈ C.
Dưới đây chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức liên quan đến tính liên tục
của hàm số.
Kí hiệu
lim
x→x
0
f(x) = inf
ε>0
sup
||x−x
0
||<ε
f(x),
lim
x→x
0
f(x) = sup
ε>0
inf
||x−x

0
∈ C nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho
f(x) ≥ f(x
0
) − ε (t.ư.,f(x) ≤ f (x
0
) + ε)
với mọi x ∈ C thỏa mãn ||x − x
0
|| < δ. Nói cách khác, hàm f là nửa liên tục dưới
(t.ư., nửa liên tục trên) tại điểm x
0
∈ C nếu với mọi dãy {x
n
} ⊂ C hội tụ đến x
0
và dãy {f(x
n
)} ⊂ R hội tụ, ta có
lim
n→∞
f(x
n
) ≥ f(x
0
) (t.ư., lim
n→∞
f(x
n
) ≤ f(x

Ví dụ 1.5. Bài toán cân bằng Nash
(i) Cho I = {1, 2, · · · , p} là tập chỉ số hữu hạn (tập p - người chơi).
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
(ii) K
i
là tập lồi khác rỗng của R
n
i
(tập chiến lược của người chơi thứ i).
(iii) Hàm f
i
: K
1
× · · · × K
p
→ R cho trước (hàm tổn thất của người chơi thứ
i khi vi phạm, chiến lược của người chơi ∀i ∈ I).
Cho x = (x
1
, x
2
, · · · , x
p
) ∈ K
1
× K
2
× · · · × K
p

∀j = i,
y
i
∀j = i.
Đặt K = K
1
× K
2
× · · · × K
p
.
Khi đó, bài toán cân bằng Nash được phát biểu như sau:
Tìm x
∗
∈ K sao cho f
i
(x
∗
) ≤ f
i
(x
∗
[y
i
]) ∀i ∈ I, ∀y ∈ K (1.6)
Điểm thỏa mãn (1.6) gọi là điểm cân bằng Nash. Về ý nghĩa kinh tế, điểm cân
bằng Nash nói nên rằng bất kì đối thủ nào chọn phương án ra khỏi điểm cân
bằng trong khi các đối thủ còn lại vẫn giữ phương án điểm cân bằng thì đối thủ
ra khỏi điểm cân bằng sẽ bị thua thiệt.
Nếu ta đặt f : K × K → R là hàm số xác định bởi

⇔ f
i
(x
∗
[y
i
]) − f
i
(x
∗
) ≥ 0 ∀i ∈ I, ∀y
i
∈ K
i
⇔
p

i=1
(f
i
(x
∗
[y
i
]) − f
i
(x
∗
)) ≥ 0 ∀y ∈ K
Theo cách đặt đó, ta có

Vì x
∗
∈ K không là nghiệm của (1.6), nên tồn tại i
0
∈ I sao cho
f
i
0
(x
∗
) > f
i
0
(x
∗
[y
i
]) ∀y
i
∈ K
i
.
Lấy x
∗
[y
j
] = x
∗
∀j = i
0

)) < 0 ∀y ∈ K.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy x
∗
∈ K là nghiệm của bài toán (1.6).
Ví dụ 1.6. Bài toán bù phi tuyến
Cho K ⊂ R
n
là một nón lồi đóng, K
∗
= {x ∈ R
n
: x, y ≥ 0 ∀y ∈ R
n
} là nón đối
ngẫu của nón K. Cho T : K → R
n
là một ánh xạ liên tục. Khi đó, bài toán bù
phi tuyến được phát biểu như sau:
Tìm x
∗
∈ K sao cho T (x
∗
) ∈ K
∗
và T(x
∗
), x
∗
 = 0. (1.7)


= T (x
∗
), y ≥ 0 ∀y ∈ K.
Vậy x
∗
∈ K là nghiệm của bài toán cân bằng (EP).
Bây giờ, ta xét chiều ngược lại. Giả sử rằng x
∗
∈ K là nghiệm của bài toán
(EP), ta có
f(x
∗
, y) ≥ 0 ∀y ∈ K.
Theo cách đặt ta có
f(x
∗
, y) = T (x
∗
), y − x
∗
 ∀y ∈ K.
Do K là nón nên 0 ∈ K và 2x
∗
∈ K. Trong đẳng thức trên, nếu ta lấy y = 0 ∈ K,
thì ta có T (x
∗
), −x
∗
 ≥ 0 hay T (x

∗
), x
∗

= T (x
∗
), y ∀y ∈ K,
và do T(x
∗
), y ≥ 0 ∀y ∈ K, nên T(x
∗
) ∈ K
∗
. Do đó, x
∗
∈ K là nghiệm của bài
toán (1.7).
1.2.2 Sự tồn tại nghiệm
Mệnh đề 1.2. ([7]), mệnh đề 2.1.14) Cho f : C × C → R ∪ {+∞} là một song
hàm sao cho f(·, y) là hàm nửa liên tục trên với mọi y ∈ C và f(x, ·) là hàm tựa
lồi với mọi x ∈ C. Giả sử rằng ít nhất một trong các giả thiết sau được thỏa
mãn:
(i) C bị chặn;
(ii) tồn tại một tập con bị chặn, khác rỗng W của C sao cho, với mọi x ∈
C\W, tồn tại y ∈ W để f (x, y) < 0.
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Khi đó, bài toán (EP) sẽ có nghiệm.
Mệnh đề 1.3. ([7], mệnh đề 2.1.16) Cho song hàm f : C × C → R ∪ {+∞}.
(i) Nếu f đơn điệu chặt thì bài toán (EP ) có không quá một nghiệm.

15
Chương 2
Phương pháp hàm phạt điểm trong
Chương này trình bày một cách cơ bản phương pháp hàm phạt điểm trong
và một cách áp dụng để giải bài toán cân bằng giả đơn điệu trên tập lồi đa diện
bằng cách sử dụng hàm toàn phương logarit.
2.1 Phương pháp hàm phạt điểm trong ([2])
2.1.1 Ý tưởng chính
Xét bài toán
min{f(x) : x ∈ C},
trong đó C là tập compact xác định bởi
C = {x ∈ R
n
: g
i
(x) ≤ 0, i = 1, 2, · · · , m},
f và g
i
: R
n
→ R, i = 1, 2, · · · , m là các hàm liên tục. Các hàm g
i
(x) ≤ 0, i =
1, 2, · · · , m được gọi là các ràng buộc và C được gọi là miền chấp nhận được của
bài toán. Nói chung các bài toán tối ưu không có ràng buộc thường dễ xử lí hơn
các bài toán có ràng buộc. Một ý tưởng nảy sinh là chuyển bài toán có ràng
buộc về các bài toán không có ràng buộc. Kỹ thuật cơ bản để thực hiện ý tưởng
này là hàm phạt. Dùng một lượng phạt "đủ lớn" khi lời giải của bài toán phụ ra
khỏi miền chấp nhận được của bài toán cần giải. Hai vấn đề phải giải quyết là
xây dựng hàm phạt và bài toán phụ sao cho có thể xấp xỉ lời giải của bài toán

(x) < 0 ∀j = 1, · · · , m},
(b) Với mọi dãy {x
k
} ⊂ C
0
hội tụ tới một điểm x ∈ C
0
ta có lim
k→+∞
p(x
k
) = +∞.
Hai hàm xấp xỉ trong được sử dụng nhiều, do Fiacco và McCormick đưa ra
là
p(x) = −
m

j=1
log(−g
j
(x))
hoặc
p(x) = −
m

j=1
1
g
j
(x)

0
= {(x, t) : x ∈ intC, t > 0}.
Xét bài toán phụ không điều kiện:
min
x
{F (x, t) : x ∈ R
n
} (B
t
)
Giả sử bài toán (B
t
) có nghiệm x(t) ∈ Sol(B
t
). Khi đó, x(t) là một hàm số xác
định trên (0, +∞). Tính đơn điệu của hàm số f(x) và hàm p(x) được cho bởi
mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.1. Giả sử các điều kiện (a), (b) và (i), (ii), (iii) thỏa mãn, và bài
toán (B
t
) có nghiệm với mọi t > 0. Khi đó, nếu 0 < t
1
< t
2
và x
i
là nghiệm của
(B
t
i

f
1
+ s
1
p
1
≤ f
2
+ s
1
p
2
, (2.3)
f
2
+ s
2
p
2
≤ f
1
+ s
2
p
1
. (2.4)
Cộng hai bất đẳng thức (2.3) và (2.4) rồi ước lượng, ta có
s
1
p

> s
2
, do đó p
1
≤ p
2
.
(2) Từ (2.3) ta suy ra rằng
f
2
− f
1
≤ s
1
(p
1
− p
2
).
Vì s(t) > 0 ∀t ∈ (0, +∞), nên f
2
≤ f
1
. ✷
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Định lí 2.1. Cho f là hàm liên tục trên một tập compact C. Nếu dãy {t
k
} đơn
điệu tăng dần đến +∞ và x

) + s(t
k
)p(x
k
) ≤ f(x
∗
) + s(t
k
)p(x
∗
). (2.5)
Do C compact, ta có thể giả sử rằng, nếu cần qua dãy con, dãy {x
k
} hội tụ đến
u
∗
nào đó.
+) Nếu u
∗
∈ C
0
thì qua giới hạn trong (2.5), chú ý rằng s(t
k
) → 0 và
p(x
∗
), p(u
∗
) hữu hạn, ta có ngay f(u
∗

∗
)
với mọi k ≥ K
1
. Qua giới hạn ta được
lim
k
f(x
k
) ≤ f(x
∗
).
Thế nhưng, do x
k
∈ C nên f(x
k
) ≥ f(x
∗
). Vậy lim
k
f(x
k
) = f(x
∗
).
Trường hợp 2: Xét trường hợp bài toán không có nghiệm thuộc C
0
. Gọi
β = lim
k

k
)p(u).
Qua giới hạn ta có f(x
k
) ≤ f(u) với mọi k ≥ K
1
. Mâu thuẫn với f(x
k
) ≥ β > f(u)
với mọi k. Vậy β = f(x
∗
). ✷
Theo định lí này, để giải bài toán có ràng buộc (2.1), ta chọn một dãy số
dương {t
k
} tăng dần đến +∞ và giải một dãy các bài toán không điều kiện (B
t
k
).
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
2.2 Hàm toàn phương logarit ([3])
Như ta đã biết, kỹ thuật chính quy hóa hàm toàn phương là công cụ mạnh
trong giải tích và giải các bài toán tối ưu. Gần đây, kỹ thuật này được sử dụng
để phát triển thuật toán lặp xấp xỉ giải bài toán bất đẳng thức biến phân.
Định nghĩa 2.1. Cho C là một tập lồi trong R
n
, A là một ma trận cỡ p × n
và f : C × C → R ∪ {+∞}. Song hàm f được gọi là A-Lipschitz với hai hằng số
¯c

2
(2.7)
− c
0
2
||(z − y)||
2
∀x, y, z ∈ C
trong đó c
0
1
, c
0
2
> 0, thì f thường được gọi là Lipschitz với các hằng số c
0
1
, c
0
2
> 0.
Khi đó, f sẽ là A-Lipschitz với các hằng số
¯c
1
:= c
0
1
||
¯
A

¯
A
−1
|| = sup
||x||=1
||
¯
A
−1
x||.
Thật vậy, ta có
||x|| = ||
¯
A
−1
(
¯
Ax)|| ≤ ||
¯
A
−1
||||
¯
Ax|| ≤ ||
¯
A
−1
||||Ax|| ∀x ∈ R
n
. (2.8)