ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
LƯƠNG THỊ DUNG
NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN
ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN THỨ NHẤT
CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60 46 36
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN
THÁI NGUYÊN, 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa Học,
Đại học Thái Nguyên.
Trong quá trình học tập và làm luận văn, thông qua các bài
giảng, tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ, chỉ bảo tận
tình và những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô giáo trong
trường Đại học Khoa Học, Đại Học Thái Nguyên, các giáo sư của
Viện Toán học. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết
hơn đến các thầy cô.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phòng Đào
tạo khoa học và Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán - Tin, Trường Đại
học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, đã quan tâm và giúp đỡ tác
giả trong suốt thời gian học tập tại trường.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sau sắc tới P GS.T S Hà Tiến
Ngoạn, thầy đã rất tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tác giả trong suốt
thời gian tác giả thực hiện luận văn và trực tiếp hướng dẫn tác
giả hoàn thành luận văn này.

0
(Ω) . . . . . . 19
1.3 Phiếm hàm trong H
1,2
0
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Phiếm hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Phương pháp biến phân đối với bài toán biên Dirich-
let cho phương trình elliptic cấp 2 33
2.1 Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet . . . . . . 33
2.1.1 Bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.2 Nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . 34
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
2.1.3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng . . . . 34
2.2 Nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Phương pháp Galerkin tìm nghiệm gần đúng . . . 37
2.3.1 Trường hợp g ≡ 0 trên ∂Ω . . . . . . . . . 37
2.3.2 Trường hợp g = 0 trên ∂Ω . . . . . . . . . 39
Kết luận 41
Tài liệu tham khảo 42
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Mở đầu
Nghiệm suy rộng của bài toán biên Drichlet của phương trình
elliptic cấp 2 trong miền Ω được định nghĩa trong không gian
H
1,2
(Ω) là hàm số gồm những hàm số mà các đạo hàm riêng đến
cấp 1 là bình phương khả tích trong Ω. Người ta đã chứng minh

R Tập các số thực.
R
n
Không gian Euclidean n chiều.
R
d
Không gian Euclidean d chiều.
W
d
Thể tích của hình cầu đơn vị trong R
d
.
W
1
2
(Ω) Không gian sinh ra bởi tích vô hướng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Chương 1
Phép tính biến phân
1.1 Một số không gian hàm
1.1.1 Không gian L
p
(Ω)
Cho Ω ∈ R
n
là một miền trong R
n
. Không gian L
p

p
(Ω) là không gian Banach.
Không gian L
2
(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng sau
(f, g)
L
2
(Ω)
=

Ω
f(x)g(x)dx. (1.2)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Giả sử các số p và q thỏa mãn các điều kiện
p ≥ 1, q ≥ 1,
1
p
+
1
q
= 1.
Khi đó ta có bất đẳng thức Holder sau đây

Ω
|f(x)g(x)|dx ≤ ||f||
L
p
(Ω)

(u)D
j
(v) + u(x)v(x)


dx, (1.4)
||u||
2
C
1
(
¯
Ω)
=

Ω


u
2
+
n

j=1
(D
j
u)
2



(Ω), u|
∂Ω
= 0}.
Ta có thể định nghĩa H
1,2
0
(Ω) là bao đóng của C
∞
0
(Ω) đối với
chuẩn (1.5), trong đó C
∞
0
(Ω) là không gian tất cả các hàm số khả
vi vô hạn và có giá compact trong Ω.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử Ω ⊂ R
d
là miền bị chặn và u ∈ L
1
loc
(Ω).
Hàm v ∈ L
1
loc
(Ω) gọi là đạo hàm yếu của u theo biến x
j
nếu



R
d
ρ(x)dx = 1.
Với u(x) ∈ L
1
loc
(Ω) và h > 0 đủ nhỏ, ta đặt
u
h
(x) =
1
h
d

R
d
u(y)ρ

x − y
h

dy.
Bổ đề 1.1.2. Giả sử u ∈ L
1
loc
(Ω) và giả sử v = D
i
u tồn tại. Nếu
điều kiện sau về khoảng cách được thỏa mãn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
=
−1
h
d

∂
∂y
i
ρ

x − y
h

u(y)dy
=
1
h
d

ρ

x − y
h

D
i
u(y)dy = (D
i

(Ω) được định nghĩa như
không gian của u ∈ L
2
(Ω) mà có đạo hàm yếu của lớp L
2
(Ω) theo
các biến x
i
(i = 1, , d).
Trong W
1,2
(Ω) ta định nghĩa tích vô hướng
(u, v)
W
1,2
(Ω)
:=

Ω
uv +
d

i=1

Ω
D
i
u.D
i
v

(Ω), khi
đó (u
n
)
n∈N
, (D
i
u
n
)
n∈N
, (i = 1, , d) là dãy Cauchy trong L
2
(Ω).
Vì L
2
(Ω) là đầy đủ, tồn tại u, v
i
∈ L
2
(Ω) với u
n
→ u, D
i
u
n
→ v
i
trong L
2

u = v
i
và u ∈ W
1,2
(Ω). Để chứng minh trên đẳng thức
H
1,2
(Ω) = W
1,2
(Ω), ta cần chỉ ra rằng không gian C
∞
(Ω) ∩
W
1,2
(Ω) là trù mật trong W
1,2
(Ω). Cho n ∈ N ta đặt
Ω
n
:= {x ∈ Ω : ||x|| < n, dist(x, ∂Ω) >
1
n
,
với Ω
0
= Ω
−1
:= ∅ do đó
Ω
n

, ∂Ω
n+1
);
||(ϕ
n
u)
h
n
− ϕ
n
u||
W
1,2
(Ω)
<

2
n
vì ϕ
n
là các hàm số trong phân hoạch đơn vị trên bất kì Ω

⊂⊂ Ω,
hàm trơn (ϕ
n
u)
h
n
có giá trị khác 0. Vậy


u|| < 
và ta thấy rằng mỗi u ∈ W
1,2
(Ω) có thể xấp xỉ bởi hàm C
∞
(Ω).
Bổ đề 1.1.6. Cho u ∈ W
1,2
(Ω), f ∈ C
1
(R), giả sử
sup
y∈R
|f

(y)| < ∞.
Khi đó f ◦ u ∈ W
1,2
(Ω) và đạo hàm yếu thỏa mãn
D(f ◦ u) = f

(u)Du.
Chứng minh. Giả sử u
n
∈ C
∞
(Ω), u
n
→ u trong W
1,2

(u)Du|
2
dx ≤ 2 sup |f

|
2

Ω
|Du
n
− Du|
2
dx
+2

Ω
|f

(u
n
) − f

(u)|
2
|Du|
2
dx.
Do sự chọn của dãy con u
n
hội tụ tới u hầu hết theo từng điểm

n
→ f(u)Du trong L
2
(Ω).
Do đó
f ◦ u ∈ W
1,2
(Ω) và D(f ◦ u) = f

(u)Du.
Hệ quả 1.1.7. Nếu u ∈ W
1,2
(Ω) thì |u| ∈ W
1,2
(Ω) và D|u| =
sign u.Du
Chứng minh. Ta xét f

(u) := (u
2
+ 
2
)
1
2
− , áp dụng Bổ đề 7.2.3
và giả sử  → 0, sử dụng một lần nữa định lý Lebesgue trên sự
hội tụ để khẳng định giới hạn như trước.
Định lý 1.1.8 (Bất đẳng thức Poincare). Cho u ∈ H
1,2

chuẩn L
2
của Du
||u||
H
1,2
(Ω)
≤

1 +

|Ω|
w
d

1
d

||Du||
L
2
(Ω)
.
Chứng minh. Giả sử u ∈ C
1
0
(Ω) ta đặt u(x) = 0 cho x ∈ R
d
\Ω,
cho ω ∈ R

0

∂B(x,r)
1
r
d−1
∂
∂v
(z)dδ(z)dr
=
−1
dω
d

Ω
1
|x − y|
d−1
d

i=0
∂
∂y
i
u(y)
x
i
− y
i
|x − y|

≤
1
µ
ω
1−µ
d
|Ω|
µ
||f||
L
2
(Ω)
.
Chứng minh. Đặt B(x, R) := {y ∈ R
d
|x−y| ≤ R}, giả sử R được
chọn sao cho |Ω| = |B(x, R)| = ω
d
R
d
. Từ đẳng thức
|Ω\(Ω ∩ B(x, R))| = B(x, R)\(Ω ∩ B(x, R))|
và
|x − y|
d(µ−1)
≥ R
d(µ−1)
, |x − y| ≤ R.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17


|x − y|
d
2
(µ−1)

|x − y|
d
2
(µ−1)
|f(y|

.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta được
|(V
µ
f)(x)| ≤

Ω
|x − y|
d(µ−1)
|f(y)|dy
≤


Ω
|x − y|
d(µ−1)
dy


2
(Ω), tức là với bất kì dãy (u
n
)
n∈N
⊂
H
1,2
0
(Ω) với
||u
n
||
W
1,2
(Ω)
≤ C
0
(1.7)
luôn chứa dãy con hội tụ trong L
2
(Ω).
Chứng minh. Ta cần tìm hàm ω
n,
⊂ C
1
(Ω), cho bất kì  > 0 sao
cho
||u
n

cũng trong L
2
. Cố định cho mỗi  > 0, bao đóng của (u
n
)
n∈N
là
compact trongL
2
(Ω) và chứa dãy con hội tụ. Ứng dụng kết quả
bao đóng của dãy (ω
n,
)
n∈N
ta kết luận luôn tồn tại nhiều hữu hạn
z
v
, v = 1, , N trong L
2
. Như vậy cho mỗi n ∈ N
||ω
n,
− z
v
||
L
2
(Ω)
<


0
(Ω) với
||u
n
− ω
n
||
W
1,2
(Ω)
<

4
.
Sau đó hàm ω
n,ε
(x) được xây dựng như sau
ω
n,ε
(x) =
1
h
d

Ω
ρ

x − y
h





2
dx
≤

Ω




|y|≤1
ρ(y)
h|y|

0




∂
∂r
ω
n
(x − rω)





∂r
ω
n
(x − rω)




drdy



2
dx
≤




|y|≤1
ρ(y)dy







|y|≤1
ρ(y)h

L
2
(Ω)
.
Sau đó chúng ta có thể lựa chọn h sao cho
||ω
n
− ω
n,ε
||
L
2
(Ω)
<
ε
4
.
1.2 Phiếm hàm toàn phương trong H
1,2
0
(Ω)
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (H(·, ·)) là không gian Hilbert với
chuẩn || · ||.
A : H × H → R là dạng song tuyến tính, đối xứng, liên tục sao
cho
|A(u, v)| ≤ C||u||||v||. (1.11)
Tính đối xứng có nghĩa là ∀u, v ∈ H
A(u, v) = A(v, u). (1.12)
Dạng A gọi là eliptic nếu tồn tại một số λ dương sao cho ∀v ∈ H
A(v, v) ≥ λ||v||

J(u
n
) = k. (1.16)
Ta sẽ chứng minh (u
n
)
n∈N
là dãy Cauchy. Khi đó vì V là đóng,
tồn tại giới hạn
u = lim
n→∞
u
n
∈ V.
Tính chất Cauchy được xác định như sau
k ≤ J(
u
n
+ u
m
)
2
) =
1
2
J(u
n
) +
1
2

m
) hội tụ đến k. Ta kết luận
A(u
n
− u
m
, u
n
− u
m
) → 0 khi n, m → ∞.
Từ tính chất eliptic kéo theo ||u
n
− u
m
|| hội tụ đến 0. Do J liên
tục nên giới hạn u thỏa mãn
J(u) = lim
n→∞
J(u
n
) = inf
v∈V
J(v).
Ta chứng minh tính duy nhất của u. Ta xem điều này như là hệ
quả tính lồi của J. Giả sử u
1
, u
2
là hai cực tiểu

1
2
J(u
2
) −
1
4
A(u
1
− u
2
, u
1
− u
2
)
= k −
1
4
A(u
1
− u
2
, u
1
− u
2
).
Do đó A(u
1

(A(u + tϕ, u + tϕ) + L(u + tϕ))|
t=0
= 2A(u, ϕ) + L(ϕ).
Ngược lại, nếu cố định u ∈ V và với mọi ϕ ∈ V ta có
J(u + tϕ) = J(u) + t(2A(u, ϕ) + L(ϕ) + t
2
A(ϕ, ϕ) ≥ J(u).
Suy ra u là cực tiểu hóa.
Định lý 1.2.5. Giả sử A : H ×H → R liên tục, đối xứng, eliptic,
dạng song tuyến tính, giả sử L : H → R là tuyến tính và liên tục.
Xét bài toán
J(v) = A(v, v) + L(v) → min .
Giả sử u là nghiệm trong H, u
v
là nghiệm trong không gian con
tuyến tính đóng V . Khi đó
||u − u
v
|| ≤
C
λ
inf
v∈V
||u − v||.
Với hằng số C và λ được cho trong (1.12) và (1.15).
Chứng minh. Do Hệ quả 1.2.4 ta có
2A(u, ϕ) + L(ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ H;
2A(u
v
, ϕ) + L(ϕ

v
, v − u
v
)
=
1
λ
A(u − u
v
, u − v, từ (1.18), với ϕ = v − u
v
∈ V
≤
C
λ
||u − u
v
||||u − v||.
Dưới đây ta xét vấn đề tìm cực tiểu hóa gần đúng.
Định lý 1.2.6. Giả sử A : H × H → R là liên tục, đối xứng,
eliptic, dạng song tuyến tính trên không gian Hilbert (H(·, ·)) với
chuẩn || · ||, và giả sử L : H → R là liên tục, đối xứng, eliptic,
dạng song tuyến tính trên không gian Hilbert (H(·, ·)) với chuẩn
|| · ||, giả sử L : H → R là tuyến tính và liên tục.
Ta xét bài toán biến phân sau:
J(v) := A(v, v) + L(v) → min .
Giả sử (V
n
)
n∈N

J(v), ta sẽ chứng minh
lim
n→∞
J(u
n
) = k. (1.19)
Vì (u
n
)
n∈N
là dãy cực tiểu hóa của J trong H nên nó sẽ hội tụ
đến cực tiểu hóa của J trong H (Định lý 1.2.5). Giả sử (1.19) là
sai, khi đó ∀ > 0, ∀n ∈ N ta có
J(u
n
) ≥ k + 
(vì v
n
⊂ V
n+1
ta có J(u
n+1
) ≤ J(u
n
), ∀n).
Do đó tồn tại u
0
∈ H với
J(u
0

, u
0
) + |L(v
n
) − L(u
0
)|
≤ A(ω
n
, ω
n
) + 2|A(ω
n
, u
0
)| + ||L||||ω||
≤ C||ω
n
||
2
+ 2C||ω
n
||||u
0
|| + ||L||||ω
n
||
<

2

Ω
[

i,j
a
ij
(x)D
i
uD
j
ϕ + C(x)u(x)]dx
và
L(u) =

Ω
f(x)u(x)dx.
Với các giả thiết sau
1) Tính đối xứng
a
ij
(x) = a
ji
(x), ∀i, j và x ∈ Ω.
2) Tính elliptic: Tồn tại λ > 0 sao cho
n

i,j=1
a
ij
(x)ξ