ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM










N
N
G


TÍNH BÃO HÒA NGUYÊN T
Ố CỦA MỘT SỐ
MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC N
N
G
G
U
U
Y
Y
Ễ
Ễ
N
NT
T
H
H
Ị
ỊT
T
H
H
U

IH
H
Ư
Ư
Ớ
Ớ
N
N
G
GD
D
Ẫ
Ẫ
N
NK
K
H
H
O
O
A

L
Ê
ÊT
T
H
H
Ị
ỊT
T
H
H
A
A
N
N
H
HN
N
H
H
À

1.4 Tính catenary của vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Tính bão hòa nguyên tố của môđun đối đồng điều địa
phương Artin 18
2.1 Tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin . . . . . . . . 18
2.2 Tính bão hòa nguyên tố của H
d
m
(M) . . . . . . . . . . . 26
2.3 Tính bão hòa nguyên tố của H
i
m
(M) . . . . . . . . . . . 35
2.4 Tính bão hòa nguyên tố của H
d
I
(M) . . . . . . . . . . . . 37
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
i
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình
của PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn. Cô đã dành nhiều thời gian hướng
dẫn và giải đáp thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô.
Tôi xin gửi tới các thầy cô ở Viện Toán học Hà Nội, Khoa Toán,
Khoa Sau đại học Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên đã tận
tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân đã quan tâm, tạo
điều kiện, động viên, cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình.
ii

Ann
R
(0 :
A
p) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ Ann
R
A. (∗)
Khi R là vành đầy đủ theo tôpô m-adic, sử dụng đối ngẫu Matlis và áp
dụng tính chất trên của các môđun hữu hạn sinh, ta thấy rằng tính chất
(*) luôn đúng cho mọi R-môđun Artin A. Tuy nhiên, Nguyễn Tự Cường
và Lê Thanh Nhàn [CN] đã xây dựng ví dụ chỉ ra rằng tính chất (*)
nhìn chung không còn đúng khi vành R không đầy đủ.
Định nghĩa. Ta nói R-môđun Artin A là bão hòa nguyên tố nếu A thỏa
mãn tính chất (*).
Tính bão hòa nguyên tố được giới thiệu bởi N. T. Cường và L. T.
Nhàn [CN] nhằm nghiên cứu chiều của môđun Artin. Chú ý rằng môđun
đối đồng điều địa phương H
i
m
(M) luôn là R-môđun Artin với mọi cấp i.
Năm 2007, N. T. Cường, N. T. Dung, L. T. Nhàn [CDN] đã đặc trưng
tính bão hòa nguyên tố của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao
nhất với giá cực đại như sau.
Định lí 1. H
d
m
(M) là bão hòa nguyên tố khi và chỉ khi R/ Ann
R
H
d

(M)). Dấu đẳng thức xảy ra khi
và chỉ khi H
i
m
(M) là bão hòa nguyên tố.
Chúng ta biết rằng môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất
với giá I tùy ý luôn là môđun Artin. Năm 2012, L. T. Nhàn và T. Đ. M.
Châu [NC] đã đặc trưng tính bão hòa nguyên tố của H
d
I
(M). Theo I. G.
Macdonald [Mac], với mỗi R-môđun Artin A, kí hiệu Att
R
A là tập các
iđêan nguyên tố gắn kết của A.
Định lí 3. H
d
I
(M) là bão hòa nguyên tố nếu và chỉ nếu R/ Ann
R
H
d
I
(M)
là vành catenary và
Att
R
H
d
I

đích của Chương 1 là trình bày lại một số kiến thức chuẩn bị về vành
đầy đủ theo tôpô m-adic và đối ngẫu Matlis, lý thuyết biểu diễn thứ cấp
cho môđun Artin, tính chất cơ sở của môđun đối đồng điều địa phương
và tính catenary của vành.
1.1 Đầy đủ theo tôpô m-adic và đối ngẫu Matlis
Kí hiệu E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m, L là
một R-môđun (không nhất thiết hữu hạn sinh, cũng không nhất thiết
Artin). Mục đích của tiết này là nhắc lại khái niệm vành đầy đủ

R
của R theo tôpô m-adic và một số kết quả về hàm tử đối ngẫu Matlis
D(−) := Hom
R
(−, E(R/m)). Các thuật ngữ ở đây được tham khảo trong
chương 10 của cuốn sách [BS] của M. Brodmann và R. Y. Sharp.
Định nghĩa 1.1.1. Một dãy (x
n
) ⊂ R được gọi là một dãy Cauchy
theo tôpô m-adic nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại n
0
∈ N sao cho
3
x
n
− x
m
∈ m
k
, với mọi m, n ≥ n
0

) = (x
n
+ y
n
) và quy tắc nhân (x
n
)(y
n
) = (x
n
y
n
) không
phụ thuộc vào cách chọn đại diện của các lớp tương đương. Vì thế nó là
các phép toán trên

R và cùng với phép toán này

R làm thành một vành
Noether địa phương với iđêan tối đại duy nhất là m

R. Vành

R vừa xây
dựng được gọi là vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R.
Một dãy (z
n
) ⊂ M được gọi là dãy Cauchy theo tôpô m-adic nếu với
mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại n
0

) là dãy không. Kí
hiệu

M là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy. Chú ý rằng
tổng của hai dãy Cauchy là một dãy Cauchy và tích vô hướng của một
phần tử thuộc

R với một dãy Cauchy là một dãy Cauchy, quy tắc cộng
(z
n
)+(t
n
) = (z
n
+t
n
) và quy tắc nhân vô hướng a(z
n
) = (az
n
) với a ∈

R,
không phụ thuộc vào cách chọn đại diện của các lớp tương đương. Vì
thế nó là các phép toán trên

M và cùng với phép toán này

M làm thành
một

−→
trong đó mỗi E
i
là R-môđun nội xạ. Chú ý rằng mỗi môđun đều có giải
nội xạ.
Dãy 0 = L
0
 L
1
 L
2
 L
t
= L (*) trong đó mỗi L
i
là môđun
con của của L được gọi là dãy môđun con độ dài t. Ta nói L có dãy
hợp thành nếu tồn tại dãy (*) mà giữa L
i
và L
i+1
không thể thêm một
môđun con nào khác, với mọi i = 0, , t − 1. Nếu L có dãy hợp thành
thì mọi dãy môđun con không có mắt lặp lại của L đều có thể mở rộng
được thành một dãy hợp thành và các dãy hợp thành của L có chung
độ dài. Trong trường hợp này ta nói L có độ dài hữu hạn và độ dài của
L, kí hiệu là 
R
(L), là độ dài của một dãy hợp thành. Nếu L không có
dãy hợp thành thì ta nói L có độ dài vô hạn, ta kí hiệu 

L = {a ∈ R | aL = 0}. Chú ý rằng Ann
R
L là một iđêan
của R.
Bổ đề 1.1.5. Giả sử (R, m) là vành địa phương. Với các kí hiệu như
trên, các phát biểu sau là đúng.
(i) Ann
R
L = Ann
R
D(L).
(ii) Nếu 
R
(L) < ∞ thì D(L)
∼
=
L.
(iii) Nếu L là môđun Noether thì D(L) là môđun Artin.
(iv) (R, m) là vành đầy đủ và L là môđun Artin thì D(L) là môđun
Noether.
1.2 Biểu diễn thứ cấp cho các môđun Artin
Mục tiêu của tiết này là trình bày các khái niệm và tính chất về
biểu diễn thứ cấp cho các môđun Artin, đặc biệt về tập iđêan nguyên
tố gắn kết nhằm phục vụ chứng minh các kết quả ở Chương 2. Các
kiến thức trong tiết này được tham khảo trong bài báo [Mac] của I. G.
Macdonald. Trong suốt tiết này luôn giả thiết A là R-môđun Artin.
Định nghĩa 1.2.1. (i) Cho x ∈ R. Nếu tồn tại số tự nhiên n sao cho
6
x
n

) với mọi i.
(iv) A = 0 hoặc A có biểu diễn thứ cấp thì A là biểu diễn được.
Dưới đây ta nhắc lại một số tính chất về biểu diễn thứ cấp cho
môđun Artin.
Bổ đề 1.2.2. Các phát biểu sau là đúng:
(i) Môđun thương khác 0 của môđun p-thứ cấp là p-thứ cấp.
(ii) Tổng trực tiếp của hữu hạn môđun p-thứ cấp là p-thứ cấp.
(iii) Tổng của hữu hạn môđun con p-thứ cấp của A là p-thứ cấp.
Nhận xét 1.2.3. Giả sử A = A
1
+ + A
n
là một biểu diễn thứ cấp
của A. Nếu tồn tại i = j sao cho A
i
và A
j
đề là p-thứ cấp thì theo bổ đề
trên ta có A
i
+ A
j
cũng là p-thứ cấp. Vì thế, bằng cách loại đi các thành
phần thứ cấp thừa và ghép lại những thành phần thứ cấp ứng với cùng
một iđêan nguyên tố, ta có thể rút gọn biểu diễn thứ cấp này thành một
biểu diễn thứ cấp tối thiểu.
Bổ đề 1.2.4. Giả sử A = A
1
+ +A
n

i
-thứ cấp với i =
1, , r và B
i
là q
i
-thứ cấp với i = 1, , s. Khi đó r = s và {p
1
, , p
r
} =
{q
1
, , q
r
}.
Định nghĩa 1.2.6. Giả sử A là biểu diễn được. Theo định lý duy nhất
thứ nhất, tập {p
1
, , p
n
} chỉ phụ thuộc vào A mà không phụ thuộc vào
biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A. Ta gọi nó là tập các iđêan nguyên tố
gắn kết của A và kí hiệu là Att
R
A. Nếu p là tối thiểu trong tập Att
R
A
thì thành phần thứ cấp tương ứng được gọi là thành phần thứ cấp cô lập
của A. Chú ý rằng tồn tại hai biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A mà các

2
= x
k
A. Cho a ∈ A. Vì
x
k
A = x
2k
A nên x
k
a = x
2k
b. Do đó x
k
(a−x
k
b) = 0 hay a−x
k
b = c ∈ A
1
.
Do đó a = c + x
k
b ∈ A
1
+ A
2
. Suy ra A = A
1
+ A

, L
2
/∈ Γ, tức là L
1
, L
2
là biểu diễn được. Vì thế L = L
1
+ L
2
cũng là
biểu diễn được. Điều này là vô lý.
Phần tiếp theo chỉ ra một số kết quả về tập iđêan nguyên tố gắn
kết cho môđun Artin. Giả thiết A là R-môđun Artin, I là iđêan của R,
kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố chứa I.
Bổ đề 1.2.10. Các phát biểu sau là đúng
(i) min Att
R
A = min Var(Ann
R
A).
(ii) A = 0 nếu và chỉ nếu Att
R
A = ∅.
Chứng minh. (i). Cho Att
R
A = {p
1
, , p
n

thiểu nên p = p
i
∈ min Att
R
A. Ngược lại, giả sử p ∈ min Att
R
A. Theo
Bổ đề 1.2.4 tồn tại môđun thương Q của A sao cho p = Ann
R
Q. Vì
Ann
R
A ⊆ Ann
R
Q nên p ∈ Var(Ann
R
A). Nếu p /∈ min Var(Ann
R
A) thì
tồn tại q ∈ min Var(Ann
R
A) sao cho q ⊂ p và q = p. Theo chứng minh
trên, q ∈ min Att
R
A. Điều này là mâu thuẫn. Vậy p ∈ min Var(Ann
R
A).
(ii). Giả sử Att
R
A = ∅. Lấy p ∈ Att

∪ Att
R
A

.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết A

là môđun
con của A và A

= A/A

. Cho p ∈ Att
R
A

. Khi đó tồn tại môđun
thương Q của A

sao cho Ann
R
Q = p. Vì Q cũng là thương của A nên
p ∈ Att
R
A. Vậy Att
R
A

⊆ Att
R


= A/A

nên p ∈ Att
R
A

.
Cho u ∈ A và cho x = (x
n
) ∈

R, trong đó x
n
∈ R. Khi đó
Ru = {au | a ∈ R} là một môđun con của A, do đó nó là môđun Artin.
Chú ý rằng Ru là hữu hạn sinh (sinh bởi phần tử u). Vì thế Ru vừa là
10
môđun Artin, vừa là môđun Noether. Do đó Ru là môđun có độ dài hữu
hạn. Vì thế tồn tại số tự nhiên k sao cho m
k
u = 0. Vì x = (x
n
) ∈

R nên
tồn tại số tự nhiên n
0
sao cho x
n


R-môđun chính là dãy môđun con của A xét như R- môđun. Do đó A
là một

R-môđun Artin.
Ta có quan hệ sau về tập iđêan nguyên tố gắn kết trên R và trên

R.
Bổ đề 1.2.12. Att
R
A = {P ∩R : P ∈ Att

R
A}.
Chứng minh. Giả sử A = (A
11
+ + A
it
1
) + + (A
n1
+ + A
nt
n
) là
một biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A xét như

R-môđun, trong đó A
ij
là P

n
.
Cho i ∈ {1, , n}. Với x ∈ p
i
ta có x ∈ P
ij
với mọi j = 1, , t
i
. Vì thế
phép nhân bởi x trên A
i
là lũy linh. Cho x /∈ p
i
. Khi đó x /∈ P
ij
với mọi
j = 1, , t
i
. Do đó phép nhân bởi x trên A
i
là toàn cấu. Suy ra A
i
là
p
i
-thứ cấp. Vì mỗi A
ij
đều không thừa nên A
i
là không thừa với mọi i.

). Vì (0 :
L
I) ⊆ (0 :
L
I
2
) ⊆ là dãy tăng các môđun
con của M nên Γ
I
(L) là môđun con của L. Cho f : L −→ N là một
đồng cấu giữa các R-môđun. Lấy x ∈ Γ
I
(L), khi đó tồn tại t ∈ N sao
cho x ∈ (0 :
L
I
t
), tức là I
t
x = 0. Vì vậy 0 = f(I
t
x) = I
t
f(x). Suy
ra f(x) ∈ Γ
I
(N). Vậy ta có đồng cấu f
∗
: Γ
I

−→ E
1
d
1
−→ E
2
→
là giải nội xạ của L, tác động hàm tử Γ
I
(−) ta có đối phức
0 → Γ
I
(E
0
)
d
∗
0
−→ Γ
I
(E
1
)
d
∗
1
−→ Γ
I
(E
2

i
I
(L) là môđun I-xoắn với mọi i.
(iv) L là I-xoắn thì H
i
I
(L) = 0 với mọi i > 0. Đặc biệt với mỗi R-môđun
M, ta có H
j
I
(H
i
I
(L)) = 0 với mọi i ≥ 0 và với mọi j ≥ 1.
(v) 0 → L

→ L → L

→ 0 là dãy khớp ngắn các R-môđun. Khi đó với
mỗi i ∈ N, tồn tại một đồng cấu δ
i
: H
i
I
(L

) → H
i+1
I
(L

)
δ
1
−→ H
2
I
(L

) →
Đồng cấu δ
i
ở trên gọi là đồng cấu nối thứ i.
Một dãy giảm các iđêan nguyên tố p
0
 p
1
  p
n
gọi là một
xích nguyên tố trong R và n gọi là độ dài của xích. Cận trên đúng của
các độ dài tất cả các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều của vành
R và được kí hiệu là dim R. Cho M là R-môđun, chiều của M, kí hiệu
là dim M được xác định bởi công thức dim M = dim(R/ Ann
R
M).
Bổ đề 1.3.3. Cho R là vành giao hoán Noether (không nhất thiết địa
phương), M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó các mệnh đề sau là tương
đương:
13
(i) 

1
, , x
n
, y
là M-dãy chính quy. Khi đó mỗi dãy chính quy trong I luôn mở rộng
được thành M-dãy chính quy tối đại trong I và các M-dãy chính quy
cực đại trong I có độ dài bằng nhau. Độ dài chung này được gọi là độ
sâu của M đối với iđêan I và được kí hiệu là depth(I, M). Khi I = m
thì ta viết depth(M) thay cho depth(m, M). Ta gọi depth(m, M) là độ
sâu của M.
Độ sâu của M đối với iđêan I có thể đặc trưng thông qua tính
không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương như sau.
Định lý 1.3.5. Với mỗi iđêan I của R ta có
depth(I, M) = inf{i : H
i
I
(M) = 0}.
Chiều của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương có thể đặc
trưng qua tính không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương
như sau.
Định lý 1.3.6. Ta có
dim M = max{i : H
i
m
(M) = 0}.
14
Phần cuối cùng của tiết này dành để trình bày một số tính chất
Artin của môđun đối đồng điều địa phương. Kết quả đầu tiên khẳng
định môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại luôn là Artin.
Định lý 1.3.7. Các phát biểu sau là đúng.

nguyên tố q ⊂ p của R chứa I, trong đó
¯
q và
¯
p là ảnh của q và p trong
R/I. Vì thế R/I là catenary.
(ii) Giả sử dim R ≤ 2. Cho q ⊂ p là hai iđêan nguyên tố của R. Khi đó
chỉ có một trong hai khả năng xảy ra: hoặc chèn được thêm một iđêan
nguyên tố giữa q và p để được dãy bão hòa, hoặc q ⊂ p đã bão hòa. Vì
thế R là catenary.
Định nghĩa 1.4.3. Ta nói rằng M là đẳng chiều nếu dim(R/p) = dim M
với mọi iđêan nguyên tố liên kết p ∈ min Ass
R
M. Ta nói M là tựa không
trộn lẫn nếu môđun đầy đủ theo tôpô m-adic

M của M là đẳng chiều,
tức là dim(

R/

p) = dim

M với mọi

p ∈ min Ass

R

M.

Trong chương này, luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noether
địa phương, I là một iđêan của R và i là một số nguyên không âm. Cho
A là R-môđun Artin và M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d.
Mục đích của chương này là đặc trưng tính bão hòa nguyên tố của một
số môđun đối đồng điều địa phương Artin H
d
m
(M), H
i
m
(M), H
d
I
(M).
2.1 Tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin
Trước hết ta xét một tính chất cở sở của các R-môđun hữu
hạn sinh M như sau: Giả sử p ∈ Spec(R) và p chứa Ann
R
M. Khi đó
M
p
= 0. Theo Bổ đề Nakayama ta suy ra (M/pM)
p
∼
=
M
p
/pM
p
= 0. Vì

Nhận xét 2.1.2. Giả sử R là đầy đủ theo tôpô m-adic. Khi đó D(A)
là R-môđun hữu hạn sinh. Chú ý rằng Ann
R
A = Ann
R
D(A). Vì thế áp
dụng tính chất linh hoán tử cho môđun D(A) ta có
Ann
R
(0 :
A
p) = Ann
R
(D(0 :
A
p)) = Ann
R
(D(A)/pD(A)) = p
với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ Ann
R
A = Ann
R
D(A). Do vậy tính bão
hòa nguyên tố luôn đúng cho mọi môđun Artin trên vành địa phương
đầy đủ. Tuy nhiên, tính bão hòa nguyên tố không còn đúng khi vành R
không đầy đủ.
Ví dụ 2.1.3. (xem [CN, Ví dụ 4.4]). Tồn tại một môđun Artin trên
vành Noether địa phương không bão hòa nguyên tố.
Chứng minh. Gọi (R, m) là miền Noether địa phương chiều 2 được xây
dựng bởi D. Ferrand và M. Raynaud [FR] thỏa mãn tính chất tồn tại

m
(

R)

. Suy ra Q∩R ∈ Att
R

H
1
m
(R)

.
Chú ý rằng Ass R = {P ∩R : P ∈ Ass

R} (xem [Mat, Định lí 23.2]). Vì
19
thế ta có Q ∩R ∈ Ass R. Do R là miền nguyên nên Ass R = {0}. Do đó
0 = Q ∩ R ∈ Att
R
(H
1
m
(R)). Vì thế
Ann
R

H
1

1
m
(R)
x
→ H
1
m
(R).
Suy ra H
0
m
(R/xR)
∼
=
(0 :
H
1
m
(R)
x) = (0 :
A
x). Vì H
0
m
(R/xR) là R-
môđun có độ dài hữu hạn nên (0 :
A
x) có độ dài hữu hạn. Do x ∈ p
nên (0 :
A


⊗ S −→ L ⊗S −→ L

⊗ S −→ 0
20
là khớp. Một đồng cấu f : R −→ S được gọi là đồng cấu hoàn toàn
phẳng nếu S, xét như R-môđun xác định bởi f, là R-môđun hoàn toàn
phẳng, tức là với mỗi dãy
0 −→ L

−→ L −→ L

−→ 0
các R-môđun là khớp nếu và chỉ nếu dãy cảm sinh
0 −→ L

⊗ S −→ L ⊗S −→ L

⊗ S −→ 0
là khớp.
Bổ đề 2.1.4. (xem [Mat]). Các phát biểu sau là đúng.
(i) Nếu f : R −→ S là một đồng cấu phẳng thì ánh xạ cảm sinh f
∗
:
Spec S −→ Spec R cho bởi f
∗
(p) = p ∩ R := f
−1
(p) là toàn ánh.
(ii) Nếu f : R −→ S là đồng cấu hoàn toàn phẳng và L là R-môđun

P ∩R ⊇ Ann

R

M ∩ R ⊇ Ann
R
M.
Suy ra P ∩R ∈ Supp
R
M. Vì thế
Supp
R
M ⊇ {P ∩R : P ∈ Supp

R

M}.
Ngược lại, cho p ∈ Supp
R
M. Khi đó M
p
= 0. Vì đồng cấu tự nhiên
R −→

R là hoàn toàn phẳng nên ánh xạ cảm sinh Spec

R −→ Spec R
21