VÕ QUANG MẪN
VẼ ĐẸP HÌNH HỌC
NHÀ XUẤT BẢN
55
NXB-00
99/111-99 Mã số: 00000
Lời nói đầu
Chương 1. 150 bài toán chọn lọc
Chương 2. Lời giải
Cuốn sách dành cho học sinh phổ thông yêu toán, học sinh giỏi môn toán, các
thầy cô giáo, sinh viên đại học ngành toán, và những người yêu thích toán học
phổ thông. Trong biên soạn không thể tránh khỏi sai sót và nhầm lẫn mong bạn
đọc đóng góp cho ý kiến. Mọi góp ý gửi về địa chỉ: , hay
Chợ Nam Phổ
*
, Phú Thượng, Phú vang, Thừa Thiên Huế.
Tác giả cảm ơn các đồng nghiệp đã hết sức giúp đỡ để cuốn sách được in ra.
Cố Đô, ngày 2 tháng 11 năm 2011
Võ Quang Mẫn
Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 1. Các bài toán 5
1.1. 150 bài toán đẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Chương 2. Gợi ý 22
2.1. Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Chương 3. Các bài hình các nước 2009 - 2011 23
3.1. Đề thi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Chương 1
Các bài toán

 1.5. OX, OY vuông góc. Giả sử trên OX ta có hai điểm cố định P, P’trên cùng
tia của O. I là điểm thay đổi sao cho IP = IP’. PI, P’I cắt OY tại A và A’. a) Nếu
C, C’. Chứng minh I, A, A’, M nằm trên đường tròn mà tiếp xúc với một đường
thẳng và tiếp xúc với một đường tròn cố định b) Chứng minh rằng IM đi qua một
điểm cố định.
6 Các bài toán
 1.6. Cho A, B, C, Q là những điểm cố định . M, N, P là giao điểm của AQ, BQ,
CQ với BC, CA, AB. D’, E’, F’ là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ABC. Các
tiếp tuyến vẽ từ M, N, P đối với đường tròn nội tiếp ABC tạo thành DEF. Chứng
minh rằng DD’, EE’, FF’ cắt nhau tại Q.
 1.7. Cho ABC. Wa là đường tròn tâm nằm trên BC đi qua A và trực giao với
đường tròn ngoại tiếp ABC. Wb, Wc được định nghĩa tương tự. Chứng minh các
tâm Wa, Wb, Wc thẳng hàng.
 1.8. Tứ diện ABCD có bán kính đường tròn ngoại tiếp của bốn mặt bằng nhau.
Chứng minh tứ diện ABCD là tứ diện gần đều. (AB = CD, AC = BD và AD = BC)
 1.9. Giả sử M là điểm tùy ý trên cạnh BC cảu ABC. B’, C’ là những điểm trên
AB, AC sao cho MB = MB’ và MC = MC’. Giả sử H, I là trực tâm của ABC và
tâm nội tiếp MB’C’. Chứng minh rằng A. B’, H, I, C’ nằm trên đường tròn.
 1.10. Đường tròn nội tiếp ABC tiếp xúc AB, AC tại P, Q. BI, CI giao PQ tại
K, L. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp IKL tiếp xúc với đường tròn nội tiếp
ABC khi và chỉ khi AB + AC = 3BC.
 1.11. Cho M, N là hai điểm bên trong ABC sao cho ∠MAB = ∠NAC và ∠MBA
= ∠NBC. Chứng minh rằng:
AM.AN
AB.AC
+
BM.BN
BA.BC
+
CM.CN

với tâm P ngoài hình vuông AB
c
B
a
C. Chứng minh
BP, C
a
B
a
và A
a
B
c
đồng quy.
 1.14. Cho  cân ABC cân tại A. Từ A kẻ đường thẳng l song song với BC. P, Q
nằm trên các đường trung trực của AB, AC sao cho PQ⊥BC. M, N là những điểm
trên l sao cho ∠AP M = ∠AQN =
π
2
. Chứng minh:
1
AM
+
1
AN
≤
2
AB
.
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright

≤
1
4
(AB
2
+ AC
2
+ BC
2
).
 1.19. Các đường tròn S1, S2 cắt nhau tại P và Q. Hai điểm phân biệt A1 và B1(
không trùng P,Q) được chọn nằm trên S1. Những đường thẳng A1P và B1P cắt
S2 một lần nữa tại A2 và B2 tương ứng, và các đường thẳng A1B1 và A2B2 cắt
nhau tại C. Chứng minh rằng khi A1 và B1 thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp
A1A2C nằm trên đường tròn cố định.
 1.20. Cho B là điểm trên đường tròn S1 và A là điểm khác B nằm trên tiếp tuyến
tại B đối với S1. Cho C là điểm không nằm trên S1 sao cho đường thẳng AC căt S1
tại hai điểm phân biệt. S2 là đường tròn tiếp xúc AC tại C và tiếp xúc với S1 tại
D nằm trên cạnh đối AC từ B. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp BCD
nằm trên đường tròn ngoại tiếp ABC.
 1.21. Các phân giác của góc A, B của ABC cắt các cạnh BC, CA tại D và E.
Giả sử rằng AE + BD = AB, xác định ∠C.
 1.22. Cho A, B, C, P, Q và R nằm trên đường tròn. Chỉ ra rằng nếu những đường
thẳng Simson của P, Q, R tương ứng với ABC đồng quy thì những đường thẳng
Simson của A, B, C tương ứng với PQR đồng quy.Hơn nửa những điểm đồng quy
là như nhau.
 1.23. Cho ABC, E và F là những điểm nằm trên cạnh BC và CA sao cho
CE
CB
+

AZ cắt XY tại H( AZ⊥XY ). BHXC là tứ giác nội tiếp. Chứng minh XB = XC.
 1.32. Cho ABCD là tứ giác nội tiếp và L, N là trung điểm của hai đường chéo
AC và BD. Giả sử đường thẳng BD phân đôi ∠ANC. Chứng minh đường thẳng AC
phân đôi ∠BLD.
 1.33. Tam giác ABC có đường phân giác ngoài ∠A cắt những đường thẳng vuông
góc với BC mà đi qua B và C lần lượt tại D và E. Chứng minh đường thẳng BE,
CD, AO đồng quy, ở đây O là tâm ngoại tiếp ABC.
 1.34. Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi O là giao điểm AC và BD. Tìm các vị trí M, N
nằm trên AB và CD, O thuộc MN sao cho tổng
MB
MA
+
NC
ND
đạt min.
 1.35. Cho ABC, M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AM.
E là giao điểm của AC với BP và R là hình chiếu của A trên MN. Chứng minh
∠ERN ≡ ∠CRN.
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright
c
 Võ Quang Mẫn
1.1. 150 bài toán đẹp 9
 1.36. Gọi X một trong hai giao điểm của hai đường tròn cắt nhau. Tìm Y trên
đương tròn này và Z trên đường tròn kia để X, Y, Z thẳng hàng và XY.XZ đạt
max.
 1.37. Bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự đó nằm trên đường tròn O. Điểm S nằm
bên trong (O) có tính chất ∠SAD = ∠SCBvà ∠SDA = ∠SBC. Phân giác ∠ASB
cắt đường tròn tại hai điểm P, Q. Chứng minh P S = QS.
 1.38. Cho ABC. Gọi G, I, H là trọng tâm, tâm nội tiếp, trực tâm của ABC.
Chứng minh ∠GIH > 90

 1.46. Cho H là trực tâm ABC. Gọi BB’ và CC’ là các đường cao. Đường thẳng
l tùy ý đi qua H cắt cạnh [BC’] và [CB’] tại M và N. Những đường thẳng vuông góc
với l từ M và N cắt BB’ và CC’ tại P và Q. Tìm quỹ tích trung điểm cạnh PQ.
 1.47. Cho ABC với đường cao AH, phân giác trong BE. Nếu ∠BEA = 45
0
thì
∠EHC =?
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright
c
 Võ Quang Mẫn
10 Các bài toán
 1.48. Cho nhọn ABC với AB = AC. Gọi H là trực tâm, M là trung điểm của
cạnh BC. D là điểm trên cạnh AB và E là điểm trên cạnh BC sao cho AE = AD
và các điểm D, H, E thẳng hàng. Chứng minh rằng đường thẳng HM mà vuông góc
với dây cung chung của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ABC và ADE.
 1.49. Cho D nằm trong ABC và E trên AD. Đặt w
1
, w
2
là những đường tròn
ngoại tiếp các BDE và CDE, hai đường tròn này cắt BC tại những điểm trong F,
G. X là giao điểm của DG và AB, Y là giao điểm của DF và AC. Chứng minh rằng
XY  BC.
 1.50. Cho ABC, D là trung điểm của BC, M là trung điểm của AD. BM cắt
cạnh AC tại N. Chứng minh rằng AB là tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp NBC
khi và chỉ khi đẳng thức sau đúng:
BM
MN
=
BC

6
 1.52. Cho ABC thỏa mãn AC + BC = 3.AB.Đường tròn nội tiếp ABC với tâm
I và tiếp xúc BC, CA tại D và E. K, L là điểm đối xứng D, E qua I. Chứng minh
A,B,C,K nằm trên đường tròn.
 1.53. Trong nhọn ABC có 2AB = AC + BC. Chứng minh rằng tâm nội tiếp,
tâm ngoại tiếp, trung điểm AC, trung điểm BC nội tiếp đường tròn.
 1.54. Cho ABC, M là trung điểm của BC. Cho γ là đường tròn nội tiếp. Trung
tuyến AM cắt γ tại K, L. Các đường thẳng đi qua K, và L song song BC cắt γ tại
X, Y. Giả sử đường thẳng AX, AY cắt BC tại P, Q. Chứng minh BP = CQ.
 1.55. Cho ABC, M là điểm bên trong thỏa mãn ∠MAB = 10
0
, ∠MBA =
20
0
, ∠MAC = 40
0
và∠M CA = 30
0
. Chứng minh rằng này là cân.
 1.56. Cho vuông ABC tại A. M là trung điểm BC, D là điểm trên đường thẳng
BC thỏa ∠BAD = ∠CAD. Chứng minh rằng tồn tại điểm P sao cho P B⊥P M và
P B = P M khia và chỉ khi
P A
P D
=
3
5
.
 1.57. Xét ngũ giác lồi ABCDE sao cho ∠BAC = ∠CAD = ∠DAE và ∠ABC =
∠ACD = ∠ADE. P là giao điểm của các đường thẳng BD và CE. Chứng minh rằng

M, và N là chân đường vuông góc hạ từ O đến các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng
minh:
1
OK
+
1
OM
=
1
OL
+
1
ON
.
 1.62. Cho ABC. Trên các cạnh kéo dài BC( đối với C), CA( đối với A), AB( đối
với B) ta lấy các điểm D, E, F sao cho CD = AE = BF. Chứng minh rằng DEF
là đều thì ABC cũng đều.
 1.63. Cho ABC, với tâm I, đường tròn nội tiếp của IBC tiếp xúc IB, IC tại
I
a
, I

a
, tương tự ta có I
b
, I

b
, I
c

1
, BC, BB
1
, CA, CC
1
, AB. Chứng minh rằng MN, PQ, RS đồng quy.
 1.65. Cho ABC và đặt X, Y, Z là điểm trên các cạnh BC, CA, AB, sao cho
AX = BY = CZ. và BX = CY AZ. Chứng minh ABC là đều.
 1.66. Cho P và P’ là những điểm liên hợp đẳng giác đối với ABC. Giả sử các
đường thẳng AP, BP, CP cắt các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’ C’.
Chứng minh rằng các đối xứng của các đường thẳng AP’, BP’, CP’ đối với các đường
thẳng B’C’, C’A’, A’B’ đồng quy.
 1.67. trong tứ giác lồi ABCD, đường chéo BD không là phân giác của các góc
∠ABC và ∠CDA. Điểm P bên trong tứ giác thỏa ∠P BC = ∠DBA và ∠P DC =
∠BDA. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là nội tiếp khi và chỉ khi AP = CP
 1.68. Cho các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ABC tại các đỉnh B và C
cắt nhau tại X. Thì đường thẳng AX là đường đối trung của ABC. ( xem thêm
các bổ đề trong hình học phẳng)
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright
c
 Võ Quang Mẫn
12 Các bài toán
 1.69. Cho các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ABC tại các đỉnh B và C
cắt nhau tại X, và M là trung điểm của cạnh BC. Thì AM = AX|cos A| ( ta không
sử dụng góc định hướng ở đây)
 1.70. Cho ABC là đều. Đặt M, N. P lần lượt là các điểm trên cạnh BC, CA,
AB sao cho S(ANP) = S(BPM) = S(CMN), ở đây S(.) là diện tích. Chứng minh
ANP
∼
=

1
, B
1
, C
1
và đường thẳng
AX, BX, CX tại A
2
, B
2
, C
2
. Chứng minh các đường thẳng A
1
A
2
, B
1
B
2
, C
1
C
2
đồng
quy.
 1.75. Xác định tính chất của ABC sao cho tâm nội tiếp nằm trên HG, ở đây H
là trực tâm, G là trọng tâm ABC.
 1.76. Cho ABC. D là điểm trên đường thẳng AB. (C) là đường tròn nội tiếp
BDC. Kẻ đường thẳng song song với phân giác ∠ADC, và đi qua I, tâm nội tiếp

đồng quy.
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright
c
 Võ Quang Mẫn
1.1. 150 bài toán đẹp 13
 1.79. Cho hình chữ nhật ABCD. Ta chọn bốn điểm P, M, N, Q trên AB, BC,
CD, DA. Chứng minh rằng chu vi của PMNQ nhỏ hơn một nửa chu vi ABCD.
 1.80. Cho ABCDE là ngũ giác lồi.
 1.81. Cho ABC. Đường tròn nội tiếp i = C(I, R) tiếp xúc với các cạnh BC,
CA, AB tại D, E, F. Ta gọi giao điểm thứ hai M, N, P của các đường thẳng AI, BI,
CI tương ứng với đường tròn e = C(O, R). Chứng minh rằng các đường thẳng MD,
NE, PF đồng quy.
 1.82. Cho nhọn ABC với ∠BAC > ∠BCA, và D là điểm trên AC sao cho AB
= BD. Hơn nữa đặt F là điểm trên đường tròn ngoại tiếp ABC sao cho FD là
vuông góc với cạnh BC, và các điểm F, B nằm trên hai bờ của cạnh AC. Chứng
minh FB vuông góc với cạnh AC.
 1.83. Cho ABC với trực tâm H, tâm nội tiếp I và trọng tâm S, và d là đường
kính của đường tròn ngoại tiếp . Chứng minh bất đẳng thức:
9HS
2
+ 4(AH.AI + BH.BI + CH.CI) ≥ 3d
2
,
và xác định đẳng thức xảy ra khi nào?
 1.84. Cho ABC. Một đường tròn đi qua A và B cắt cạnh AC, BC tại D và E.
Đường thẳng AB và DF cắt nhau tại F, trong khi đường thẳng BD và CF cắt nhau
tại M. Chứng minh rằng MF = MC khi và chỉ khi MB.MD = M C
2
.
 1.85. ABC nội tiếp đường tròn (O, R). Trên AB ta lấy điểm C’ sao cho AC =

 1.88. Trong không gian cho tam giác vuông ABC tại A, và điểm D sao cho
đường thẳng CD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Ký hiệu d = AB, h = CD, α =
∠DACvà∠DBC. Chứng minh rằng
h =
d tan α tan β

tan
2
α − tan
2
β
.
 1.89. Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng. Phân giác trong của các góc A,
B, C của ABC cắt các cạnh BC, CA, AB tại A’. B’ , C’. P là giao điểm của phân
giác ∠A với B’C’. Đường thẳng song song BC đi qua P cắt cạnh AB và AC tại M,
N. Chứng minh 2MN = BM + CN.
 1.90. trong ABC nếu a(1 − 2 cos A) + b(1 − 2 cos B) + c(1 − 2 cos C) = 0, thì
ABC đều.
 1.91. Các đường tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau tại A và B. CD đi qua điểm O
1
cắt
(O
1
) tại D và tiếp xúc với (O
2
) tại C. AC tiếp xúc (O

đối của bờ AB. Xây đựng điểm B
1
thỏa mãn tứ giác AP CB
1
nội tiếp, QB
1
 BA, và
điểm B
1
và Q nằm trên hai cạnh đối của bờ AB. Chứng minh bốn điểm B
1
, C
1
, P, Q
nằm trên đường tròn.
 1.94. Cho tứ giác ABCD. Phân giác ngoài của các ∠Avà C cắt nhau tại P; phân
giác ngoài các ∠B, D cắt nhau tại Q. Đường thẳng AB, CD cắt nhau tại E, và đường
thẳng BC, DA cắt nhau tại F. Bây giờ ta có hai góc: E ( là ∠AED) và F ( là ∠BF A
). Ta cũng xét điểm điểm R là giao điểm của các phân giác ngoài của hai góc này.
Chứng minh P, Q, R thẳng hàng.
 1.95. Cho I là tâm nội tiếp của ABC và A
1
B
1
C
1
là trung bình ( tức là A
1
là trung điểm của cạnh BC, vv ). Chứng minh rằng các tâm của những đường tròn
chín điểm Euler các BIC, CIA, AIB các phân giác của trung bình A

∩ G
2
= {C, P }.
1. Chứng minh rằng điểm P là trực tâm của ABC.
2. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ABC đồng quy với các đường tròn
G
1
, G
2
, G
3
.
 1.98. Cho ABXY là hình thang sao cho BX  AY . Ta gọi C là trung điểm của
XY, và ký hiệu P, Q là trung điểm của BC, CA. XP, YQ cắt nhau tại N. Chứng minh
rằng N nằm trong hoặc trên biên của tam giác ABC khi và chỉ khi
1
3
≤
BX
AY
≤ 3.
 1.99. Cho P là điểm cố định trên một conic, M, N là hai điểm tùy ý trên đó sao
cho P M⊥P N. Chứng minh MN đi qua một điểm cố định.
 1.100. Cho ABC. L là điểm Lemoine và F là điểm Fermat( hay diểm Torricelli).
H là trực tâmvà O là tâm đường tròn ngoại tiếp . Gọi l là dường thẳng Euler và l’
là đối xứng của l qua AB. D là giao điểm của l’ với đường tròn ngoại tiếp , E là giao
điểm cảu FL và OD. Gọi G là điểm khác H sao cho tam giác thủy túc( tam giác bàn
chân) của G là đồng dạng với cevian của G( đối với ABC). Chứng minh rằng
hai góc ACB, GCE hoặc chung hoặc những phân giác vuông góc nhau.
 1.101. Cho ABC với diện tích S, P là điểm trong mặt phẳng. Chứng minh rằng

C
3
là những tam giác đều đồng quy.
Chứng minh rằng các cặp giao điểm của những đường tròn ngoại tiếp của các
AB
1
C
2
, AB
2
C
3
, AB
3
C
1
từ một tam giác đều với ba cái đầu.
 1.104. Cho tam giác nhọn, các trung tuyến AD, BE, CF đồng quy tại P. Chứng
minh:
2(
1
AP
+
1
BP
+
1
CP
) ≤
1

từ C và A’.
2. Gọi D là trung điểm của AB. Khi M thay đổi( không trùng D) chứng minh
đường tròn ngoại tiếp MNP (N là giao điểm của DM và AP) đi qua một
điểm cố định.
 1.107. Cho hình vuông ABCD, và (C) là đường tròn đương kính AB. Gọi Q là
điểm tùy ý trên CD. Ta biết QA cắt (C) tại E và BQ cắt (C) tại F. Cũng có CF và
DE cắt nhau tại M. Chứng minh M phụ thuộc đối với (C).
 1.108. Trong tam giác ABC ta có:
(
a
h
a
)
2
+ (
b
h
b
)
2
+ (
c
h
c
)
2
≥ 4.
 1.109. Cho ABC. X trên AC. Một đường tròn đi qua X, tiếp xúc cạnh AC và
cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại M và N sao cho cạnh MN phân đôi BX và cắt
AB, BC tại P, Q. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp PBQ đi qua điểm cố định

2
, d
3
đồng quy tại K.
b) Trong các tỷ số
KA
BC
,
KB
AC
,
KC
AB
tồn tại ít nhất một tỷ số ≥
1
√
3
.
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright
c
 Võ Quang Mẫn
1.1. 150 bài toán đẹp 17
 1.114. Cho hình chữ nhật ABCD ( AB = a, BC = b) tìm quỹ tích điểm M, để
các điểm đối xứng của M qua các cạnh nằm trên một đường tròn .
 1.115. Một đường tròn nội tiếp ABC tiếp xúc các cạnh AB, BC, CA tại C’, A’,
B’. Đường thẳng A’C’ cắt các đương thẳng MN, KL tại E và F; A’B’ và MN cắt
nhau tại P; B’C’ và LK cắt nhau tại Q. Gọi Ω
A
, Ω
C

) tại A và B. MK cắt (O
1
) tại C.
AC cắt (O
2
) tại Q. MA cắt (O
2
) tại P.
a) Chứng minh đường thẳng KM phân đôi cạnh PQ.
b) Khi M di động trên (O
1
), chứng minh PQ đi qua điểm cố định.
 1.117. Cho n hình cầu B
1
, B
2
, . . . , B
n
với bán kính R
1
, R
2
, . . . , R
n
trong không
gian. Giả sử không tồn tại bất kỳ mặt phẳng nào tách n hình cầu này.Chứng minh
rằng tồn tại hình cầu bán kính R
1
+ R
2

CD. Ta có thể tìm trung điểm của BC bằng cách chỉ sử dụng một thước kẻ.
 1.120. Cho ABC, D, E, F là điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp với BC, CA,
AB. Đường thẳng song song AB đi qua E cắt DF tại Q, đường thẳng song song AB
đi qua D cắt DF tại T. Chứng minh CF, DE, QT đồng quy.
 1.121. Cho ABC. I, N là tâm đường tròn nội tiếp và điểm Nagel của ABC, r
là bán kính nội tiếp. Chứng minh
IN = r ⇔ a + b = 3choặc b + c = 3ahoặc c + a = 3b
 1.122. Các tâm của ba đường tròn bảo toàn thứ tự với các đường tròn Apollonuyt
của ABC xác định vị trí trên đương thẳng vuông góc với đường thẳng Euler của
ABC.
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright
c
 Võ Quang Mẫn
18 Các bài toán
 1.123. Cho ABC, M và M’ là hai điểm trong mặt phẳng. Đặt X và X’ trên BC,
Y, Y’ trên CA, Z, Z’ trên AB. giả sử M

X  AM, M

Y  BM, M

Z  CM, M X


AM

, MY

 BM


1
, A
2
, B
1
, B
2
trong mặt phẳng. Chứng minh rằng
nếu mọi đường tròn đi qua A
1
, A
2
cắt mọi đường tròn đi qua B
1
, B
2
thì A
1
, A
2
, B
1
, B
2
hoặc thẳng hàng hoặc nội tiếp đường tròn .
 1.127. ABCD là tứ giác lồi sao cho AB và CD không song song. Đường
tròn đi qua A, B tiếp xúc CD tại X, và một đường tròn đi qua C, D tiếp
xúc AB tại Y. Hai đường tròn này cắt nhau tại U, V. Chứng minh AD 
BC khi và chỉ khi UV phân đôi XY.
 1.128. Cho R, r, hãy dựng những đường tròn với các bán kinh R, r sao cho khoảng

∪ S
2
) = f(S
1
) + f(S
2
).
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright
c
 Võ Quang Mẫn
1.1. 150 bài toán đẹp 19
 1.133. Cho A’B’C’ là tam giác trực tâm của tam giác ABC, đặt A”, B”, C” là trực
tâm của AB’C’, A’BC’, A’B’C. Chứng ming hai tam giác A’B’C’ và A”B”C” đồng
dạng.
 1.134. Cho O là trung điểm của dây cung AB của một ellip. Qua O ta vẽ dây
cung PQ khác của ellip. Các tiếp tuyến tại P, Q cắt AB tại S, T. Chứng minh AS
= BT.
 1.135. Cho hình bình hành ABCD với AB < BC, chỉ ra rằng các
đường tròn ngoại tiếp APQ mà có một điểm chung thứ hai khi P, Q di động trên
BC, CD tương ứng, thì khi đó CP = CQ.
 1.136. Cho tam giác nhọn ABC, và AA

, BB

là các đường cao. Điểm D được
chọn trên cung ACB của đường tròn ngoại tiếp ABC. Nếu P = AA

∩ BD, Q =
BB


mỗi ba cạnh đó tồn tại một đường thẳng cắt chúng, chứng minh rằng tồn tại một
đường thẳng cắt tất cả các cạnh đó.
 1.142. Cho A
0
A
1
. . . A
n
là một dơn hình n- chiều, và đặt r, R là bán kính nội tiếp
và ngoại tiếp. Chứng minh R ≥ nr.
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright
c
 Võ Quang Mẫn
20 Các bài toán
 1.143. Tìm các số n ≥ 2 thảo mãn các tính chất sau: với mọi n + 2 điểm
P
1
, . . . , P
n+2
∈ R
n
, không có ba điểm nào trên một đường thẳng, ta có thể tìm
i = j ∈ 1, n + 2 sao cho P
i
P
j
không là một cạnh của bao lồi của của những điểm P
i
.
 1.144. Cho n + 1 đa diện lồi trong R

cao. Một đường thẳng l tùy ý đi qua H cắt các cạnh BC’ và CB’ tại M và N. Những
đương thẳng vuông góc với l qua M, N cắt BB’, CC’ tại P, Q. Tìm quỹ tích trung
điểm của cạnh PQ.
 1.149. Chứng minh rằng không tồn tại những đa giác đều với hơn 4 cạnh được
nội tiếp một ellip.
 1.150. Cho một cyclic 2n-gon với đường tròn ngoại tiếp cố định sao cho 2n-1 các
cạnh của nó đi qua 2n-1 điểm ccos định nằm trên l, chứng minh 2n cạnh cũng đi
qua một điểm cố định trên l.
 1.151.
 1.152.
 1.153.
 1.154.
 1.155.
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright
c
 Võ Quang Mẫn
1.1. 150 bài toán đẹp 21
 1.156.
 1.157.
 1.158.
 1.159.
 1.160.
b

a
Bài giảng được soạn trên Latex, copyright
c
 Võ Quang Mẫn
Chương 2
Gợi ý