Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
ĐÀO THỊ THẮM
PHƯƠNG PHÁP CIM ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN
ELLIPTIC CÓ BƯỚC NHẢY GIÁN ĐOẠN QUA
MẶT PHÂN CÁCH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH
Thái Nguyên – 2011
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
Tôi xin cam đoan Luận văn “ Phương pháp CIM đối với bài toán biên elliptic
có bước nhảy gián đoạn qua mặt phân cách” là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dướ i sự hướ ng dẫ n củ a TS . V Vinh Quang . Tôi xin chị u trá ch nhiệ m về lờ i cam
đoan củ a mình.
Các số liệu và thông tin sử dụng trong luận văn này là trung thực.
Tác giả
Đào Thị Thắm
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
Chương 1 3
Các kiến thức cơ bản 3
1.1. Các khái niệm về phương trình đạo hàm riêng 3
1.1.1. Khái niệm phương trình đạo hàm riêng 3
1.1.2. Một số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu. 4
1.1.3. Phân loại phương trình cấp hai tuyến tính 5
1.2. Phương pháp lưới giải phương trình đạo hàm riêng 8
1.2.1. Bài toán vi phân 8
1.2.2. Lưới sai phân 8
1.2.3. Hàm lưới 9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1
MỞ ĐẦU
Trong trường hợp tổng quát, việc tìm nghiệm đúng của lớp các bài toán biên
mà chủ yếu là phương trình elliptic cấp hai là không thực hiện được. Việc nghiên
cứu giải gần đúng các bài toán biên mà tiêu biểu là các bài toán được biểu diễn bằng
các phương trình cấp hai đã và đang là một lĩnh vực rất quan tâm của các nhà toán
học. Trong nhiều năm qua đã có nhiều công trình nghiên cứu về lĩnh vực này, mục
đích chính của các phương pháp là đưa bài toán vi phân về bài toán rời rạc trên một
điểm lưới. Tuy nhiên khi miền hình học là miền phức tạp, dữ liệu hoặc các hệ số
của phương trình là gián đoạn thì việc áp dụng một phương pháp số nào đó cho cả
miền gặp nhiều khó khăn.
Để giải quyết khó khăn trên, trong nhiều năm qua đã có nhiều công trình
nghiên cứu về lĩnh vực này. Các hướng nghiên cứu chủ yếu là đưa ra các phương
pháp sai phân đặc biệt xung quanh lân cận các điểm kỳ dị hoặc biên phân chia để
đưa bài toán đang xét về các hệ phương trình sai phân và việc tìm nghiệm bằng số
của bài toán chuyển về việc giải các hệ phương trình đại số bằng các phương pháp
đúng hoặc gần đúng. Một hướng thứ hai là sử dụng phương pháp chia miền chuyển
bài toán trên miền đang xét về hai bài toán không chứa các điểm kỳ dị, sau đó xuất
phát từ lời giải các bài toán trên hai miền ta thu được nghiệm của bài toán gốc.
Nội dung chính của luận văn là đặt vấn đề tìm hiểu phương pháp sai phân
đặc biệt được gọi là phương pháp CIM (Coupling interface method) giải phương
trình elliptic cấp hai trong trường hợp miền đang xét tồn tại mặt phân cách tại đó
xảy ra gián đoạn của hàm và đạo hàm và đồng thời nghiên cứu phương pháp chia
miền giải bài toán trên, tiến hành tính toán thử nghiệm và so sánh giữa phương pháp
chia miền và phương pháp CIM.
Chương 1
Các kiến thức cơ bản
Trong Chương này luận văn trình bày các kiến thức cơ bản bao gồm: các
khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng, phương pháp lưới giải phương
trình đạo hàm riêng, thuật toán thu gọn khối lượng tính toán giải hệ phương trình
vectơ ba điểm và đặc biệt là giới thiệu thư viện RC2009 giải số bài toán biên elliptic
với hệ số hằng. Các kiến thức cơ bản được tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 3, 8,
10].
1.1. Các khái niệm về phương trình đạo hàm riêng
1.1.1. Khái niệm phương trình đạo hàm riêng
Phương trình đạo hàm riêng là một lĩnh vực quan trọng của toán học. Có rất
nhiều mô hình trong tự nhiên được mô tả bởi một phương trình hay một hệ phương
trình vi phân nói chung và phương trình đạo hàm riêng nói riêng.
Với hàm số một biến = () ta có khái niệm đạo hàm
():
= lim
0
+
()
là hàm số cho trước.
0
, , là những số cho trước.
Với hàm số nhiều biến số ta cng gặp những khái niệm và bài toán tương tự.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4
Xét bài toán hai biến số = (, ), ta có đạo hàm riêng cấp 1 đối với biến
:
= lim
0
+ ,
(, )
đạo hàm riêng cấp 1 đối với biến y:
= lim
0
, +
2
=
,
2
=
Nếu các đạo hàm riêng
2
và
2
+
,
+
,
+
,
= (, )
là phương trình đạo hàm riêng cấp 2.
1.1.2. Một số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu.
1. Phương trình Laplace do Laplace đưa ra vào năm 1780
=
)
= 0
=1
5. Phương trình truyền nhiệt được Fourier công bố vào năm 1810 – 1822
=
6. Phương trình Schrodinger (1926)
+ = 0
7. Phương trình truyền sóng được D’Alembert đưa ra năm 1752
= 0
và dạng tổng quát của nó là:
2
2
;
=
2
2
;
=
=
2
;
Xét phương trình đạo hàm riêng cấp 2 á tuyến:
+ 2
+
=
+
Vậy ta có hệ:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6
+ 2
+
= (, , ,
,
)
+
=
(
)
Hệ này luôn có nghiệm vì ta đã giả sử phương trình (1.1) có nghiệm
= (, ) đủ trơn.
Xét ma trận của hệ:
=
2
0
0
)
2
2
+ = 0 (1.3)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7
Trong đó
là hệ số góc của tiếp tuyến của đường đặc trưng, người ta gọi
là phương đặc trưng tại điểm (, ). Vậy phương trình (1.3) xác định phương
đặc trưng, nó là phương trình vi phân của đường đặc trưng.
Phương trình
1.3
là một phương trình bậc hai ối với
Xét =
2
Nếu
2
=
±
2
+
Khi đó tại mỗi (, ) không có phương đặc trưng thực nào mà chỉ có hai
phương đặc trưng ảo liên hợp, ta nói phương trình (1.1) thuộc loại elip trong .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8
Ví dụ:
Phương trình Laplace: =
2
2
+
2
2
= 0
và phương trình Poisson: =
+ =
với < < (1.4)
= ,
= (1.5)
trong đó =
, =
, () là những hàm số cho trước đủ trơn thỏa mãn:
0 <
0
= + , = 0. ., = 0. . . Mỗi điểm (
,
)
gọi là một nút lưới ký hiệu là nút (, ). Tập tất cả các nút trong ký hiệu là
. Nút
ở trên biên gọi là nút biên; tập tất cả các nút biên ký hiệu là
, tập
=
gọi là một lưới sai phân trên
.
1.2.3. Hàm lưới
Những hàm số xác định tại các nút của lưới
được gọi là hàm lưới. Giá trị
của hàm lưới tại nút
viết là
, có giá trị tại nút
là:
=
1
Khi bé thì đạo hàm lưới “xấp xỉ” được đạo hàm thường.
Đạo hàm lưới cấp hai
:
=
+1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10
=
+1
+1
=
+1
+1
(
+1
+
+
=
0
= ,
=
Trong :
=
2
,
=
2
2
2
+
=
,
=
,
(1.8)
trong đó: là miền hình chữ nhật có kích thước hai cạnh là
1
và
2
, là toán tử
điều kiện biên, () và () là các hàm số cho trước.
Xét trường hợp tổng quát, với điều kiện biên =
với =
1
, =
2
Khi đó bài toán vi phân đang xét luôn được đưa về các hệ phương trình véctơ
ba điểm có dạng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11
1
+
+1
, = 1, 1
, = 1, 1
,
2
1
+
=
(1.10)
trong trường hợp bài toán Neumann, trong đó là ma trận ba đường chéo trội,
là
các vé c tơ nghiệm, các vé c tơ
chứa các giá trị hàm vế phải và giá trị hàm hoặc
đạo hàm trên biên.
Như vậy, để giải được bài toán (1.8) bằng phương pháp số, điều quan trọng
nhất là ta phải xác định được thuật toán nhanh giải các hệ phương trình vé c tơ ba
/2
và
thì quá trình ngược lại là tìm các
với j là
bội của /4, bội của /8,…
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12
Cụ thể như sau:
Giả sử = 2
, > 0. Ký hiệu
(0)
= ,
(0)
=
, = 0, 1
=
Bước khử thứ nhất:
Từ các phương trình của (1.9), khử các
với lẻ. Muốn vậy ta viết 3
phương trình liên tiếp trong (1.9).
2
+
(0)
1
=
1
(0)
;
1
+
0
+
1
+2
=
1
1
; = 2,4, , 2
0
=
0
=
(1.11)
trong đó
(1)
= (
(0)
=
(0)
+
1
+
+1
, = 1, 3, , 1 (1.12)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13
Bước khử thứ hai:
Tiến hành khử các
của hệ (1.11) với là bội của 2 nhưng không là bội của
4. Muốn vậy ta viết 3 phương trình liên tiếp của (1.11).
4
+
1
2
=
+4
=
+2
1
= 4, 8, , 4
Nhân hai vế của phương trình thứ hai với
1
vào bên trái rồi cộng cả 3
phương trình ta thu được:
4
+
2
+4
=
2
2
=
2
1
+
1
1
+
+2
1
, = 4, 8, , 4
hệ (1.13) chỉ chứa
4
1 véc tơ ẩn
, trong đó j là bội của 4. Nếu giải được hệ này
thì các
ố ở â ọ ệ ạ ọ á ê ://.
. .
2
+
1
+2
=
1
,= 2
,2.2
,3.2
,,2
0
=
0
1
, 5. 2
1
, ,
2
1
, = , 1, , 1 (1.16)
trong đó các ma trận
và các vé c tơ v ế phải
được tính theo các công thức
truy toán
=
1
2
, 3. 2
, , 2
, = 1, 2, 3, (1.17)
Từ (1.15) suy ra rằng sau 1 bước khử ( = 1) ta thu được hệ chỉ gồm một
phương trình đối với biến
2
1
=
/2
là:
1
=
1
+
2
1
+
+2
=
1
+
2
1
+
+2
1
,
0
=
0
,
=
, =
2
1
, 3. 2
1
, 5. 2
1
, ,2
1
, = , 1, , 1 (1.19)
và
liên hệ với
theo công thức sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15
=
+
, = 2
, 2. 2
()
=
+1
1
+
2
1
1
+
1
1
+
+2
1
()
thỏa mãn
()
= 2
()
+
2
1
1
+
+2
1
1
(1.22)
Khi đó, kết hợp với công thức
+ 2=
+
+2
1
1
(1.23)
Đặt
(1)
=
()
+
(1)
từ (1.23) suy ra
(1)
phải thỏa mãn
1
(1)
=
(1)
+
2
1
1
+
+2
1
1
,
(0)
=
,
(0)
= 0,
()
=
(1)
+
(1)
(1)
=
(1)
, thay công thức (1.20) vào (1.19) ta thấy
có thể tính
được từ các công thức sau:
1
(1)
=
(1)
+
2
1
+
+2
1
,
=
,1
,
2
1
=1
,1
= 2cos
(21)
2
Tóm lại, qua các bước phân tích trên ta có thuật toán thu gọn khối lượng tính toán
giải bài toán biên thứ nhất như sau:
1. Quá trình xuôi
Cho các giá trị ban đầu
0
= 0,
0
=
, = 1, 2, , 1
(1)
+
+2
1
(1)
, = 2
, 2. 2
, 3. 2
, , 2
.
Sau đó với mỗi
= 1, 2, , 2
1
và = 2
, 2. 2
, 3. 2
, , 2
.
giải phương trình
,1
(1)
, = 2
, 2. 2
, 3. 2
, , 2
.
2. Quá trình ngược
Cho các giá trị ban đầu
0
=
0
,
=
Với = , 1, , 2 tính
(0)
=
(1)
+
2
1
=
(1)
Khi đó
=
(1)
+
2
1
, = 2
, 2. 2
, 3. 2
, , 2
Với = 1, giải phương trình
=
(0)
+
1
, > 0.
Ký hiệu
(0)
= ,
(0)
=
, = 1, 2, 1. Bằng phương pháp khử liên tiếp như
đã trình bày ở bài toán biên thứ nhất, sau (1) phép khử sẽ dẫn đến các phương
trình
()
0
2
=
0
()
, 2
0
+
()
=
()
0
(1)
+ 2
2
1
(1)
,
()
=
2
1
(1)
+
(1)
+
+2
1
(1)
, = 2
, 2. 2
, 3. 2
, , 2
()
liên kết qua công thức:
()
=
()
()
+
()
, = 2
, 2. 2
, 3. 2
, , 2
, = 0, 1, ,
trong đó
()
,
()
được tìm từ các công thức
+
(1)
,
()
= 2
()
+
2
1
(1)
+
+2
1
(1)
,
= 2
, 2. 2
, 3. 2
, , 2
, = 0, 1, , 1
Khi = 0, các vé c tơ liên kết được xác định từ các hệ phương trình đệ quy
(1)
()
= 2
0
()
+ 2
2
1
(1)
, = 0, 1, ,
và
(1)
(1)
=
(1)
+ 2
2
1
(1)
,
(0)
=
,
(0)
(1)
+
2
1
+
+2
1
,
=
(1)
+
(1)
,
= 2
1
, 3. 2
1
, 5. 2
1
, , 2
1
, = , 1, , 1.
0
,
2
Trong các phương trình trên, các ma trận được xác định
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19
,1
= 2cos
(21)
2
,
(1)
=
,1
,
2
1
=1
,1
= 2cos
2
1
,
()
(1)
+
2
1
(1)
+
+2
1
(1)
, = 2
, 2. 2
, 3. 2
, , 2
Sau đó với mỗi: = 1, 2, , 2
1
và = 2
1
, 3. 2
1
, 5. 2
1
, , 2
1
Giải phương trình:
+2
1
(1)
= 2
, 2. 2
, 3. 2
, , 2
Với = 1, 2, ,1 xác định các vé c tơ
0
(0)
=
0
(1)
+ 2
2
1
(1)
,
()
= 2
(0)
()
=
0
(1)
+
0
(1)
,
0
()
= 2
0
()
+ 2
2
1
(1)
,
()
=
(1)
+
(2
1
)
,
()
=
(1)
. Khi đó,
=
()
+
()
=
0
()
+
()
Xác định
, = 1, 2, , 1
Với = , 1, , 2, 1 xác định các vé c tơ
(0)
=
(1)
+
(1)
.
Nhận xét
Do tính chất của các ma trận
,1
và
,1
, việc giải các hệ phương trình
đại số trong thuật toán thứ nhất và thứ hai đều được thực hiện bằng thuật toán đệ
quy và đưa về giải các hệ phương trình đại số theo phương pháp truy đuổi ba đường
chéo.
Có thể chứng minh rằng khối lượng tính toán trong mỗi thuật toán là
(log).
Đối với thuật toán thứ hai, trong trường hợp đã biết
0
hoặc
thì không cần
xác định các vé c tơ
0
()
,
0
()
hoặc
Copyright: Tài liệu đại học ©