SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG Đề thi vào lớp 10 chuyên TOÁN năm học 2011 - 2012
www.VNMATH.com Môn: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC (Trường THPT Chuyên Trần Phú)
Câu I.
1. Cho biểu thức
P =

2
√
x
x
√
x +
√
x − x − 1
−
1
√
x − 1

:

1 +
√
x
x + 1

.
Rút gọn P . Tìm x để P ≤ 0.
2. Cho phương trình x
2

2
= 4
4xy + x + 2y −2
Câu III. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE, CF, (D ∈
BC, E ∈ CA, F ∈ AB). Gọi I, J, K lần lượt là trực tâm các tam giác AEF, BF D, CDE.
1. Chứng minh DI, EJ, F K đồng quy tại trung điểm của mỗi đường.
2. Chứng minh AI, BJ, CK đồng quy tại O.
3. Gọi M, N là hình chiếu vuông góc hạ từ D xuống AB, AC; P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc
hạ từ E xuống BC, BA; R, S lần lượt là hình chiếu vuông góc hạ từ F xuống CA, CB. Chứng minh
M, N, P, Q, R , S cùng nằm trên một đường tròn.
Câu IV.
1. Chứng minh a
3
+ b
3
≥ ab(a + b) ∀a, b ≥ 0.
2. Cho a, b, c ≥ 0 và abc =
9
4
. Chứng minh
a
3
+ b
3
+ c
3
> a
√
b + c + b
√

= −+
  
  
+
+ −− −
  
.
Rút gọn P. ĐS :
1x
P
x x1
−
=
++
(Chú ý ĐK : x ≥ 0, x ≠ 1)
Tìm x để P ≤ 0. ĐS: x > 1

2. Cho phương trình x
3
– 2(m+2)x + 2m + 2 = 0. (1)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông
có đường cao bằng
6
3
.
Hướng dẩn : (1) có hai nghiệm dương ⇔

⇔ 2[2(m + 2)]
2
– 4(2m+2) – 3(2m + 2)
2
⇔ m
2
= 3 ⇔ m =
3±

So với điều kiện (*) nhận m =
3

Câu II.
1. Giải phương trình:
x 3 2x 7 x 1 3 2x 7 9 2−+ − + ++ − =
(1). ĐK x ≥
7
2

Khi đó (1) ⇔
2x 6 2 2x 7 2x 2 6 2x 7 18−+−+++−=2x 6 2 2x 7 2x 2 6 2x 7 18
2x 7 1 2x 7 3 18 2x 7 7
2x 7 49 x 28
⇔−+−+++−=
⇔ −++ −+= ⇔ −=
⇔ −= ⇔=





⇔
2
1 71 7
(x;y) ( ; )
x 1 2y
x 2y 1 x 1 2y
24
4xy 1 4(1 2y)y 1
8y 4y 3 0
1 71 7
(x;y) ( ; )
24
x 2y 2 (x;y) ( 2;0)
(x;y) ( 2;0)
(x;y) ( 2;0)
4xy 0 (x;y) (0; 1)
(x;y) (0; 1)
(x;

+−
=


= −
+ = =−









y) (0; 1)










= −




Vậy hệ phương trình có các nghiệm (x;y) là (-2;0); (0;-1);
1 71 7
(;)
24
+−
;
1 71 7
(;)

Vậy FI // DK và FI = DH ⇒ FIKD là hbh
⇒ DI và FK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Cmttự ta có DEIJ là hbh ⇒ DI, EJ cắt nhau tại trung điểm
mỗi đường.
Vậy DI, FK, EJ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
(đpcm).
2. Chứng minh AI, BJ, CK đồng quy tại O.
Chứng minh ∆AEF đồng dạng ∆ABC (cgc)
⇒


AEF ABC=

Kẻ Ax là tiếp tuyến của (O) tại A
⇒


xAC ABC=
(= ½ sđ cung AC)
⇒


xAC AEF=
⇒ Ax // EF mà OA ⊥ Ax ⇒ OA ⊥ EF
Vậy A, I, O thẳng hàng (cùng nằm trên đường thẳng qua A vuông góc với EF)
Cm tương tự ta có B,J,O thẳng hàng, C,K,O thẳng thàng vậy AI, BJ, CK đồng quy tại O (đpcm).
3. Chứng minh M,N, P, Q. R, S cùng nằm trên một đường tròn.
Ta có
 
ANM ADM=

AQR RQM 180
+=
⇒


o
ANM RQM 180
+=
⇒ tứ giác MNRQ nội tiếp
Chứng minh tương tự ta có MRNP nội tiếp ⇒ M, Q, R, N, P cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp
∆MNR.
Chứng minh tương tự ta có PQMS nội tiếp ⇒ M,N, P, Q. R, S cùng nằm trên một đường tròn.
Câu IV.
1. Chứng minh rằng a
3
+ b
3
≥ ab(a + b) ∀a, b ≥ 0. (quá dễ)
2. Cho a, b, c ≥ 0 và abc =
9
4
. Chứng minh
3 33
a b c ab c bc a ca b+ + ≥ ++ ++ +

Từ câu 1) ⇒
3 33
2(a b c ) ab(a b) bc(b c) ca(c a)
++≥+++++


⇒+
33
18
c a b c b c a c a b (do a,b,c 0 vaø 1) (ñpcm)
17
+ > ++ ++ + ≠ >3. Tìm số dư của
2011
(2 3)

+


Đặt
1
12
12
2
x2 3
Sx x 4
P x .x 1
x23

= +
=+=


⇒


− += − + =


(n ∈ N
*
) (1)
Đặt
kk
k12
Sxx= +
(k ∈ N
*
) , (1) ⇒ S
n+2

= 4S
n+1
- S
n
S
1
= S = 4, S
2
= S
2
– 2P = 16 – 2 = 14 ⇒ S
1
; S
2

< 1
Mà S
2011
chia cho 3 dư 1 (cmt) ⇒
2011
(2 3)

+

chia hết cho 3.

Câu V. Xét 8 ô ở biên không phải ô ở góc (hình vẽ). Mỗi lần chọn các ô
như đề bài thì trong 8 ô trên hoặc không có ô nào được chọn, hoặc
có đúng hai ô được chọn . Mỗi lần đổi dấu các số như đề bài thì tich
các số trong 8 ô trên không đổi do −1.1=1.( −1); 1.1 = (−1)( −1).
Tích 8 số trong 8 ô đã chọn ban đầu là − 1. Nếu tất cả các ô trong
bảng đều là số 1 thì tích các số trong 8 ô trên là 1, vô lý. Vậy sau
hữu hạn lần biến đổi các ô trong bảng không thể cùng mang số 1