CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
20 VẤN ĐỀ 12 - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Giải các bất phương trình lượng giác sau:
312)
sin sin
3
x x
313)
sin sin 2 0
x x
314)
sin cos 2cos
3
x x
c x x
320)
tan cot 4
x x
321)
4 2
2 os 7cos 3 0
c x x
322)
2
3tan 1 0
x
323)
2
1
1 3 tan2 1 3 0
cos 2
x
2
2 2sin 1 2sin 1 0
x x
327) Tìm các giá trị của a để phương trình sau vô nghiệm
:
2 2
2sin 1 6sin sin 1 0
x a x a a
328) Giải bất phương trình :
sin sin3 sin2
x x x
.
329) Giải bất phương trình :
3 3
5
os os3 sin .sin3
8
c xc x x x
.
330) Giải bất phương trình :
sin 2 os2 1
cos cos3
x x
x x
VẤN ĐỀ 11 - HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
298) Giải hệ phương trình :
tan cot 2sin
4
tan cot 2sin
4
x x y
y y x
301) Giải hệ phương trình :
2
2
sin cos .cos
cos sin .sin
x x y
x x y
302) Giải hệ phương trình :
sin sin 2
cos cos2
x x m
x x m
307) Giải hệ phương trình :
sin 7cos 0
5sin cos 6 0
x y
y x
308) Giải hệ phương trình :
2
3 2
9sin 15sin .sin 2 17cos 11 0
5cos 3sin 8cos 1 0
x x x x
x x x
311) Giải và biện luận phương trình:
sin 1 cos
cos
m
m x m x
x
.
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
18
278) Cho phương trình lượng giác :
os2 2 1 cos 1 0
c x m x m
279) Giải phương trình với
3
2
m
280) Tìm m để phương trình có nghiệm
3
,
2 2
x
a) Giải phương trình khi a = 1.
b) Tìm a để phương trình có ít nhất 1 nghiệm
( )
x k k Z
.
284) Cho phương trình :
1 sin 1 sin cos
x x k x
a) Giải phương trình với k = 2.
b) Giải và biện luận phương trình trong trường hợp tổng quát.
285) Cho phương trình :
2
2
1 tan 1 3 0
cos
a x a
x
. Xác định a để phương trình có
nhiều hơn 1 nghiệm trong khoảng
0,
2
2 2
os3 2 os 3 2 1 sin 2
c x c x x
289) Giải phương trình :
2
2 sin 1 0
x x xy
.
290) Giải phương trình :
2
os4 os2 5 sin3
c x c x x
291) Giải phương trình :
15 24
cos sin 1
x x
.
292) Giải phương trình :
2 2
tan tan cot 1
x y x y
x x
.
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
17
Cách 2 :
Dùng công thức :
2
2
1 os2
os
2
1 os2
sin
2
1
sin .cos sin 2
2
c x
c x
c x
x
x x x
262)
2 2
6sin sin .cos cos 2
x x x x
263)
2
sin 2 2sin 2cos2
x x x
264)
2 2
2sin 2 3sin 2 .cos2 cos 2 2
x x x x
265)
2
cos 3sin .cos 1 0
x x x
266)
2 2
cos sin 3sin 2 1
x x x
267)
2 0 0 0 2
3sin 180 2sin 90 . os 90 5sin 270 0
x x c x x
272)
2 2
3
2sin 1 3 os 4 2 3sin 2 0
2 2 2
x c x x
273)
3
4sin cos 4sin cos 2sin os 1
2 2
x x x x x c x
3
3sin . os 3sin . os sin . os sin . os
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x x x x x x x x
c c c c
277) Số đo của một trong các góc của tam giác vuông ABC là nghiệm của phương trình
:
3 3
sin sin sin 2 3 os 0
x x x c x
. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.
VẤN ĐỀ 9 : GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
16241)
x x x
246)
2 sin4x 3sin2x cos2x 3 0
247)
sin 2 4 cos sin 4 0
x x x
248)
5sin 2 12 sin cos 12 0
x x x
249)
1 2 1 sin cos sin2
x x x
3 3
4 sin os 3sin 2 4 sin cos 0
x c x x x x
254)
3
sin .cos
sin cos
x x
x x
255)
9
2cos 4 10cos 2 6 0
2 4
x x
256)
b) Xác định a để phương trình có duy nhất một nghiệm trong khoảng
0,
2
c) Xác định a để phương trình có 2 nghiệm trong khoảng
0,
2
259) Cho phương trình :
2.sin 2 2 2 sin cos 2 1 0
x m x x m
. Xác định m để phương
trình có nghiệm trong khoảng
0,
229)
3 2
2sin sin
4 4 2
x x
230)
3cos2 sin 2 2sin 2 2 2
6
x x x
231)
5
12cos 5sin 8 0
12cos 5sin 14
x x
x x
có nghiệm
1
x
235) Tìm các giá trị của
để phương trình :
2 2 2
2sin os 1 3sin 2 os 3 3 sin 0
c x x c
236)
2 2
sin 4 3sin4 . os4 4 os 4 0
x x c x c x
trong khoảng
0,
2
x
thỏa mãn phương trình sau với mọi
m:
2 2 2 2
sin sin cos os cos sin
m x m x m x mc x x x
240) Tìm m để phương trình có nghiệm :
sin 1 cos
cos
m
m x m x
x
LOẠI 3
Phương trình chứa tổng và tích của sinx và cosx
:A(sinx+cosx)+Bsinxcosx+C=0 (1)
Đặt
sin cos 2 os , 2
4
t x x c x t
LOẠI 2
Loại 2 : PHƯƠNG TRÌNH
2 2
cos sin ( 0)
a x b x c a b
Cách giải :
2 2 2 2 2 2
cos sin
cos sin
a x b x c
a b c
x x
a b a b a b
2 2
2 2
2 2
os
cos . os sin .sin ,
sin
a
c
c
a b
(điều kiện để phương trình có nghiệm
2 2 2
a b c
)
Giải các phương trình sau :
210)
4sin 3cos 5
x x
211)
3cos sin 2
x x
212)
6
sin cos
2
x x
213)
os3 sin3 1
c x x
os 2 15 sin 2 15 1
c x x
220)
2sin 9cos 85
x x
221)
2 sin 2 3cos2 4
x x
222)
0 0
5cos 2 18 12sin 2 18 13
x x
223)
5 2
2cos 3cos
6 3 2
x x
13
189)
2
3
os2 cos 2sin
2
x
c x x
190)
8cos2 .sin 2 . os4 2
x x c x
191)
2 2 2
3
sin sin 2 sin 3
2
x x x
192)
2 2 2 2
sin 3 sin 4 sin 5 sin 6
x x x x
193)
2 2 2
sin 2 sin 4 sin 6
x x x
6 5
x
trong khoảng
,
3 6
199)
2
os
2 3
x
c trong khoảng
2 ,4
200)
3
tan 3
202)
sin
1
cos
in 2
x
x
s x
trong khoảng
0,2
x
203)
sin3 sin
os2 sin2
1 os2
x x
c x x
c x
trong khoảng
cos2 2 3 cos 1 0
x m x m
207) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sau có 1 và chỉ 1 nghiệm
0,
x
2 1 cos2 5cos 3 0
m x x m
208) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sau có nghiệm
3
,
2 2
x
2cos 3cos2 4
x x
158)
2
5sin 2cos2 2
x x
159)
sin 2 sin 0
x x
160)
5sin os2 2 0
x c x
161)
sin cos 1
2
x
x
162)
2
tan 2 3
2 2
1 2 2 cos
1 tan
x
x
167)
2 2
os 2 os 2 3cos 2 4 0
2 2
c x c x x
168)
2
2tan 1 tan
x x
169)
tan tan2 0
x x
170)
x
174)
9
tan 7 2 cot 3 0
2
x x
175)
3
3cos2 4cos cos3 0
x x x
176)
4sin 1 2cos2 2
x x
177)
tan tan2 sin3 .cos
x x x x
182)
cos . os3 sin 2 .sin 6 sin4 .sin 6 0
x c x x x x x
183)
sin 4 .sin5 sin 4 .sin3 sin 2 .sin 0
x x x x x x
184)
sin5 sin3 sin 4
x x x
185)
sin sin 2 sin3 0
x x x
186)
cos cos3 2cos5 0
x x x
187)
2 2
cos sin sin3 os4
x x x c x
sinX sin
2
'2
X A k
X A k
tanX tan
cot cot
X
X A k
143)
3
sin 2
3 2
x
144)
0
1
sin 2 50
2
x
145)
tan 3
x
146)
150)
2
tan cot
cos
x x
x
151)
2
3sin 2 7cos2 3 0
x x
152)
2
6cos 5sin 7 0
x x
153)
cos2 5sin 3 0
x x
154)
cos2 cos 1 0
x x
2 2 2
sin sin sin 2 2cos .cos .cos
A B C A B C
126)
tanA+tan tan t anA.tan .tan
B C B C
127)
tan .cot cot cot cot tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
128)
5 5 5
sin5 sin5 sin5 4. os . os . os
2 2 2
A B C
A B C c c c
129)
sin6 sin 6 sin6 4sin3 .sin3 .sin3
A B C A B C
130) Chứng tỏ rằng nếu tam giác ABC có
tanA tan 2cot
2
C
Chứng minh tam giác ABC cân.
134) Số đo 3 góc của tam giác ABC lập thành 1 cấp số cộng và thỏa mãn hệ thức :
3 3
sin sin sin
2
A B C
. Tính các góc A, B , C.
135) Chứng minh rằng tam giác ABC cân khi và chỉ khi :
.cos .cos .sin .sin
a B b A a A b B
.
136) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có :
.cos .cos .cos 2
.sin .sin .sin 9
a A b B c C p
a B b C c A R
(trong đó p
là nửa chu vi. R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác). Thì tam giác ABC là tam giác
đều.
137) Giả sử tam giác ABC thỏa mãn điều kiện :
2 .cos .cos .cos
a A b B c C a b c
( phụ)
sin( ) sin
A B C
os( ) os
c A B c C
sin os
2 2
A B C
c
tan cot
2 2
A B C
Bất đẳng thức côsi
Cho a ,b >0 ta luôn có
2 .
a b ab
hay
2
.
. .
a b c d a c b d
hay
2 2 2 2
. .
a c bd a b c d
Định lí hàm số sin
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
Định lí hàm số cosin
2 2 2
2 2 2
2 cos
cos
2
a b c bc A
b c a
A
bc
a a c a
cos sin 2 os
4
a a c a
sin cos 2 sin
4
a b a
sin cos 2 sin
4
a b a
a b
a b
sin
cot cot
sin .sin
a b
a b
a b
Biến đổi các biểu thức sau về dạng tích :
111)
0 0 0
sin70 sin 20 sin50
112)
0 0 0
os44 os22 2 os79
c c c
113)
sin sin 2 sin3
x x x
117)
0 0 0
os85 os35 os25 0
c c c
118)
0 0 0
os130 os110 os10 0
c c c
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
7
101)
sin
3 2cos
a
M
a
nếu
1
tan
2 2
a
VẤN ĐỀ 5 : BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
1
cos .cos os( ) os( )
2
a b c a b c a b
1
sin .sin os( ) os( )
2
a b c a b c a b
1
sin . os sin( ) sin( )
2
a c b a b a b
109)
0 0
1
sin 2sin 15 os 15
2 2 2
a a
a c
110) Cho tam giác ABC có
2 2 2
5
ˆ ˆ
ˆ
4 2 . : os os os
4
A B C CMR c A c B c C
VẤN ĐỀ 6: BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
KIẾN THỨC CƠ BẢN
81) Tính
sin 2 , os2 ,tan 2
a c a a
biết
5 3
cos à
13 2
a v a
82) Tính
4
tan 2 ,cos à 0
5 2
a a v a
Tính giá trị biểu thức sau:
83)
sin . os . os . os
24 24 12 6
A c c c
84)
sin . os . os . os
88)
2
tan
8
1 tan
8
G
89)
2 0
0
1 cot 105
cot75
H
Chứng minh rằng :
90)
3 3
sin 4
cos .sin sin .cos
4
a
a a a a
91)
3 3
94)
2
1 1 sin 2
1 tan 1 tan
cos cos os
a
a a
a a c a
95)
2
sin 2 2sin
tan
sin 2 2sin 2
a a a
a a
96)
2
1 sin 2sin
2 4
3 3 2
3
a b ab
Tính giá trị biểu thức sau :
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
5 Các bài toán liên quan khác
77) Cho x và y là hai số thay đổi và là nghiệm đúng của phương trình
2 2
1
x y
. Tìm giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của phương trình
2 1
P x y
78) Cho bốn số thay đổi a, b, x, y thỏa mãn
2 2
4
a b
VẤN ĐỀ 4 : CÔNG THỨC NHÂN
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
Công thức nhân đôi
sin 2 2sin cos
a a a
2 2
2
2
os sin
os2 2 os 1
1 2sin
c a a
c a c a
a
2
2tan
tan 2
a
t
t
a
t
Công thức nhân 3
3
3
3
3
sin3 3sin 4sin
os3 4cos 3cos
3tan tan
tan3
1 3tan
a a a
c a a a
a a
a
a
a b a b
57)
5
tan tan
2 12
5
1 tan .tan
12 12
G
58)
2cos( )
tan
m
61)
tan( ) tan tan tan .tan .tan( )
a b a b a b a b
62)
2sin( )
tan tan
os( ) os( )
a b
a b
c a b c a b
63)
2 2 2
sin ( ) sin sin 2sin .sin . os( )
a b a b a b c a b
64) Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x :
65)
2 2
os ( ) os 2cos .cos . os( )
A c a x c x a x c a x
B B C C
72) Cho tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
73)
t anA+tan tan
M B C
và xác định hình tính của tam giác ABC trong trường hợp này.
74)
A A
1 t an .tan 1 tan tan 1 tan tan
2 2 2 2 2 2
B B C C
F
75) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và trực tâm H chia đường cao
'
AA
theo tỉ số
,( 0)
'
HA
m m
HA
.Tính
tan ,tan
B C
theo m và chứng minh rằng :
2 1
sin( ) sin .cos os .sin
a b a b c a b
sin( ) sin .cos os .sin
a b a b c a b
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
Áp dụng kết quả trên ta có :
cos sin 2 os
4
a a c a
cos sin 2 os
4
a a c a
sin cos 2sin
4
tan64 tan176
1 tan64 .tan356
C
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
2
Chứng minh rằng:
36)
0 0 0 0
tan10 .tan 20 tan70 .tan80 1
37)
0 0 0 0
os20 os40 os160 os180 1
c c c c
38)
0 0 0 0
tan50 tan75 tan230 tan 255
39)
sin( 234 ) os216
tan36
sin144 os126
c
A
c
44)
0 0 0
0 0
0
cot 44 tan226 os406
ot17 . ot73
os316
c
B c c
c
45)
0 0 0 0
cot5 cot10 cot80 .cot85
C
46)
0 0 0 0 0 0
49)
3 3
os 5 sin tan .cot
2 2 2
G c
50)
3
cot 2 . os os 6 2sin
2
H c c
Đối nhau
os( ) cos
c a a
sin( ) sin
a a
tan( ) tan
a a
cot( ) cot
a a
Cos đối
2
à
a v a
Bù nhau
sin( ) sin
a a
2
a a
os sin
2
c a a
tan cot
2
a a
cot tan
2
a a
os( ) os
c a c a
Sai
tan,
cot
5
à
2
a v a
Sai kém
2
sin cos
2
a a
2 cung sai
kém
2
thì
sin ( cung
lớn) = cos (
cung nhỏ) Hệ quả : A , B , C là 3 góc trong 1 tam giác
a. Ta có : A + B + C =
( ù)
A B C b
2 2 2
A B C
(phụ)
sin sin
A B C
1 sin cot 1 cot
M a a a
13) .
2
2cos 1
sin cos
a
N
a a
14)
2 2
sin 1 cot cos 1 tan
P a a a a
15)
2
1 2sin
sin cos
a
A
a a
19)
2 2
2 2
sin tan
cos cot
a a
E
a a
20)
2
sin cos 1
cot sin .cos
a a
F
a a a
CHỨNG MINH CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
25)
4 4 6 6 2 2
sin cos sin cos sin .cos
a a a a a a
26)
4 4 6 6
3 cos sin 2 cos sin 1
a a a a
27) .
sin 1 cos 2
1 cos sin sin
a a
a a a
28) .
1 os 1 cos
31) b.
3 3
os sin
sin .cos
sin cos
c x x
P x x
x x
32) c.
8 8 6 6 4
3 sin os 4 cos 2sin 6sin
B x c x x x x
33) d.
2
4 4 2 2 8 8
2 cos sin sin .cos sin os
a a
a a
a a
Hệ quả 1 :
1
tan
cot
tan .cot 1
1
cot
tan
a
a
a a
a
a
Hệ quả 2 :
a
và
3
2
a
3) c.Tính cosa, sina, cota biết
tan 2
a
và
0
90 0
a
4) d.Tính sina, cosa, tana biết
cot 3
a
và
0 0
180 270
a
TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC BẰNG SỬ DỤNG CÔNG THỨC CƠ BẢN.
5) a.tính
7) c.Tính
2 2
2 2
2cos sin .cos sin
sin 3cos 4
a a a a
G
a a
biết
cot 2
a
8) d.Tính
2sin 3cos
sin cos
a a
B
a a
biết
tan 2
a
11) a.Tính
sin .cos
a a
,
sin cos
a a
,
4 4
sin cos
a a
biết
sin cos
a a m
b.Tính
2 2
tan cot
a a
,
3 3
tan cot
a
biết
tan cot 5
a a
2 2
Copyright: Tài liệu đại học ©